精品解析： 广东省深圳外国语学校2024-2025学年七年级下学期期末数学试题

2024—2025学年深圳外国语学校七年级 (下)期末 数学试卷 一．选择题(共8小题，每小题3分) 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、合并同类项，根据幂的运算性质、积的乘方、完全平方公式及合并同类项法则逐一判断． 【详解】解：A、，故A选项计算错误； B、，B选项计算正确； C、，故C选项计算错误； D、与不是同类项，无法合并，故D选项计算错误． 故选：B． 3. 如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形圆心角度数分别为，，．让转盘自由转动，转盘停止后指针（指针指向分隔线，则重新转动转盘）落在红色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用红色区域面积除以整个圆面积即可得到红色区域的占比，即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故选C． 【点睛】本题考查求简单概率，解题的关键是掌握事件可能出现的结果所有可能结果． 4. 图1 为我国高铁座位的实物图，图2 是它的简易图，座位和座椅靠背的夹角，小桌板与座位平行，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，根据得，再根据即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 锐角三角形中每个内角都小于是必然事件 B. 翻开数学课本，恰好翻到30页随机事件 C. 竹篮打水属于不可能事件 D. 在纸上任意画两条直线，这两条直线互相平行是必然事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解决本题的关键． 必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此判断即可． 【详解】解：A．根据锐角三角形的定义，每个内角都小于，是必然事件，原说法正确，故本选项不符合题意； B．翻开数学课本，可能翻到30页，也可能翻到其它页数，是随机事件，原说法正确，故本选项不符合题意； C．竹篮是不能打到水的，属于不可能事件，原说法正确，故本选项不符合题意； D．在纸上任意画两条直线，这两条直线可能平行，也可能相交，是随机事件，原说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，两个边长相等的正方形和，将正方形的顶点E与正方形的中心重合，正方形绕点E 顺时针方向旋转；设旋转的角度为，两个正方形重叠部分的面积为S，则变量S与θ的关系大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了动点问题的函数图象，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点E作于点M，于点N，则可证明，从而得出重叠部分的面积不变，继而可得出函数关系图象． 【详解】解：如图，过点E作于点M，于点N， ∵点E是正方形的对称中心， ∴， 由旋转的性质可得， 在和中， ， ∴， 即阴影部分的面积始终等于正方形面积的． 故选：B． 7. 如图，和是分别沿着边翻折形成的，与交于点O，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，先由三角形内角和定理得到，，再由折叠的性质得到，则由三角形内角和定理可得． 【详解】解：∵，， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图在四边形中，，，面积为 24，的垂直平分线分别交，于点M，N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，连接、，过点D作于H．利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：连接、，过点D作于H， ∵面积为24，， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴的值最小值为8． 故选：C． 二．填空题(共5小题，每小题3分) 9. 在一个不透明的盒子中装有4个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率为，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，分式方程的运用，根据摸出白球的概率，运用概率的计算公式列分式方程求解即可，掌握概率的计算，分式方程的求解是解题的关键． 【详解】解：∵从中随机摸出一个球是白球的概率为， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴是原分式方程的解， 故答案为：2 ． 10. 某商场自行车存放处每周存车量5000辆次，其中变速车车费是每辆一次1元，普通车存车费每辆一次0.5元，若普通车存车量为辆次,存车的总收入为元，则和之间的关系式为_______. 【答案】y=-0.5x+5000. 【解析】 【分析】根据题意找到等量关系即可列出和之间的关系式. 【详解】普通车存车量为辆次，则变速车存车量为（5000-x）辆次， ∴存车的总收入为=0.5x+1×（5000-x）=-0.5x+5000. 故填：y=-0.5x+5000. 【点睛】此题主要考查函数关系式，解题的关键是根据题意找到等量关系进行求解. 11. 若，，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据同底数幂除法的逆用可得，再根据幂的乘方的逆用计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 12. 如图，在中，平分，垂足为，则的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线性质，全等直角三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等内容，解题关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 过点作，交于点，根据角平分线的性质证出，求出的长度，然后证出为等腰三角形，最后利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点， 又∵平分， ， ∵ ∴， ∴， 由勾股定理得， ， ∴， ， ∴为等腰三角形， 由三线合一得，点为线段的中点， ， 故答案为：6． 13. 如图，在中，，分别以、、为边向上作正方形、正方形、正方形，点E在上，若，，则图中阴影的面积为___________． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查求阴影部分的面积，全等三角形的性质和判定，勾股定理，利用面积分割法是关键． 勾股定理求出，根据条件证明，利用全等三角形的性质即可得到，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵，，， ∴， ∴， ∵是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴阴影面积， 故答案为：． 三．解答题(共7小题) 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减即可得到答案； （2）先计算同底数幂乘除法和积的乘方，再合并同类项即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 15. 先化简， 再求值∶ ，其中 ． 【答案】，2027 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，完全平方公式的运算，绝对值的非负性，先利用平方差公式，完全平方公式化简括号里的式子，再利用多项式除以单项式进行计算，根据非负性求出x，y的值，代入求解即可． 【详解】解： ， ∵ ∴， ∴， ∴原式． 16. 背景资料：“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式．低碳生活的理念也已逐步被人们所接受．相关资料统计了一系列排碳计算公式，根据信息，解决问题： 排碳计算公式 家居用电的二氧化碳排放量耗电量 开私家车的二氧化碳排放量耗油量 家用天然气的二氧化碳排放量天然气使用量 家用自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 （1）若x表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为y，则开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式为 ． （2）在上述关系中，耗油量每增加，二氧化碳排放量就增加 ；当耗油量从增加到时，二氧化碳排放量就从 增加到 ． （3）小明家本月家居用电约，天然气，自来水，开私家车耗油，请你计算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和． 【答案】（1） （2）2.7； 8.1； 21.6 （3）小明家这几项二氧化碳排放量的总和为 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值，正确理解题意是解题的关键． （1）用耗油量乘以即可得到答案； （2）根据开私家车的二氧化碳排放量耗油量可得第一空答案；根据（1）所求函数关系式，分别求出时和时的函数值即可得到答案； （3）根据对应的二氧化碳排放量计算公式分别求出对应的二氧化碳排放量，再求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得； 【小问2详解】 解：∵开私家车的二氧化碳排放量耗油量， ∴耗油量每增加，二氧化碳排放量就增加； 在中，当时，；当时，； ∴当耗油量从增加到时，二氧化碳排放量就从增加到． 【小问3详解】 解： ． 答：小明家这几项二氧化碳排放量的总和为． 17 尺规作图题 （1）图1，校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙，小亮通过作角平分线在图示的区域中找到了一点P，使得点P到三面墙的距离都相等，请你用尺规作图法帮小亮画出P点．(保留作图痕迹，作图痕迹要清晰) （2）图2，已知一个点O，请用尺规作图作一个以点O为顶点的直角．(保留作图痕迹，作图痕迹要清晰) 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了尺规作角平分线和垂直平分线，角平分线的性质定理， （1）分别作、的角平分线、，与的交点即为满足条件的点P； （2）首先过点O作直线l，以点O为圆心，适当长度为半径画弧交l于点A，C，然后作出的垂直平分线，然后在垂直平分线上取点B，连接，即可得到直角． 【小问1详解】 如图所示，点P即为所求； 【小问2详解】 如图所示，直角即为所求； 18. 如图， 在中，，点D、E是边上两点，连接，以为腰作等腰直角，，作于点E，，作于点G． （1）证明∶； （2）若，，求的大小． 【答案】（1）见解析 （2）30 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）利用证明，即可； （2）利用等腰三角形的性质结合三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 19. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张， B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片 张． （2）根据所学知识，解决如下问题： 已知： ，，值为 ； 小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果x满足． 求 的值，怎么解决呢？ 小英给出了如下两种方法： 方法1∶ 设，则； ， ， ， ， ， ； 方法2： ∵， ， ， ． 任务： （3）请你用材料中两种方法中的一种解答问题：若 ，求 的值． （4）如图，在长方形中，，， E ， F分别是上的点，且 ，分别以为边在长方形外侧作正方形和若长方形的面积为 40，则图中阴影部分的面积和为 ． 【答案】（1）3；（2）12；（3）；（4）144 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，多项式乘法在几何图形中的应用，熟知完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案； （2）根据计算求解即可； （3）方法1：设，则，，再同（1）求解即可；方法2：利用多项式乘以多项式的计算法则可得，再把展开，并利用整体代入法求解即可； （4）由题意得，，根据长方形的面积为 40，得到，设，则，再根据计算求解即可． 【详解】解：（1） ， ∴要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张； （2）∵，， ∴， ∴； （3）方法1：设， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 方法2：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （4）由题意得，， ∵， ∴， ∵长方形的面积为 40， ∴， ∴， 设，则， ∴ ， ∴图中阴影部分的面积和为144． 20. 【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．如图1，在中，CM为的中线，若，求的取值范围． 倍长中线法：如图2，延长至点D，使得，连结，可证明，由全等得到 ，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围为 ； 【实践应用】为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时测得旗杆高度，教学楼高度， 则的长为 m； 【拓展探究】如图4，C为线段上一点，，分别以为斜边向上作等腰和等腰，M为中点， 连结． ① 判断的形状，并证明； ② 若将图4中的等腰绕点C转至图5的位置(A，C，B不在同一条直线上)，连结，M为中点，且D，E在同侧，连结．若 ，，则与的面积之差为 ． 【答案】阅读理解：；实践应用：；拓展探究：①为等腰直角三角形，见解析；② 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三线合一，垂直平分的判定与性质，平方差公式，正确作出辅助线是解题的关键． 阅读理解：先证明，可得，，代入即可解答； 实践应用：延长交于点F．证明，得出，，再进一步结合三线合一的性质，即可证明结论． 拓展探究：①延长，使得，连接，先证明，继而证明出则可推导出，即可解答； ②延长，使得，连接，先证明，可推导出，过点F作于点N，过点E作于点H，证明，得到， 设，有，， 即， 则，即可解答． 【详解】解：阅读理解： ∵CM为的中线，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 实践应用：如图，延长交于点F，    ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴，是的垂直平分线， ∴． 拓展探究：①延长，使得，连接，如图 ∵等腰和等腰 ∴ ， ∴， ∵点是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形． ②延长，使得，连接，如图 ∵等腰和等腰， ∴ ， ∴ ， ∵点是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ． ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点F作于点N，过点E作于点H，有 ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∴， 即， ， ， ， ∴， 即． ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年深圳外国语学校七年级 (下)期末 数学试卷 一．选择题(共8小题，每小题3分) 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为，，．让转盘自由转动，转盘停止后指针（指针指向分隔线，则重新转动转盘）落在红色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 图1 为我国高铁座位的实物图，图2 是它的简易图，座位和座椅靠背的夹角，小桌板与座位平行，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法不正确是（ ） A. 锐角三角形中每个内角都小于是必然事件 B. 翻开数学课本，恰好翻到30页是随机事件 C. 竹篮打水属于不可能事件 D. 在纸上任意画两条直线，这两条直线互相平行必然事件 6. 如图，两个边长相等的正方形和，将正方形的顶点E与正方形的中心重合，正方形绕点E 顺时针方向旋转；设旋转的角度为，两个正方形重叠部分的面积为S，则变量S与θ的关系大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，和是分别沿着边翻折形成的，与交于点O，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图在四边形中，，，面积为 24，的垂直平分线分别交，于点M，N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二．填空题(共5小题，每小题3分) 9. 在一个不透明盒子中装有4个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率为，则__________． 10. 某商场自行车存放处每周存车量5000辆次，其中变速车车费是每辆一次1元，普通车存车费每辆一次0.5元，若普通车存车量为辆次,存车的总收入为元，则和之间的关系式为_______. 11. 若，，则___________． 12. 如图，在中，平分，垂足为，则的长为________． 13. 如图，在中，，分别以、、为边向上作正方形、正方形、正方形，点E在上，若，，则图中阴影的面积为___________． 三．解答题(共7小题) 14. 计算： （1）； （2）． 15. 先化简， 再求值∶ ，其中 ． 16. 背景资料：“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式．低碳生活的理念也已逐步被人们所接受．相关资料统计了一系列排碳计算公式，根据信息，解决问题： 排碳计算公式 家居用电的二氧化碳排放量耗电量 开私家车的二氧化碳排放量耗油量 家用天然气的二氧化碳排放量天然气使用量 家用自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 （1）若x表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为y，则开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式为 ． （2）在上述关系中，耗油量每增加，二氧化碳排放量就增加 ；当耗油量从增加到时，二氧化碳排放量就从 增加到 ． （3）小明家本月家居用电约，天然气，自来水，开私家车耗油，请你计算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和． 17 尺规作图题 （1）图1，校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙，小亮通过作角平分线在图示的区域中找到了一点P，使得点P到三面墙的距离都相等，请你用尺规作图法帮小亮画出P点．(保留作图痕迹，作图痕迹要清晰) （2）图2，已知一个点O，请用尺规作图作一个以点O为顶点的直角．(保留作图痕迹，作图痕迹要清晰) 18. 如图， 在中，，点D、E是边上两点，连接，以为腰作等腰直角，，作于点E，，作于点G． （1）证明∶； （2）若，，求的大小． 19. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张， B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片 张． （2）根据所学知识，解决如下问题： 已知： ，，的值为 ； 小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果x满足． 求 的值，怎么解决呢？ 小英给出了如下两种方法： 方法1∶ 设，则； ， ， ， ， ， ； 方法2： ∵， ， ， ． 任务： （3）请你用材料中两种方法中的一种解答问题：若 ，求 的值． （4）如图，在长方形中，，， E ， F分别是上点，且 ，分别以为边在长方形外侧作正方形和若长方形的面积为 40，则图中阴影部分的面积和为 ． 20. 【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．如图1，在中，CM为的中线，若，求的取值范围． 倍长中线法：如图2，延长至点D，使得，连结，可证明，由全等得到 ，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围为 ； 【实践应用】为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时测得旗杆高度，教学楼高度， 则的长为 m； 【拓展探究】如图4，C为线段上一点，，分别以为斜边向上作等腰和等腰，M为中点， 连结． ① 判断的形状，并证明； ② 若将图4中的等腰绕点C转至图5的位置(A，C，B不在同一条直线上)，连结，M为中点，且D，E在同侧，连结．若 ，，则与的面积之差为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $