精品解析：贵州省遵义航天高级中学2024-2025学年高一下学期教学质量检测考试数学试题B

2024-2025学年（下）高一年级教学质量检测考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】将复数进行化简，得出对应的点的坐标，即可求出复数所位于的象限. 【详解】∵， ∴， ∴在复平面内对应的点为， ∴在复平面内对应的点位于第二象限, 故选：B. 2. 如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么平面四边形的面积为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测作图法，还原出原图形，根据原图形性质，求出原图形面积. 【详解】 设四边形交轴于， 由，则，则， 原图，且，所以平面四边形是平行四边形， 则原图面积， 故选：D． 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 经过三个点有且只有一个平面 B. 以直角三角形的一边为旋转轴旋转一周所得的旋转体是一个圆锥 C. ，是两个不同平面，，是两条不同直线，若，，则，为异面直线 D. 是一条直线，，是两个不同平面，若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据公理2可知，A错误；根据圆锥的定义可知B错；根据异面直线的定义可知，C不一定正确；由面面平行的性质可知，D正确． 【详解】经过不共线的三个点有且只有一个平面，A错；以直角三角形的一条直角边为旋转轴旋转一周所得的旋转体是一个圆锥，B错；直线，可能为异面直线也可能平行，C不一定正确；由面面平行的性质可知，D正确． 故选D． 4. 一段时间内没有大规模集体流感的标志为“连续10天，每天新增病例不超过7人”，根据过去10天甲､乙､丙､丁四地新增病例数据，一定符合该标志的是（ ） A. 甲地：平均数为3，中位数为4 B. 乙地：平均数为1，方差大于0 C. 丙地：中位数为2，众数为3 D. 丁地：平均数为2，方差为3 【答案】D 【解析】 【分析】对于AB，通过总体均值可知10天新增病例总数，由此可判断，对于C，知道中位数及众数不能确定某一天新增病例是否超过7人，对于D，知道总体均值与方差，假设某一天新增病例超过7人，通过计算方差可判断. 【详解】对于A，通过总体均值可知10天新增病例总数为30，因为中位数为4，所以没法确定某一天新增病例是否超过7人，所以A错误， 对于B，通过总体均值可知10天新增病例总数为10，因为总体方差大于0，所以没法确定某一天新增病例是否超过7人，所以B错误， 对于C，知道中位数及众数不能确定某一天新增病例是否超过7人，所以C错误， 对于D，知道总体均值为2，假设某一天新增病例超过7人，则方差会大于3，所以可以判断“连续10天，每天新增病例不超过7人”，所以D正确， 故选：D 5. 已知事件互斥，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可求解. 【详解】由题可知. 故选：. 6. 已知正四棱台分别是棱的中点，平面将正四棱台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知几何体是三棱台，利用割补法结合台体的体积公式运算求解. 【详解】如图，连接，不妨设，棱台的高设为， 所以． 因为，分别是棱，的中点，则，． 又因为平面平面，可知几何体是三棱台， 则． 所以分割之后较大部分的体积为， 所以较小部分与较大部分的体积之比为． 故选：B． 7. 在△ABC中，已知，则△ABC面积的最大值为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，根据基本不等式及三角形面积公式求解面积的最大值． 【详解】在中，， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， ∵，∴， ∵，当且仅当时取等号， 因此， ∴面积， ∴当时，的面积取得最大值． 故选：C． 8. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角的正余弦的平方关系求得，，利用可求值. 【详解】因为，，所以， 又因为，所以，又， 所以，所以， 所以 . 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 的范围是 D. 的范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量运算的坐标表示，列出关系式，根据三角恒等变换中的二倍角公式和两角和的余弦公式对各等式化简，运用三角函数的值域，分别判断各选项正误，结合单位圆的切线情况，判断D的正误. 【详解】已知，，，， 所以，，， ，，，所以A正确. ， 则 ， 由同角三角函数关系和余弦二倍角公式得，仅当时，，即，所以B错误. ， 因为，所以，所以的范围是，所以C正确. 当时，点与点之间没有关联，则两点都在单位圆上运动， 如图所示，当点与点重合时，最小时为0， 当都与单位圆相切时，最大， 此时可知,所以， 同理可得，，此时，所以D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 某人掷骰子1次，“掷出5”与“掷出6”是互斥事件 B. 甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为3，则抽取的丙个体数为9 C. 数据，，，，，，，的分位数是8 D. 数据，，，…，的方差为，则数据，，，…，的方差为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用互斥事件的定义判断A；利用分层抽样列式求解判断B；求出分位数判断C；利用方差的性质计算判断D. 【详解】对于A，由 “掷出5”与“掷出6”不可能同时发生，得它们为互斥事件，A正确； 对于B，设抽取的丙个体数为，由，解得，B正确； 对于C，数据,,,,,,,从小到大排列为：,,,,,,,， 由，得该组数据的分位数是，C错误； 对于D，数据,,,…,的方差为，则数据,,,…,的方差为，D正确. 故选：ABD 11. 已知点P是所在平面内一点，且, ，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点P是边BC的中点 B. 若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则 C. 若，则 D. 若点P在BC边的中线上，且，则点P是的重心 【答案】BD 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因，P为边BC的中点等价于， 即，，故A错误； 对于B，如图1，点P是边BC上靠近B点的三等分点， 则， 即，，即，故B正确； 对于C，若，则，且， 如图2，设，即，则点在边上， 点为的中点，所以，即C错误； 对于D，若，所以，且， 如图3，设，即，则点在上， 又因为P在BC边的中线上，则即为中线，从而点P为的重心，故D正确. 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数z满足，是虚数单位，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据复数除法算出复数值，然后根据模长公式求解. 【详解】由题知，， 于是. 故答案为： 13. 甲､乙､丙三人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，则三人都成功破译的概率是___________；密码被两人成功破译的概率为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用独立事件概率的乘法公式计算即得；被两人破译的事件分拆成三个互斥事件的和，再用概率的加法公式计算即得. 【详解】因甲､乙､丙三人独立破译的事件分别记为A，B，C，则， 依题意，三人都成功破译的事件M=ABC，则； 密码被两人成功破译的事件，于是得： . 故答案为：；. 14. 已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，则正三棱台的体积为______；若此正三棱台的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出正三棱台的上下底面的面积，代入棱台体积公式求解第一空，利用正三棱台的几何性质计算出球心到下底面的距离，可求出外接球的半径，结合球体表面积公式可得第二空. 【详解】因为正三棱台的上下底面的边长分别为和， 所以上下底面的面积分别为，， 又正三棱台的高为1，故正三棱台的体积为； 如下图，设正三棱台的上、下底面的中心分别为、， 由正三棱台的几何性质可知，外接球球心在直线上， 正的外接圆半径为， 正的外接圆半径为， 设，若球心在线段上，则，， 设外接球的半径为，则， 即，解得，不合乎题意； 故球心射线上，则， 同理 由，即，解得. 所以，故该正三棱台的外接球表面积为. 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，．已知，，． （1）求； （2）若为的中点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用平方关系得，再结合条件，利用正弦定理，即可求解； （2）利用余弦定理得，由向量的中线公式得，利用数量积的运算律，可得，即可求解. 【小问1详解】 因为，则，且， 由正弦定理，得到， 又，，所以，又，则. 【小问2详解】 由余弦定理，得以， 整理得到，解得或（舍）， 又为的中点，所以， 则， 所以，即的长为. 16. 当前中学生体质呈现“整体改善、局部恶化”的复杂态势.教育部明确将体育纳入初高中学业水平考试，并作为招生录取计分科目，学生的体育素质越来越受到关注，某高校招生拟引入体育素质评价结果，随机抽取了500名学生进行了体能素质测试，并记录得分（满分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值并估计这500名学生成绩的平均数和中位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）体能素质测试分数不低于90分才能评定为体能优秀，现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，再从这7人中随机选出两人，求这两人恰有1人体能优秀的概率. 【答案】（1），平均数，中位数 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直方图小长方形的面积之和为可求出，由题设要求求平均数，先判断中位数所在区间，然后根据直方图中小长方形面积位于面积处的数值得到中位数； （2）先确定分别需抽取的人数，然后根据列举法结合古典概型求解. 【小问1详解】 由题意，，解得， 平均数为：， 由图可知的频率为，的频率为， 故中位数位于，设中位数为， 由，解得，即中位数是， 综上，，平均数，中位数. 【小问2详解】 由图可知，的频率之比是， 根据分层抽样可知，需在分别抽取人和人， 抽取的人记作，抽取的人记作， 所有情况是，共种， 这两人恰有1人体能优秀情况有，共种， 根据古典概型的计算公式，这两人恰有1人体能优秀的概率是. 17. 如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，二面角的大小为，求与底面所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面平面，引用面面垂直的性质定理，得平面，再根据线面垂直的性质，得到； （2）取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理得平面，最后利用线面平行性质定理得到； （3）由二面角的定义知是二面角的平面角，由此可设再由面面垂直的判定定理可知平面，所以即为与底面所成角，求解即可. 【小问1详解】 因为底面为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面， 所以. 【小问2详解】 取的中点，连接，， 因为点分别为的中点， 所以，且， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 又因为平面，平面平面 所以. 【小问3详解】 因为平面，平面，所以，又， 是二面角的平面角，所以， 设则，连接，， 因为，平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，所以即为与底面所成角， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以在直角三角形中，. 所以与底面所成角的正弦值为. 18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，. （1）求A； （2）若为锐角三角形，其外接圆圆心为O. （i）证明：. （ii）记和的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）对用平方差公式展开，再整理得到，把它代入公式（余弦定理形式）求，结合的范围得出的值. （2）（i）将写成，展开.利用外心性质得到和的值.再根据已知条件和类似公式（余弦定理）求出关于的式子，进而得出.   （ii）由正弦定理相关式子得出外接圆半径.根据角度关系和面积公式求出和，得到表达式.根据三角形是锐角三角形确定范围，换元后得到关于的二次函数，根据二次函数性质求范围. 【小问1详解】 由题意得，即， 由余弦定理得，又，所以. 【小问2详解】 （i）由， 因为O为外接圆圆心，即外心，所以，， 由余弦定理得，， 所以 （ii）设外接圆半径为R，则，且，即， 因为，，所以， ， 所以， 由为锐角三角形知，，令， 则， ，，即为所求. 19. 在三棱柱中，，且D为BC的中点， 为的中点. （1）若，求证： （2）若，求直线与平面 所成角的正弦值 （3）若，求二面角的正弦值的最大值. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质，结合勾股定理的逆定理推理得证. （2）由（1）的信息，利用定义法求出线面的正弦值. （3）由（1）（2）中信息，求出直角三角形领边上高，再作平面于，利用定义法求出二面角正弦值的最大值. 【小问1详解】 在三棱柱中，连接，由分别为中点， 得，则四边形为平行四边形，， 由，得，由，得， 则，于是，由， 得，而，平面，则平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，平面,所以平面， 而平面，则平面平面， 在平面内过作于点，平面平面， 因此平面，连接，是直线与平面 所成角， 由，得， 在中，，在中，， 所以直线与平面 所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（1）得，又， 则，由（2）得， 过作平面于，连接，由平面，得， 而平面，则平面， 又平面，则，是二面角的平面角， 显然，当且仅当重合时取等号，， 所以二面角的正弦值的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年（下）高一年级教学质量检测考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么平面四边形的面积为（ ） A 3 B. C. 6 D. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 经过三个点有且只有一个平面 B. 以直角三角形的一边为旋转轴旋转一周所得的旋转体是一个圆锥 C. ，是两个不同平面，，是两条不同直线，若，，则，为异面直线 D. 是一条直线，，是两个不同平面，若，，则 4. 一段时间内没有大规模集体流感的标志为“连续10天，每天新增病例不超过7人”，根据过去10天甲､乙､丙､丁四地新增病例数据，一定符合该标志的是（ ） A. 甲地：平均数3，中位数为4 B. 乙地：平均数1，方差大于0 C. 丙地：中位数为2，众数为3 D. 丁地：平均数为2，方差为3 5. 已知事件互斥，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.9 6. 已知正四棱台分别是棱的中点，平面将正四棱台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，已知，则△ABC面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 的范围是 D. 的范围是 10. 下列说法正确的是（ ） A. 某人掷骰子1次，“掷出5”与“掷出6”是互斥事件 B. 甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为3，则抽取的丙个体数为9 C. 数据，，，，，，，分位数是8 D. 数据，，，…，的方差为，则数据，，，…，的方差为 11. 已知点P是所在平面内一点，且, ，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点P是边BC的中点 B. 若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则 C. 若，则 D. 若点P在BC边的中线上，且，则点P是的重心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数z满足，虚数单位，则_______． 13. 甲､乙､丙三人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，则三人都成功破译的概率是___________；密码被两人成功破译的概率为__________． 14. 已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，则正三棱台的体积为______；若此正三棱台的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，．已知，，． （1）求； （2）若为的中点，求的长． 16. 当前中学生体质呈现“整体改善、局部恶化”的复杂态势.教育部明确将体育纳入初高中学业水平考试，并作为招生录取计分科目，学生的体育素质越来越受到关注，某高校招生拟引入体育素质评价结果，随机抽取了500名学生进行了体能素质测试，并记录得分（满分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值并估计这500名学生成绩的平均数和中位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）体能素质测试分数不低于90分才能评定为体能优秀，现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，再从这7人中随机选出两人，求这两人恰有1人体能优秀的概率. 17. 如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，二面角的大小为，求与底面所成角的正弦值． 18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，. （1）求A； （2）若为锐角三角形，其外接圆圆心为O. （i）证明：. （ii）记和的面积分别为，，求的取值范围. 19. 在三棱柱中，，且D为BC的中点， 为的中点. （1）若，求证： （2）若，求直线与平面 所成角的正弦值 （3）若，求二面角的正弦值的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $