专题1.7 全等三角形的九大解题模型（难度分层练 共20题）同步培优讲练-2025-2026学年苏科版数学八年级上册（新教材）

专题1.7 全等三角形的九大解题模型 （难度分层练 共20题） 基础夯实 1．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，已知且，且，连接，分别过点，，作经过，两点的直线的垂线，垂足分别为，，，则按图中所标注的数据可计算图中实线围成的面积（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，已知平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·北京大兴·期末）如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点P是线段上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接，则的面积比的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若，连接，，则．所有正确结论的序号是（    ）    A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①③④ 4．（22-23八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，且，为直角三角形，，已知，，则四边形的面积为（    ） A． B．15 C． D．20 5．（12-13七年级下·全国·课后作业）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤． 恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上） 6．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ．    7．（21-22八年级上·广西贵港·期中）如图，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，且点C在DE上，若AD＝5，BE＝8，则DE的长为 ． 8．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，已知点A、B在直线l的同侧，，，垂足分别为E、F． (1)在直线l上求作一点C，使；（要求：用尺规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法．） (2)在（1）的条件下，连接、，若，求证：． 9．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 10．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：是的角平分线，且 (1)如图1，求证：； (2)如图2，，点E在AD上，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，且，连接． ①求证：； ②若，且，求AC的长． 培优拔高 11．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 13．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（　　）    A．24 B．12 C．6 D．10 14．（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数．（　　） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，，且，垂足为C，连接，若，则的面积为 ． 16．（20-21八年级上·福建福州·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号） 17．（20-21八年级上·河南驻马店·期末）如图，是中边上的中线，若，则的取值范围为 ． 18．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）（1）如图1，已知，，易得.如图2，，，，且，，试问的数量关系，并写出其证明过程. （2）如图3，在中，，，点D是直线上的任意一点（不与点B、C重合），连接，过点D在的右侧作，且，连接，直接写出的度数. 19．（22-23八年级上·河南洛阳·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，容易发现：线段，之间的数量关系为 ;②的度数为 ． 【探究发现】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，连接．试探究线段，，之间的数量关系及的度数，并说明理由． 【问题解决】（3）如图3，，，，，请直接写出的值． 20．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．       原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接， 证明：． (1)思路梳理 ∵，∴把绕点A逆时针旋转至，使与重合． ∵，∴，点F、D、G共线， 证明得． 请按此思路证明原题中． (2)类比引申 如图2，在四边形中，，，点E、F分别在边上，．若都不是直角，则当与满足怎样的关系时，仍有，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.7 全等三角形的九大解题模型 （难度分层练 共20题） 基础夯实 1．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，已知且，且，连接，分别过点，，作经过，两点的直线的垂线，垂足分别为，，，则按图中所标注的数据可计算图中实线围成的面积（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，，再利用梯形面积公式和三角形面积公式计算即可． 【规范解答】解：∵于F，于G，于H，    ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理，， ∴，， ∴， 梯形的面积为：， 三角形的面积为：， 三角形的面积为：， 实线围成的面积为： ， 故选：A． 2．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，已知平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了等边对等角，以及全等三角形的性质与判定，三角形的外角的定义及性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先延长到点，使，连接，再得出，证明，即可作答． 【规范解答】解：延长到点，使，连接， ∵ 则， ， ， ， ∵， ∴ ∵平分 ∴， ∵ ， ∴ 故答案为：D． 3．（22-23八年级上·北京大兴·期末）如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点P是线段上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接，则的面积比的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若，连接，，则．所有正确结论的序号是（    ）    A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【思路引导】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；延长至，使，易证得，利用三角形三边关系可对②进行判断；再次根据三角形中线定义和三角形面积公式可对③进行判断；由，，，易证得，可得，即可对④进行判断． 【规范解答】解：∵是中线， ∴ ∴与的面积相等，故①正确， 延长至，使，如图    ∵，， ∴， ∴ 则在中， ∴，故②正确， 点是线段AD上的一个动点（点不与点，重合），连接，，如图，    ∵ ∴ 又∵与的面积相等 ∴的面积和的面积相等，故③不正确， 点，是，所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，，如图，    由，，， ∴， ∴ ∴ 故④正确， 故选：B． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定与性质，利用三角形中线的性质及倍长中线的思想是解决问题的关键． 4．（22-23八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，且，为直角三角形，，已知，，则四边形的面积为（    ） A． B．15 C． D．20 【答案】C 【思路引导】过A作，过D作，垂足为E，证明，根据四边形的面积即可求解． 【规范解答】解：过A作，过D作，垂足为E，如图， ∴， ∵且， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴四边形的面积为 ． 故选：C． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 5．（12-13七年级下·全国·课后作业）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤． 恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上） 【答案】①②③⑤ 【思路引导】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，平行线的判定以及性质． ①由于和是等边三角形，可知，，，从而利用证出，可推知；②由得，，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③由①和②可得出，，即可证；④根据，，可知，，且，得出，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质得出，再根据平行线的性质得到，于是，可知⑤正确． 【规范解答】解：①∵正和正， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 故①正确； ②又∵，，， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故③正确； ④∵，且， ∴， 故④错误； ⑤∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， 故⑤正确． ∴正确的有：①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 6．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ．    【答案】6 【思路引导】先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得． 【规范解答】如图，在上取一点E，使，连接，   是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为， 又由垂线段最短得：当时，取得最小值， ， ， 解得， 即的最小值为6， 故答案为：6． 【考点剖析】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键． 7．（21-22八年级上·广西贵港·期中）如图，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，且点C在DE上，若AD＝5，BE＝8，则DE的长为 ． 【答案】13 【思路引导】先根据AD⊥DE，BE⊥DE，∠ADC=∠CEB=90°，则∠DAC+∠DCA=90°，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，可得AC=CB，推出∠DAC=∠ECB，即可证明△DAC≌△ECB得到CE=AD=5，CD=BE=8，由此求解即可． 【规范解答】解：∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠DAC+∠DCA=90°， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， ∴∠DCA+∠BCE=90°，AC=CB ∴∠DAC=∠ECB， ∴△DAC≌△ECB（AAS）， ∴CE=AD=5，CD=BE=8， ∴DE=CD+CE=13， 故答案为：13． 【考点剖析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 8．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，已知点A、B在直线l的同侧，，，垂足分别为E、F． (1)在直线l上求作一点C，使；（要求：用尺规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法．） (2)在（1）的条件下，连接、，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）做线段的垂直平分线，交直线l于点C，点C即为所求． （2）先证明，进而证明，得到，，进一步可证明． 本题考查了作图——复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作；也考查了三角形全等的判定． 【规范解答】（1）解：连接，作线段的垂直平分线，点C即为所求． （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 9．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形，理由见解析 【思路引导】（1）过点作交于，证明,根据全等三角形的性质得出结论； （2）连结，根据补角的概念得到，根据等腰三角形的判定定理得到，进而得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键. 【规范解答】（1）证明：过点作交于， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形， 连结， 于， ，， ， 又，， ，， ，， 由（1）知，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 为等边三角形； 10．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：是的角平分线，且 (1)如图1，求证：； (2)如图2，，点E在AD上，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，且，连接． ①求证：； ②若，且，求AC的长． 【答案】(1)见解析 (2)①证明见解析②6 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定以及角平分线的定义. （1）用证明，即得； （2）①证明可得，再用证明，即得；②过作于，由，可得，，而，，即得，根据，可求． 【规范解答】（1）证明：是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）①，，， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ； ②过作于，如图： 由①知：， ， ， ， 由①知：， ， ， ， ， ∴． 培优拔高 11．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长至点，使，利用证明，得，再利用三角形三边关系可得答案． 【规范解答】解：延长至点，使，则，   为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵ ∴，即， ∴． 故选：B． 12．（24-25八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．如图所示，延长到点，使得，连接，设交于点，可证，根据全等三角形的性质可判定①②④，根据角平分线的性质定理可判定③；由此即可求解． 【规范解答】解：如图所示，延长到点，使得，连接，设交于点， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∴，即，故④正确； ∵， ∴平分， 当时，，即， ∵无法确定与的数量关系， ∴无法确定，故③错误； 综上所述，正确的有①②④， 故选：C ． 13．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（　　）    A．24 B．12 C．6 D．10 【答案】B 【思路引导】过P作平行于，由与平行，得到平行于，可得出四边形与都为平行四边形，进而确定出与面积相等，与面积相等，再由为的中位线，利用中位线定理得到为的一半，且平行于，得出与相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出的面积，而面积＝面积+面积，即为面积+面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积． 【规范解答】解：过P作交BC于点Q，由，得到，    ∴四边形与四边形都为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵为的中位线， ∴，， ∴，且相似比为1：2， ∴，， ∴， 故选：B． 【考点剖析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键． 14．（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数．（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】首先证明为等边三角形，得，由可得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出，可求的度数，由此即可解决问题． 【规范解答】解：连接，由题意可知， 则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴ ∴， 故选C． 【考点剖析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型． 15．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，，且，垂足为C，连接，若，则的面积为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，过A作于H，过E作于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【规范解答】解：过A作于H，过E作于F，   ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：． 16．（20-21八年级上·福建福州·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号） 【答案】①②③ 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据全等三角形的性质与判定可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③正确． 【规范解答】解：∵在中，， ∴， ∵和是和的平分线， ， ∴， ∴， 故①正确； 在上截取， ∵和是和的平分线， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 作于于，连接， ∵和的平分线，相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∴正确的序号为①②③； 故答案为①②③． 17．（20-21八年级上·河南驻马店·期末）如图，是中边上的中线，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用是解题的关键． 如图，延长到，使，连接，证明，则，由，可得，计算求解即可． 【规范解答】解：如图，延长到，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）（1）如图1，已知，，易得.如图2，，，，且，，试问的数量关系，并写出其证明过程. （2）如图3，在中，，，点D是直线上的任意一点（不与点B、C重合），连接，过点D在的右侧作，且，连接，直接写出的度数. 【答案】（1），证明见解析；（2）或 【思路引导】（1）过点作于点，证明，，推出，，等量代换可得； （2）分三种情况：点D在线段上，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，参照（1）中方法，通过作辅助线构造全等三角形，即可求解． 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解题的关键． 【规范解答】（1）解：. 证明：过点作于点， ， ，， ， 在和中， ， ， 同理可证，， ，， . （2）解：当点D在线段上时，过点E作，交的延长线于点F， 由（1）可知， ，， ， ， ， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，过点作，交的延长线于点， 同理可得， ，， ， ， ， ， ，即； 当点在线段的延长线上时，过点作于点， 同理证得， ，， ， ， ， ， . 综上可得的度数为或 19．（22-23八年级上·河南洛阳·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，容易发现：线段，之间的数量关系为 ;②的度数为 ． 【探究发现】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，连接．试探究线段，，之间的数量关系及的度数，并说明理由． 【问题解决】（3）如图3，，，，，请直接写出的值． 【答案】（1）①；②；（2）,，见解析；（3）8 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是根据全等三角形的性质找边和角之间的关系． （1）根据等边三角形的性质可知，，，利用可证，根据全等三角形的性质可得、； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，，利用利用可证，根据全等三角形的性质可得，从而可得，根据全等三角形对应角相等，可知，从而可得； （3）过点作交于点，由知，根据全等三角形的性质可得，，从而可知，利用勾股定理可得． 【规范解答】（1）①解：和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中 , ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴ ， ∴； 故答案为：，； （2）,. 理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 , ∴， ∴，， ∵, ∴， ∴， ∴ ， ∴； (3)如图所示，过点A作交于点F， 由（2）知， ∴，， 又∵， ∴， 在中，， ， ∴. 20．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．       原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接， 证明：． (1)思路梳理 ∵，∴把绕点A逆时针旋转至，使与重合． ∵，∴，点F、D、G共线， 证明得． 请按此思路证明原题中． (2)类比引申 如图2，在四边形中，，，点E、F分别在边上，．若都不是直角，则当与满足怎样的关系时，仍有，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)时，；理由见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度． （1）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； 【规范解答】（1）证明：如图1， ∵， ∴把绕点A逆时针旋转90°至，使与重合， ∵， ∴，点F、D、G共线， 则，， ， 即， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：时，；理由如下： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，使与重合，如图2所示， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$