专题03 勾股定理与逆定理的应用（专项训练）数学苏科版2024八年级上册

专题03 勾股定理与逆定理的应用（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、勾股定理应用之梯子问题 1 题型二、勾股定理应用之折竹抵地问题 1 题型三、勾股定理应用之航海问题 10 题型四、勾股定理应用之汽车超速问题 16 题型五、勾股定理应用之噪声问题 16 题型六、勾股定理应用之最值问题 26 题型七、勾股定理逆定理应用之面积问题 30 B 综合攻坚・能力跃升 题型一、勾股定理应用之梯子问题 1．（重庆市合川区2024-2025学年八年级数学期末试题）如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）由题意得，米，米，，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由题意得，米，米，据此利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，米，米，， ∴米， 答：消防梯顶端B离地面的竖直高度为米； （2）解：由题意得，米，米， ∴米， ∴米， 答：底端A在水平方向滑动了米． 2．（24-25八年级·贵州安顺·期末）如图1，某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图2，云梯最多能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 【答案】消防车从处向着火的楼房靠近的距离为13米． 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 在中，根据勾股定理得到和，于是得到结论． 【详解】解：在中， ，，， ， 在中，，，， ， ． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为13米． 3．（24-25八年级·江西宜春·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】(1)绳子的总长度为 (2)此时物体C升高了 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合题意得，运用勾股定理算出，即可求出绳子的总长度； （2）理解题意得，然后算出，再结合勾股定理得，因为绳子的总长度为，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意得． ， ， 答：绳子的总长度为； （2）解：∵滑块B向左滑动了， 即， ， 在中，， 由（1）得绳子的总长度为， ， ∴物体C升高的高度 答：此时物体C升高了． 4．（24-25八年级·河北邢台·期中）如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根的距离为7米，云梯顶端到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台，连接，现将云梯的底端A向外移动到处，则的长将（   ） A．小于12.5米 B．大于12.5米 C．等于12.5米 D．大于等于12.5米 【答案】C 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边中线性质，是解题的关键． 先利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，由M是的中点，所以中，． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵M是的中点， ∵， M是的中点， ∴中，． 故选：C． 5．（24-25八年级·贵州遵义·期中）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内有两个小滑块，，由一根连杆连接，滑块分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图2所示，开始时，滑块距点，滑块距点． (1)求的长； (2)当滑块向下滑至点处时，滑块滑动到点的位置，则的长为多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理列式代入数值进行计算，即可作答． （2）先理解题意得，，再算出，再结合线段的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】（1）解： ， ∴在中，； （2）解：在中，，， ， ． 6．（24-25八年级·江西赣州·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在右墙，测得梯子顶端距离地面米，米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为多少米？ 【答案】米 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．分别在，中求出，，即可． 【详解】解：在中，，米，米， 米， 在中，，米，米， 米， 米， 答：小巷的宽度为米． 7．（24-25八年级·广西南宁·阶段练习）【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离． (1)【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？ (2)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端外移的距离是多少米？ (3)【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 【答案】(1) (2) (3)能，理由见详解 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，运用勾股定理可得，根据即可求解； （3）根据题意可得相对安全的距离为不小于，运用勾股定理可得云梯能达到的高度，进行比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴这架云梯顶端距地面的距离的高为； （2）解：，， ∴， ∴； （3）解：能，理由如下， 云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全， ∴相对安全的距离为不小于， ∵云梯的长为， ∴， ∴云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员． 8．（23-24八年级·云南大理·期中）如图，李师傅在两墙，之间施工（两墙与地面垂直），他架了一架长为的梯子，此时梯子底端距离墙角点． (1)此时梯子的顶端点距离地面有多高？ (2)若梯子底端点没有固定好，向后滑动到墙角处，使梯子顶端沿墙下滑了到点处，求梯子底端向后滑动的距离． 【答案】(1)梯子的顶端点距离地面有高 (2)梯子底端向后滑动的距离为 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求解即可； （2）由（1）知，进而勾股定理求得，根据即可求解． 【详解】（1）解：本题题意得：， ， 梯子的顶端点距离地面有高； （2）解：由（1）知， 根据题意得：， ， ， ， 梯子底端向后滑动的距离为 9．（22-23八年级·安徽阜阳·期中）小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离为；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线（假设是直的线）的长为；③小强牵线的手离地面的距离为． (1)求此时风筝的铅直高度． (2)若小强想使风筝沿方向下降（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？ 【答案】(1) (2) 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)、求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）勾股定理求出的长，再加上即可； （2）勾股定理求出此时的长，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，得，． ∴在中，， ∴． 答：此时风筝的铅直高度为． （2）解：∵风筝沿方向下降，     ∴． 在中，∵， ， ∴． 答：他应该收线． 10．（22-23八年级·河北石家庄·期末）如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度为4米，为1米．    (1)求滑道的长度； (2)若把滑梯改成滑梯，使，则求出的长．（精确到米，参考数据：） 【答案】(1)米 (2)米 【知识点】含30度角的直角三角形、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】（1）由题意可得：是直角三角形，，且，设滑道的长度为米，则米，米，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）设米，则米，由勾股定理得（米），则，解得，即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意可得：是直角三角形，，且， ，， ，， 设滑道的长度为米，则米，米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 答：滑道的长度为米； （2）， ， ， 设米，则米， （米）， ， 解得：， （米）， 由（1）可知，（米）， （米）． 答：的长约为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用以及含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 题型二、勾股定理应用之折竹抵地问题 11．（24-25八年级·北京东城·期末）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”问题的大意是：“有一根竹子，原高1丈（1丈尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为3尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)、古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先求出的长，再在中，利用勾股定理建立方程即可得． 【详解】解：由题意得：尺，尺，， 在中，由勾股定理得：，即， 故答案为：． 12．（24-25八年级·重庆秀山·期末）《九章算术》第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，其中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远．则折断后的竹子的高度为多少尺？（备注：1丈尺）”如图，设折断后的竹子的高度为x尺，则 ．    【答案】 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 竹子折断后刚好构成一直角三角形，设折断后的竹子的高度为x尺，则．利用勾股定理列式即可． 【详解】解：如图，    由题意得，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 13．（21-22八年级·福建福州·期中）如图，一棵树在一次强台风中，从离地面的点C处折断，倒下后树顶端着地点B与树底端A相距，则这棵树在折断前的高度是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理，根据，且结合勾股定理列式代入数值计算，即可作答． 【详解】解：依题意， 则 ∴ ∴这棵树在折断前的高度是， 故选：C 14．（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是 m 【答案】18 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，勾股定理求出的长，再根据线段的和差进行计算即可． 【详解】解：由题意和勾股定理定理，得：， ∴旗杆折断之前的高度是； 故答案为：18． 15．（24-25八年级·河北石家庄·期中）如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地面）的根部C处．若米，米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米． 【答案】19 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，延长，过点C作延长线于点D，利用勾股定理先求出，即可得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示：过点C作交延长线于点D，则， 由题意可得：， 故， ∴， 则， 故， 故答案为：19． 题型三、勾股定理应用之航海问题 16．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图，甲乙两船从港口P同时出发，甲船以16海里/小时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行．3小时后，甲船到达A岛，乙船到达B岛．若A、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？ 【答案】12 海里/小时 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在图形中找出直角三角形是解题的关键． 计算得出，从而说明是直角三角形，再利用勾股定理求出的长，再求乙船的航速． 【详解】由题知，， 海里， 海里， 由勾股定理得， 海里， 乙船的航速是 海里/小时． 17．（24-25八年级·广西南宁·期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，小时后两艘轮船相距海里，则乙轮船每小时航行 海里． 【答案】 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵甲轮船沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行， ∴， ∴ ∵甲以9海里/时的速度沿西北方向匀速航行了1小时， ∴（海里）， ∵海里， 在中，（海里）， ∴乙轮船平均每小时航行（海里）． 故答案为：． 18．（24-25八年级·全国·期中）禁渔期的规定对渔业资源的保护起了良好作用．如图，在一次禁渔期间，渔政部门发现一艘渔船正在违规捕鱼，于是派出甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的、两地前去劝阻，后同时到达处．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西． (1)求甲巡逻艇的航行方向； (2)成功劝阻后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？ 【答案】(1)甲巡逻艇的航行方向为北偏东 (2)6.5海里 【知识点】求一个数的算术平方根、解决航海问题(勾股定理的应用)、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形是解题的关键． （1）先用路程等于速度乘以时间计算出，的长，利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解； （2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， （海里），（海里）， （海里）， ， 是直角三角形， ， ， 甲的航向为北偏东； （2）解：甲巡逻船航行3分钟的路程为：（海里）， 乙巡逻船航行3分钟的路程为：（海里）， 3分钟后，甲乙两巡逻船相距为：（海里）． 19．（24-25八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里． (1)若它们离开港口2小时后分别位于A、B处（图1），如果知道“远航”号沿射线方向航行，“海天”号沿射线方向航行，则______海里，______海里； (2)若它们离开港口小时后分别位于A、B处（图1），且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】(1)32；24 (2)“海天”号沿西北方向航行 【知识点】有理数乘法的实际应用、解决航海问题(勾股定理的应用)、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间，计算求解即可； （2）先计算出的长，再证明得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，海里， 海里； （2）解：由题意得，海里， 海里； ∴， ∵海里， ∴， ∴， ∴， ∵“远航”号沿东北方向航行， ∴“海天”号沿西北方向航行． 20．（24-25八年级·湖北孝感·期末）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． (1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回A港所需的时间． (2)岛在港的什么方向？ 【答案】(1)从岛返回港所需的时间为小时 (2)岛在港的北偏西 【知识点】与方向角有关的计算题、解决航海问题(勾股定理的应用)、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，方向角问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）中，利用勾股定理求得的长度，则，然后在中，利用勾股定理来求的长度，则时间路程速度； （）由勾股定理的逆定理推知，由方向角的定义作答； 【详解】（1）解：由题意， 在中，， 得， ∴． ∴． ∴． 则（小时）， 答：从岛返回港所需的时间为小时； （2）解：∵，， ∴． ∴， ∵一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达岛， ∴ ∴岛在港的北偏西． 题型四、勾股定理应用之汽车超速问题 21．（24-25八年级·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)这辆小汽车没有超速，理由见解析 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴； （2）解：结合（1）可得小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 答：这辆小汽车没有超速． 22．（24-25八年级·河南信阳·期中）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．问题：这辆大巴车超速了吗？ 【答案】大巴车超速了 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，在中，根据勾股定理求出的长，然后再求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】解：由题意可知，，， ， 大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 23．（24-25八年级·山西朔州·期中）为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方的处，过了后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离为．这辆观光电瓶车超速了吗？ 【答案】这辆观光电瓶车超速了 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得，进而可得观光电瓶车的速度为，即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理得，， ∴观光电瓶车的速度为， ， 这辆观光电瓶车超速了． 24．（24-25八年级·陕西咸阳·阶段练习）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒?（结果精确到0.1） 【答案】(1)的长为16米 (2)这辆小汽车在段的速度约是米/秒 【知识点】用勾股定理解三角形、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是理解题意，正确计算． （1）直接利用勾股定理计算的长即可； （2）利用路程除以时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，米，米，， ∴（米）， 答：的长为16米． （2）解：（米/秒）， 答：这辆小汽车在段的速度约是米/秒． 25．（22-23八年级·广东汕头·期末）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 【答案】(1) (2)没有超速． 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】（1）中，有斜边的长，有直角边的长，那么根据勾股定理即可求出的长； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了． 【详解】（1）解：在中，，； 据勾股定理可得： = （2）解：小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车行驶没有超速． 答：这辆小汽车没有超速． 【点睛】此题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一． 题型五、勾股定理应用之噪声问题 26．（24-25八年级·广东东莞·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且． 点A处有一栋居民楼，． 假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响． (1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由． (2)若受影响，已知拖拉机的速度为，则居民楼受到影响的时间有多长？ 【答案】(1)该居民楼会受到噪声的影响，理由见解析 (2) 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、三线合一、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三线合一，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，是解题的关键： （1）作，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进行判断即可； （2）以为圆心，为半径画弧，交于点，三线合一结合勾股定理求出的长，再除以速度，求出时间即可． 【详解】（1）解：该居民楼会受到噪声的影响，理由如下： 作，则：， ∵，， ∴， ∵， ∴该居民楼会受到噪声的影响； （2）以为圆心，为半径画弧，交于点，则：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； 答：居民楼受到影响的时间有． 27．（24-25八年级·浙江台州·期中）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 【答案】(1)海港C受台风影响 (2) 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键； （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2），利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风中心的移动速度． 【详解】（1）解：海港C受台风影响． 过C作于点D， ，，， ， 是直角三角形，； ∴ ∴， ∴． ∵， ∴海港C受台风影响． （2）设台风从E点开始影响C港，到F点后停止影响C港． 由题意，得． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 答：台风中心的移动速度为． 28．（24-25八年级·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 【答案】(1) (2)小丽在家能听到广播，计算见解析 (3)小丽在家听到广播宣传的时间为14秒 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的应用； （1）利用勾股定理的逆定理判断的形状； （2）过点作，根据等积法求出的长，然后和250米作比较解答即可； （3）作，根据勾股定理求出长，再根据时间路程时间解答即可． 【详解】（1）解：， 又， ， 是直角三角形，即． （2）解：过点作，垂足为D， 直角三角形， ， ， 解得， 小丽在家能听到广播； （3）解：依题意，， 根据勾股定理，， 移动广播车的速度为10米／秒， 秒 答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒． 29．（24-25八年级·湖北孝感·期中）如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城市到的距离． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 【答案】(1) (2)游人在小时内撤离才可脱离危险 【知识点】求一个数的算术平方根、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）首先根据勾股定理计算的长，再根据时间路程速度进行计算即可； （2）根据在范围内都要受到影响，先求出从点到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间路程速度计算，然后求出时间段即可． 【详解】（1）解：，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 则台风中心经过从移动到点； （2）解：如图， 距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响， 人们要在台风中心到达点之前撤离， ， 游人在内撤离才可脱离危险． 30．（2025八年级·全国·专题练习）如图，台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由． 【答案】(1)监测点A与监测点B之间的距离为 (2)海港C会受到此次台风的影响，台风影响该海港8小时 【知识点】求一个数的算术平方根、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理求出即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；若受影响，利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：在中，，， ， 答：监测点与监测点之间的距离为； （2）解：海港受台风影响， 理由：，， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港会受到此次台风的影响， 以为圆心，长为半径画弧，交于，， 则时，正好影响港口， 在中，， ， 台风的速度为， ． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 题型六、勾股定理应用之最值问题 31．（24-25八年级·四川成都·期中）在一个长6米，宽为6米的正方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图的高是米的正三角形，一只昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是 米． 【答案】10 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、等边三角形的性质 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短，用勾股定理计算解答即可． 【详解】解：设正三角形的边长为x， ∵正三角形的高是， ∴由三线合一和勾股定理，得：， ∴， ∴正三角形的边长为2， 如图，将木块展开，得到如图的长方形， 如图长方形的相当于是米，宽米． 在中， 米， ∴昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是 10米． 故答案为：10． 32．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，一只蚂蚁从底面为边长的正方形，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是 ． 【答案】/13厘米 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用、平面展开图—最短路径问题正确找到最短路径是解题关键． 先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图1所示展开时： ， 此时； 如图2所示展开时： 此时． ∵， ∴它需要爬行的最短路线的长是， 故答案为：． 33．（24-25八年级·云南文山·期末）如图，圆柱体的底面直径为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点处觅食，则爬行的最短路程为 ． 【答案】13 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理最短路径问题，解题的关键是将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】如图所示，将圆柱展开， ∵圆柱体的底面直径为， ∴ ∵高为 ∴ ∴爬行的最短路程为． 故答案为：13． 34．（24-25八年级·浙江台州·期中）如图，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，求它从点A出发沿圆柱表面爬行到上底面与点A相对的点B处的最短路径是 ． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是解题关键． 根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图： 由题意得：， 由勾股定理有 故蚂蚁爬行的最短路程是， 故答案为： 35．（24-25八年级·辽宁鞍山·期中）如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（   ） A．10米 B．12米 C．16米 D．20米 【答案】D 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：如图， ∵底面周长约为8米，柱身高约12米， ∴米，（米），\ ∴（米）， 则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少（米）， 故选：D． 题型七、勾股定理逆定理应用之面积问题 36．（24-25八年级·安徽六安·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且， (1)连接，求的长 (2)求这块菜地的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则由勾股定理的逆定理可得，根据四边形的面积的面积的面积列式求解即可． 【详解】（1）解：如图， ，，， ． （2）解：，，， ，， ， 是直角三角形，即， 四边形的面积的面积的面积 ， 答：这块菜地的面积为． 37．（24-25八年级·广东广州·期末）如图，某地理测绘团队通过测量、、三点的位置，确定了由这三个点构成的三角形区域．并通过测绘，得到以下数据：，．在边上有一处重要地标点，满足，．测绘人员需要确定点到点的距离，以便完成整个区域的测绘工作．请求出点到点的距离． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ）和勾股定理逆定理（若三角形三边满足，则该三角形为直角三角形 ）是解题的关键．因为，，所以 ．然后在和中，利用勾股定理，设垂直于某点（实际是线段，可通过勾股定理建立等式），分别表示出、、 、的关系，进而求出的长度． 【详解】解：，， ． 在中，，，， ， 是直角三角形， ． 在中，，， ， ， ， ∴点到点的距离为． 38．（24-25八年级·河北唐山·期中）劳动教育能够提升学生的创造力，强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长为24米，边长为7米，蔬菜区的边长为20米，边长为15米，． (1)求小路的长； (2)求的度数和蔬菜区的面积． 【答案】(1)小路的长为25米 (2)的度数为，蔬菜区的面积为150平方米 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则由勾股定理的逆定理可得，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，米，米， ∴(米)， 答：小路的长为25米． （2）解：∵的边长为20米，边长为15米，边长为25米， ∴，， ∴， ∴， ∴(平方米) ． 答：的度数为，蔬菜区的面积为150平方米． , 39．（24-25八年级·辽宁抚顺·期中）如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离．要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离，． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)求证：． 【答案】(1)供水点到喷泉需要铺设的管道长为 (2)见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键，要注意勾股定理逆定理的格式． （1）在中，先利用勾股定理求出，从而求出，再在中，利用勾股定理求出； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据斜边所对的角是直角从而得到． 【详解】（1）解：由题意可知：， 在中，， ， ， 在中，， ， 供水点到喷泉需要铺设的管道长为； （2）证明：，，， ， 是直角三角形，． 40．（24-25八年级·重庆长寿·期末）如图，学校C坐落于东西方向的公路一旁，当重型运输卡车P沿道路方向行驶时，在以卡车P为圆心，长为半径的圆形区域都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校C的距离越近噪声影响越大．已知学校C与直线上两点A，B的距离分别为和，，求： (1)卡车噪声对学校C有影响吗？请说明理由． (2)若重型卡车P沿道路方向行驶的速度为，卡车P沿道路方向行驶一次给学校C带来噪声影响的时长． 【答案】(1)有影响，理由见解析； (2)秒． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】（1）过点作于点，判定三角形的形状，求得最短距离，与影响半径比较大小，判断解答即可． （2）以点C为圆心，为半径作圆，交于点E、F，根据，，得到，根据勾股定理得到，继而得到，求时间即可． 【详解】（1）解：卡车噪声对学校C有影响;   理由如下：如图，过点作于点， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形且， 根据题意，得， ∴ ∵， ∴卡车噪声对学校C有影响． （2）解：以点C为圆心，为半径作圆，交于点E、F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵卡车的速度为， ∴影响时长为. 答：卡车P沿道路方向行驶一次给学校C带来噪声影响的时长为. 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 1．（24-25八年级·云南玉溪·期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为多少尺？设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解题的关键． 根据题意可知 ，，，，由勾股定理，得到，即可解答． 【详解】解：根据题意，有，，， ∴， 由勾股定理，得， 即． 故选C． 2．（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端B到墙底部O的距离为，如果将梯子顶端A沿墙下滑到C处，梯子底端B将外移的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的利用，根据题意可知：，，，，先利用勾股定理求出，进而得出，再利用勾股定理得出，最后根据求解即可． 【详解】解：根据题意可知：，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故选：A 3．（21-22八年级·湖北武汉·期中）如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，木杆折断之前的高度是（    ） A．5m B．8m C．9m D．3m 【答案】B 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处， ∴折断的部分长为=5， ∴折断前高度为5+3=8（米）． 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力． 4．（21-22山东东营·期末）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺 ）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是（    ） A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺 【答案】D 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】依题意，芦苇的长度为直角三角形的斜边，水深为一直角边，另一直角边为5尺，由勾股定理即可列出方程，进而得到答案． 【详解】解：设水深x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺， 依题意，由勾股定理，得：， 解得， 所以芦苇的长度为13尺． 故选D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，将题目描述问题转化成直角三角形求边长的问题是解题的关键． 二、填空题 5．（24-25八年级·云南昭通·期中）如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行，则2小时后两船相距 海里． 【答案】60 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用， 根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，得两条船分别走了48海里和36海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：设两艘船航行2小时后分别到达B、C的位置，连接，如图所示： ∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了（海里），（海里）， 根据勾股定理得：（海里）， ∴2小时后两船相距60海里． 故答案为：60． 6．（22-23八年级·安徽宣城·期中）为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要 元． 【答案】2100 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】利用勾股定理求出水平的直角边长，然后求出需要地毯的总长度，进而可得需要地毯的总面积，然后可得答案． 【详解】解：由勾股定理得，水平的直角边， 所以地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长， 所以需要地毯的总长度为， 所以需要地毯的总面积为， 所以购买这种地毯至少需要元， 故答案为：2100． 【点睛】本题考查了勾股定理，平移的应用，解题的关键是结合图形分析得出地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长． 7．（20-21八年级·广东广州·期中）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是 米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是 秒． 【答案】 80 12 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可． 【详解】解：作于， ，m， m， 即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m． 如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点， ， ， 在中，m， m， 重型运输卡车的速度为36千米时米秒， 重型运输卡车经过的时间（秒， 故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒． 故答案为：80，12． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 8．（24-25八年级·河南驻马店·期中）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A，B的距离分别为和，吊车周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数． (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ 【答案】(1) (2)学校C会受噪声影响，见解析 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键： （1）利用勾股定理逆定理进行求解即可； （2）过点C作于D，等积法求出的长，进行判断即可。 【详解】（1）解：， ， 是直角三角形，且； （2）学校C会受噪声影响． 理由：如图，过点C作于D，则： ， ， ∵吊车周围以内为受噪声影响区域，， ∴学校C会受噪声影响． 9．（24-25八年级·湖北黄石·阶段练习）2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若之间相距之间相距． (1)判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由； (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】(1)农场会受到台风的影响，理由见解析； (2)小时． 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确作出辅助线，勾股定理的计算方法是解题的关键． （1）如图，过作于，由勾股定理得到，由此即可求解； （2）如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，，由勾股定理得，，由此即可求解． 【详解】（1）解：农场会受到台风的影响，理由如下： 如图，过作于， ， ， ， 的面积， ， ， ， 农场会受到台风的影响； （2）解：如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，， ， ， ， 由勾股定理得， ， 台风中心的移动速度为， 台风影响该农场持续时间是（小时）． 10．（24-25八年级·重庆铜梁·期末）某校八年级学生小明和同学学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降9米（的长度不变），则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)他应该往回收线7米 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解题的关键． （1）在中利用勾股定理求出，再利用线段的和差即可求出； （2）设风筝下降到点，连接，在中利用勾股定理求出，再计算即可解答． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， （米）， （米）， 答：风筝的垂直高度为米． （2）解：设风筝下降到点，连接，如图， 由题意得，米， （米）， 在中，由勾股定理得， （米）， （米）， 答：他应该往回收线7米． 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理与逆定理的应用（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、勾股定理应用之梯子问题 1 题型二、勾股定理应用之折竹抵地问题 6 题型三、勾股定理应用之航海问题 7 题型四、勾股定理应用之汽车超速问题 9 题型五、勾股定理应用之噪声问题 10 题型六、勾股定理应用之最值问题 12 题型七、勾股定理逆定理应用之面积问题 13 B 综合攻坚・能力跃升 题型一、勾股定理应用之梯子问题 1．（重庆市合川区2024-2025学年八年级数学期末试题）如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 2．（24-25八年级·贵州安顺·期末）如图1，某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图2，云梯最多能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 3．（24-25八年级·江西宜春·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 4．（24-25八年级·河北邢台·期中）如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根的距离为7米，云梯顶端到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台，连接，现将云梯的底端A向外移动到处，则的长将（   ） A．小于12.5米 B．大于12.5米 C．等于12.5米 D．大于等于12.5米 5．（24-25八年级·贵州遵义·期中）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内有两个小滑块，，由一根连杆连接，滑块分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图2所示，开始时，滑块距点，滑块距点． (1)求的长； (2)当滑块向下滑至点处时，滑块滑动到点的位置，则的长为多少？ 6．（24-25八年级·江西赣州·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在右墙，测得梯子顶端距离地面米，米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为多少米？ 7．（24-25八年级·广西南宁·阶段练习）【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离． (1)【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？ (2)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端外移的距离是多少米？ (3)【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 8．（23-24八年级·云南大理·期中）如图，李师傅在两墙，之间施工（两墙与地面垂直），他架了一架长为的梯子，此时梯子底端距离墙角点． (1)此时梯子的顶端点距离地面有多高？ (2)若梯子底端点没有固定好，向后滑动到墙角处，使梯子顶端沿墙下滑了到点处，求梯子底端向后滑动的距离． 9．（22-23八年级·安徽阜阳·期中）小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离为；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线（假设是直的线）的长为；③小强牵线的手离地面的距离为． (1)求此时风筝的铅直高度． (2)若小强想使风筝沿方向下降（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？ 10．（22-23八年级·河北石家庄·期末）如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度为4米，为1米． (1)求滑道的长度； (2)若把滑梯改成滑梯，使，则求出的长．（精确到米，参考数据：） 题型二、勾股定理应用之折竹抵地问题 11．（24-25八年级·北京东城·期末）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”问题的大意是：“有一根竹子，原高1丈（1丈尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为3尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为 ． 12．（24-25八年级·重庆秀山·期末）《九章算术》第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，其中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远．则折断后的竹子的高度为多少尺？（备注：1丈尺）”如图，设折断后的竹子的高度为x尺，则 ． 13．（21-22八年级·福建福州·期中）如图，一棵树在一次强台风中，从离地面的点C处折断，倒下后树顶端着地点B与树底端A相距，则这棵树在折断前的高度是（   ）． A． B． C． D． 14．（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是 m 15．（24-25八年级·河北石家庄·期中）如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地面）的根部C处．若米，米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米． 题型三、勾股定理应用之航海问题 16．（23-24八年级·四川乐山·期末）如图，甲乙两船从港口P同时出发，甲船以16海里/小时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行．3小时后，甲船到达A岛，乙船到达B岛．若A、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？ 17．（24-25八年级·广西南宁·期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，小时后两艘轮船相距海里，则乙轮船每小时航行 海里． 18．（24-25八年级·全国·期中）禁渔期的规定对渔业资源的保护起了良好作用．如图，在一次禁渔期间，渔政部门发现一艘渔船正在违规捕鱼，于是派出甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的、两地前去劝阻，后同时到达处．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西． (1)求甲巡逻艇的航行方向； (2)成功劝阻后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？ 19．（24-25八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里． (1)若它们离开港口2小时后分别位于A、B处（图1），如果知道“远航”号沿射线方向航行，“海天”号沿射线方向航行，则______海里，______海里； (2)若它们离开港口小时后分别位于A、B处（图1），且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 20．（24-25八年级·湖北孝感·期末）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． (1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回A港所需的时间． (2)岛在港的什么方向？ 题型四、勾股定理应用之汽车超速问题 21．（24-25八年级·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 22．（24-25八年级·河南信阳·期中）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．问题：这辆大巴车超速了吗？ 23．（24-25八年级·山西朔州·期中）为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方的处，过了后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离为．这辆观光电瓶车超速了吗？ 24．（24-25八年级·陕西咸阳·阶段练习）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒?（结果精确到0.1） 25．（22-23八年级·广东汕头·期末）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为．   (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 题型五、勾股定理应用之噪声问题 26．（24-25八年级·广东东莞·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且． 点A处有一栋居民楼，． 假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响． (1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由． (2)若受影响，已知拖拉机的速度为，则居民楼受到影响的时间有多长？ 27．（24-25八年级·浙江台州·期中）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 28．（24-25八年级·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 29．（24-25八年级·湖北孝感·期中）如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城市到的距离． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 30．（2025八年级·全国·专题练习）如图，台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由． 题型六、勾股定理应用之最值问题 31．（24-25八年级·四川成都·期中）在一个长6米，宽为6米的正方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图的高是米的正三角形，一只昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是 米． 32．（24-25八年级·四川成都·期中）如图，一只蚂蚁从底面为边长的正方形，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是 ． 33．（24-25八年级·云南文山·期末）如图，圆柱体的底面直径为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点处觅食，则爬行的最短路程为 ． 34．（24-25八年级·浙江台州·期中）如图，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，求它从点A出发沿圆柱表面爬行到上底面与点A相对的点B处的最短路径是 ． 35．（24-25八年级·辽宁鞍山·期中）如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（   ） A．10米 B．12米 C．16米 D．20米 题型七、勾股定理逆定理应用之面积问题 36．（24-25八年级·安徽六安·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且， (1)连接，求的长 (2)求这块菜地的面积． 37．（24-25八年级·广东广州·期末）如图，某地理测绘团队通过测量、、三点的位置，确定了由这三个点构成的三角形区域．并通过测绘，得到以下数据：，．在边上有一处重要地标点，满足，．测绘人员需要确定点到点的距离，以便完成整个区域的测绘工作．请求出点到点的距离． 38．（24-25八年级·河北唐山·期中）劳动教育能够提升学生的创造力，强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长为24米，边长为7米，蔬菜区的边长为20米，边长为15米，． (1)求小路的长； (2)求的度数和蔬菜区的面积． 39．（24-25八年级·辽宁抚顺·期中）如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离．要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离，． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)求证：． 40．（24-25八年级·重庆长寿·期末）如图，学校C坐落于东西方向的公路一旁，当重型运输卡车P沿道路方向行驶时，在以卡车P为圆心，长为半径的圆形区域都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校C的距离越近噪声影响越大．已知学校C与直线上两点A，B的距离分别为和，，求： (1)卡车噪声对学校C有影响吗？请说明理由． (2)若重型卡车P沿道路方向行驶的速度为，卡车P沿道路方向行驶一次给学校C带来噪声影响的时长． 1．（24-25八年级·云南玉溪·期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为多少尺？设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级·河南开封·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端B到墙底部O的距离为，如果将梯子顶端A沿墙下滑到C处，梯子底端B将外移的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级·湖北武汉·期中）如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，木杆折断之前的高度是（    ） A．5m B．8m C．9m D．3m 4．（21-22山东东营·期末）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺 ）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是（    ） A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺 5．（24-25八年级·云南昭通·期中）如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行，则2小时后两船相距 海里． 6．（22-23八年级·安徽宣城·期中）为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要 元． 7．（20-21八年级·广东广州·期中）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是 米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是 秒． 8．（24-25八年级·河南驻马店·期中）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A，B的距离分别为和，吊车周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数． (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ 9．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若之间相距之间相距． (1)判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由； (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 10．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）某校八年级学生小明和同学学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降9米（的长度不变），则他应该往回收线多少米？ 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$