精品解析：吉林省长春市新区2024-2025学年七年级下学期期末数学试题

2024—2025学年度下学期期末练习 七年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ） A. 全等形 B. 稳定性 C. 灵活性 D. 对称性 3. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列式子一定正确的为（ ） A. B. C. D. 4. 用下列一种正多边形瓷砖铺设地面，不能镶嵌整个平面的图形是（ ） A. 正六边形 B. 正五边形 C. 正四边形 D. 正三角形 5. 如图是被撕掉一块的正多边形纸片，若直线，则该正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 6. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳复量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条还剩余1尺．木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 用直尺和圆规作的中线，作图正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 将多边形的边数由条增加到条后，内角和增加了，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. “与1的和小于零”用不等式表示：__． 10. 如图是小李同学做立定跳远落地瞬间的动作及其示意图，若，，，则的大小为________度． 11. 如图在△ABC中,∠A=50°，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，则∠D的度数为___. 12. 如图，在中，，将沿方向平移的长度得到，已知．则图中阴影部分的面积 _____． 13. 已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是________． 14. 如图，在中，．将绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别为D、E，延长交边于点F．给出下面五个结论： ①； ②； ③； ④； ⑤． 上述结论中，正确结论的序号有________． 三、解答题：本题共8小题，共78分． 15. 解方程（组） （1）解方程：； （2）解方程组： 16. 解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来. 17. 如图，在中，是高，是的平分线，，求 （1）的度数． （2）的度数． 18. 课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组12人，这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？ 19. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． （1）在网格中画出向下平移3个单位得到的； （2）在网格中画出关于直线m对称的； （3）画出绕点顺时针旋转得到的． 20. 为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售A，B两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题． 名称 A种头盔 B种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 （1）第一次，该商店批发A，B两种头盔共120个，用去5600元钱，求A，B两种头盔各批发了多少个？ （2）第二次，该商店用7200元钱仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该超市第二次至少批发A种头盔多少个？ 21. 综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 22. 如图，在中，，，，，点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动．已知P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． （1）如图①，若点P在线段AB上运动，点Q在线段上运动，用含t的式子表示、，并求当时t的值； （2）如图②，若点Q在线段上运动，当t为何值时，的面积等于面积的； （3）当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，直接写出时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期期末练习 七年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ） A. 全等形 B. 稳定性 C. 灵活性 D. 对称性 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性解答； 【详解】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用，角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 3. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列式子一定正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值，根据数轴得到a，b的取值范围，逐个判断选项的正误即可． 【详解】解：由数轴得：，， A、，故A选项正确，不合题意； B、，故B选项错误，不符合题意； C、的正负不确定，故与的大小不确定，故C选项错误，不符合题意； D、，由得，即，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 4. 用下列一种正多边形瓷砖铺设地面，不能镶嵌整个平面的图形是（ ） A. 正六边形 B. 正五边形 C. 正四边形 D. 正三角形 【答案】B 【解析】 【分析】看哪个正多边形的一个内角的度数不是的约数，就不能密铺平面． 【详解】解：A、正六边形的一个内角度数为，是的约数，能密铺平面，不符合题意； B、正九边形的一个内角度数为，不是的约数，不能密铺平面，符合题意； C、正四边形的一个内角度数为，是的约数，能密铺平面，不符合题意； D、正三角形的一个内角为，是的约数，能密铺平面，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面镶嵌，用到的知识点为：一种正多边形能密铺平面，这个正多边形的一个内角的度数是的约数；正多边形一个内角的度数边数． 5. 如图是被撕掉一块的正多边形纸片，若直线，则该正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的性质，多边形的外角和定理的应用，记正多边形的顶点为：，，直线，的交点为，证明，结合，可得正多边形的一个外角的大小，从而可得答案． 【详解】解：如图，记正多边形的顶点为：，，直线，的交点为， ∵正多边形的每一个内角都相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该正多边形正八边形． 故选：C 6. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳复量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条还剩余1尺．木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．根据题意，绳子比木条长4.5尺，所以，对折绳子后量木条，木条剩余1尺，说明对折绳子长度比木条短1尺，所以，据此列出方程组即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 绳子剩余4.5尺， ， 将绳子对折再量木条，木条剩余1尺， ， 可列方程组为． 故选：A． 7. 用直尺和圆规作的中线，作图正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查垂线的尺规作图及角平分线的尺规作图，熟练掌握垂线的尺规作图及角平分线的尺规作图是解题的关键；因此此题可根据垂线的尺规作图及角平分线的尺规作图进行排除选项． 【详解】解：A、由图可知：是的中线，故符合题意； B、由图可知：不是的中线，故不符合题意； C、由图可知：不是的中线，故不符合题意； D、由图可知：不是的中线，故不符合题意； 故选A． 8. 将多边形的边数由条增加到条后，内角和增加了，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理即可求得． 【详解】解：已知n边形的内角和是(n−2)⋅180°， 边数增加到,则新的多边形的内角和是(n+x−2)⋅180°. 故(n+x−2)⋅180°—(n−2)⋅180°=， 解得x=3, 故选C. 【点睛】本题考查多边形的角与边的关系，掌握相关计算公式是解题关键. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. “与1的和小于零”用不等式表示：__． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列不等式，解题的关键是理解题意．根据“与1的和小于零”可列出不等式． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 10. 如图是小李同学做立定跳远落地瞬间的动作及其示意图，若，，，则的大小为________度． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角和的性质，理解为的一个外角是解决本题的关键． 首先由平行线的性质，即“两直线平行，同位角相等”求解，再根据三角形的外角和定理，即“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”求解即可． 【详解】解：记作与的交点为点F， 因为， 所以， 又因为为的一个外角， 所以， 则， 所以的大小为30度． 故答案为：30 ． 11. 如图在△ABC中,∠A=50°，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，则∠D的度数为___. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠ABC=∠ACE，∠D+∠DBC=∠DCE，再根据角平分线的定义可得∠DBC= ∠ABC，∠DCE=∠ACE，然后整理可得∠D=∠A． 【详解】由三角形的外角性质，∠A+∠ABC=∠ACE，∠D+∠DBC=∠DCE， ∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D， ∴∠DBC=∠ABC,∠DCE=∠ACE， ∴ (∠A+∠ABC)=∠D+∠ABC， ∴∠D=∠A， ∵∠A=50°， ∴∠D=25°； 故答案为25°. 【点睛】此题考查三角形的外角性质，角平分线的定义，解题关键在于得到∠D=∠A． 12. 如图，在中，，将沿方向平移的长度得到，已知．则图中阴影部分的面积 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移的性质得到即，再根据再证明，最后根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵将沿方向平移的长度得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：19.5． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 13. 已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集的意义，熟练掌握解一元一次不等式组及一元一次不等式组的解集的意义是解题的关键．解两个不等式得，，再根据不等式组的整数解的个数，即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 关于x的不等式组的整数解有且只有2个， ． 故答案为：． 14. 如图，在中，．将绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别为D、E，延长交边于点F．给出下面五个结论： ①； ②； ③； ④； ⑤． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转，图形的旋转前后边的长度与角的大小不变是解决本题的关键． 首先由旋转前后，即可判断①和②；根据旋转角度可得，再根据三角形内角和即可判断③；由③的结论可判断④；根据内错角的概念判断⑤即可． 【详解】解：①：因为绕点C顺时针旋转得到， 所以，①正确； ②：因为绕点C顺时针旋转得到， 所以，而， 所以，②错误； ③：记与的交点为H， 因为绕点C顺时针旋转得到， 所以， 在中，，， 所以， 所以， 在中，，③正确； ④：由③知，， 所以，④正确； ⑤：因为，但的度数不确定，不一定为， 所以与不一定平行，⑤错误， 所以正确结论的序号有①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题：本题共8小题，共78分． 15. 解方程（组） （1）解方程：； （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程、解二元一次方程组， （1）利用去括号、移项、合并同类项、系数化为1的解一元一次方程的一般步骤计算即可； （2）利用代入消元法解方程即可． 【小问1详解】 解：去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； 【小问2详解】 解：， 由①，得③， 把③代入②，得， 解得，， 把代入③，得， ∴该二元一次方程组的解． 16. 解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来. 【答案】； 在数轴上表示为： 【解析】 【分析】先把两个不等式分别求出来，然后根据不等式的解的口诀得到不等式的解集，然后把解集表示在数轴上即可. 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式的解集为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是正确解出每一个不等式，然后掌握求解集的口诀. 17. 如图，在中，是高，是的平分线，，求 （1）的度数． （2）的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形的角平分线、高的含义、三角形的内角和定理的应用等知识点，熟记三角形的内角和定理是解本题的关键． （1）利用三角形的高线可得，再根据直角三角形两锐角互余求解即可； （2）先根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的性质求得，最后根据角的和差求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，是高， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：在中，， ∴． 又∵是的平分线，， ∴． ∴． 18. 课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组12人，这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？ 【答案】这些学生共有48人. 【解析】 【分析】设原来有组，则重新编组后就有组，其等量关系人数不变，根据此列方程求解． 【详解】解：设原来有组，则重新编组后就有组， 根据题意得： 解得. 经检验，符合题意， （人）. 答：这些学生共有48人. 【点睛】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，其关键是找出等量关系及表示原来和后来各多少组，难度一般． 19. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． （1）在网格中画出向下平移3个单位得到的； （2）在网格中画出关于直线m对称的； （3）画出绕点顺时针旋转得到的． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 如图，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查的是平移变换、轴对称变换、旋转变换作图． （1）利用网格特点和平移的性质，画出A、B、C的对应点、、，再顺次连接即可； （2）根据对称的性质，画出A、B、C的对称点、、，再顺次连接即可； （3）根据旋转的性质，画出、、的对应点、、，再顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售A，B两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题． 名称 A种头盔 B种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 （1）第一次，该商店批发A，B两种头盔共120个，用去5600元钱，求A，B两种头盔各批发了多少个？ （2）第二次，该商店用7200元钱仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该超市第二次至少批发A种头盔多少个？ 【答案】（1）第一次A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个；（2）72个 【解析】 【分析】（1）设第一次A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设第二次批发A种头盔a个，则批发B种头盔 个．根据题意列出一元一次不等式，则可得解． 【详解】解：（1）设第一次A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个． 根据题意，得， 解得：， 答：第一次A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个． （2）设第二次批发A种头盔a个，则批发B种头盔个． 由题意，得， 解得：， 答：第二次该商店至少批发72个A种头盔． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程组和不等式的知识解答． 21. 综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【解析】 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 22. 如图，在中，，，，，点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动．已知P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． （1）如图①，若点P在线段AB上运动，点Q在线段上运动，用含t的式子表示、，并求当时t的值； （2）如图②，若点Q在线段上运动，当t为何值时，的面积等于面积的； （3）当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，直接写出时t的值． 【答案】（1），，秒时， （2） （3）t为4或 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了三角形面积、一元一次方程以及分类讨论等知识解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题． （1）当在线段上运动，在线段上运动时，，，则，由，可得方程，解方程即可． （2）当在线段上时，，则，根据三角形的面积等于三角形面积的，列出方程即可解决问题． （3）分三种情形讨论即可①当时，在线段上运动，在线段上运动．②当时，在线段上运动，在线段上运动．③当时，在线段上运动，在线段上运动时，分别列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动． ∴，， ∵ ∴， ， ， ． 即秒时，； 【小问2详解】 解：当在线段上时，， 则， 三角形的面积等于三角形面积的， ， ， 解得：． 即秒时，三角形的面积等于三角形面积的； 【小问3详解】 解：由题意可知，在线段上运动的时间为12秒，在线段上运动时间为8秒， ①当时，在线段上运动，在线段上运动，，， 则，， ， ， 解得； ②当时，在线段上运动，在线段上运动，， 则，， ， ， 解得； ③当时，在线段上运动，在线段上运动时， 则，， ， ， 解得，不合题意舍去 综上所述，为4或时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $