精品解析：辽宁省锦州市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

辽宁省锦州市20242025学年高二下学期期末考试数学试卷 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选除其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有件合格品，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列中，，则（ ） A. B. C. D. 5 3. 在经济学中，通常把生产成本关于产量的导数称为边际成本.设生产个单位产品的生产成本函数是，则生产4个单位产品时，边际成本是（ ） A. 2 B. 8 C. 10 D. 16 4. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 5. 已知则（ ） A. B. C. D. 6. 数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且），则数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则.今有一批数量庞大的零件，假设这批零件的某项质量指标为（单位：毫米），且，现从中随机抽取10000个，其中恰有个零件的该项质量指标位于区间.则的估计值为（ ） A. 6895 B. 8400 C. 9545 D. 9973 8. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 统计学里一般用线性相关系数衡量两个变量与之间线性相关性强弱，下列关于相关系数的叙述中，正确的是（ ） A. B. 当与正相关时， C. 越小，得出的与之间的回归直线方程越没有价值 D. 越大，具有相关关系的两个变量与的线性相关程度越强 10. 已知函数与其导函数的图象如图所示，设，则（ ） A. 曲线为函数的图象 B. 曲线为函数的图象 C. 函数在区间上是增函数 D. 函数在区间上是减函数 11. 已知一组样本数据：-1，a，b，9，其中，将该组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是（ ） A. 排列后得到的新数列可能既是等比数列又是等差数列 B. 若排列后得到的新数列成等比数列，和有4组可能取值 C. 若排列后得到新数列成等差数列，和有2组可能取值 D. 这组数据方差最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从两点分布，且，若，则___________. 13. 写出数列的一个递推公式：，___________；一个通项公式：___________. 14. 若，则实数的取值范围是___________.（参考数据：） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在-2处取得极值-14. （1）求a，b的值； （2）求曲线在点处的切线方程. 16. 某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利20元、18元、16元，现从A，B生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图： 一等级 非一等级 合计 A生产线 B生产线 合计 （1）根据已知数据，完成列联表并判断有的把握认为是否为一等级产品与生产线有关吗？ （2）以频率代替概率，分别计算两条生产线单件产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定？ 附：，其中. 0.050 0010 0.005 3.841 6635 7.879 17. 已知甲、乙两个箱子中各装有9个大小相同的球，其中甲箱中有4个红球、5个白球，乙箱中有2个红球、7个白球.定义一次“交换”：先从其中一个箱子中随机摸出一个球放入另一个箱子，再从接收球的箱子中随机摸出一个球放回原来的箱子.每次“交换”之前先拋掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1，6，则从甲箱开始进行一次“交换”；若点数为2，3，4，5，则从乙箱开始进行一次“交换”. （1）求第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率； （2）已知第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球.第二次“交换”后，设乙箱中白球的个数为，求随机变量的分布列和数学期望. 18. 已知函数为实常数，，其中. （1）时，讨论的单调性； （2）求的最值； （3）时，证明：. 19. 已知数列的首项的前项和为，且. （1）证明数列等比数列； （2）令，求函数在点处的导数； （3）设，是否存在实数，使对任意正整数都成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省锦州市20242025学年高二下学期期末考试数学试卷 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选除其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出4件产品中有件合格品，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由超几何分布的均值公式即可求解. 详解】由题可得服从超几何分布，且， 所以. 故选：D 2. 已知数列中，，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】依次求出数列前几项得出数列周期即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以，...， 所以数列是周期为3的数列，所以. 故选：A 3. 在经济学中，通常把生产成本关于产量的导数称为边际成本.设生产个单位产品的生产成本函数是，则生产4个单位产品时，边际成本是（ ） A. 2 B. 8 C. 10 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到边际成本即，对函数求导，代入数值4即可. 【详解】，， 所以生产4个单位产品时， 故选：A 4. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】先由题设结合等差数列分段和性质求出，再由即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题， 所以. 故选：C 5. 已知则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率的定义，利用条件分别求得和，从而求得. 【详解】由题知，，， ， 又， 则. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用条件概率的定义分别求得事件同时发生的概率，再利用求得. 6. 数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且），则数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据与的关系求得，进而求出，利用裂项相消求和法即可求解. 【详解】由题意知①， 当时，， 当时，②， ①-②，得， 若，，符合题意， 所以，则， 所以， 则 . 故选：D. 7. 若，则.今有一批数量庞大的零件，假设这批零件的某项质量指标为（单位：毫米），且，现从中随机抽取10000个，其中恰有个零件的该项质量指标位于区间.则的估计值为（ ） A. 6895 B. 8400 C. 9545 D. 9973 【答案】B 【解析】 【分析】先由题设求出，从而得到，再求出即可得解. 【详解】由题可得， 则，所以. 所以则的估计值为. 故选：B 8. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数研究的单调性可得，利用对数函数的单调性可得，综合可得结论. 【详解】，则，由，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∵，∴， ， 而，则，可得， 则，即， 综上，. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 统计学里一般用线性相关系数衡量两个变量与之间线性相关性强弱，下列关于相关系数的叙述中，正确的是（ ） A. B. 当与正相关时， C. 越小，得出的与之间的回归直线方程越没有价值 D. 越大，具有相关关系的两个变量与的线性相关程度越强 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据相关系数的定义和性质即可逐一判断. 【详解】对于A，相关系数的为，故A正确； 对于B，当与正相关时，，故B正确； 对于C，越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱， 因为回归直线方程是基于变量之间的线性关系建立的， 当线性相关性弱时，用回归直线来描述变量之间的关系就不准确，即意味着回归直线方程越没有价值，故C正确； 对于D，越大，具有相关关系的两个变量与的线性相关程度越强，故D错误. 故选：ABC 10. 已知函数与其导函数的图象如图所示，设，则（ ） A. 曲线为函数的图象 B. 曲线为函数的图象 C. 函数在区间上是增函数 D. 函数在区间上是减函数 【答案】BD 【解析】 【分析】由导数正负与函数单调性关系明确两曲线所代表的函数图象即可判断AB；利用导数工具结合图象即可分析求解函数的单调性即可判断CD. 【详解】对于AB，因为时单调递增，时单调递减， 所以由图可知曲线M为函数的图象，曲线N为函数的图象， 故A错误，B正确； 对于CD，由图可知当时，时， 因为，所以当时，时， 所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 故C错误，D正确. 故选：BD 11. 已知一组样本数据：-1，a，b，9，其中，将该组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是（ ） A. 排列后得到的新数列可能既是等比数列又是等差数列 B. 若排列后得到的新数列成等比数列，和有4组可能取值 C. 若排列后得到的新数列成等差数列，和有2组可能取值 D. 这组数据方差的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】数列的性质进行判断，非零常数列既是等比数列又是等差数列，判断出A错误；由等比数列的性质，将四个数进行排列为一正一负相邻，求出相应的值；由等差数列的性质以及的范围，举例求解；得出B,C正确；用特殊值法求出方差还有更小的，得出D错误. 【详解】对于A，若数列既是等比数列又是等差数列，则该数列为非零常数列，而，且数列中的项有，，不可能构成常数列，故A错误； 对于B，若排列后的新数列为等比数列，则不可能有0，则， 故设新数列的公比为，则有，且数列相邻两项异号； 数列可能为，此时，则； 数列可能为，此时，则，； 数列可能为，此时，则； 数列可能为，此时，则； 数列可能为，此时，则； 数列可能为，此时，则； 数列可能为，此时，则； 数列可能为，此时，则； 综上所述，和有4组可能取值，故B正确； 对于C，若排列后得到的新数列成等差数列，设公差为 若在首项，不论在第几项，都有，不符合题意， 若两项相邻，且不在首项，则或者， 此时有，， 符合题意的数列为或者； 若中间仅有一项，且不在首项，则，或者， 此时有， 符合题意的数列为或者， 故和有2组可能取值，故C正确； 对于D，该组数据的平均数为， 当尽可能接近平均数，方差越小， 方差为， 当时，， 方差，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从两点分布，且，若，则___________. 【答案】0.6## 【解析】 【分析】根据两点分布的性质可求得，进而由得出结果. 【详解】随机变量服从两点分布，且，则， 若，可知，则. 故答案为：0.6. 13. 写出数列的一个递推公式：，___________；一个通项公式：___________. 【答案】 ①. （答案不唯一）； ②. . 【解析】 【分析】观察分析得即可得递推公式，根据递推公式结合累加法即可求通项公式. 【详解】记数列的第n项为， 则 依此类推可得， 所以可得数列的一个递推公式为； 所以. 故答案为：； 14. 若，则实数的取值范围是___________.（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】将题设变形为，进而得到时，接着求出的最小值即可得解. 【详解】即， 所以时恒有或， 或者有相同的零点，且零点同侧两函数的函数值符号相同； 因为有相同的零点,此时 当时； 当时； 所以符合题意； 因为时不恒有，所以时， 又，所以且， 因为，所以当时，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以且，所以. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在-2处取得极值-14. （1）求a，b值； （2）求曲线在点处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)求得，根据题意得到，即可求解； （2）由（1）得到，，得出切点处点斜式方程 【小问1详解】 ,根据题意得到，解得：， 【小问2详解】 ，， ，， 点处的切线点斜式方程为：， 即 16. 某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利20元、18元、16元，现从A，B生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图： 一等级 非一等级 合计 A生产线 B生产线 合计 （1）根据已知数据，完成列联表并判断有的把握认为是否为一等级产品与生产线有关吗？ （2）以频率代替概率，分别计算两条生产线单件产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定？ 附：，其中. 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）列联表见解析；没有的把握认为一等级产品与生产线有关； （2）A生产线的获利更稳定. 【解析】 【分析】（1）先由题设先写列联表，接着进行零假设和计算卡方值，由卡方值以及小概率值的独立性检验思想即可下结论； （2）设A，B两条生产线单件产品获利分别为元，依次求出两生产线的方差即可得解. 【小问1详解】 由题可得A生产线生产的100件产品中一等级产品数有，B生产线生产的100件产品中一等级产品数有， 所以列联表如下： 一等级 非一等级 合计 A生产线 20 80 100 B生产线 30 70 100 合计 50 150 200 零假设一等级产品与生产线无关， 由列联表得， 所以依据小概率值的独立性检验，没有充分证据可以推断不成立， 则可以推断成立，即没有的把握认为一等级产品与生产线有关. 【小问2详解】 设A，B两条生产线单件产品获利分别为元， 则由频数分布直方图可得的分布列为 P 20 18 16 X 0.2 0.6 0.2 所以， 所以， 由频数分布直方图可得的分布列为 P 20 18 16 Y 0.3 0.4 03 所以， 所以， 因为，所以A生产线的获利更稳定. 17. 已知甲、乙两个箱子中各装有9个大小相同的球，其中甲箱中有4个红球、5个白球，乙箱中有2个红球、7个白球.定义一次“交换”：先从其中一个箱子中随机摸出一个球放入另一个箱子，再从接收球的箱子中随机摸出一个球放回原来的箱子.每次“交换”之前先拋掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1，6，则从甲箱开始进行一次“交换”；若点数为2，3，4，5，则从乙箱开始进行一次“交换”. （1）求第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率； （2）已知第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球.第二次“交换”后，设乙箱中白球的个数为，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）分第一次“交换”从甲箱开始与从乙开始两种情况讨论，利用相互独立事件的概率公式计算可得； （2） 首先分析现在箱子中各种颜色球的数量，列出的可能取值，求出相应的概率，即可求出分布列与数学期望. 【小问1详解】 依题意，每次“交换”从甲箱开始的概率为，从乙箱开始的概率为，且每次“交换”后箱子总球数仍然为9个， 要使第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球，则无论从哪个箱子开始“交换”，甲箱中摸出的都是白球，乙箱中摸出的都是红球， 若第一次“交换”从甲箱开始，则第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率为； 若第一次“交换”从乙箱开始，则第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率为； 设第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球为事件， 所以. 【小问2详解】 因为第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球， 所以此时甲箱中有5个红球、4个白球，乙箱中有1个红球，8个白球， 所以的可能取值为 ， ， ， X 7 8 9 p 18. 已知函数为实常数，，其中. （1）时，讨论的单调性； （2）求的最值； （3）时，证明：. 【答案】（1）答案见解析 （2）最小值是，无最大值 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得导函数，对进行分类讨论，根据导数的正负确定单调性即可； （2）求导得，利用导数研究函数的单调性，即可得出最值； （3）要证明，等价于．设，利用导数求的最大值，结合（2）知，证即可． 【小问1详解】 时，，， 当时，，在上单调递减； 当时，由得， 时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减；在上单调递增． 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故的最小值是，无最大值． 小问3详解】 时，， 要证明，需要证明，等价于①， 设，可得， 由得， 时，，单调递增； 时，，单调递减， 则的最大值是，即， 由（2）知， 又因为，即， 所以①式成立，所以． 19. 已知数列的首项的前项和为，且. （1）证明数列是等比数列； （2）令，求函数在点处的导数； （3）设，是否存在实数，使对任意正整数都成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由和作差结合等比数列定义即可求证； （2）先由（1）得，接着计算导数再结合错位相减法和等差等比数列前n项和公式即可计算求解； （3）分为偶数和为奇数分析不等式成立时的参数解即可得解. 【小问1详解】 证明：因为，所以， 所以， 又，即， 所以数列是公比和首项均为2的等比数列. 【小问2详解】 由（1），所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以. 【小问3详解】 不存在，理由如下：由题， 则，设对任意正整数都成立， 则当为偶数时，， 因为为偶数，所以，所以； 当为奇数时，， 因为为奇数，所以，所以， 综上所述，不存在实数，使对任意正整数都成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $