第2章 对称图形——圆 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（基础+中等类型）-2025-2026学年九年级数学上册（苏科版）

第2章 对称图形——圆思维导图 【类型覆盖】 类型一、点、直线与圆的位置关系 【解惑】用反证法证明“若的半径为，点到圆心的距离大于，则点在外”．首先应假设（    ） A． B．点在外 C． D．点在上或点在内 【融会贯通】 1．已知的半径为，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．不能确定 2．在同一平面内，点P到上的最大距离是11，最小距离是3，那么的半径 ． 3．在中，，，，若以为直径作⊙，则点在⊙ ．（填“内”、“外”、“上”） 类型二、垂径定理 【解惑】如图，弦垂直于的直径，垂足为H，且，则的长是（  ）． A．2 B．3 C．4 D．6 【融会贯通】 1．如图，圆弧形石拱桥的桥顶到水面的距离为 ，桥拱半径OC为 ，则水面宽AB为（    ） A． B． C． D． 2．在数学活动课上，老师让同学们测一个残缺圆形工件（如图所示）的半径，实践小组给出了解决方案：在工件圆弧上任取两点，连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，交于点，交弦于点，经测量，，则圆形工件的半径为 ． 3．你玩过荡秋千游戏吧？图（a）是秋千的侧视图，当秋千静止时，下端离地面的距离为． (1)如图（a），当秋千两边摆动时，两边摆动的角度相等（即），当秋千分别荡到两边的最高点，位置时，若交于点，，且，请你计算秋千的长度． (2)如图（b），在（1）的条件下，设计一个侧视图为的挡光板，用于遮挡阳光，点，，都在上，已知，，如果把挡光板沿方向向右平移，但为安全起见，要求与秋千运动弧线最近点的距离不小于，问挡光板应最多向右平移多少米？（不考虑人体和坐板的大小，结果精确到） 类型三、弧、弦、圆心角关系 【解惑】如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 【融会贯通】 1．如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接．若的半径为，且，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知锐角如图，①在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；②分别以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③连接．根据以上作图过程及所作图形，若，则的度数为 °． 3．如图，的直径垂直弦于点 E，F是圆上一点，D是的中点，连接 交 于点 G， 连接 ． (1)求证：； (2)若，，求的长． 类型四、圆周角定理 【解惑】如图，的内接四边形中，于点B，，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，半径为2的的弦，且于点E，连接，则的长为（    ） A． B．2 C． D．1 2．如图，的半径为8，直角三角板角的顶点落在，两边与分别交于，两点，则弦的长为 ． 3．如图，在中，为直径，与为弦，于点E，于点F，与相交于点G． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 类型五、正多边形与圆 【解惑】平遥推光漆器是山西著名的工艺品，以手掌推出光泽而得名．如图①是平遥推光漆器的一个饰品盒盖，图②是其几何示意图(阴影部分为花朵图案)．已知正六边形的边长为2，分别以正六边形每个顶点为圆心，其边长为半径画弧，构成花朵图案，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设的半径为1，若用如图所示的的内接正十二边形的面积来近似估计的面积，则产生的正误差为（   ） A． B． C． D． 2．如图，正五边形的顶点在上，是优弧上的一点（不与点重合），连接，则的度数为 ．    3．今年假期，你有没有和父母或者小伙伴一起走进影院去看一下国漫电影《哪吒2》呀？影片中，玉虚宫的镇宫之宝“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八边形”的宫殿，你想知道这座建筑有多大吗？ 问题一：要求出“正八边形”的面积，我们可以把一个“正八边形”均分成八个顶角为______度的等腰三角形； 问题二：中，，，，求的面积和的值分别是多少？（可以作的中垂线交于D，交于E，则为等腰三角形，） 问题三：若“正八边形”的边长为，求：正八边形的面积． 类型六、圆的计算(弧、面积) 【解惑】如图，为直径，为下半圆上一点，的平分线交于，，是的内心．当点从点运动到点时，走过的路径长为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如果一个扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积为（　    　）． A．π B． C． D． 2．若圆锥的底面圆半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 ．（取） 3．综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． (1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长______；（填“相等”或“不相等”）若，则______． (2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形，请用含r，l的式子表示． (3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草㡌，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 类型七、三角形的外接圆与内切圆 【解惑】如图，锐角内接于，其中，M为锐角的内心，连并延长与相交于点D，若，则锐角的内切圆半径为（    ）（参考数据：，，结果保留2位小数） A．0.65 B．0.66 C．0.67 D．0.68 【融会贯通】 1．如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 3．如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 类型八、求不规则图形的面积 【解惑】如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在菱形中，，点E为的中点，以E为圆心，长为半径画弧交 于点 F，交于点G，若 则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 3．如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 类型九、圆的切线证明 【解惑】如图，在中，，，点D在BC边上，⨀D经过点A和点B且与BC边相交于点E． (1)求证：AC是⨀D的切线； (2)若，求⨀D的半径． 【融会贯通】 1．如图，以菱形的边为直径作交于点E，连接，F是上的一点，且，连接． (1)求证：是的切线． (2)当，时，求的半径． 2．如图，是的直径，是的弦，连接，，点E在的延长线上，作直线，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 3．如图，是的外接圆的直径，D是线段上（不与点A重合），连接，是由沿翻折得到，交于点F，连接． (1)如图1，若，求证：是的切线； (2)若，， ①如图2，当时，求的值； ②如图3，当点D与点O重合时，连接，求的长． 类型十、尺规作图 【解惑】科学家阿基米德曾说：“假如给我一个支点，我可以撬起整个地球！”这运用的是杠杆原理．如图1，表示地球，点是支点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出撬起地球的杠杆（直线），使其经过点，且与相切于点．（标明字母，保留作图痕迹，不写作法） (2)如图2，连接交于点，延长交于点，为下方的上一点，且，在图1的条件下，若为的中点，求的度数． 【融会贯通】 1．规定：将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆，图1是锐角三角形和钝角三角形的最小覆盖圆． 如图2，要在四个村庄，，，修建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），请用尺规在图上作出中转站所建位置，请简要说明理由． 2．如图，已知在中，．    (1)请按下列要求完成尺规作图；（不写作法，保留作图痕迹） ①作的平分线，交于点； ②作线段的垂直平分线与相交于点，与相交于点； ③以点为圆心，以长为半径画出圆； (2)在（1）的条件下，求证：是的切线． 3．数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【探究一】线段的最小覆盖圆 线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆． 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（）． ， ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为 ． 【探究二】直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在中，．是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由． 又由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆． 【拓展应用】矩形的最小覆盖圆 如图③，在矩形中，，． （1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点） （2）该矩形的最小覆盖圆的直径为 ； （3）若用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为 ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 对称图形——圆思维导图 【类型覆盖】 类型一、点、直线与圆的位置关系 【解惑】用反证法证明“若的半径为，点到圆心的距离大于，则点在外”．首先应假设（    ） A． B．点在外 C． D．点在上或点在内 【答案】D 【分析】此题主要考查了反证法，否定命题判断的相反判断，从而肯定原来判断的正确性，这种证明法称为反证法． 用反证法证明，即是假设命题的结论不成立，以命题的否定方面作为条件进行推理，得出和已知条件、公理、定义和定理等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定命题的结论成立． 【详解】原命题结论为“点在外”，其否定应为“点不在外”． 根据圆的基本性质，点与圆的位置关系仅有三种：当时在圆外，时在圆上，时在圆内． 因此，“点不在圆外”等价于“点在圆上或圆内”． 选项中对应此否定的为选项D，故首先应假设D成立． 故选：D． 【融会贯通】 1．已知的半径为，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系． 若的半径为，一点和圆心的距离为，当时，点在上；当时，点在内；当时，点在外．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， ∴点A在外 故选：A 2．在同一平面内，点P到上的最大距离是11，最小距离是3，那么的半径 ． 【答案】4或7 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据题意，分①点P在内；②点P在外两种情况分别求解即可． 【详解】解：①当点P在内，如图1： ，， ， 的半径； ②当点P在外，如图2： ，， ， 的半径； 综上所述，的半径或7． 故答案为：4或7． 3．在中，，，，若以为直径作⊙，则点在⊙ ．（填“内”、“外”、“上”） 【答案】上 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，直角三角形的性质等知识，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，最后根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵为⊙的直径， ∴点O为的中点，半径为， ∴， ∴点C在⊙上， 故答案为：上． 类型二、垂径定理 【解惑】如图，弦垂直于的直径，垂足为H，且，则的长是（  ）． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查的是垂径定理的应用、勾股定理等知识点，掌握垂直于弦的直径平分这条弦且平分弦是解题的关键． 如图：连接，根据圆的性质、垂径定理求出，再根据勾股定理以及线段的和差求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵是的直径，， ∴，， 在中，， ∴． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，圆弧形石拱桥的桥顶到水面的距离为 ，桥拱半径OC为 ，则水面宽AB为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理． 连接，根据题意，得出，，再根据勾股定理，得出的长，再根据垂径定理，即可得出的长． 【详解】解：连接， ∵桥拱半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．在数学活动课上，老师让同学们测一个残缺圆形工件（如图所示）的半径，实践小组给出了解决方案：在工件圆弧上任取两点，连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，交于点，交弦于点，经测量，，则圆形工件的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理等知识，在上取一点作为圆心，连接，如图所示，根据题意表示出相关线段长度，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案．熟记垂径定理构造直角三角形，勾股定理求线段长的组合是解决问题的关键． 【详解】解：在上取一点作为圆心，连接，如图所示： ， ， 设， ， ， 在中，，，，，则由勾股定理可得， 解得， 故答案为：． 3．你玩过荡秋千游戏吧？图（a）是秋千的侧视图，当秋千静止时，下端离地面的距离为． (1)如图（a），当秋千两边摆动时，两边摆动的角度相等（即），当秋千分别荡到两边的最高点，位置时，若交于点，，且，请你计算秋千的长度． (2)如图（b），在（1）的条件下，设计一个侧视图为的挡光板，用于遮挡阳光，点，，都在上，已知，，如果把挡光板沿方向向右平移，但为安全起见，要求与秋千运动弧线最近点的距离不小于，问挡光板应最多向右平移多少米？（不考虑人体和坐板的大小，结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理的应用，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，平移的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）秋千侧视图可看成以点为圆心的一段圆弧，设该圆弧所在圆的半径为，得出垂直平分．在中，勾股定理建立方程，求得，即可求解； （2）连接，设挡光板沿方向平移后最多应到如图的位置，作且与切相切于点，挡光则板与秋千运动弧线的最近点为点．射线与，分别相交于点，，则．证明得出，进而求得从而应向右平移的最大值为，即可求解． 【详解】（1）如图，秋千侧视图可看成以点为圆心的一段圆弧， 设该圆弧所在圆的半径为， 依题意，得，在中， ， 垂直平分． ． 在中，， 即， 解得或（负值舍去）． 即秋千的长度为． （2）设挡光板沿方向平移后最多应到如图的位置，作且与切相切于点，挡光则板与秋千运动弧线的最近点为点． 射线与，分别相交于点，，则． 又， 与均为等腰直角三角形． ，． 当时，， 连接，又，， 又，， ． ． 而， ． 从而应向右平移的最大值． 应将挡光板沿方向向右最多平移约． 类型三、弧、弦、圆心角关系 【解惑】如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】通过连接，利用垂径定理、平行线性质和等腰三角形性质，推导出与的关系来求解． 【详解】解：连接， ， ∴， ．， ， ． 又， ． ∴是等边三角形， ∴ ，是等边三角形， ． 故选： ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、平行线的性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握垂径定理和利用角度、边的关系推导线段间的数量关系是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接．若的半径为，且，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键，连接，先证明，进而得，从而即可得解． 【详解】解：连接， ∵是的直径，于点， ∴，． ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， 故选：B 2．已知锐角如图，①在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；②分别以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③连接．根据以上作图过程及所作图形，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图以及圆的基本性质，解题的关键是根据等弧或等弦所对的圆心角相等得到是等边三角形．连接，根据作图，结合已知可得是等边三角形，进而根据作图可得，即可得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，由作图可知：， 又 是等边三角形， ， 由作图可知：， ， 故答案为：． 3．如图，的直径垂直弦于点 E，F是圆上一点，D是的中点，连接 交 于点 G， 连接 ． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）连接，求出直径的长，即得半径，求出，由（1）知，再求出，利用勾股定理求出，根据垂径定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵直径， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形全等的判定与性质，垂径定理，勾股定理．熟练掌握圆的基本性质、三角形全等的判定定理是解题的关键． 类型四、圆周角定理 【解惑】如图，的内接四边形中，于点B，，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形，关键是判定是等腰直角三角形，由圆周角定理得到； 连接，判定是等腰直角三角形，得到，由圆周角定理推出 【详解】解：连接， 于点B， ， 是等腰直角三角形， ， 故选： 【融会贯通】 1．如图，半径为2的的弦，且于点E，连接，则的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，连接，根据，可得，所以，由，可得，所以，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： A． 2．如图，的半径为8，直角三角板角的顶点落在，两边与分别交于，两点，则弦的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了圆周角定理，连接，，根据圆周角定理得出，继而得出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：8． 3．如图，在中，为直径，与为弦，于点E，于点F，与相交于点G． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关图形的判定和性质． （1）先求出，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出答案即可； （2）连接，根据，得出，根据垂径定理得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 于点F， ， ， 与都是弧所对的圆周角， ． （2）解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ． 类型五、正多边形与圆 【解惑】平遥推光漆器是山西著名的工艺品，以手掌推出光泽而得名．如图①是平遥推光漆器的一个饰品盒盖，图②是其几何示意图(阴影部分为花朵图案)．已知正六边形的边长为2，分别以正六边形每个顶点为圆心，其边长为半径画弧，构成花朵图案，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，设正六边形的中心为O，连接，过点O作于H，可证明是等边三角形，得到，则，根据计算求解即可． 【详解】解；如图所示，设正六边形的中心为O，连接，过点O作于H， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴点O在以B为圆心，的长为半径的圆上， ∴， 故选：B．    【融会贯通】 1．我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设的半径为1，若用如图所示的的内接正十二边形的面积来近似估计的面积，则产生的正误差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了正多边形与圆，含角直角三角形的性质等知识．根据正多边形的性质和含角直角三角形的性质求出的内接正十二边形的面积为，即可求出答案． 【详解】解：如图，在中，，作于点， ∴， ∴， ∴的内接正十二边形的面积， ∴产生的正误差为， 故选：D 2．如图，正五边形的顶点在上，是优弧上的一点（不与点重合），连接，则的度数为 ．    【答案】/54度 【分析】本题考查正多边形与圆、圆周角定理等知识点，理解圆周角定理是解题的关键． 先根据正多边形内角和定理求得再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵是优弧上的一点（不与点重合）， ∴． 故答案为：． 3．今年假期，你有没有和父母或者小伙伴一起走进影院去看一下国漫电影《哪吒2》呀？影片中，玉虚宫的镇宫之宝“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八边形”的宫殿，你想知道这座建筑有多大吗？ 问题一：要求出“正八边形”的面积，我们可以把一个“正八边形”均分成八个顶角为______度的等腰三角形； 问题二：中，，，，求的面积和的值分别是多少？（可以作的中垂线交于D，交于E，则为等腰三角形，） 问题三：若“正八边形”的边长为，求：正八边形的面积． 【答案】问题一：45；问题二：，；问题三：． 【分析】本题考查正多边形的有关运算，含的直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握含的直角三角形性质和利用正方形的面积解决正八边形的面积是解决本题的关键． 问题一：根据正八边形分成的八个等腰三角形的顶角组成，可得等腰三角形每个顶角的度数； 问题二：根据及的长可得和的长度，进而可得的长度，的面积，，把相关数值代入计算即可； 问题三：延长正八边形的四条边相交成正方形，则补充的四个小三角形为等腰直角三角形，求得正方形的边长后，正八边形的面积正方形的面积4个等腰直角三角形的面积，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：问题一：八个等腰三角形的顶角组成， 每个顶角的度数为：， 故答案为：45； 问题二：作的中垂线交于D，交于E， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 问题三：如图，延长正八边形的四条边相交成正方形，则补充的四个小三角形为全等的等腰直角三角形， 正八边形的边长为， ∴， ， 正方形的边长为， 正八边形的面积． 类型六、圆的计算(弧、面积) 【解惑】如图，为直径，为下半圆上一点，的平分线交于，，是的内心．当点从点运动到点时，走过的路径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形内切圆的定义，三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，所以的内心是和的角平分线的交点，根据三角形外角的性质可知，从而可知点在以点为圆心且半径长为的上运动，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如下图所示，连接， 为的直径， ， 的平分线交于， ， ， 是的内心， 平分， ， ，， ， ， 点在以点为圆心且半径长为的上运动，该弧所对的圆心角为， ， 走过的路径长为， 故选：B． 【融会贯通】 1．如果一个扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积为（　    　）． A．π B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积，掌握扇形面积公式是解题关键．根据扇形面积公式，圆心角为度，半径为的扇形面积为计算即可． 【详解】解：如果一个扇形的圆心角为，半径为， 则这个扇形的面积为， 故选：D． 2．若圆锥的底面圆半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 ．（取） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：， 所以该圆锥的侧面积为． 故答案为：． 3．综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． (1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长______；（填“相等”或“不相等”）若，则______． (2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形，请用含r，l的式子表示． (3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草㡌，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 【答案】(1)相等，6 (2) (3)不够长；理由见解析 【分析】（1）根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由，则解答即可． （2）根据题意，得圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论，得到等式，变形表示即可． （3）根据（2）得，得到，计算最短，继而得到，比较解答即可． 【详解】（1）解：根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由，则， 解得， 故答案为：相等，6． （2）解：根据题意，得圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论，得， 解得． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴够长． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开，弧长公式，扇形与底面圆的关系，勾股定理，熟练掌握展开图的意义是解题的关键． 类型七、三角形的外接圆与内切圆 【解惑】如图，锐角内接于，其中，M为锐角的内心，连并延长与相交于点D，若，则锐角的内切圆半径为（    ）（参考数据：，，结果保留2位小数） A．0.65 B．0.66 C．0.67 D．0.68 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内切圆与外接圆的综合，涉及垂径定理，切线的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识点，连接，，，，连接交于，过作于，设锐角的内切圆半径为，由内切圆可得点到三边距离为，，，是的角平分线，先证明，得到，再在中，由，得到，在和中求出，，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，连接，，，，连接交于，过作于，设锐角的内切圆半径为， ∵M为锐角的内心， ∴点到三边距离为，，，是的角平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴中，，， 中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】如图，连接， ∵点是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 【答案】65 【分析】本题考查三角形内切圆与外接圆的综合，涉及三角形的内心的性质、圆周角定理、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．由I是的内心，得到，，根据三角形内角和定理得到，又根据圆周角定理，可知，最后由三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：∵I是的内心， ∴分别平分， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：65． 3．如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得，再根据平分得，进而可求出，则，由此得平分，然后根据三角形内心的定义可得出结论； 连接，，，，，依题意得，，在同一条直线上，且，，，由此得，则，在中由勾股定理可求出，则；根据三角形内心性质得，再根据可求出，由此可得的内心与外心的距离． 【详解】（1）证明：中，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， 点是的内心； （2）解：连接，，，，，如图所示： 是等腰三角形，点是内心，点是外心 ，，在同一条直线上，且，， ， 在中，，， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， 点为的内心，，，为切点， ， ， ， ， 解得：， ， ， 外接圆的半径；的内心与外心的距离． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的内心和外心的定义及性质是解决问题的关键． 类型八、求不规则图形的面积 【解惑】如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【融会贯通】 1．如图，在菱形中，，点E为的中点，以E为圆心，长为半径画弧交 于点 F，交于点G，若 则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，交于H，由“直径所对的圆周角等于”可得，即 F点是、的交点．由菱形的性质可得，， ，．再证，则可得，进而可得，则可得，求得，则可得，由即可得解． 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形以及扇形的面积．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交于H． ∵ 是的直径， ， ∴F点是、的交点， ∵菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B 2．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键． 3．如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，扇形的面积． （1）连接，，交于，由切线得到，再由结合垂径定理得到，即，则； （2）连结、，由垂直平分，得到，则为等边三角形．，推出，得到，，最后根据计算即可． 【详解】（1）证明：连接，，交于， ∵的切线， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连结、， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴为等边三角形． ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 类型九、圆的切线证明 【解惑】如图，在中，，，点D在BC边上，⨀D经过点A和点B且与BC边相交于点E． (1)求证：AC是⨀D的切线； (2)若，求⨀D的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆的半径的性质，切线的判定定理以及等边三角形的判定和性质．通过连接圆心与圆上一点构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出相关角度；利用等边三角形的性质，由角相等可得边相等． （1）由可得为等腰三角形，再由圆的半径相等可得为等腰三角形，即，由可求解的度数，由切线定理即可证明． （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和可求解，即得为等边三角形，再由边相等即可求解圆的半径． 【详解】（1）证明：连接， 因为在中，， 所以为等腰三角形， 又， 所以， 又因为在中，， 所以为等腰三角形， 所以， 又， 所以， 即， 所以是的切线． （2）解：连接， 由（1）知， 所以， 又因为在中，， 所以为等边三角形， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以为等腰三角形， 所以， ， 所以的半径为． 【融会贯通】 1．如图，以菱形的边为直径作交于点E，连接，F是上的一点，且，连接． (1)求证：是的切线． (2)当，时，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接，由是的直径，得，由菱形的性质得，，，而，即可证明，得，再证明，得，则，即可证明是的切线； （2）由，证明是等边三角形，因为，所以，则，求得，则的半径长为2． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径长为2． 【点睛】本题重点考查菱形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、切线的判定定理、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 2．如图，是的直径，是的弦，连接，，点E在的延长线上，作直线，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定与性质，直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得到，易证是等边三角形，推出，结合，即可得到，即可得出结论； （2）根据直角三角形的性质可求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ． ， 是等边三角形， ． ， ，即， 是的切线． （2）解：，， ， ， ， ． 3．如图，是的外接圆的直径，D是线段上（不与点A重合），连接，是由沿翻折得到，交于点F，连接． (1)如图1，若，求证：是的切线； (2)若，， ①如图2，当时，求的值； ②如图3，当点D与点O重合时，连接，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)①；②． 【分析】（1）由等边对等角得到，由折叠得到，进而得到，即可求证； （2）①如图，过点作于点，设，，根据勾股定理得，根据，得，根据折叠的性质得，，，推出，求出，再根据，可求得，即可得出结论； ②如图，过点作于点，连接交于点，根据题意得，根据折叠的性质得，，推出垂直平分，，，由推出，则，最后根据三角形中位线定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是由沿翻折得到， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）①如图，过点C作于点G，设，， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是由沿翻折得到，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴； ②如图，过点C作于点G，连接交于点H， 由①知：，， ∵是由沿翻折得到， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】本题考查直径所对的圆周角是直角，切线的判定，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，等积变换等知识点．掌握直径所对的圆周角是直角，切线的性质，折叠的性质是解题的关键． 类型十、尺规作图 【解惑】科学家阿基米德曾说：“假如给我一个支点，我可以撬起整个地球！”这运用的是杠杆原理．如图1，表示地球，点是支点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出撬起地球的杠杆（直线），使其经过点，且与相切于点．（标明字母，保留作图痕迹，不写作法） (2)如图2，连接交于点，延长交于点，为下方的上一点，且，在图1的条件下，若为的中点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)15° 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的性质与判定，作垂线，掌握以上知识是解题的关键； （1）连接，以的中点为圆心为半径作弧，交于点，作直线，即可求解． （2）根据垂径定理的推论可得，根据切线的性质可得，则得出，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图（1），直线即为所求作的直线； （2）解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．规定：将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆，图1是锐角三角形和钝角三角形的最小覆盖圆． 如图2，要在四个村庄，，，修建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），请用尺规在图上作出中转站所建位置，请简要说明理由． 【答案】作图见解析 【分析】分别作线段、的垂直平分线，两垂直平分线交于点即可． 【详解】解：如图，分别作线段、的垂直平分线，两垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径作，则为的外接圆， 此中转站应建在的外接圆圆心处． 理由：由图（1）知：若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆； 若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆， ∵，， ∴是锐角三角形， ∴其最小覆盖圆为的外接圆，设为， 设直线与交于点，，连接， ∵， ∴， ∴点在内，从而也是四边形的最小覆盖圆， ∴中转站建在的外接圆圆心处，符合题中要求． 【点睛】本题考查三角形外接圆的性质，解题的关键要懂得何为最小覆盖圆．知道若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆是解题的关键． 2．如图，已知在中，．    (1)请按下列要求完成尺规作图；（不写作法，保留作图痕迹） ①作的平分线，交于点； ②作线段的垂直平分线与相交于点，与相交于点； ③以点为圆心，以长为半径画出圆； (2)在（1）的条件下，求证：是的切线． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，垂线，作圆，切线的判定，熟练掌握切线的判定方法，是解题的关键： （1）根据要求，作图即可； （2）角平分线得到，中垂线的性质，进而推出，得到，得到，即可得证． 【详解】（1）解：由题意，作图如下：    （2）证明：∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线． 3．数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【探究一】线段的最小覆盖圆 线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆． 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（）． ， ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为 ． 【探究二】直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在中，．是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由． 又由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆． 【拓展应用】矩形的最小覆盖圆 如图③，在矩形中，，． （1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点） （2）该矩形的最小覆盖圆的直径为 ； （3）若用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为 ． 【答案】探究一：三角形的任意两边之和大于第三边；探究二：在上；证明见解析；拓展应用：（1）作图见解析；（2）；（3）； 【分析】探究一：根据三角形的三边关系可得答案； 探究二：利用直角三角形斜边上的中线的性质证明即可得到答案； 拓展应用：（1）连接，交于点，以为圆心，为半径作圆即可； （2）结合矩形性质与勾股定理计算即可； （3）作的垂直平分线，交于，交于，可得四边形，是两个全等的矩形，，用两个等圆完全覆盖矩形，可得两圆一定过，再进一步解答即可. 【详解】解：探究一： 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（三角形的任意两边之和大于第三边）． ， ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为三角形的任意两边之和大于第三边． 故答案为：三角形的任意两边之和大于第三边； 探究二：∵，为的中点， ∴， ∴在上； 拓展应用：（1）如图，即为矩形的最小覆盖圆； （2）∵矩形，，， ∴，； （3）作的垂直平分线，交于，交于， ∴四边形，是两个全等的矩形， ∴， ∵用两个等圆完全覆盖矩形， ∴两圆一定过， 连接，交点分别为， 同理可得：这样的两个等圆的最小直径为或或或， ∴最小直径为， 如图，作的垂直平分线交于， 同法作，，此时不是直径最小的等圆； 综上：用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为. 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，点与圆的位置关系，多边形的外接圆的含义，矩形的判定与性质，熟练的作图是解本题的关键. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$