专题1.2 全等三角形（知识梳理+4个考点讲练+难度分层练 共32题）同步培优讲练-2025-2026学年苏科版数学八年级上册（新教材）

专题1.2 全等三角形 （知识梳理+4个考点讲练+难度分层练 共32题） 知识点1.全等三角形 1. 全等三角形的定义 一个三角形经过平移、轴对称或旋转变换后得到另一个三角形，这两个三角形可以重合. 我们把两个能完全重合的三角形叫作全等三角形. 2. 三种常见的全等类型 (1)平移型 (2)翻折型 (3)旋转型 特别解读： 对应边、对应角是两个全等三角形中对应的两条边、对应的两个角；对边、对角是同一个三角形中的边和角，“对边”是指三角形中某个角所对的边，“对角”是指三角形中某条边所对的角. 知识点2.全等三角形的性质 1. 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 几何语言：如图1.2 -4，∵△ABC≌△DEF ∴ AB＝DE，BC＝EF， AC＝DF，∠A＝∠D， ∠B＝∠E，∠C＝∠F. 2. 拓展：全等三角形的对应元素相等. 全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线、周长、面积等. 要点提醒 应用全等三角形的性质时，要先确定两个条件： 1. 两个三角形全等； 2. 找准对应元素. 考点1：图形的全等 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．若两个图形关于某条直线对称，则这两个图形全等 B．等腰三角形一边上的中线和这条边上的高重合 C．面积相等的两个图形是全等形 D．周长相等的两个三角形全等 【答案】A 【思路引导】本题考查轴对称的性质、全等图形的定义、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．根据轴对称的性质、全等图形的定义、全等三角形的判定、等腰三角形的性质逐项判断即可． 【规范解答】解：A．若两个图形关于某条直线对称，则这两个图形全等，故选项正确，符合题意； B．等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合，故选项不正确，不符合题意； C．面积相等的两个图形不一定是全等形，故选项不正确，不符合题意； D．周长相等的两个三角形不一定全等，故选项不正确，不符合题意． 故选：A． 【变式训练1】（2024八年级下·江苏·专题练习）与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是 ． 【答案】5269 【思路引导】本题考查全等图形的概念，根据全等的性质把这四位数旋转所得图形与原来的图形全等，翻转过来所得四位数是5269． 【规范解答】解：四位数6925旋转得到5269， 与电子显示的四位数6925不相等，但为全等图形的四位数是5269， 故答案为：5269． 【变式训练2】（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）下列说法中正确的是（    ） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．面积相等的两个图形全等 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了两直线的位置关系，垂线的定义，点到直线的距离，全等图形的定义，熟知相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：A、平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意； B、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确，符合题意； C、直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离，原说法错误，不符合题意； D、面积相等的两个图形不一定全等，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 考点2：将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 【典例精讲】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图1，把大小为的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把的正方形网格分割成两个全等形．      【答案】见解析 【思路引导】可以利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形． 【规范解答】解：∵要求分成全等的两块， ∴每块图形要包含有8个小正方形．    【考点剖析】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，利用对称性和互补性解题． 【变式训练1】（21-22八年级上·北京西城·期中）作图题 将的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种（约定某种划分法经过旋转、轴对称得到的划分法与原划分法相同）．    【答案】见解析 【思路引导】能够完全重合的两个图形叫做全等形，可以利用图形的轴对称性和中心对称性来分割成两个全等的图形． 【规范解答】解：如图所示，（答案不唯一）    【考点剖析】本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义：形状和大小完全相同的两个图形叫全等形． 【变式训练2】（20-21七年级下·全国·课后作业）如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d三个图形中中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案． 【规范解答】由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等． 故选：． 【考点剖析】本题既考查了全等图形的知识，还考查了整体与部分的关系． 考点3：全等三角形的概念 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【规范解答】解： ， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 【变式训练1】（23-24八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上的三角形），以为一边作出格点三角形，且分别满足下列条件： (1)在下图中作出的与成轴对称； (2)在下图中作出的与全等，但不成轴对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】此题主要考查了作图--轴对称，关键是掌握几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也就是确定一些特殊的对称点． （1）利用网格图结合轴对称变换的性质进行画图即可； （2）利用全等三角形的定义进行画图即可． 【规范解答】（1）如图，即为所作； （2）如图，即为所作； 【变式训练2】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）利用无刻度的直尺画图：    (1)将图1中的长方形分割成4个全等图形； (2)将图2中的直角三角形分割成4个全等三角形； (3)在图3的斜边上找一点P，使得P到的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查全等图形的概念，网格线作图，角平分线的性质． （1）利用网格线的特点，取矩形各边中点，分别连接对边中点即可； （2）同理（1）取直角三角形各边中点，分别将连接直角边中与斜边中点连接，再连接直角顶点与斜边中点即可； （3）利用网格线的特点，取格点D，连接交于点P，由网格线的性质得到为的角平分线，即可解答． 【规范解答】（1）解：如图1所示为所求：    （2）解：如图2所示为所求：    （3）解：如图3，点P所示为所求：    考点4：全等三角形的性质 【典例精讲】（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，由全等三角形的性质可得，，即得，进而可得，又由平行线的性质得，即可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得， 故选：B． 【变式训练1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，过点作于点，连结、，且． (1)求的度数； (2)若，试判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，且，理由见解析． 【思路引导】本题考查了三角形全等的性质，三角形内角和定理，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角和定理，可以求得，再根据全等三角形对应角相等，可求得； （2）根据全等三角形对应角和对应边相等，可得到，再根据内错角相等，可判定，从而得到答案． 【规范解答】（1）解：， （2）解：，且． 理由： ， 【变式训练2】（24-25八年级上·天津南开·期中）现有一块如图所示的四边形草地，经测量，，，，，点是边的中点．甲机器人从点出发以的速度沿向点运动，同时乙机器人从点出发沿向点运动，若将甲、乙机器人各自到达的位置分别记为点和点．如果能够在某一时刻使与全等，则乙机器人的运动速度为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等三角形的应用，先求出，设运动时间为秒，则，，，然后分当 时，当 时两种情况分析即可，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵点是边的中点， ∴， 设运动时间为秒， ∴，，， 当 时， ∴，， ∴，解得：， ∴乙机器人的运动速度为； 当 时， ∴，， ∴，解得：， ∴， ∴乙机器人的运动速度为； 故选：． 基础夯实 1．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，已知，若，，则的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质得出，，根据，即可求解． 【规范解答】解：∵，，， ∴，， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）已知命题甲：全等三角形的对应角相等；命题乙：如果，那么．则下列判断正确的是（    ） A．命题甲的逆命题的题设是两个角相等 B．命题乙是假命题 C．命题甲的逆命题是真命题 D．命题乙的逆命题是假命题 【答案】B 【思路引导】本题考查了命题与逆命题，全等三角形的性质和判定，绝对值的意义，掌握命题与逆命题的关系是解题的关键． 【规范解答】命题甲：“全等三角形的对应角相等”是真命题．其逆命题为“对应角相等的三角形全等”． 逆命题的题设是“对应角相等”，而非“两个角相等”， 故选项A错误． 由于对应角相等但边不一定相等，无法保证全等（需对应边相等），故逆命题为假．选项C错误． 命题乙：例如，，时，但，故“若，则”是假命题．选项B正确． 命题乙的逆命题为：“若，则”是真命题（因时绝对值必相等），选项D错误． 故选：B． 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，将沿所在直线向左平移得到，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查的知识点是平移的性质、全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握平移的性质． 由平移性质可得，，则可排除、选项；根据全等三角形性质可证，可排除选项． 【规范解答】解：根据平移性质可得：，， 、选项说法正确，不符合题意； ， ， 即， 选项说法正确，不符合题意； 如果，则可证， 但题中未给该条件，无法证明， 选项说法错误，符合题意． 故选：． 4．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，，若，，则的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质“对应边相等”是关键． 根据全等三角形的性质得到，由即可求解． 【规范解答】解：， ∴， ∴， 故选：D ． 5．（24-25八年级下·山西晋中·期中）某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长 ． 【答案】12 【思路引导】本题考查平移性质，根据平移性质得到，进而可求解． 【规范解答】解：∵沿方向平移的距离为2， ∴，， ∵的周长为8，即， ∴ ∴四边形的周长为， 故答案为：12． 6．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查全等三角形的性质，直角三角形的性质．由全等三角形的性质推出，得到，由直角三角形的性质即可求出的度数． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，求此时的长度． 【答案】的长度为或 【思路引导】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【规范解答】解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得，， ∴； 当时， ∴， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，的长度为或． 9．（24-25八年级下·山东德州·期中）在的正方形网格中（小正方形的边长1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与或都不平行，所画三角形都不全等，请画出四种符合条件的三角形． 【答案】见详解 【思路引导】本题考查了网格作图，根据题干要求，逐个作图，即可作答． 【规范解答】解：∵要求三个顶点都在格点上，而且三边与或都不平行，所画三角形都不全等， ∴如下图所示： 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在边长为1的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点． (1)求的面积； (2)在网格内画出一个，使得与全等． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查网格中求三角形面积，利用全等三角形的性质作图． （1）直接利用三角形面积公式求解即可； （2）根据网格的特征结合全等三角形的性质即可解答． 【规范解答】（1）解：， 的面积为； （2）解：画图如图所示．（答案不唯一） 培优拔高 11．（24-25八年级下·湖北荆门·期中）下列命题：①全等三角形的对应边相等；②若两个实数相等，则它们的平方相等；③若三角形的三边长a、b、c满足，则该三角形是直角三角形．其中逆命题是真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路引导】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的性质、勾股定理的逆定理，难度不大． 利用全等三角形的性质、勾股定理的逆定理分别判断后即可确定正确的选项． 【规范解答】解：①逆命题为：对应边相等的两三角形全等，是真命题； ②逆命题：平方相等的两个实数相等，还可能互为相反数，是假命题； 为绝对值等于本身的数是正数，错误，是假命题，不符合题意； ③逆命题为：若直角三角形的三边长a、b、c，则满足，未说明哪条边是最长边，是假命题． 真命题的有1个， 故选：B． 12．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，点在上，与相交于点，，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，，得到，根据平角的定义可求，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【规范解答】解：，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 13．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点以的速度向点运动．则能够使与全等的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查的知识点是一元一次方程、全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质．设能够使与全等的时间为，则，，，分两种情况分别讨论即可得解：①；②． 【规范解答】解：，， ， 设能够使与全等的时间为， 则，，， 分两种情况考虑： ①时， ， 即， 解得， 此时， 时能够使与全等； ②， ， 即， 解得， 此时，， 即，与矛盾（舍去）； 综上，能够使与全等的时间为． 故选：． 14．（24-25七年级下·江西抚州·阶段练习）如图，在中，，直线经过点且与边相交，动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动，点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束，在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则与全等时，的值为 ． 【答案】2或或6 【思路引导】本题考查全等三角形的性质，分，且点在上、点在上运动，，且点与点重合，当，且点在上、点在上运动三种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴与全等分三种情况讨论： ①如图①，当，且点在上、点在上运动时， ． 此时， ∴， 解得； ②如图②，当，且点与点重合时， ． 此时， ∴， 解得； ③当，且点在上、点在上运动时，． 此时． 当点未到达终点时， ， 解得， 不符合题意，舍去． 当点到达终点时，继续运动，如图③， 此时点与点重合，， ∴， 解得． 综上所述，当的值为2或或6时，与全等． 故答案为：2或或6 15．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，，动点P从点A出发（不含点A），以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，Q为射线上一动点，点P的运动时间为t秒，若以点P，Q，C为顶点的三角形与全等，则t的值为 ． 【答案】或或 【思路引导】本题考查直角三角形全等的判定，关键是找到所有符合题意的情况．根据已知条件分，，两种情况，根据和列方程求出t值即可． 【规范解答】解：∵， ∵， ∴当时，，， ∴点重合，点在点右侧， 此时，， ∴， 解得：； 当时，， 当点在点左侧时， 此时，， ∴， 解得：； 当点在点右侧时， 此时，， ∴， 解得：； 综上：则t的值为或或时，与以点，，为顶点的三角形全等， 故答案为：或或． 16．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，若的面积为，的面积为2，则的面积为 ． 【答案】7 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质、与三角形中线有关的面积的计算，由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． （1）先根据全等三角形的性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得； （2）先根据平行线的性质可得，，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据求解即可得． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）已得：， ∴． 18．（2025八年级下·全国·专题练习）直线分别与轴交于两点，点A的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)在轴上方存在点，便以点为顶点的三角形与全等，画出并求出点的坐标； (3)若在线段上存在点，使点到点的距离相等，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)图见解析，点的坐标为或 (3)点P的坐标． 【思路引导】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出b值，进而得到点B坐标及的长度，从而可求出，得出点C坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）分和两种情况，分别求解即可； （3）设，则．由勾股定理得：，即，求解即可． 【规范解答】（1）解：把代入，得． ． ， ， ， 点在轴正半轴上， 设直线的解析式为． 把及代入，得， 解得 直线的解析式为：； （2）解：分和两种情况：如图 当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵在第二象限内， ∴； 当时， ∴，， ∴即轴， 又∵，在第二象限内， ∴； 综上，点的坐标为或； （3）解：依照题意画出图形，如图所示． ∵， ∴设，则． 在中，， ∴，即， 解得：x， ∴点P的坐标． 【考点剖析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质，平行线的判定，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理． 19．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可知，，结合，即可证明； （2）根据题意可知，再由全等三角形的性质可得到，最后由四边形的面积即可求得答案． 【规范解答】（1）证明：， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：，， ， ， ， 四边形的面积． 20．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图，当时，_____． (2)如图，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度． 【答案】(1) (2)或 (3)运动的速度为或或或 【思路引导】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可； （2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【规范解答】（1）解：当时，点P在线段上， ∵点P速度为， ∴． 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴． ①当点P在上时， ， ∴， ． ②当点P在上时， 过点C作于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：或 （3）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴； ②当点在上，点在上，时， ， ∴； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ ． ∴运动的速度为或或或 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 全等三角形 （知识梳理+4个考点讲练+难度分层练 共32题） 知识点1.全等三角形 1. 全等三角形的定义 一个三角形经过平移、轴对称或旋转变换后得到另一个三角形，这两个三角形可以重合. 我们把两个能完全重合的三角形叫作全等三角形. 2. 三种常见的全等类型 (1)平移型 (2)翻折型 (3)旋转型 特别解读： 对应边、对应角是两个全等三角形中对应的两条边、对应的两个角；对边、对角是同一个三角形中的边和角，“对边”是指三角形中某个角所对的边，“对角”是指三角形中某条边所对的角. 知识点2.全等三角形的性质 1. 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 几何语言：如图1.2 -4，∵△ABC≌△DEF ∴ AB＝DE，BC＝EF， AC＝DF，∠A＝∠D， ∠B＝∠E，∠C＝∠F. 2. 拓展：全等三角形的对应元素相等. 全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线、周长、面积等. 要点提醒 应用全等三角形的性质时，要先确定两个条件： 1. 两个三角形全等； 2. 找准对应元素. 考点1：图形的全等 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．若两个图形关于某条直线对称，则这两个图形全等 B．等腰三角形一边上的中线和这条边上的高重合 C．面积相等的两个图形是全等形 D．周长相等的两个三角形全等 【变式训练1】（2024八年级下·江苏·专题练习）与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）下列说法中正确的是（    ） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．面积相等的两个图形全等 考点2：将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 【典例精讲】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图1，把大小为的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把的正方形网格分割成两个全等形．      【变式训练1】（21-22八年级上·北京西城·期中）作图题 将的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种（约定某种划分法经过旋转、轴对称得到的划分法与原划分法相同）．    【变式训练2】（20-21七年级下·全国·课后作业）如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 考点3：全等三角形的概念 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上的三角形），以为一边作出格点三角形，且分别满足下列条件： (1)在下图中作出的与成轴对称； (2)在下图中作出的与全等，但不成轴对称． 【变式训练2】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）利用无刻度的直尺画图：    (1)将图1中的长方形分割成4个全等图形； (2)将图2中的直角三角形分割成4个全等三角形； (3)在图3的斜边上找一点P，使得P到的距离相等． 考点4：全等三角形的性质 【典例精讲】（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，过点作于点，连结、，且． (1)求的度数； (2)若，试判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 【变式训练2】（24-25八年级上·天津南开·期中）现有一块如图所示的四边形草地，经测量，，，，，点是边的中点．甲机器人从点出发以的速度沿向点运动，同时乙机器人从点出发沿向点运动，若将甲、乙机器人各自到达的位置分别记为点和点．如果能够在某一时刻使与全等，则乙机器人的运动速度为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 基础夯实 1．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，已知，若，，则的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）已知命题甲：全等三角形的对应角相等；命题乙：如果，那么．则下列判断正确的是（    ） A．命题甲的逆命题的题设是两个角相等 B．命题乙是假命题 C．命题甲的逆命题是真命题 D．命题乙的逆命题是假命题 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，将沿所在直线向左平移得到，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，，若，，则的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．（24-25八年级下·山西晋中·期中）某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长 ． 6．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ． 7．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为 ． 8．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，求此时的长度． 9．（24-25八年级下·山东德州·期中）在的正方形网格中（小正方形的边长1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与或都不平行，所画三角形都不全等，请画出四种符合条件的三角形． 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在边长为1的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点． (1)求的面积； (2)在网格内画出一个，使得与全等． 培优拔高 11．（24-25八年级下·湖北荆门·期中）下列命题：①全等三角形的对应边相等；②若两个实数相等，则它们的平方相等；③若三角形的三边长a、b、c满足，则该三角形是直角三角形．其中逆命题是真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，点在上，与相交于点，，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点以的速度向点运动．则能够使与全等的时间为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·江西抚州·阶段练习）如图，在中，，直线经过点且与边相交，动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动，点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束，在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则与全等时，的值为 ． 15．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，，动点P从点A出发（不含点A），以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，Q为射线上一动点，点P的运动时间为t秒，若以点P，Q，C为顶点的三角形与全等，则t的值为 ． 16．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，若的面积为，的面积为2，则的面积为 ． 17．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 18．（2025八年级下·全国·专题练习）直线分别与轴交于两点，点A的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)在轴上方存在点，便以点为顶点的三角形与全等，画出并求出点的坐标； (3)若在线段上存在点，使点到点的距离相等，求出点的坐标． 19．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 20．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图，当时，_____． (2)如图，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度． 学科网（北京）股份有限公司 $$