精品解析：辽宁省锦州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

2023~2024学年度第二学期期末考试 高二数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列满足，，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 3. 2021年7月30日，东京奥运会女子七人制橄榄球中国队完胜日本队，该事件吸引了大批大学生开始练习橄榄球，某大学橄榄球社团先对报名者的力量和速度进行综合评分，评分达标者方能被吸收为正式社员.现有400人报名，他们的综合评分服从正态分布，若80分以上为达标，则估计能被吸收为正式社员的人数为（ ） （附：若随机变量，则，，.） A. 18 B. 13 C. 9 D. 5 4. 有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工” ，事件“零件为次品”，则（ ） A. 0.2 B. 0.05 C. D. 5. 已知数列满足：，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前2023项和为（ ） A. B. C. D. 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机事件概率分别为，且，则（ ） A. 事件与事件相互独立 B. 事件与事件相互对立 C. D. 10. 已知函数，下列选项中正确的是（ ） A. 在上单调递增，在上单调递减 B. 有极大值 C. 无最小值 D. 若函数恰有6个零点，则实数取值范围是 11. 已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. C. 数列是等差数列 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，，且，，则__________. 13. 已知数列满足，则__________. 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，且，则不等式的解集是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2. （1）求的值； （2）求在上的值域. 16. 记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列. （1）求通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和. 17. 2024年1月18日是中国传统的“腊八节”，“腊八”是中国农历十二月初八（即腊月初八）这一天．腊八节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式，后逐渐成为民间节日，盛行于中国北方．为调查不同年龄人群对“腊八节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群． （1）在100名受调人群中，得到如下数据： 年龄 了解程度 不了解 了解 30岁以下 16 24 50岁以上 16 44 根据小概率值的独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否存在年龄差异； （2）调查问卷共设置10个题目，选择题、填空题各5个．受调者只需回答8个题：其中选择题必须全部回答，填空题随机抽取3个进行问答．某位受调者选择题每题答对的概率为0.8，知道其中3个填空题的答案，但不知道另外2个的答案．求该受调者答对题目数量的期望． 参考公式： ①． 独立性检验常用小概率值和相应临界值： 01 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ②随机变量X，Y的期望满足： 18. 某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第次传球传给甲运动员的概率为. （1）求，； （2）求表达式； （3）设，证明：. 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质． （1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度第二学期期末考试 高二数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式和复合函数的求导法则，可对选项一一判断即得. 【详解】对于A项，因，故A项错误； 对于B项，，故B项正确； 对于C项，，故C项错误； 对于D项，，故D项错误. 故选：B. 2. 已知等比数列满足，，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】两式相除即可得解. 【详解】因为，，，， 所以. 故选：C 3. 2021年7月30日，东京奥运会女子七人制橄榄球中国队完胜日本队，该事件吸引了大批大学生开始练习橄榄球，某大学橄榄球社团先对报名者的力量和速度进行综合评分，评分达标者方能被吸收为正式社员.现有400人报名，他们的综合评分服从正态分布，若80分以上为达标，则估计能被吸收为正式社员的人数为（ ） （附：若随机变量，则，，.） A. 18 B. 13 C. 9 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求出80分以上的概率，即可求解. 【详解】因为X服从正态分布， 所以， 则估计能被吸收为正式社员的人数为（人）. 故选：C 4. 有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工” ，事件“零件为次品”，则（ ） A. 0.2 B. 0.05 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由全概率公式、条件概率公式和贝叶斯公式，结合已知条件，求解即可. 【详解】根据题意可得：； ； 由全概率公式可得： ； 故. 故选：D. 5. 已知数列满足：，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推公式列出数列前几项，即可找到规律，从而得解. 【详解】因为， 所以，，， ，，，，，， 可知从第6项起数列为周期为3的周期数列， 又，所以. 故选：B 6. 如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定隐函数的导数求法确定斜率，再求出切线方程即可. 【详解】由给定定义得，对左右两侧同时求导， 可得，将点代入，得， 解得，故切线斜率为，得到切线方程为， 化简得方程为，故B正确. 故选：B 7. 现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前2023项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由累加法可得，利用裂项相消求和法求出，即可得解. 【详解】依题意，，，，， 则由累加法得，，因此， 而满足上式，即，则， 所以，. 故选：D 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作商法可得；构建函数，，利用导数判断的单调性，可得，构建，，利用导数判断的单调性，可得. 【详解】显然，， 因为，所以； 又因为，， 令，．则， 可知在上单调递增， 则，可得， 令，，则在内恒成立， 可知在内单调递增， 则，即，所以； 综上所述：． 故选：A． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机事件的概率分别为，且，则（ ） A. 事件与事件相互独立 B. 事件与事件相互对立 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意可求得再利用条件概率公式可得，由相互独立事件的定义可知，即事件与事件相互独立；显然，即事件与事件不是相互对立事件；由概率的加法公式和条件概率公式计算可得C正确，D错误. 【详解】对A，根据题意可得 由条件概率公式可得，又 所以，又易知， 所以； 即满足，所以事件与事件相互独立，即A正确； 对B，又，不满足，所以事件与事件不是相互对立事件，即B错误； 对C，易知，即C正确； 对D，由条件概率公式可得，所以D错误. 故选：AC 10. 已知函数，下列选项中正确的是（ ） A. 在上单调递增，在上单调递减 B. 有极大值 C. 无最小值 D. 若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用导数判断在的单调性，对于B，由选项A中的单调性进行判断，对于C，分别求出和时的值域分析判断，对于D，作出的图象，结合函数图象，根据一元二次方程根的分布得到关于的不等式，解不等式即可得到实数的取值范围. 【详解】对于A，当时，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以A正确， 对于B，由选项A可知在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，所以B正确， 对于C，当时，， 当时，，当时，， 所以当时，， 因为在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立， 综上，的值域为，所以有最小值0，所以C错误， 对于D，因为在上单调递增，在上单调递减，，， 所以的大致图象如图所示 由，得， 令，则， 由的图象可知，要使有6个零点，则方程有两个不相等的实数根，不妨令， 若，则由图可知有6个零点，但，所以不符合题意， 所以， 因为， 所以，解得，即实数的取值范围是，所以D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间、极值和最值，利用导数解决函数零点问题，选项D解题的关键是根据题意画出函数的大致图象，换元后根据图象将问题转化为方程有两个不等的实根，考查计算能力和数学转化思想，属于较难题. 11. 已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. C. 数列是等差数列 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】计算数列首项及第二项可判定A，利用等差数列的定义及的关系可判定C，从而求出的通项公式结合基本不等式、函数的单调性可判定B、D. 【详解】对A，由题意可知，所以， 则，所以，故A错误； 对C，由，故C正确； 对C，所以， 则，故B正确； 对D，易知，令， 则，则单调递增， 所以，即，故D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，，且，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正态曲线性质求出，即可得到，从而求出，再由二项分布的期望公式计算可得. 【详解】因为且，所以，则， 又，所以， 因为，所以，解得. 故答案为： 13. 已知数列满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，两边同除得到，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项，即可得解. 【详解】因为，， 则， 因为，显然， 所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，则. 故答案为： 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，且，则不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可构造函数，求得的单调性，再利用函数对称性解不等式即可求得结果. 【详解】构造函数，则； 因为， 所以当时，，即，此时在上单调递增； 当时，，即，此时在上单调递减； 又，所以，即； 所以函数图像上的点关于的对称点也在函数图像上， 即函数图像关于直线对称， 不等式变形为，即； 可得， 又在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得. 则不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据的结构特征构造函数，判断出其单调性，再由得出其对称性解不等式即可. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2. （1）求的值； （2）求在上的值域. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，利用三角形面积公式可得结果； （2）由（1）可得在上单调递增，在上单调递减，求出，，的值可得结果. 【小问1详解】 因为，所以，则. 因为，所以切点坐标为， 所以的图象在点处的切线方程为. 令，得，又，所以，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，令，解得，所以在上单调递增. 令，解得，所以 在上单调递减， 又，，， 所以在上的值域为. 16. 记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列. （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先利用等差数列的通项公式求得，再利用求即可得解； （2）利用“错位相减求和法”即可得解. 【小问1详解】 因为，故，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，即， 则，两式相减得，即， 所以， 因此的通项公式为. 【小问2详解】 由题可知， 则，所以， ， 两式相减得， 所以. 17. 2024年1月18日是中国传统的“腊八节”，“腊八”是中国农历十二月初八（即腊月初八）这一天．腊八节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式，后逐渐成为民间节日，盛行于中国北方．为调查不同年龄人群对“腊八节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群． （1）在100名受调人群中，得到如下数据： 年龄 了解程度 不了解 了解 30岁以下 16 24 50岁以上 16 44 根据小概率值的独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否存在年龄差异； （2）调查问卷共设置10个题目，选择题、填空题各5个．受调者只需回答8个题：其中选择题必须全部回答，填空题随机抽取3个进行问答．某位受调者选择题每题答对的概率为0.8，知道其中3个填空题的答案，但不知道另外2个的答案．求该受调者答对题目数量的期望． 参考公式： ①． 独立性检验常用小概率值和相应临界值： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3841 6.635 7.879 10.828 ②随机变量X，Y的期望满足： 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）计算出参考独立性检验常用小概率值和相应临界值表比较可得答案； （2）用分别表示受调者答对选择题、填空题的个数，求出、，由可得答案. 【小问1详解】 零假设：受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度不存在年龄差异， ， 根据小概率值的独立性检验，我们无法推断零假设不成立， 即认为受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度不存在年龄差异； 【小问2详解】 用分别表示受调者答对选择题、填空题的个数， 则，所以， 则可取则， 所以，，， 所以， 由， 该受调者答对题目数量期望为. 18. 某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第次传球传给甲运动员的概率为. （1）求，； （2）求的表达式； （3）设，证明：. 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合互斥事件和独立事件概率公式进行求解即可； （2）根据互斥事件和独立事件概率公式，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可； （3）利用构造函数法，结合导数与函数单调性的关系、等比数列的前项和公式进行证明即可. 【小问1详解】 ，，； 【小问2详解】 由已知，∴，即， ∴是以为公比的等比数列， ∴，∴. 【小问3详解】 . 设，，∴，∴在上单调递增， 显然，则， ∴，则， 即， ∴. 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据题意利用独立事件概率公式得到递推关系式. 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质． （1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）求的最小值． 【答案】（1）, （2） （3）0 【解析】 【分析】（1）求导即可得结论; （2）构造函数,求导,并结合分类讨论确定函数的最小值即可求解; （3）多次求导最终判断函数单调在内单调递增,且函数为偶函数从而确定最小值. 【小问1详解】 求导易知,. 【小问2详解】 构造函数，，由（1）可知， ①当时，由, 可知，，故单调递增， 此时，故对任意，恒成立，满足题意； ②当时，令，， 则，可知单调递增， 由与可知， 存在唯一，使得， 故当时，， 则在内单调递减， 故对任意，，即，矛盾； 综上所述，实数的取值范围为． 小问3详解】 ，， 令，则； 令，则， 当时，由（2）可知，， 则， 令，则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 因为， 即为偶函数，故在内单调递减， 则，故当且仅当时，取得最小值0． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$