第2章 一元二次方程-2026-2027学年苏科版九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

**基本信息** 系统整合一元二次方程概念、解法、根与系数关系及应用，构建“概念-方法-应用”三层逻辑体系，突出解法对比与模型迁移，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|----|----|----| |概念基础|定义/一般形式/根判定|三要素判定法/系数符号规则|从整式方程定义生成一元二次方程特征，建立一般形式与根的关联| |解法体系|四种方法及对比|直接开平方法（特殊形式）、因式分解法（首选）、公式法（通用）、配方法（推导与最值）|解法从特殊到一般，通过配方法推导求根公式，体现转化思想| |根与系数关系|韦达定理应用|两根和差/积变形、参数求解、方程构造|基于求根公式推导关系，结合判别式形成完整根的性质判定体系| |应用实践|增长率/面积/利润等|审设列解检答六步法、等量关系建模|将实际问题抽象为方程模型，培养模型意识与应用能力|

第2章 一元二次方程 思维导图 2.1 一元二次方程 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 判定一元二次方程需要满足三个条件： 1. 是整式方程，分母中不含未知数，根号内不含未知数； 2. 只含有一个未知数； 3. 未知数的最高次数是2，三个条件缺一不可。 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是：ax2 + bx + c = 0（，a、b、c是常数）。 其中： · 是二次项，a是二次项系数； · bx是一次项，b是一次项系数； · c是常数项。 注意：是一般形式的必要条件，如果，方程就变成了一元一次方程，因此讨论一元二次方程时，默认二次项系数a不为0。 一元二次方程的根 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 一元二次方程最多有2个实数根，也可能有1个（两个相等的实数根）或者0个实数根。 2.2 一元二次方程的解法 直接开平方法 如果一元二次方程可以变形为(x + m)2 = n（）的形式，那么就可以通过直接开平方得到，进而解得。 适用情况： 1. 形如（）的方程，解为； 2. 形如(mx + n)2 = p（）的方程，解为，整理后得到两个根。 如果p < 0，方程没有实数根。 配方法 配方法是通过配方将一元二次方程转化为完全平方式，再用直接开平方法求解的方法，步骤如下： 1. 化二次项系数为1：方程两边同时除以二次项系数a，得到； 2. 移项：把常数项移到方程的右边，得到； 3. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式：，即； 4. 开方求解：如果右边的结果是非负数，就可以直接开平方求解；如果右边是负数，则方程没有实数根。 配方法是推导求根公式的基础，也常用于代数式的最值求解或者变形。 公式法 公式法是利用一元二次方程的求根公式直接求解的方法，对于一般形式（），通过配方法可以推导得到求根公式： 使用公式法解一元二次方程的步骤： 1. 把方程整理为一般形式，确定a、b、c的值（注意符号）； 2. 计算判别式，判断根的情况： · 当时，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式计算得到两个根； · 当时，方程有两个相等的实数根，； · 当时，方程没有实数根。 因式分解法 如果一元二次方程的左边可以分解为两个一次因式的乘积，右边是0，那么可以令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程就可以得到原方程的根，这种方法叫做因式分解法。 理论依据：如果两个数的乘积为0，那么至少其中一个数为0，即，则或。 常见的因式分解方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法。 用因式分解法解方程的步骤： 1. 将方程整理为右边是0的形式； 2. 将左边分解为两个一次因式的乘积； 3. 令每个因式为0，得到两个一元一次方程； 4. 解一元一次方程，得到原方程的根。 四种解法对比：直接开平方法最简单，适合特殊形式的方程；因式分解法次之，是解一元二次方程的首选方法；公式法适合所有一元二次方程；配方法较少直接用于解方程，多用于推导公式或者解决最值问题。 2.3 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 对于一元二次方程（，），如果方程的两个根是和，那么根与系数满足关系： 这个关系就是一元二次方程根与系数的关系，也叫做韦达定理。 常见结论与应用 1. 对于二次项系数为1的方程，根与系数关系简化为，； 2. 利用韦达定理可以求代数式的值，常见变形： · · · · 3. 已知方程的一个根，求另一个根以及方程中的参数：利用两根和或者两根积的关系直接计算； 4. 已知两根，求作一元二次方程：以为根的一元二次方程（二次项系数为1）是； 5. 判定根的性质，结合判别式可以判断两根的符号： · 若，说明两根同号，此时若，两根都是正数；若，两根都是负数； · 若，说明两根异号，此时若，正根的绝对值更大；若，负根的绝对值更大。 注意：韦达定理使用的前提是方程是一元二次方程（即），且方程有实数根（即），解题时不要漏掉这个隐含条件。 2.4 用一元二次方程解决问题 列一元二次方程解应用题的一般步骤 1. 审：读懂题意，明确已知量和未知量，找出等量关系； 2. 设：设未知数，可以直接设未知数（问什么设什么），也可以间接设未知数； 3. 列：根据等量关系列出一元二次方程； 4. 解：解这个一元二次方程，求出未知数的值； 5. 检：检验解出的值是否满足方程，还要检验是否符合实际问题的意义； 6. 答：写出答案，回答题目所问的问题。 常见应用题类型及等量关系 1. 增长率（降低率）问题 · 增长率问题：设基数为a，平均增长率为x，增长n次后的量为b，则有等量关系：，常见（增长两次）。 · 降低率问题：设基数为a，平均降低率为x，降低n次后的量为b，则等量关系：。 2. 利润问题 总利润 = 单件利润 × 销售量； 总利润 = 总售价 - 总成本； 单件利润 = 售价 - 成本。 通常情况下，销售量会随着售价的变化而变化，根据变化关系表示出销售量和单件利润，再结合总利润列出方程。 3. 面积问题 根据图形的面积公式，结合图形的边长关系列出方程，常见题型： · 矩形中修道路（横竖道路），剩余部分面积为一定值，设道路宽度为x，把剩余部分拼接成新的矩形，新矩形的长和宽分别比原矩形少x（横、竖各一条的情况），再根据面积列方程； · 围栏围矩形（一面靠墙，用围栏围另外三边），已知围栏总长度和矩形面积，设垂直于墙的边长为x，表示出平行于墙的边长，再根据面积公式列方程； · 正方形、矩形截去小正方形折无盖盒子，根据盒子的底面积或者体积列方程。 4. 动点问题 设运动时间为t，用含t的代数式表示出动点位置对应的线段长度，再结合面积、勾股定理等关系列出一元二次方程求解，注意根据动点的运动范围确定t的取值范围，舍去不符合实际的解。 5. 传播问题 第一轮感染后总人数为，第二轮每个人感染x人，第二轮感染后总人数为(1 + x)(1 + x)=(1 + x)2，以此类推，n轮后总人数为(1 + x)n，结合总感染人数列方程。类似的还有分支问题、握手问题、单循环比赛问题：若有n个队参加单循环比赛，总比赛场次为，给定总场次后即可列方程求解。 注意事项 列方程解应用题时，得到的解必须检验是否符合实际意义，比如长度不能为负，增长率不能大于1（降低率也不能大于1，否则会出现负数结果），人数为正整数等，不符合实际的解要舍去。 【类型一】一元二次方程的定义 1．下列各方程一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程必须满足四个条件：整式方程；只含一个未知数；未知数最高次数为2；二次项系数不为0，逐一判断选项即可 【详解】解：一元二次方程必须是整式方程，选项A中是分式，该方程是分式方程， A不符合要求； 选项B中未规定，当时方程不是一元二次方程， B不符合要求； 对选项C，，可得，即二次项系数一定不为0，方程是只含一个未知数的整式方程，且最高次数为2，一定是一元二次方程， C符合要求； 整理选项D的方程得，当时二次项系数为0，方程不是一元二次方程， D不符合要求 2．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵原方程是一元二次方程，其二次项系数为， ∴， 解得． 3．若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程 ∴ 由得：或 解得或 由，∴ ∴． 【类型二】一元二次方程的一般形式 1．方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】由一元二次方程的一般形式为（），其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，将原方程整理为一般形式即可得到对应系数． 【详解】解：∵原方程为， ∴整理为一般形式得， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 2．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的一般形式（，，，为常数），先展开多项式乘法，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 整理得， 移项合并同类项得． 3．一元二次方程化成一般形式为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题关键．先计算完全平方公式、去括号，再移项、合并同类项，整理成一元二次方程的一般式即可得． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【类型三】列一元二次方程 1．四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题思路是分析球队比赛的场次关系，结合每两队赛两场的条件推导方程． 【详解】解：∵共有支球队，每支球队需要和除自身外的支球队比赛， 又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数 ∴总比赛场数为，已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 2．足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据单循环赛制的比赛场次规律，设出球队数量，列方程求解，舍去不合题意的负根即可求出答案． 【详解】单循环赛制中每两支球队之间只进行一场比赛，总比赛场数为28场， 设参加比赛的球队数量是，列方程 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 ，． 球队数量为正整数， （舍去）， ． 参加比赛的球队数量是8． 3．据统计延边州2023年国内游客数量为2646万人次，2025年国内游客数量7813万人次．设这两年延边州国内游客数量的平均增长率为，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【分析】根据平均增长率的增长规律，结合已知两年的游客数量，列出对应方程即可． 【详解】解：设这两年延边州国内游客数量的平均增长率为， 由于2023年国内游客数量为万人次， 则2024年国内游客数量为万人次， 2025年国内游客数量为万人次， 因此，可列方程为：． 【类型四】一元二次方程根的判别式 1．一元二次方程 的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式与0的大小关系判断根的情况，规则为时方程有两个不相等的实数根，时方程有两个相等的实数根，时方程无实数根． 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数，一次项系数，常数项， ， 方程有两个不相等的实数根． 2．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___． 【答案】 【分析】根据方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 方程中，，， 代入得， 解得． 3．已知关于的一元二次方程． (1)当为何值时，方程有两个实数根？ (2)若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1) 且 (2) ，另一个根为 【分析】（1）根据一元二次方程定义可得二次项系数不为0，结合方程有两个实数根对应判别式大于等于0即可求解； （2）先将已知根代入方程求出k的值，再解一元二次方程得到另一个根． 【详解】（1）解： ∵是关于x的一元二次方程，且方程有两个实数根 ， ∴ 解得， 解得， 因此当且时，方程有两个实数根． （2） ∵方程的一个根是 ， ∴将代入原方程得 ， 化简得， 解得 ， 将代入原方程得 ， 因式分解得 ， 解得，， 因此，方程的另一个根为． 【类型五】一元二次方程的解法一直接开平方法 1．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解，即可． 【详解】解：， 化简得， 两边直接开平方，得， 解得． 故选：D． 2．方程 的解是______． 【答案】， 【分析】利用直接开平方法求解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ∴或， 解得． 3．用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接开平方解一元二次方程； （2）直接开平方解一元二次方程． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴． 【类型六】一元二次方程的解法一配方法 1．把一元二次方程配方转化成的形式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式，对比选项即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为 ， 移项得 ， 配方得， 整理得 ， ∴． 2．若关于的方程可以配方成，那么______． 【答案】1 【分析】先将方程配方得，再结合题意求出的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解： ， 又∵关于的方程可以配方成， ∴，， ∴， ∴． 3．解方程：． 【答案】， 【分析】可考虑使用配方法、公式法或因式分解法求解．若选择配方法，把常数项移项到等号右边，再配方，开平方求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴ 则， ，． 【类型七】一元二次方程的解法一公式法 1．一元二次方程的实数根是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】先将原一元二次方程整理为一般形式，再利用一元二次方程求根公式求解即可． 【详解】解：， ， 判别式 ， ∴代入求根公式得 ∴，即选项D符合题意． 2．对于任意实数a，b，定义．若，则a的值为____． 【答案】 【分析】根据定义的运算规则，将 代入公式，得到关于 的方程，然后解该一元二次方程． 本题考查了新定义计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由定义，， 所以 ． 给定 ， 因此 ， 即 ． 解得． 故答案为：． 3．用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据方程特征选择合适方法求解，整理一般的形式，可以因式分解就用因式分解法求解，无法直接因式分解，就选用求根公式法求解即可． 【详解】（1）解： 代入求根公式得 ∴， （2）解： 整理得 因式分解得 ∴或 解得， 【类型八】一元二次方程的解法一因式分解法 1．定义一种新运算，规定：，如：，则方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照新运算规则将方程转化为常规一元二次方程，再用因式分解法求解即可． 【详解】根据题意得，， 原方程可化为， ， 或， 解得，． 2．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是________． 【答案】10 【分析】先求出方程的两个根，再分情况讨论边长组合，结合三角形三边关系验证组合是否成立，最后计算周长即可. 【详解】解： 因式分解得 解得 ； 若为腰，2为底，三角形三边长为，因为，满足三角形三边关系，此时周长为， 若为底，2为腰，三角形三边长为，，不满足三角形三边关系，故舍去. 综上：这个等腰三角形周长是10. 3．计算 (1)（公式法） (2)（因式分解法） (3)（配方法） 【答案】(1)，． (2)，． (3)，． 【分析】（1）先将方程化为一般式，再求出的值，然后利用求根公式求解即可； （2）先移项，然后利用平方差公式和提取公因式法进行因式分解求解． （3）把常数项移项，二次项系数化为1，再配方可得：，进一步求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得： ∵， ∴， ∴， 解得：，． （2）解：， 移项得： ∴ ∴ ∴或 ∴，． （3）解：， 移项得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 【类型九】一元二次方程的应用—增长率问题 1．某制造企业为分析一季度到二季度初的生产经营状况，统计了产值增长数据：今年月份产值为万元，月份产值为万元，设该企业月份至月份产值平均每月的增长率为，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用增长率得到月份产值的表达式，再结合已知条件即可列出方程． 【详解】解：∵设平均每月增长率为，月份产值为万元， ∴月份产值为万元， ∴月份产值为万元， 又∵已知月份产值为万元， ∴可列方程为 ． 2．2025年某公司一月份的销售额是100万元，要使三月份的销售额达到144万元，平均每月销售额增长的百分率为_________． 【答案】 【分析】先根据平均增长率的规律列出关于增长率的一元二次方程，舍去不符合实际意义的根，即可得到结果． 【详解】解：设平均每月销售额增长的百分率为， 根据题意得：， 解得：，， 因为增长率不能为负数，所以舍去， 即平均每月销售额增长的百分率为． 3．某旅游景区2025年第一季度游客人数达100万人次，第二季度的游客人数比第一季度的下降，随着暑假和“十一”黄金周的到来，第三、四季度游客人数稳步上升，其中第四季度游客人数达129.6万人次． (1)求第三、四季度游客人数的平均增长率； (2)求该旅游景区一年（四个季度）接待游客的总人数． 【答案】(1)20% (2)万人次 【分析】（1）设第三、四季度的平均增长率为x．根据题意列一元二次方程，求解即可； （2）分别计算各季度的游客人数，再求和即可． 【详解】（1）解：设第三、四季度的平均增长率为x． 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：第三、四季度游客人数的平均增长率为； （2）解：∵第一季度游客人数为100万人次， ∴第二季度游客人数为（万人次）， 第三季度游客人数为（万人次）． ∵第四季度游客人数为129.6万人次， ∴该旅游景区一年接待游客的总人数为（万人次）． 【类型十】一元二次方程的应用—数字问题 1．已知两个连续偶数的积为168，若设其中较大的一个偶数为x，则可得方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据连续偶数的差值为2，由给出的较大数表示出较小偶数，再根据两数乘积为168即可列出方程． 【详解】解：∵较大的偶数为，则较小的连续偶数为， ∴根据题意，可得方程． 2．一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为，则根据题意可列方程为_____． 【答案】（或） 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找到等量关系． 先利用个位数字与十位数字的和为9，用含的代数式表示出十位数字，再根据两者乘积为20的等量关系列出方程． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为． 根据“个位数字与十位数字的积是20”，可列方程为， 将其整理为一元二次方程的一般形式为． 故答案为：（或）． 3．第十四届国际数学教育大会（ICME−14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME−14的举办年份． (1)八进制数123换算成十进制数是___________； (2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值． 【答案】(1)83 (2)9 【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据八进制换算成十进制的方法可得： ； （2）解：根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程可得： ， ∴， 整理得：， 解得（不符合题意，舍去）， 故n的值为9． 【类型一】一元二次方程的根与系数关系 1．已知一元二次方程的一个根为2，则另一个根为（     ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设方程另一个根为， 由根与系数的关系得：， 解得：， 即方程另一个根为1． 2．已知m，n是方程的两个实数根，则（     ） A．1 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的解的定义求得，根据根与系数的关系求得，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴． ∴． 3．若方程的两个根分别为，，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程中，二次项系数，一次项系数，常数项， 根据根与系数的关系可得： ，， 则， 故答案为：． 【类型二】一元二次方程的赋根求值 1．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程为 ， 把代入方程左边，得， 又∵已知， ∴当时，方程左右两边相等， ∴是该一元二次方程的一个根． 2．已知是方程的一个实数根，则方程 一定有一个实数根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，先将代入已知方程得到和的关系式，进而即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴ ， 整理得， ，即 ， ∴方程 一定有一个实数根是． 3．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 【答案】 【分析】将代入方程求解判断即可． 【详解】解：将代入得，， 此方程必有一根为． 【类型三】一元二次方程的整体求根 1．若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求方程整理变形，使其与原方程结构一致，通过换元利用已知方程的解求解即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一解为 ∴ 整理所求方程 移项得 提取公因式得 令，则方程变为，与原方程结构完全相同，故该方程的一个解为 即 解得 因此所求方程必有一解为 2．若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．关于x的方程变形为，此方程可看作关于的一元二次方程，根据题意得到，从而得到． 【详解】解：关于x的方程变形为，此方程可看作关于的一元二次方程， 是关于x的方程的一个根， ， 解得， 关于x的方程必有一个根为． 故选：D． 3．已知一元二次方程的两根为，则的两根为______． 【答案】， 【分析】此题主要考查利用整体代换法求解一元二次方程的根，解题的关键是掌握利用整体代换法求解一元二次方程的根的方法． 首先将变形为，由题意可得：或，再进行转化即可得出根． 【详解】解：∵可变形为， 由题意可得：或， ∴或， 即方程的根为或． 故答案为：，． 【类型四】韦达定理变形求值 1．若，是方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入因式分解后的表达式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 2．若一元二次方程的两个根为，，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】首先根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到，，然后整体代入求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， ∴， ∴ ． 3．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，其中为实数． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由根与系数的关系得，，结合已知的，即可求得，的值，代入即可求得的值； （2）由根与系数的关系得，，对所求代数式先通分，再利用完全平方公式变形，代入所求代数式的值求解即可． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，， ， ， ， ， ； （2）解：， 一元二次方程为， ，， ， ． 【类型五】一元二次方程的新定义运算 1．若对于任意实数a，b，c，d，定义   ＝ad－bc，按照定义，若 ＝0，则x的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据新定义可得方程（x+1）（2x-3）=x（x-1），然后再整理可得x2=3，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：由题意得：（x+1）（2x-3）=x（x-1）， 整理得：x2=3， 两边直接开平方得：x=±， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了新定义，一元二次方程的解法--直接开平方法，关键是正确理解题意，列出方程． 2．对于实数，，定义运算“”：，关于的方程有两个不相等的实数根，的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先根据新定义的运算规则，将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程根的判别式，结合方程有两个不相等的实数根得到判别式大于0，解不等式即可得到t的取值范围. 【详解】解：根据定义运算， 将，代入得： ， 展开并整理得：， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， 根的判别式， 其中，，， ， 计算得：， ， 解得. 3．定义新运算：对于任意实数m、n都有．例如：．根据以上定义解决问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）直接根据新运算得到一元二次方程，解方程即可求解； （2）根据新运算可得，再解出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 整理得， 解得； （2）解：∵，， ∴， 整理得， 开方得， 解得：． 【类型六】一元二次方程的应用一图形问题 1．小明把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为，设剪去的正方形边长为，那么x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定折成的长方体盒子底面的长：因为矩形的长为8cm，左右各剪去一个边长为x的正方形，所以底面长为． 确定折成的长方体盒子底面的宽：因为矩形的宽为，上下各剪去一个边长为x的正方形，所以底面宽为． 利用矩形面积公式列方程：因为长方体底面积=长×宽，且已知底面积为，所以可列关于x的方程． 【详解】设剪去的正方形边长为，由题意，得． 2．学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若要使总长为的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为，则的长为__________． 【答案】 【分析】设的长为，根据篱笆总长为表示出的长，利用矩形面积公式列出一元二次方程，解方程并根据围墙长度限制进行检验即可． 【详解】解：设的长为， ∵四边形是矩形， ∴， ∵篱笆总长为， ∴， 根据题意，得， 解得， 当时，， ∵，即长超过了围墙长度， ∴不符合题意，舍去， 当时，， ∵，符合题意， ∴的长为． 3．学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（门不用栅栏，处使用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田的长为x米． (1)的长为 米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【答案】(1) (2)或 (3)解：假设该实验田的面积能为240平方米， ∴， ∴， ∴， 方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为240平方米． 【分析】（1）直接根据建造要求计算即可； （2）根据“面积为180平方米”求出x的值，再根据墙长求出x的取值范围，进而可知x的值； （3）假设该实验田的面积能为240平方米，列出方程，根据根的判别式判断即可． 【详解】（1）解：由题意得：米； （2）解：由题意得：， 解得：， 又∵， ∴， ∴或； （3）略． 【类型七】一元二次方程的应用—销售问题 1．列方程（组）解应用题 端午节是中国传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗．在端午节来临之际，某超市准备了一批粽子，每盒进价元，售价元，每天可售出盒．超市为了让利顾客，决定降价销售．根据市场调研，若每盒售价每降价元，每天销量将增加盒，若要实现每天销售利润元，则每盒应降价多少元销售？ 【答案】每盒应降价元销售 【分析】设每盒降价元，则每盒利润为元，每天销量为盒．根据“每天销售利润=单盒利润日销量”列方程求解，注意检验解的合理性． 【详解】解：设每盒降价元，则每盒售价为元，每盒利润为元，每天销量为盒， 由题意得：， 解得：，， 为降价金额，， 不合题意，舍去， ， 答：每盒应降价元销售． 2．吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为元 【分析】（1）设月增长率为，根据4月和6月的销量，利用平均增长率的数量关系列一元二次方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果； （2）设实际售价为元，根据“总利润=单个利润×月销售量”列一元二次方程，结合尽可能让顾客得到实惠的要求，舍去不符合题意的解，即可得到结果． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价为元， 依题意得， 整理得， 解得，， 因为要尽可能让顾客得到实惠， 所以舍去， 所以， 答：该品牌头盔的实际售价应定为元． 3．某书店老板购进一批进价为20元/本的儿童绘本，试销阶段发现这种儿童绘本的日销售量（本）与销售单价（元）的函数图象如下，请解决如下问题： (1)求该儿童绘本的日销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)如果该书店的房租、水电费、人工费等每天的支出为200元，该书店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该儿童绘本的销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)； (2)该儿童绘本的销售单价应定为30元 【分析】（1）设该儿童绘本的日销售量与销售单价之间的函数关系式为，由题意得，解方程组求解即可； （2）由题意得，解方程求解即可； 【详解】（1）解：设该儿童绘本的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 由题意得解得 该儿童绘本的日销售量与销售单价之间的函数关系式为； （2）解：由题意得， 整理得， 解得， 为了尽快减少库存， ， 答：该儿童绘本的销售单价应定为30元． 【类型八】一元二次方程的应用一收费问题 1．高邮是一座历史悠久，文化底蕴深厚的国家历史文化名城，拥有独特的非物质文化遗产，文化名人辈出．某公司组织一批员工到高邮游玩，支付给旅行社29250元．该旅行社的收费标准如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加一人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元 求该公司参加旅游的员工人数． 【答案】该公司参加旅游的员工人数为45人 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设该公司参加旅游的员工人数为人，根据题意，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：设该公司参加旅游的员工人数为人， ∵， ∴， 依题意得： 解得：，； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； ∴； 答：该公司参加旅游的员工人数为45人． 2．康辉旅行社推出了一则红色旅游促销广告如下： 我社推出去广安小平故里红色旅游，收费标准为： ①组团人数不超过30人，人均收费800元； ②组团人数超过30人，每增加1人，人均收费降低10元．但人均收费不得低于500元． 在“不忘初心，牢记使命”主题教育活动期间，某单位决定分批组织全体职工参观学习，缅怀改革开放的总设计师邓小平同志． (1)如果该单位第一批组织40人去参观学习，则公司应向旅行社交费多少元？ (2)如果该单位计划用29250元组织第一批职工去学习，问这次参观学习应安排多少人参加？ 【答案】(1)28000元 (2)45人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是根据题意列出算式或方程． （1）根据各数量之间的关系，列式计算； （2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【详解】（1）解： （元． 答：公司应向旅行社交费28000元． （2）解：设这次参观学习应安排人参加，则人均费用为元， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：这次参观学习应安排45人参加． 3．某单位于“三八”妇女节期间组织女职工到金宝乐园观光旅游．下面是领队与旅行社导游就收费标准的一段对话． 领队：组团去金宝乐园旅游每人收费是多少？ 导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元． 领队：超过25人怎样优惠呢？ 导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团游览金宝乐园结束后，共支付给旅行社2700元． 请你根据上述信息，求该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有多少人． 【答案】该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有30人． 【分析】先根据支付给旅行社的钱数得到旅游的人数超过25人，设该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有人，根据题意找到等量关系列出方程即可求解. 【详解】解：因为元元，所以旅游的人数超过25人． 设该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有人，则平均每人的费用为元． 根据题意，得， 解得，． 又因为人均费用不低于70元，得． 解不等式得，所以不合题意；舍去， =30． 答：该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有30人． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系和不等关系进行求解. 【类型九】一元二次方程的规律问题 1．【观察思考】如图所示，是用图形“”和“●”按一定规律设计的图案． (1)【规律发现】第⑥个图案中“●”的个数为 ，第个图案中“●”的个数为 （用含的代数式表示）； (2)【规律发现】第①个图案中“”的个数可表示为，第②个图案中“”的个数可表示为，第③个图案中“”的个数可表示为，第④个图案中“”的个数可表示为，…，第⑥个图案中“”的个数为 ，第个图案中“”的个数为 （用含的代数式表示）； (3)【规律应用】按照此规律继续摆下去，第个图案中的“”的个数是“●”个数的倍，求的值． 【答案】(1)14， (2)21， (3)的值为10 【分析】1）根据图形找出规律为第n个图案中“●”的个数为个，再把代入求解即可； （2）根据题干的列举信息，直接得出结论； （3）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题知，第①个图案“●”的个数为：； 第②个图案中“●”的个数为：； 第③个图案中“●”的个数为：； .... 所以第n个图案中“●”的个数为个， 当时，， 即第⑥个图案中“●”的个数为14个，第个图案中“●”的个数为个； （2）解：第①个图案中“”的个数可表示为， 第②个图案中“”的个数可表示为， 第③个图案中“”的个数可表示为， 第④个图案中“”的个数可表示为， …， ∴第个图案中“”的个数可表示为， 即第⑥个图案中“”的个数为个，第个图案中“”的个数可表示为； （3）解：由题意得，， 整理得：， 解得：或（舍）． 2．我国苏州园林中花窗的纹样有各种形状，有云纹、鱼鳞纹、蝙蝠纹、梅花纹、冰裂纹等，不仅具有装饰作用，还蕴含了丰富的文化内涵和象征意义，如下左图是海棠纹样，象征富贵、美丽和吉祥． 【探究规律】聪明的小明同学在综合实践课上，把大小相同的海棠纹样按如上图所示的规律摆放：第一个图形有5个纹样，第二个图形有9个纹样，第三个图形有15个纹样，……按此规律依次摆放． （1）第四个图形有_______个纹样，第五个图形有_______个纹样． 【总结规律】（2）第n个图形有_______个纹样（用含n的代数式表示）． 【应用规律】（3）是否存在相邻的两个图形的纹样个数和为248？若存在，求出是哪两个图形？若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，是第个和第个图形 【分析】本题考查了图形类规律探索，一元二次方程的应用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据前三个图形中纹样的个数即可得解； （2）根据（1）即可得出规律； （3）根据（2）中的规律，列出方程，解方程即可得解． 【详解】解：（1）由图形可得： 第一个图形有个纹样， 第二个图形有个纹样， 第三个图形有个纹样， 故第四个图形有个纹样， 第五个图形有个纹样； （2）由（1）可得：第n个图形有个纹样； （3）由题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴存在相邻的两个图形的纹样个数和为，是第个和第个图形． 3．综合与实践：钢管堆砌与图形规律探究 【项目主题】某校数学实践小组在参观钢结构加工厂时，发现钢管常按一定规律堆砌存放．为了优化仓库空间使用，提高效率，他们决定对钢管的堆砌规律展开数学研究． 【项目准备】1．观察现象 钢管的横截面堆砌成如下形状（图示，2，3，4的情形），其中上方的数字表示该位置钢管的总数量； 2．规律猜想 小组初步猜想：第n个图的钢管总数S可以按“行”来观察，并尝试用算式表达． 【项目分析】1．统一符号：设第n个图的钢管总数为 2．任务分解： 任务一：按“行”的方式写出和的算式，归纳的表达式． 任务二：换一种分割方式（如按“列”或“斜线”），重新表达． 任务三：建立第n个图钢管总数的通用公式，并用于计算较大n时的数量． 【项目实施】问题一：按行分割的规律归纳 1．请补全下表： 图形 算式 ① ② 2．根据规律，写出第n个图的算式（不化简）： ③． 问题二：换一种眼光看图形 请你对的图形进行另一种方式的分割（如按“列”或“斜线”），并在下表中写出你发现的算式表达： 图形 算式 ④ ⑤ 问题三：建立通用公式【提示：】 将你在问题一中得到的第n个图的算式化简，写出关于n的代数表达式： ⑥； 根据以上信息，完成下面内容： (1)将上方空白内容补充完整： ①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________；⑥__________； (2)若某堆钢管的，求n的值． 【答案】(1)①；②；③；④；⑤；⑥ (2)8 【分析】（1）根据题意求出，时S的值，可得到规律即可解答； （2）根据，列出方程，即可解答． 【详解】（1）解：问题一： 图形 算式 第n个图的算式（不化简）：； 问题二： 图形 算式 问题三∶ 关于n的代数表达式： ； （2）解：根据题意得：， 解得（舍），， 即n的值为8． 【类型一】一元二次方程的估算 1．根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表格找到的值在两个相邻处分别小于和大于，则方程的解就在这两个之间． 【详解】解： 由表格可知：当时，， 当时，， 方程的一个解的取值范围为． 2．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由表格可知， 当时，，即， 当时，，即， ∴时，． 3．在估算一元二次方程的根时，小晗列表如表： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 由此可估算方程的一个根x的范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：由表可知， 当时，， 当时，， ∴方程的一个根x的范围是． 故答案为：． 【类型二】一元二次方程的特殊解法—换元法 1．已知实数m，n满足，则的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 【答案】B 【分析】本题利用换元法将看作整体求解，再根据平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】设， ∵任意实数的平方是非负数，两个非负数相加仍是非负数， ∴， 原方程可化为， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去， 即． 2．已知实数满足，则代数式的值是____． 【答案】 【分析】将看作整体，利用因式分解法得到的可能取值，再利用一元二次方程根的判别式判断符合题意的取值，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解： 设， 原方程可化为 或 解得或 当时，，整理得 ，方程无实数根，不符合题意，舍去； 当时，，整理得 ，方程有实数根，符合题意 ． 3．【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； (2)若 ，则______； (3)参照上面解题的思想方法解方程： ． 【答案】(1) ，， (2) (3) 【分析】（）直接代入得关于的方程，即可得到结果； （）设，则原方程可转化为，的方程得出，即可求解； （）设，则原方程可转化为，求出，即可得出关于的方程，然后解关于的分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：设，代入原方程直接替换，得转化后的方程：， 因式分解得， 解得； 时，，即， 因式分解得， 解得或， 时，， 判别式，无实根， ∴原方程的根为； （2）解：设，由平方非负性得， 原方程可化为， 展开得， ， 结合得，即； （3）解：设， 原方程转化为：， ， 解得， ∴， 两边乘得， 解得， 检验：时分母， ∴是原方程的解． 【类型三】一元二次方程的特殊解法—十字相乘法 1．将分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，． 【解决问题】 (1)分解因式：（ ）（ ） (2)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． 【答案】(1)1，4 (2)①，；②， 【分析】（1）根据十字相乘法分解即可； （2）根据十字相乘法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①， ， ∴， ∴原方程的解为，； ②，     ， ∴， ∴原方程的解为，． 2．阅读下列材料： （1）将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： ，． ②交叉相乘，验中间项：    ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【答案】①，；②，；③，；④， 【分析】利用十字相乘法因式分解求解． 【详解】解：①， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； ②， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； ③， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； ④， 因式分解得： ∴或 解得：，． 3．（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①竖分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【答案】①，  ②，  ③，  ④， 【分析】根据题中十字相乘法的解法步骤求解即可． 【详解】解：①由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ②由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ③由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ④由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查十字相乘法解一元二次方程，理解题干中的十字相乘法的解法是解答的关键． 【类型四】一元二次方程的特殊解法一换根法 1．综合与实践 我们把利用方程根的代换求新方程的方法称为换根法，核心解题步骤为：设新方程的根为y，根据根的对应关系，用含y的代数式表示原方程的根x；将x代入原方程，化简后得到关于y的新方程． 例：已知方程，求根为原方程根2倍的新方程． 解：设新方程的根为y，则，即，代入原方程得，化简得，即为所求方程． (1)基础应用 已知方程，用换根法求一个一元二次方程，使它的根是原方程根的相反数； (2)能力提升 已知方程，用换根法求一个新的一元二次方程，使它的根分别比原方程的根大1； (3)综合拓展 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为1和3，求一元二次方程的两实数根． 【答案】(1) (2) (3)3和5 【分析】（1）用题干提供的方法进行求解即可； （2）用题干提供的方法进行求解即可； （3）将新方程变形为，对比原方程得出，根据原方程的两根为1和3，得出新方程的两个根即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为y，则， 即， 将代入原方程，得， 化简得：； （2）解：设所求方程的根为y，则， 即， 将代入原方程，得， 展开化简得：； （3）解：将新方程变形整理：， ， ， 对比原方程，可得代换关系： ，即， ∵原方程的两根为1和3， ∴新方程的两根为，， 即所求两根为3和5． 2．问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程， 得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为______． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为______． (3)已知关于x的一元二次方程（）有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题目中给出的利用方程根的代换求新方程的方法，并应用“换根法”解决问题． （1）设所求方程的根为y，则，得到，然后代入求解即可； （2）设所求方程的根为y，则，得到，然后代入求解即可； （3）设所求方程的根为y，则，得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）设所求方程的根为y，则， 所以 把代入，得． 化简得； （2）设所求方程的根是y，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得； （3）设所求方程的根为y，则， 所以 把代入，得． 化简得． 3．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 换根法 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 任务： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_____． (2)已知关于的一元二次方程有两个均不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．（要求：把所求方程化为一般形式） (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，请直接写出关于的一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，整体换元法，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法． （1）设所求方程的根为，则，所以，代入原方程即可得； （2）设所求方程的根为，则，于是，代入方程整理即可得； （3）由题意可得，分别解答即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入方程，得：， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则，于是， 把代入方程，得， 去分母，得， 若，有， 那么方程有一个根为0，不合题意， ， 故所求方程为； （3）解：根据题意可得， 或， 解得或， 所以关于的一元二次方程的两根为或． 【类型五】配方法的应用 1．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是2． (1)代数式的最小值为___________． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)如图，在等腰中，，点为边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接．若，求的面积的最大值． 【答案】(1)1 (2)或 (3)的面积最大值为 【分析】（1）根据题干的配方法求解即可． （2）根据题干的配方法求解即可． （3）过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点．由等腰三角形的性质进一步得出，设，则，由旋转的性质进一步得出，由全等三角形的性质得出，由三角形面积配方求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴ ∴的最小值是1． （2）解： ∵最小值为， ∴， 解得， ∴常数的值为或； （3）解：如图，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点． 是等腰三角形，， ， 在中，， 设，则， ∵线段绕点P顺时针旋转得到， ， ， 又， 又 ， ， ， ∴当时，的面积有最大值为． 2．【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把分解因式． (2)代数式的最小值是___________（直接写答案）． (3)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）利用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法和完全平方的非负性进行求解即可； （3）利用配方法和非负性进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴ ； ∴代数式的最小值是2； （3）解：， ， ， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 3．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：． 原式． ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，．因为不论取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：_____； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查配方法，完全平方公式，完全平方式的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式即可得到答案； （2）先将变形为的形式 （3）根据，进行判断即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：；； （2）解：， ， ， 故最小值为； （3）解：，， ， ， ， ， ． 【类型六】一元二次方程的应用一几何动点问题 1．如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)的值为2或8秒 (3)的面积不能达到，理由见解析 【分析】（1）根据，可得，的长，即可求解； （2）由题意得，，，则，即可求解； （3）由（2）可得，令，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴． （2）解：由题意得，，， ∴， 整理，得， 解得． 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意；∴ ∴的值为2或8秒． （3）解：不能．理由如下： 由（2）可知，， 令， 整理，得， ∵， ∴无实数根， ∴的面积不能达到． 2．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 3．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示：______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 【答案】(1)；； (2)或 (3)四边形的面积不能等于，理由见解析 (4)运动时间时，四边形APQC的面积最小 【分析】（1）根据从点开始沿边向点以的速度移动，则，根据，则；根据动点从点开始沿边向点以的速度移动，则；再根据，得，，即可； （2）根据，求出，即可； （3）根据，求出；再根据，即可； （4）将四边形面积变形得，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴， ∵动点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴当的面积为时， ∴， ∴，， ∴当的面积为时，求运动时间为：或． （3）解：由（1）得，， 当四边形的面积等于，， ∴，（舍）， ∵， ∴， ∴四边形的面积不能等于； （4）解：②， ∵， ∴， ∴运动时间时，四边形APQC的面积最小． 【类型七】根与系数对称式 1．学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程开展探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 【答案】(1) (2) (3) 证明： ∵①，②， ①②得：， 整理得：， ∵， ∴， 等式两边同时除以得：，即， ∴ 将代入①得：， 整理得：， 移项整理得：， 同理，将代入②，整理得， ∵， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴. 【分析】（1）代入，利用求根公式求出方程的正根即可； （2）将已知等式变形，得到和是原一元二次方程的两个不相等根，利用根与系数的关系求出的值； （3）对两个已知等式作差，结合得到的关系式，再推导出，是新一元二次方程的两个根，利用根与系数关系证明结论. 【详解】（1）解：将代入，得， ∴， ∴， ∴， ∴“黄金分割数”为； （2）解：∵，， 将两边同时除以，得， ∵， ∴， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （3）略 2．阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程的两个根为，则． 材料2：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则_____，_____； (2)应用探究：已知实数满足：且，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足：，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）直接根据材料给出的一元二次方程根与系数的关系计算即可； （2）由条件可知是方程的两个不相等实根，利用根与系数关系得到和的值，对所求式子因式分解后代入计算即可； （3）将第二个方程变形为，分和两种情况，分别计算所求式子的值即可． 【详解】（1）解：对于一元二次方程， 其中，， 根据根与系数的关系，可得， （2）解：由题意得，实数满足，，且 因此是一元二次方程的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得， 所以 （3）解：将方程变形可得， 又， 分两种情况讨论：①当时， ②当时，和是一元二次方程的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得 由，得， ∴， 综上，的值为或． 3．阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： 已知实数a，b满足，，则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：已知实数a，b满足，，且，求的值． (2)思维拓展：已知实数a，b满足，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求得，然后对所求代数式因式分解后整体代入求值即可； （2）在方程的两边同时除以得，易得可将a，看作方程的两个不相等的实数根，则，，然后对所求代数式因式分解后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵实数a，b满足，，且， ∴可将a，b看作方程的两个不相等的实数根， ，， ∴． （2）解：在方程的两边同时除以得， 又∵实数a满足，且， ∴可将a，看作方程的两个不相等的实数根， ，， ． 【类型八】勾股圆方圆说 1．我国古代数学家_________（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个长方形的面积加上中间小正方形的面积，即面积为_________，因此________． (1)将空白处补充完整； (2)作出方程解法的构图． 【答案】(1)赵爽；144；5 (2)见解析 【分析】（1）由数学常识可得第一空的答案；根据所给图形可求出中间小正方形的边长，进而可求出大正方形的面积，进而可得答案； （2）根据题意可得中间小正方形的边长为，大正方形的边长为，据此作图即可． 【详解】（1）解：由题意得，该数学家为赵爽； 中间的小正方形的边长为，则大正方形的面积为， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 故答案为：赵爽，5； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴中间小正方形的边长为，大正方形的边长为， 如图所示，即为所求． 2．根据数学名著《勾股圆方注》中所记，我们发现可以利用几何方法求得一些一元二次方程的正根．如图，将四个长为m，宽为n的长方形纸片和一个小正方形拼成一个大正方形． (1)求解方程的正根，可令，，则图中每个长方形的面积为6． ①小正方形，大正方形的面积各是多少？ ②利用大正方形的边长，请你求出方程的正根． (2)小明用此方法求关于的方程（t为常数，且）的正根，构造了同样的图形，已知小正方形的面积为25，求t的值． 【答案】(1)①49；② (2) 【分析】（1）①先求出小正方形的边长，即可求出小正方形的面积，进而可求出大正方形的面积． ②求出大正方形的边长，进而得出，进而可求出x的值． （2）同（1）可得出小正方形的边长为，大正方形的边长为，解方程组求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴小正方形的边长为：， ∴小正方形的面积：25． ∴大正方形的面积：． ②由大正方形的面积为49，则边长为7， ∴，解得． 即方程的正根为． （2）解：如下图： 设，，则长方形的面积为14， ∵小正方形的面积为25，即边长为5， 小正方形的边长为：， 大正方形的面积为：， 大正方形的边长为：， 联立方程组， 解得． 3．【示范操作】方法1：我们学习了利用配方法解一元二次方程，对于，可以变形为，配方的过程可以转化为图形的“割”“拼”“补”，如图1所示，得． 方法2：古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了更加简捷的配方方法，只用了“拼”完成了配方，用四个长为、宽为x、面积为24的矩形，拼成如图2所示的大正方形，利用大正方形的面积等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积可以得到． 【模仿实践】（1）仿照方法2的配方方法解方程，先变形为________，如图3，每个小长方形的长为 ________ ，宽为 ______． 【深入探究】（2）仿照方法2的配方方法解方程，画图分析，并写出解题过程 【答案】（1）；；；（2）见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，解一元二次方程，图形面积的计算方法，理解图示面积，材料提示的计算方法，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）仿照方法2，根据面积关系列方程求解即可； （2）先变形为，再仿照法2，根据面积关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：仿照方法2配方解，先变形为，如图3，每个小长方形的长为，宽为， 利用图形的面积关系得配方后的方程为，即， 解为， 故答案为：，，； （2）解：先变形为，如图， 每个小长方形的长为，宽为， 利用图形的面积关系得配方后的方程为，即， 解为． 【类型九】一元二次方程的新定义应用 1．探究与应用 【知识定义】密码学是数学的重要应用之一．在密码学中，有一种简单的加密方法是将数字信息转化为用一元二次方程的根重新组成一个数．现在，这样定义：若一元二次方程的两个实数根均为正整数，且满足，则称该方程为“密码方程”，其根组成的数（较大的根在左，较小的根在右）称为“密码数”． 【知识理解】例如：对于方程，两根和均为正整数，且满足，所以此方程为“密码方程”，“密码数”是121；对于方程，由于，所以此方程不是“密码方程”；对于方程，两个根分别为，（不是正整数），所以此方程不是“密码方程”． 【问题解决】根据以上信息，请回答以下问题： (1)请判断以下两个方程是否为“密码方程”，请说明理由，如是，并写出其“密码数”； ①； ②． (2)已知方程是“密码方程”，“密码数”是31，求和的值； 【答案】(1)①不是“密码方程”， 理由见解析；②是“密码方程”，密码数是71，理由见解析； (2)； 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解二元一次方程组，理解“密码方程”的定义是解题关键． （1）根据“密码方程”的定义求解即可； （2）根据“密码方程”的密码数得到方程的两个根为，代入方程的到关于、二元一次方程组，求解即可． 【详解】（1）解：①解得， 0不是正整数，故不是“密码方程”； ②解得，两根均为正整数． 又∵， ∴是“密码方程”，密码数是71； （2）解：∵方程是“密码方程”，“密码数”是31， ∴方程的两个根为， 把分别代入得， ， 解得． ，满足“密码方程”的定义 2．阅读材料： 法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“根与系数的关系”可表述为：，，借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”根的特征探究．定义： ①倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的3倍，则称这样的方程为“倍根方程”． ②方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． 根据上述材料，解答下列问题： (1)判断方程是______（填“①倍根方程”或“②方根方程”）． (2)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求c的值． (3)若关于x的一元二次方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，求的值． 【答案】(1)①倍根方程 (2) (3)3或 【分析】本题考查了一元二次方程的根的求解、根与系数的关系（韦达定理）以及“倍根方程”“方根方程”的新定义应用，解题的关键是紧扣新定义，结合韦达定理建立方程，同时注意根不为0的限制条件． （1） 求解方程 的两个根，验证其中一个根是否为另一个根的3倍，以此判断方程类型； （2） 设倍根方程的两根为 ，根据韦达定理 求出两根的值，再代入 计算 ； （3） 由方程既是倍根方程又是方根方程，得到两组等量关系 且 、 且 ，分别代入求解非零根，再根据韦达定理求出 、 的值，最后计算 【详解】（1）解：解方程 因式分解得 ， ∴ ，． ∵ ，且两根均不为0， ∴ 方程是①倍根方程． （2）解：∵ 方程 是倍根方程 ∴ 设两根为 （） 由韦达定理得 ， ∴ ，解得 ，． 又∵ ， ∴ ． （3）解：∵ 方程 既是倍根方程又是方根方程， ∴ 有两种情况． 情况1：且 （）， 代入得 ，解得 ，则 ． 由韦达定理：，， ∴ ，． ∴ ． 情况2： 且 （）， 代入得 ，即 ，解得 ，则 ． 由韦达定理：，． ∴ ． 综上，的值为或． 答：的值为或． 3．我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为、，定义有序数对为该方程的特征数对（其中，）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，，，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：（，），特征数对； 方程②：（，），特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”． 解答下列问题： (1)【概念辨析与计算】已知关于x的方程（k为整数）是“全整根方程”． ①则该方程的两根分别为 ， ； ②若其特征数对为，求k的值． (2)【关联探究与推理】若方程和都是全整根方程，且它们的两根分别为，和，．请用含a，b的代数式表示p，q． (3)【验证与拓展】某同学利用工具生成了“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值． 【答案】(1)①，；②1 (2)； (3) 【分析】（1）①解方程，得或，因此两根为和； ②根据方程的特征数对为，得出 ，， 根据韦达定理得出，，则，求解即可． （2）根据方程的根为，由韦达定理得，，根据方程的根为，由韦达定理得：，即，代入得，整理得．两根积：，得． （3）解方程，得出，得出方程B的特征数对，．对方程A：，由韦达定理得，，则，，根据“关联全整根方程”定义得出，结合，得，求出，根据方程A是“全整根方程”，得出是非负完全平方数，即可解答． 【详解】（1）解：①， ∴， 解得：或， 因此两根为和； ②∵其特征数对为， ∴ ，， ∵，， ∴， 由第二个方程得， 代入第一个方程验证：时，，符合要求； 时，舍去，因此． （2）解：∵方程的根为， 由韦达定理得，， ∵方程的根为， 由韦达定理得：，即， 代入得， 整理得． 两根积：，展开得， 代入，得， 因此． （3）解：， ∴，解得：， ∴方程B的特征数对：，． 对方程A：， 由韦达定理得，， ∴（），， ∵“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程A：是“全整根方程”， ∴是非负完全平方数， ∴时，，符合，此时； 时，，符合，此时； 其余n均不满足为非负完全平方数，因此的最大值为9． 【类型十】特殊方程一无理方程 1．阅读与思考 材料：像这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 解法如下：移项： 两边平方：． 解这个一元二次方程：，．…… (1)任务：磊磊认为材料中一元二次方程的两个根就是无理方程的解；小琪认为一元二次方程的根并不满足无理方程，还应考虑的值非负． 请写出你所认为的材料中无理方程正确的解：_________． (2)应用：解无理方程． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）分别将，代入原无理方程，查看等式是否成立，即可求解； （2）按照题意步骤，求解方程，最后检验方程，即可求解． 【详解】（1）解：将代入原无理方程，可得： 方程成立，符合题意； 将代入原无理方程，可得 方程不成立，不符合题意； 故答案为： （2） 移项： 两边平方： 化简可得： 解得：， 将代入，可得，不符合题意，舍去 将代入，可得，方程成立，符合题意； 综上， 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，涉及了因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是注意检验方程的根． 2．阅读理解：转化思想是常用数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．利用转化思想，我们可以解一些新的方程． 例如无理方程（根号下含有未知数的方程），解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程必须检验． 例：解方程． 解：两边平方得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 代入原方程中不合理，是原方程的增根． 原方程的根是． 解决问题： (1)已知关于的方程有一个根是，那么的值为_____； (2)仿照以上方法，解方程：； (3)请你回顾以上解答过程，总结与反思转化的数学思想，并应用转化思想解如下方程：． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）直接将代入原方程即可求出的值； （2）根据一元二次方程的解法，转化的思想；将两边平方，转化为一元二次方程求解，最后检验，舍去增根即可； （3）分类讨论将转化为一元二次方程来求解，当，即时，原方程可化为：，解得：；当，即时，原方程可化为：，解得：． 【详解】（1）解：将代入，得：， ∴， ∴． （2）解：， 两边平方得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 代入原方程得：左边，右边而， ∴是原方程的增根， 原方程的根是． （3）解：分类讨论将转化为一元二次方程来求解， 当，即时，原方程可化为：， 整理后得：， ， 解得：， ∵， ∴不是原方程的根，是原方程的根， 当，即时，原方程可化为：， 整理后得： ， ， 解得：， ∵， ∴不是原方程的根，是原方程的根， 综上：原方程的解为或． 3．【阅读与思考】为了落实“内容结构化”理念，进行单元整体教学，李老师在讲授完“一元二次方程”后，对初中阶段各类方程（组）的解法进行了系统总结：它们解法虽不尽相同，但基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知：通过“消元”“降次”“去分母”等把“多元方程”“高次方程”“分式方程”转化为“一元一次方程”再求解．利用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程． 例如：形如这种根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 解法如下： 移项，得：． 两边同时平方，得：，即， 解这个一元二次方程，得：． …… 【任务】 (1)小虎认为材料中这个一元二次方程的两个根就是原无理方程的解；小豫认为这个一元二次方程的根并不都满足原无理方程，还应考虑的双重非负性．请写出你所认为的材料中无理方程正确的解： (2)解下列方程：①；②． 【答案】(1)； (2)①，，；②． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，涉及了因式分解法求解一元二次方程， （1）分别将，代入原无理方程，查看等式是否成立，即可求解； （2）①用因式分解法将原方程分解成三个一元一次方程，解一元一次方程即可；②按照题意步骤，求解方程，最后检验方程，即可求解． 【详解】（1）解：将代入原无理方程，可得：左边，左边=右边，方程成立，符合题意； 将代入原无理方程，可得：左边，左边右边，方程不成立，不符合题意； 故答案为：； （2）解：①， ， ， ∴或或， ∴，，； ②， 移项，得， 两边平方，得， 整理后，得， 解这个一元二次方程，得，， 将代入，可得：左边，左边=右边，方程成立，符合题意； 将代入，可得：左边，右边，左边右边，不符合题意，舍去； 综上，． 【类型十一】优美的黄金分割 1．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数满足，且，请证明：是一元二次方程的两个根； (3)已知两个不相等的实数满足，求的值． 【答案】(1) (2) 证明：， ． ． 又， 是一元二次方程的两个根； (3) 【分析】本题考查解一元二次方程及根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题． （1）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解； （2）依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解； （3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，将代入，得， ． 黄金分割数大于0， 黄金分割数为； （2）略 （3）解：由题意，令①，②， ①②得， ． ①②得． 为两个不相等的实数， ． ， ， 又， ． ， ， ． 2．关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值； (3)已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3)0 【分析】（1）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解； （2）依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解； （3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解． 【详解】（1）依据题意， 将代入得， 解得， ∵黄金分割数大于0， ∴黄金分割数为． （2）∵， ∴， 则． 又∵， ∴，是一元二次方程的两个根， 则， ∴． （3）∵，； ∴； 即； ∴． 又∵； ∴； 即． ∵，为两个不相等的实数， ∴， 则， ∴． 又∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题． 3．【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值． 我们知道：如图①，如果，则点为线段的黄金分割点． (1)【问题发现】如图①，点为线段的黄金分割点，请直接写出的值为 ； (2)【尺规作黄金分割点】如图②，在中，，，，在上截取，在上截取，求的值； (3)【问题解决】如图③，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接；再次折叠正方形使与重合，点对应点，得折痕，试说明：点是线段的黄金分割点． 【答案】(1)； (2)； (3)详见解析 【分析】（1）根据题中，设，，将其代入得一元二次方程，解得的值后即可求得； （2）由勾股定理求得后即可根据求解； （3）设，，综合正方形性质和折叠性质求出、，再由得到，解得后即可证明． 【详解】（1）解：依题得：， 设，, 则, 即， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ． 故答案为：． （2）解：依题得：， ， ， ． （3）解：依题得：，， 如图 ，连接， 根据折叠性质可得， ， ，， ，， 设，， 中，， ， 中，， 中，， ， 即， 解得， ，， ， ， 即点是线段的黄金分割点． 【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程、勾股定理、折叠性质、正方形性质，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解法． 1．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程． ∵选项A中未规定，当时，方程不是二次方程， ∴A不符合要求； ∵选项C中含有和两个未知数， ∴C不符合要求； ∵选项D中分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程， ∴D不符合要求； 选项B满足一元二次方程的所有条件． 2．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则它的另一个根是（     ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】将已知根代入原方程求出参数k的值，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：是方程的根， 将代入原方程得 ，化简得， 解得， 原方程为，对方程左边因式分解得， 解得或， 因此方程的另一个根为． 3．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）下列方程中有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有实数根，将各选项方程整理为一般形式后计算判别式即可判断． 【详解】解：A 选项：方程，，方程无实数根； B 选项：方程，，方程无实数根； C 选项：方程，，方程无实数根； D 选项：整理方程得，，方程有实数根． 4．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，则道路的宽为（    ）m A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】A 【分析】利用平移的性质，将道路平移到矩形边缘，使草坪拼成一个新的矩形，根据面积公式列一元二次方程求解． 【详解】解：设道路的宽为，根据题意，利用平移法可将草坪拼成一个长为，宽为的矩形， ∴， 整理得，即， 解得，， ∵道路宽不能超过矩形的宽，即， ∴不合题意，舍去. ∴道路的宽为． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和，代入已知根即可计算出另一个根 【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根， 根据根与系数的关系可得：， 又， ， 解得 6．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）一件原价为100元的衣服经过两次降价后的价格为81元，若设每次降价的百分率都是x，则可列方程为______． 【答案】 【详解】解：设每次降价的百分率都是，由题意可列方程为． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知关于的方程（、、为常数，）的解是，，那么方程的解为_______． 【答案】， 【分析】将所求方程变形后，利用整体换元思想，结合已知原方程的解得到关于x的一次方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的解是，， ∴或， 解得，． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 或 解得：； （2）解： 或 解得：． 9．（25-26八年级下·山东东营·阶段检测）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一天进馆64人次，进馆人数逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过120人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 【答案】(1) 进馆人次的日平均增长率为 (2) 校图书馆不能接纳第四天的进馆人次 【分析】（1）设进馆人次的日平均增长率为，根据第一天进馆64人次，第三天进馆100人次，列出方程进行求解即可； （2）根据增长率求出第四天的进馆人数，进行判断即可. 【详解】（1）解：设进馆人次的日平均增长率为， 由题意，， 解得或（舍去）； 答：进馆人次的日平均增长率为； （2）解：不能，理由如下： ， 故校图书馆不能接纳第四天的进馆人次. 10．（25-26八年级下·安徽安庆·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)讨论该一元二次方程实数根的情况； (2)当时，方程是否有两个不相等的实数根？若有，设这两个根都是不大于的正整数，求出满足条件的所有的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)当时，该方程有两个不相等的实数根，当时，该方程有两个相等的实数根； (2)有，所有的值为：，， 【分析】（1）整理方程为一般形式，再利用根的判别式的值的情况讨论即可． （2）当时，可得， 求解，再进一步分析求解即可． 【详解】（1）解：， 方程化为一般式：， ∴， ∴当时，该方程有两个不相等的实数根， 当时，该方程有两个相等的实数根； （2）解：当时，，方程有两个不相等的实数根， ∵， 解得：， ∵这两个根都是不大于的正整数， ∴，， 解得． 又∵这两个根都是正整数， 为的倍数， 的值为，，． 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 即． 2．（25-26九年级下·四川南充·期中）一元二次方程两根之积为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为,，利用计算即可． 【详解】解：一元二次方程中，， 则方程的两根之积为． 3．（25-26九年级下·山东烟台·期中）对于任意4个实数定义一种新的运算，例如：，则关于的方程的根的情况为（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查新定义运算与一元二次方程根的判别式，先根据新定义运算整理出关于x的一元二次方程，再计算根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况即可. 【详解】解：根据新运算的定义，得 整理得 ∵ ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根； 4．（25-26七年级下·福建南平·期中）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，那么的值为（  ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据给出的新数的运算规则，可发现每4个连续的幂次和为0，利用循环规律即可计算出最终结果． 【详解】解：，，，， ， 即每连续4个的幂次的和为0， ， 前2024项的和为，剩余两项为和， ，， 原式． 5．（24-25九年级上·山西朔州·期中）若是方程的一个实数根，则代数式的值为__． 【答案】 【分析】先根据是方程的根得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的一个实数根， ，则， 将代入得原式． 6．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式与根的个数的关系，当方程有两个相等的实数根时，根的判别式，据此列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项， 方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 解得． 7．（25-26八年级下·浙江温州·期中）有一长方形木板如图1切割，将其中4块重新拼接成新长方形如图2，多出一个图形⑤，若，，且m，n是一元二次方程的两根，则图形⑤的面积为_______． 【答案】29 【分析】由m，n是一元二次方程的两根，利用根与系数的关系得出，从图中可以看出，图形⑤是一个小正方形，它的边长为，则图形⑤的面积为，代入即可求解． 【详解】解：从图中可以看出，图形⑤是一个小正方形，它的边长为， ∴图形⑤的面积为：， ∵m，n是一元二次方程的两根， ∴， ∴ ． 8．（25-26八年级下·山东烟台·期中）解方程 (1)；（配方法） (2)； (3)； (4)．（公式法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1） 移项，配方求解即可； （2）运用因式分解法求解即可； （3）配方求解即可； （4）先整理为一般式，再运用公式法计算即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， 配方得，， ， 开方，得， 所以，； （2）解：， 等式左边提取得，， 移项得，， ∴， ∴或， 解得，，； （3）解：， 二次项系数化为1得，， 移项配方，，即， ∴， ∴， ∴，； （4）解：， 整理得，， ∴，，，， ∴， ∴，． 9．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，代入计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 由（1）可得， ∴． 10．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）某社区为丰富居民文化生活，新建了一个图书室，初始藏书量为200册．参照以往的管理统计，当每本书的月借阅费定为6元时，所有藏书均可被借出；月借阅费每增加1元（增加费用不超过5元），未被借出的图书将增加4册；已借出的书每册月维护成本为2元（包括消毒、修补）；未被借出的书每册月仓储管理成本为1元． (1)当月借阅费为10元时，求图书的借阅量； (2)设每本书的月借阅费增加a元，写出该图书室月维护与管理成本的总和（用含a的代数式表示）； (3)若每月借阅利润为1144元，求每本书的月借阅费． 【答案】(1)184册 (2)元 (3)8元 【分析】（1）根据题意得到增加的费用，再用增加的费用得到未被借出的册数，最后，用总册数未被借出的册数=图书的借阅量即可； （2）根据每本书的月借阅费增加a元，得未被借出的图书数量为册，进而得到借出的图书数量为册，最后，运用每册月维护成本借出的图书数量未被借出的书每册月仓储管理成本未被借出的图书数量，即可得出月维护与管理成本的总和； （3）根据题意找出等量关系式：(每本书的月借阅费-每本书的维护成本)借出的图书数量-未被借出的书每册月仓储管理成本未被借出的图书数量每月借阅利润，列出关于x的方程，然后，解方程即可． 【详解】（1）解：(元)，(册)， ∴借出的图书为（册）；                        （2）解：∵每本书的月借阅费增加a元， ∴未被借出的图书数量为册， 借出的图书数量为册，则月维护与管理成本的总和为：， 整理，得  ， ∴该图书室月维护与管理成本的总和为元； （3）解：设每本书的月借阅费为x元，则该月未被借出的图书册数为， 可列方程：， 解得， 由题意，月借阅费增加不超过5元，即，解得，故舍去， ∴若每月借阅利润为1144元，则每本书的月借阅费为8元． 1．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）若是关于的方程的一个实根，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用方程根的定义，把已知等式变形，采用整体代入法即可求代数式的值． 【详解】解：是方程的一个实根， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·全国·期末）如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒的速度）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可知，， 则， 解得（负值舍去）． 3．（24-25九年级上·河南商丘·期末）对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】先根据新运算规则整理出关于x的一元二次方程，再利用根的判别式判断方程根的情况． 【详解】解：根据新运算定义可得：， 整理方程得， ∴， ∵对任意实数，都有， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据方程有两个实数根，利用判别式求出参数的取值范围；再通过韦达定理得到两根之和与两根之积，将所求式子展开并转化为关于的代数式并配方，最后在的取值范围内求出最小值． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，解得， 且． ∴． ∵，， ∴， ∴的最小值是，故选D． 5．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知一元二次方程的两个根为，，则的值为________． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 6．（24-25八年级下·上海·期末）用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是_________． 【答案】 【分析】用表示出原方程的所有项，再去分母整理即可得到关于的整式方程． 【详解】解：设， 则， 原方程可化为， 方程两边同乘去分母，得， 整理得． ∴原方程可化为关于y的整式方程是． 7．（25-26八年级上·上海·期末）在中，，，分别将，向内对折，使得，重合，折痕分别为，且分别交于点．若，则的长为_____． 【答案】或 【分析】过点A作于点G，根据等腰直角三角形的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可得或4，分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】如图，过点作于点， ，，， ，， ， 设，则， 由折叠的性质得，，，， ， 在中，由勾股定理得， ， 整理得， 解得或， 当时，， 在中，由勾股定理得； 当时，， 在中，由勾股定理得． 8．（25-26九年级上·福建泉州·期末）某小区计划在一块矩形空地上修两条宽度相同且相互垂直的小路，小路两侧空余部分种花，如图，若矩形长为，宽为，种花的总面积为．求道路的宽度． 【答案】道路的宽度为2米 【分析】设道路的宽度为，根据种花的面积列出一元二次方程并求解即可． 【详解】解：设道路的宽度为， 则， 即 ， ，（不符合，舍去） 答：道路的宽度为2米． 9．（25-26九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”． (1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是 (2)， (3)代数式的最小值为 【分析】（1）根据“和谐方程”定义进行判断即可； （2）根据“和谐方程”定义得出，求出b的值，再解方程即可； （3）根据“和谐方程”定义得出，把代入得出根据非负数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵方程中，，， ∴， ∴方程是“和谐方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， 解得：， 解方程， 解得； （3）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， ∴， ∴ ， ， ， 即代数式的最小值为． 10．（25-26八年级上·福建泉州·期末）在解勾股定理应用题时，我们常会遇到一元二次方程．这个问题，其实我们可以利用因式分解的方法来解决．例如：解方程：． 首先，对代数式因式分解：， 于是，原方程变为， 然后，利用“零与任何数相乘得零”的原则，将原方程拆分成两个一元一次方程． 在代数中， 若，则； 若，则． 所以原方程可拆分成：或，从而得到原方程的解：或． (1)因式分解：； (2)如图1，已知中，，，．将沿折叠，点的对应点落到内部；延长，交于．恰好为的中点，，试求之长； (3)现有一个长为，宽为的可折叠长方形卡纸（如图2），先竖直对折，后水平对折，再沿虚线剪去一角（如图3），展平后得到一个边长相等的八边形（如图4，阴影部分的八边形的每条边都相等）．试求剪口（图3中的虚线）的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程—因式分解法、一元二次方程的应用、勾股定理的应用、剪纸问题，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程是关键． （1）直接因式分解即可； （2）依据题意，设，则，，又，可得，则，进而计算可以得解； （3）依据题意，如图，设，，从而，即，再由，求出后即可计算得解． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）设，则， 由折叠，，则， 为的中点， ， ， ， ，即， 因式分解，得， 或， 或（舍去）， ； （3）由题意，如图，设，， 则， ，解得， ，即， 把代入，得， 整理得， 因式分解，得， 或， 解得或（舍去）， ，， 剪口的长， 答：剪口的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 一元二次方程 思维导图 2.1 一元二次方程 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 判定一元二次方程需要满足三个条件： 1. 是整式方程，分母中不含未知数，根号内不含未知数； 2. 只含有一个未知数； 3. 未知数的最高次数是2，三个条件缺一不可。 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是：ax2 + bx + c = 0（，a、b、c是常数）。 其中： · 是二次项，a是二次项系数； · bx是一次项，b是一次项系数； · c是常数项。 注意：是一般形式的必要条件，如果，方程就变成了一元一次方程，因此讨论一元二次方程时，默认二次项系数a不为0。 一元二次方程的根 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 一元二次方程最多有2个实数根，也可能有1个（两个相等的实数根）或者0个实数根。 2.2 一元二次方程的解法 直接开平方法 如果一元二次方程可以变形为(x + m)2 = n（）的形式，那么就可以通过直接开平方得到，进而解得。 适用情况： 1. 形如（）的方程，解为； 2. 形如(mx + n)2 = p（）的方程，解为，整理后得到两个根。 如果p < 0，方程没有实数根。 配方法 配方法是通过配方将一元二次方程转化为完全平方式，再用直接开平方法求解的方法，步骤如下： 1. 化二次项系数为1：方程两边同时除以二次项系数a，得到； 2. 移项：把常数项移到方程的右边，得到； 3. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式：，即； 4. 开方求解：如果右边的结果是非负数，就可以直接开平方求解；如果右边是负数，则方程没有实数根。 配方法是推导求根公式的基础，也常用于代数式的最值求解或者变形。 公式法 公式法是利用一元二次方程的求根公式直接求解的方法，对于一般形式（），通过配方法可以推导得到求根公式： 使用公式法解一元二次方程的步骤： 1. 把方程整理为一般形式，确定a、b、c的值（注意符号）； 2. 计算判别式，判断根的情况： · 当时，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式计算得到两个根； · 当时，方程有两个相等的实数根，； · 当时，方程没有实数根。 因式分解法 如果一元二次方程的左边可以分解为两个一次因式的乘积，右边是0，那么可以令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程就可以得到原方程的根，这种方法叫做因式分解法。 理论依据：如果两个数的乘积为0，那么至少其中一个数为0，即，则或。 常见的因式分解方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法。 用因式分解法解方程的步骤： 1. 将方程整理为右边是0的形式； 2. 将左边分解为两个一次因式的乘积； 3. 令每个因式为0，得到两个一元一次方程； 4. 解一元一次方程，得到原方程的根。 四种解法对比：直接开平方法最简单，适合特殊形式的方程；因式分解法次之，是解一元二次方程的首选方法；公式法适合所有一元二次方程；配方法较少直接用于解方程，多用于推导公式或者解决最值问题。 2.3 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 对于一元二次方程（，），如果方程的两个根是和，那么根与系数满足关系： 这个关系就是一元二次方程根与系数的关系，也叫做韦达定理。 常见结论与应用 1. 对于二次项系数为1的方程，根与系数关系简化为，； 2. 利用韦达定理可以求代数式的值，常见变形： · · · · 3. 已知方程的一个根，求另一个根以及方程中的参数：利用两根和或者两根积的关系直接计算； 4. 已知两根，求作一元二次方程：以为根的一元二次方程（二次项系数为1）是； 5. 判定根的性质，结合判别式可以判断两根的符号： · 若，说明两根同号，此时若，两根都是正数；若，两根都是负数； · 若，说明两根异号，此时若，正根的绝对值更大；若，负根的绝对值更大。 注意：韦达定理使用的前提是方程是一元二次方程（即），且方程有实数根（即），解题时不要漏掉这个隐含条件。 2.4 用一元二次方程解决问题 列一元二次方程解应用题的一般步骤 1. 审：读懂题意，明确已知量和未知量，找出等量关系； 2. 设：设未知数，可以直接设未知数（问什么设什么），也可以间接设未知数； 3. 列：根据等量关系列出一元二次方程； 4. 解：解这个一元二次方程，求出未知数的值； 5. 检：检验解出的值是否满足方程，还要检验是否符合实际问题的意义； 6. 答：写出答案，回答题目所问的问题。 常见应用题类型及等量关系 1. 增长率（降低率）问题 · 增长率问题：设基数为a，平均增长率为x，增长n次后的量为b，则有等量关系：，常见（增长两次）。 · 降低率问题：设基数为a，平均降低率为x，降低n次后的量为b，则等量关系：。 2. 利润问题 总利润 = 单件利润 × 销售量； 总利润 = 总售价 - 总成本； 单件利润 = 售价 - 成本。 通常情况下，销售量会随着售价的变化而变化，根据变化关系表示出销售量和单件利润，再结合总利润列出方程。 3. 面积问题 根据图形的面积公式，结合图形的边长关系列出方程，常见题型： · 矩形中修道路（横竖道路），剩余部分面积为一定值，设道路宽度为x，把剩余部分拼接成新的矩形，新矩形的长和宽分别比原矩形少x（横、竖各一条的情况），再根据面积列方程； · 围栏围矩形（一面靠墙，用围栏围另外三边），已知围栏总长度和矩形面积，设垂直于墙的边长为x，表示出平行于墙的边长，再根据面积公式列方程； · 正方形、矩形截去小正方形折无盖盒子，根据盒子的底面积或者体积列方程。 4. 动点问题 设运动时间为t，用含t的代数式表示出动点位置对应的线段长度，再结合面积、勾股定理等关系列出一元二次方程求解，注意根据动点的运动范围确定t的取值范围，舍去不符合实际的解。 5. 传播问题 第一轮感染后总人数为，第二轮每个人感染x人，第二轮感染后总人数为(1 + x)(1 + x)=(1 + x)2，以此类推，n轮后总人数为(1 + x)n，结合总感染人数列方程。类似的还有分支问题、握手问题、单循环比赛问题：若有n个队参加单循环比赛，总比赛场次为，给定总场次后即可列方程求解。 注意事项 列方程解应用题时，得到的解必须检验是否符合实际意义，比如长度不能为负，增长率不能大于1（降低率也不能大于1，否则会出现负数结果），人数为正整数等，不符合实际的解要舍去。 【类型一】一元二次方程的定义 1．下列各方程一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若关于的方程是一元二次方程，则________． 【类型二】一元二次方程的一般形式 1．方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．一元二次方程化成一般形式为________． 【类型三】列一元二次方程 1．四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 2．足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．据统计延边州2023年国内游客数量为2646万人次，2025年国内游客数量7813万人次．设这两年延边州国内游客数量的平均增长率为，根据题意，可列方程为________． 【类型四】一元二次方程根的判别式 1．一元二次方程 的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等实数根 D．无法判断 2．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___． 3．已知关于的一元二次方程． (1)当为何值时，方程有两个实数根？ (2)若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 【类型五】一元二次方程的解法一直接开平方法 1．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 2．方程 的解是______． 3．用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 【类型六】一元二次方程的解法一配方法 1．把一元二次方程配方转化成的形式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的方程可以配方成，那么______． 3．解方程：． 【类型七】一元二次方程的解法一公式法 1．一元二次方程的实数根是（    ） A． B． C．， D． 2．对于任意实数a，b，定义．若，则a的值为____． 3．用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 【类型八】一元二次方程的解法一因式分解法 1．定义一种新运算，规定：，如：，则方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 2．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是________． 3．计算 (1)（公式法） (2)（因式分解法） (3)（配方法） 【类型九】一元二次方程的应用—增长率问题 1．某制造企业为分析一季度到二季度初的生产经营状况，统计了产值增长数据：今年月份产值为万元，月份产值为万元，设该企业月份至月份产值平均每月的增长率为，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 2．2025年某公司一月份的销售额是100万元，要使三月份的销售额达到144万元，平均每月销售额增长的百分率为_________． 3．某旅游景区2025年第一季度游客人数达100万人次，第二季度的游客人数比第一季度的下降，随着暑假和“十一”黄金周的到来，第三、四季度游客人数稳步上升，其中第四季度游客人数达129.6万人次． (1)求第三、四季度游客人数的平均增长率； (2)求该旅游景区一年（四个季度）接待游客的总人数． 【类型十】一元二次方程的应用—数字问题 1．已知两个连续偶数的积为168，若设其中较大的一个偶数为x，则可得方程为（） A． B． C． D． 2．一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为，则根据题意可列方程为_____． 3．第十四届国际数学教育大会（ICME−14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME−14的举办年份． (1)八进制数123换算成十进制数是___________； (2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值． 【类型一】一元二次方程的根与系数关系 1．已知一元二次方程的一个根为2，则另一个根为（     ） A． B． C．2 D．1 2．已知m，n是方程的两个实数根，则（     ） A．1 B．10 C． D． 3．若方程的两个根分别为，，则的值为_________． 【类型二】一元二次方程的赋根求值 1．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 2．已知是方程的一个实数根，则方程 一定有一个实数根是（   ） A． B． C． D． 3．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 【类型三】一元二次方程的整体求根 1．若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 2．若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 3．已知一元二次方程的两根为，则的两根为______． 【类型四】韦达定理变形求值 1．若，是方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．若一元二次方程的两个根为，，则代数式的值为________． 3．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，其中为实数． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【类型五】一元二次方程的新定义运算 1．若对于任意实数a，b，c，d，定义   ＝ad－bc，按照定义，若 ＝0，则x的值为（    ） A． B． C．3 D． 2．对于实数，，定义运算“”：，关于的方程有两个不相等的实数根，的取值范围是__________． 3．定义新运算：对于任意实数m、n都有．例如：．根据以上定义解决问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【类型六】一元二次方程的应用一图形问题 1．小明把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为，设剪去的正方形边长为，那么x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 2．学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若要使总长为的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为，则的长为__________． 3．学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（门不用栅栏，处使用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田的长为x米． (1)的长为 米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【类型七】一元二次方程的应用—销售问题 1．列方程（组）解应用题 端午节是中国传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗．在端午节来临之际，某超市准备了一批粽子，每盒进价元，售价元，每天可售出盒．超市为了让利顾客，决定降价销售．根据市场调研，若每盒售价每降价元，每天销量将增加盒，若要实现每天销售利润元，则每盒应降价多少元销售？ 2．吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 3．某书店老板购进一批进价为20元/本的儿童绘本，试销阶段发现这种儿童绘本的日销售量（本）与销售单价（元）的函数图象如下，请解决如下问题： (1)求该儿童绘本的日销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)如果该书店的房租、水电费、人工费等每天的支出为200元，该书店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该儿童绘本的销售单价应定为多少元？ 【类型八】一元二次方程的应用一收费问题 1．高邮是一座历史悠久，文化底蕴深厚的国家历史文化名城，拥有独特的非物质文化遗产，文化名人辈出．某公司组织一批员工到高邮游玩，支付给旅行社29250元．该旅行社的收费标准如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加一人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元 求该公司参加旅游的员工人数． 2．康辉旅行社推出了一则红色旅游促销广告如下： 我社推出去广安小平故里红色旅游，收费标准为： ①组团人数不超过30人，人均收费800元； ②组团人数超过30人，每增加1人，人均收费降低10元．但人均收费不得低于500元． 在“不忘初心，牢记使命”主题教育活动期间，某单位决定分批组织全体职工参观学习，缅怀改革开放的总设计师邓小平同志． (1)如果该单位第一批组织40人去参观学习，则公司应向旅行社交费多少元？ (2)如果该单位计划用29250元组织第一批职工去学习，问这次参观学习应安排多少人参加？ 3．某单位于“三八”妇女节期间组织女职工到金宝乐园观光旅游．下面是领队与旅行社导游就收费标准的一段对话． 领队：组团去金宝乐园旅游每人收费是多少？ 导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元． 领队：超过25人怎样优惠呢？ 导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团游览金宝乐园结束后，共支付给旅行社2700元． 请你根据上述信息，求该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有多少人． 【类型九】一元二次方程的规律问题 1．【观察思考】如图所示，是用图形“”和“●”按一定规律设计的图案． (1)【规律发现】第⑥个图案中“●”的个数为 ，第个图案中“●”的个数为 （用含的代数式表示）； (2)【规律发现】第①个图案中“”的个数可表示为，第②个图案中“”的个数可表示为，第③个图案中“”的个数可表示为，第④个图案中“”的个数可表示为，…，第⑥个图案中“”的个数为 ，第个图案中“”的个数为 （用含的代数式表示）； (3)【规律应用】按照此规律继续摆下去，第个图案中的“”的个数是“●”个数的倍，求的值． 2．我国苏州园林中花窗的纹样有各种形状，有云纹、鱼鳞纹、蝙蝠纹、梅花纹、冰裂纹等，不仅具有装饰作用，还蕴含了丰富的文化内涵和象征意义，如下左图是海棠纹样，象征富贵、美丽和吉祥． 【探究规律】聪明的小明同学在综合实践课上，把大小相同的海棠纹样按如上图所示的规律摆放：第一个图形有5个纹样，第二个图形有9个纹样，第三个图形有15个纹样，……按此规律依次摆放． （1）第四个图形有_______个纹样，第五个图形有_______个纹样． 【总结规律】（2）第n个图形有_______个纹样（用含n的代数式表示）． 【应用规律】（3）是否存在相邻的两个图形的纹样个数和为248？若存在，求出是哪两个图形？若不存在，请说明理由． 3．综合与实践：钢管堆砌与图形规律探究 【项目主题】某校数学实践小组在参观钢结构加工厂时，发现钢管常按一定规律堆砌存放．为了优化仓库空间使用，提高效率，他们决定对钢管的堆砌规律展开数学研究． 【项目准备】1．观察现象 钢管的横截面堆砌成如下形状（图示，2，3，4的情形），其中上方的数字表示该位置钢管的总数量； 2．规律猜想 小组初步猜想：第n个图的钢管总数S可以按“行”来观察，并尝试用算式表达． 【项目分析】1．统一符号：设第n个图的钢管总数为 2．任务分解： 任务一：按“行”的方式写出和的算式，归纳的表达式． 任务二：换一种分割方式（如按“列”或“斜线”），重新表达． 任务三：建立第n个图钢管总数的通用公式，并用于计算较大n时的数量． 【项目实施】问题一：按行分割的规律归纳 1．请补全下表： 图形 算式 ① ② 2．根据规律，写出第n个图的算式（不化简）： ③． 问题二：换一种眼光看图形 请你对的图形进行另一种方式的分割（如按“列”或“斜线”），并在下表中写出你发现的算式表达： 图形 算式 ④ ⑤ 问题三：建立通用公式【提示：】 将你在问题一中得到的第n个图的算式化简，写出关于n的代数表达式： ⑥； 根据以上信息，完成下面内容： (1)将上方空白内容补充完整： ①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________；⑥__________； (2)若某堆钢管的，求n的值． 【类型一】一元二次方程的估算 1．根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 2．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． 3．在估算一元二次方程的根时，小晗列表如表： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 由此可估算方程的一个根x的范围是______． 【类型二】一元二次方程的特殊解法—换元法 1．已知实数m，n满足，则的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 2．已知实数满足，则代数式的值是____． 3．【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； (2)若 ，则______； (3)参照上面解题的思想方法解方程： ． 【类型三】一元二次方程的特殊解法—十字相乘法 1．将分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，． 【解决问题】 (1)分解因式：（ ）（ ） (2)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． 2．阅读下列材料： （1）将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： ，． ②交叉相乘，验中间项：    ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 3．（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①竖分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【类型四】一元二次方程的特殊解法一换根法 1．综合与实践 我们把利用方程根的代换求新方程的方法称为换根法，核心解题步骤为：设新方程的根为y，根据根的对应关系，用含y的代数式表示原方程的根x；将x代入原方程，化简后得到关于y的新方程． 例：已知方程，求根为原方程根2倍的新方程． 解：设新方程的根为y，则，即，代入原方程得，化简得，即为所求方程． (1)基础应用 已知方程，用换根法求一个一元二次方程，使它的根是原方程根的相反数； (2)能力提升 已知方程，用换根法求一个新的一元二次方程，使它的根分别比原方程的根大1； (3)综合拓展 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为1和3，求一元二次方程的两实数根． 2．问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程， 得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为______． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为______． (3)已知关于x的一元二次方程（）有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 3．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 换根法 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 任务： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_____． (2)已知关于的一元二次方程有两个均不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．（要求：把所求方程化为一般形式） (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，请直接写出关于的一元二次方程的两根． 【类型五】配方法的应用 1．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是2． (1)代数式的最小值为___________． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)如图，在等腰中，，点为边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接．若，求的面积的最大值． 2．【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把分解因式． (2)代数式的最小值是___________（直接写答案）． (3)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 3．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：． 原式． ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，．因为不论取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：_____； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由． 【类型六】一元二次方程的应用一几何动点问题 1．如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 2．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 3．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示：______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 【类型七】根与系数对称式 1．学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程开展探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 2．阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程的两个根为，则． 材料2：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则_____，_____； (2)应用探究：已知实数满足：且，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足：，求的值． 3．阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： 已知实数a，b满足，，则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：已知实数a，b满足，，且，求的值． (2)思维拓展：已知实数a，b满足，，且，求的值． 【类型八】勾股圆方圆说 1．我国古代数学家_________（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个长方形的面积加上中间小正方形的面积，即面积为_________，因此________． (1)将空白处补充完整； (2)作出方程解法的构图． 2．根据数学名著《勾股圆方注》中所记，我们发现可以利用几何方法求得一些一元二次方程的正根．如图，将四个长为m，宽为n的长方形纸片和一个小正方形拼成一个大正方形． (1)求解方程的正根，可令，，则图中每个长方形的面积为6． ①小正方形，大正方形的面积各是多少？ ②利用大正方形的边长，请你求出方程的正根． (2)小明用此方法求关于的方程（t为常数，且）的正根，构造了同样的图形，已知小正方形的面积为25，求t的值． 3．【示范操作】方法1：我们学习了利用配方法解一元二次方程，对于，可以变形为，配方的过程可以转化为图形的“割”“拼”“补”，如图1所示，得． 方法2：古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了更加简捷的配方方法，只用了“拼”完成了配方，用四个长为、宽为x、面积为24的矩形，拼成如图2所示的大正方形，利用大正方形的面积等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积可以得到． 【模仿实践】（1）仿照方法2的配方方法解方程，先变形为________，如图3，每个小长方形的长为 ________ ，宽为 ______． 【深入探究】（2）仿照方法2的配方方法解方程，画图分析，并写出解题过程 【类型九】一元二次方程的新定义应用 1．探究与应用 【知识定义】密码学是数学的重要应用之一．在密码学中，有一种简单的加密方法是将数字信息转化为用一元二次方程的根重新组成一个数．现在，这样定义：若一元二次方程的两个实数根均为正整数，且满足，则称该方程为“密码方程”，其根组成的数（较大的根在左，较小的根在右）称为“密码数”． 【知识理解】例如：对于方程，两根和均为正整数，且满足，所以此方程为“密码方程”，“密码数”是121；对于方程，由于，所以此方程不是“密码方程”；对于方程，两个根分别为，（不是正整数），所以此方程不是“密码方程”． 【问题解决】根据以上信息，请回答以下问题： (1)请判断以下两个方程是否为“密码方程”，请说明理由，如是，并写出其“密码数”； ①； ②． (2)已知方程是“密码方程”，“密码数”是31，求和的值； 2．阅读材料： 法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“根与系数的关系”可表述为：，，借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”根的特征探究．定义： ①倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的3倍，则称这样的方程为“倍根方程”． ②方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． 根据上述材料，解答下列问题： (1)判断方程是______（填“①倍根方程”或“②方根方程”）． (2)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求c的值． (3)若关于x的一元二次方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，求的值． 3．我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为、，定义有序数对为该方程的特征数对（其中，）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，，，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：（，），特征数对； 方程②：（，），特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”． 解答下列问题： (1)【概念辨析与计算】已知关于x的方程（k为整数）是“全整根方程”． ①则该方程的两根分别为 ， ； ②若其特征数对为，求k的值． (2)【关联探究与推理】若方程和都是全整根方程，且它们的两根分别为，和，．请用含a，b的代数式表示p，q． (3)【验证与拓展】某同学利用工具生成了“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值． 【类型十】特殊方程一无理方程 1．阅读与思考 材料：像这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 解法如下：移项： 两边平方：． 解这个一元二次方程：，．…… (1)任务：磊磊认为材料中一元二次方程的两个根就是无理方程的解；小琪认为一元二次方程的根并不满足无理方程，还应考虑的值非负． 请写出你所认为的材料中无理方程正确的解：_________． (2)应用：解无理方程． 2．阅读理解：转化思想是常用数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．利用转化思想，我们可以解一些新的方程． 例如无理方程（根号下含有未知数的方程），解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程必须检验． 例：解方程． 解：两边平方得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 代入原方程中不合理，是原方程的增根． 原方程的根是． 解决问题： (1)已知关于的方程有一个根是，那么的值为_____； (2)仿照以上方法，解方程：； (3)请你回顾以上解答过程，总结与反思转化的数学思想，并应用转化思想解如下方程：． 3．【阅读与思考】为了落实“内容结构化”理念，进行单元整体教学，李老师在讲授完“一元二次方程”后，对初中阶段各类方程（组）的解法进行了系统总结：它们解法虽不尽相同，但基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知：通过“消元”“降次”“去分母”等把“多元方程”“高次方程”“分式方程”转化为“一元一次方程”再求解．利用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程． 例如：形如这种根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 解法如下： 移项，得：． 两边同时平方，得：，即， 解这个一元二次方程，得：． …… 【任务】 (1)小虎认为材料中这个一元二次方程的两个根就是原无理方程的解；小豫认为这个一元二次方程的根并不都满足原无理方程，还应考虑的双重非负性．请写出你所认为的材料中无理方程正确的解： (2)解下列方程：①；②． 【类型十一】优美的黄金分割 1．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数满足，且，请证明：是一元二次方程的两个根； (3)已知两个不相等的实数满足，求的值． 2．关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值； (3)已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 3．【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值． 我们知道：如图①，如果，则点为线段的黄金分割点． (1)【问题发现】如图①，点为线段的黄金分割点，请直接写出的值为 ； (2)【尺规作黄金分割点】如图②，在中，，，，在上截取，在上截取，求的值； (3)【问题解决】如图③，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接；再次折叠正方形使与重合，点对应点，得折痕，试说明：点是线段的黄金分割点． 1．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则它的另一个根是（     ） A． B．3 C． D． 3．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）下列方程中有实数根的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，则道路的宽为（    ）m A．2 B．3 C．4 D．1 5．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则的值为______． 6．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）一件原价为100元的衣服经过两次降价后的价格为81元，若设每次降价的百分率都是x，则可列方程为______． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知关于的方程（、、为常数，）的解是，，那么方程的解为_______． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 9．（25-26八年级下·山东东营·阶段检测）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一天进馆64人次，进馆人数逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过120人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 10．（25-26八年级下·安徽安庆·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)讨论该一元二次方程实数根的情况； (2)当时，方程是否有两个不相等的实数根？若有，设这两个根都是不大于的正整数，求出满足条件的所有的值；若没有，请说明理由． 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·四川南充·期中）一元二次方程两根之积为（    ） A． B． C．2 D． 3．（25-26九年级下·山东烟台·期中）对于任意4个实数定义一种新的运算，例如：，则关于的方程的根的情况为（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 4．（25-26七年级下·福建南平·期中）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，那么的值为（  ） A．0 B． C．1 D． 5．（24-25九年级上·山西朔州·期中）若是方程的一个实数根，则代数式的值为__． 6．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是__________． 7．（25-26八年级下·浙江温州·期中）有一长方形木板如图1切割，将其中4块重新拼接成新长方形如图2，多出一个图形⑤，若，，且m，n是一元二次方程的两根，则图形⑤的面积为_______． 8．（25-26八年级下·山东烟台·期中）解方程 (1)；（配方法） (2)； (3)； (4)．（公式法） 9．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 10．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）某社区为丰富居民文化生活，新建了一个图书室，初始藏书量为200册．参照以往的管理统计，当每本书的月借阅费定为6元时，所有藏书均可被借出；月借阅费每增加1元（增加费用不超过5元），未被借出的图书将增加4册；已借出的书每册月维护成本为2元（包括消毒、修补）；未被借出的书每册月仓储管理成本为1元． (1)当月借阅费为10元时，求图书的借阅量； (2)设每本书的月借阅费增加a元，写出该图书室月维护与管理成本的总和（用含a的代数式表示）； (3)若每月借阅利润为1144元，求每本书的月借阅费． 1．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）若是关于的方程的一个实根，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·期末）如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒的速度）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南商丘·期末）对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知一元二次方程的两个根为，，则的值为________． 6．（24-25八年级下·上海·期末）用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是_________． 7．（25-26八年级上·上海·期末）在中，，，分别将，向内对折，使得，重合，折痕分别为，且分别交于点．若，则的长为_____． 8．（25-26九年级上·福建泉州·期末）某小区计划在一块矩形空地上修两条宽度相同且相互垂直的小路，小路两侧空余部分种花，如图，若矩形长为，宽为，种花的总面积为．求道路的宽度． 9．（25-26九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”． (1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值． 10．（25-26八年级上·福建泉州·期末）在解勾股定理应用题时，我们常会遇到一元二次方程．这个问题，其实我们可以利用因式分解的方法来解决．例如：解方程：． 首先，对代数式因式分解：， 于是，原方程变为， 然后，利用“零与任何数相乘得零”的原则，将原方程拆分成两个一元一次方程． 在代数中， 若，则； 若，则． 所以原方程可拆分成：或，从而得到原方程的解：或． (1)因式分解：； (2)如图1，已知中，，，．将沿折叠，点的对应点落到内部；延长，交于．恰好为的中点，，试求之长； (3)现有一个长为，宽为的可折叠长方形卡纸（如图2），先竖直对折，后水平对折，再沿虚线剪去一角（如图3），展平后得到一个边长相等的八边形（如图4，阴影部分的八边形的每条边都相等）．试求剪口（图3中的虚线）的长． 学科网（北京）股份有限公司 $