第24章 相似三角形（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级上册

第24章 相似三角形 教学目标 1. 了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段的概念； 2. 知道比例线段的性质；三角形一边平行线的性质定理与判定定理及其推论； 3. 知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例，周长的比等于对应边的比，面积的比等于对应边比的平方； 4. 了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件； 5. 理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律.平面向量的线性运算. 教学重难点 1.重点 （1）比例线段及其性质；黄金分割； （2）三角形一边的平行线的性质定理、判定定理及其推论；平行线分线段成比例 （3）相似三角形的判定与性质； （4）实数与向量相乘；平面向量的线性运算. 2.难点 （1）比例线段的性质、三角形一边的平行线的几何应用； （2）相似三角形的判定与性质综合； （3）动态几何问题；分类讨论思想等. 知识点1 放缩与相似形 1.图形的放缩运动 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动.将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形. 2.相似形 ①相似形：我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形. ②相似的图形，它们的大小不一定相同.对于大小不同的两个相似形，可以看作大的图形由小的图形放大而得到，或小的图形由大的图形缩小而得到. ③对于大小相同的两个相似形，它们可以重个这时它们是全等形. 3.相似多边形 一般来说，两个多边形是相似形，就是说它们同为n边形而且形状相同.也就是这两个多边形的角对应相等，边的长度对应成比例. 如果四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且点A、B、C、D分别与点A1、B1、C1、D1对应，则记作：“四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1”. 4.相似多边形的性质 根据多边形相似的含义，得到： ①如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例. ②当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1. 【即学即练】 1．下列各组图形中，一定相似的是（   ） A．两个菱形 B．两个正方形 C．两个三角形 D．两个等腰三角形 2．若如图所示的两个四边形相似，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．下列关于“相似形”的说法中正确的是（    ） A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形 C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例 知识点2 比例线段 1.成比例： 如果a:b=c:d（或),那么就说a、b、c、d成比例. 2.两条线段的比：两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 3.求两条线段的比时，对这两条线段一定要用同一长度单位来度量.因为线段的长度是正量，所以两条线段的比值总是正数. 4.成比例线段（比例线段） 在图24-6中，DE是△ABC的中位线.线段DE与BC的比可记作(或DE:BC),于是得到 在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 例如图24-6中，根据DE是△ABC的中位线的条件，可得,则线段DE、BC、AD、AB是比例线段. 5.比例线段的基本性质：如果a、b、c、d是比例线段，即(或a:b=c:d)，那么线段a、d是比例外项，线段b、c是比例内项. 我们知道，比例线段有以下基本性质：两个外项的积等于两个内项的积.即 如果，那么ad=bc. 还可以得到，， 6.合比性质：如果 如果 7.等比性质：如果 8.等比性质的推广 等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形.例如： 如果 那么 对于其他的同类量，也有与线段一样的比例性质.但在实数范围内，要注意式中的分母不能为零，如b+d≠0,b₁+b₂+b₃≠0等 9.比例中项 在比例式 中，两个内项都是线段AP, 这时线段AP称为线段AB与PB的比例中项. 10.黄金分割 如果点P把线段AB分割成AP和PB(AP>PB)两段(如图24 - 9),其中AP是AB和P的比例中项，那么称这种分割为黄金分割,点P称为线段AB的黄金分割点. 注意：一般来说，一条线段的黄金分割点有两个. AP与 AB的比值 称为黄金分割数(简称黄金数).黄金分割数是一个无理数，在应用时常取它的近似值0.618. 【即学即练】 1．下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．在比例尺为的某地旅游地图上，经测量景点与景点相距约，则这两景点实际距离约 ． 3．如果6是3和x的比例中项，那么 ． 4．已知，那么下列四个选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知点P是线段的黄金分割点，，那么的长是 ． 知识点3 三角形一边的平行线 1.三角形一边的平行线性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例. 2.三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 要点： (1)主要的基本图形：分A型和X型； A型 X型 （2）常用的比例式： 对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 等等. 3.三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 4.三角形一边的平行线推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 要点： 判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例). 5.平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例. 6.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点： （1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例； (2) 由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中. 【即学即练】 1．如图，在中，点分别在边延长线上，，如果，，那么的长是 ．    2．已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D，E，F．若，，则的长为 ． 4．中，点分别为边和边上的点，下列式子可以判定的是（   ） A．， B．， C．， D．， 知识点4 相似三角形的判定 1.相似三角形 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形. 2.相似三角形的表示 在两个相似三角形中，对应相等的角及其顶点分别是它们的对应角和对应顶点，以对应顶点为端点的边是它们的对应边. 两个三角形是相似三角形，也可以表述为“两个三角形相似”,或“一个三角形与另一个三角形相似”. 如图24-31,已知DE是△ABC的中位线，那么在△ADE与△ABC中，∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C; 由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似.用符号来表示，记作△ADE∽△ABC,其中点A与点A、点D与点B、点E与点C分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”. 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“△”后相应的位置上. 3.相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等、对应边成比例. 4.相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比(或相似系数). 5.两个三角形相似比的关系：设△ABC与△A'B'C′的相似比为k,△A'B'C′与△ABC的相似比为k′,则k′=. 6.三角形相似的传递性： 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似. 7.相似三角形判定预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似. 8.相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 9.相似三角形判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 10.相似三角形判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似） 11.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 （简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似） 【即学即练】 1．下列各组条件中不能使与相似的是（   ） A．，， B．，， C．，，，， D．， 2．如图，已知在梯形中，，要使与相似，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需填一个条件）． 3．如图所示，是的边上的一点，连接，以下条件中不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 知识点5 相似三角形的性质 1.根据相似三角形的定义，可以直接得到相似三角形的性质： 相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2.相似三角形性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 3.相似三角形性质定理2: 相似三角形周长的比等于相似比. 4. 相似三角形性质定理3:相似三角形面积的比等于相似比的平方. 【即学即练】 1．如果两个相似三角形的对应中线之比为，那么它们的对应高之比为 ． 2．已知，与的相似比为，与的相似比为，那么与的相似比为（   ） A． B． C． D． 3．如果两个相似三角形的面积之比为，则它们的周长之比为（    ） A． B． C． D． 4．如图，长方形的边在的边上，顶点分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是 ． 5．在中，点D、E分别在边、上，，如果，，那么 ． 知识点6 平面向量的线性运算 1. 实数与向量相乘的意义： 一般地，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 2．向量数乘的定义 一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下： （1）如果时，则： ①的长度：；②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向； （2）如果时，则：，的方向任意. 实数与向量相乘，叫做向量的数乘. 3. 实数与向量的相乘的运算律： 设为实数，则： （1）（结合律）； （2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）； （3） （向量的数乘对于向量加法的分配律） 4.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点： 任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，. 5.平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使. 6．向量的线性运算定义： 向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 7．向量的分解： 平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得. 8．用向量方法解决平面几何问题： （1）利用已知向量表示未知向量 用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． （2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”： ①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 【即学即练】 1．计算： 2．已知都是非零向量，下列条件中不能判定的是（    ） A．， B． C． D．， 3．已知一个单位向量，设、、是非零向量，那么下列说法正确的是（   ） A． B．若，则有，或 C． D．若，，则 4．下列命题中，正确的是（   ） A．如果或，那么 B．如果、都是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果m、n为实数，那么 5．如图，梯形中，，，设，，那么可以用、表示为 ． 题型01 放缩与相似形 【典例1】．对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（　　） A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变 B．图形中线段的长度与角的大小都会改变 C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变 D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变 【变式1】．下列图形，一定相似的是（    ） A．两个等边三角形 B．两个等腰三角形 C．两个矩形 D．两个菱形 【变式2】．用一个2倍放大镜照一个，下面说法中错误的是（    ） A．放大后，是原来的2倍 B．放大后，各边长是原来的2倍 C．放大后，周长是原来的2倍 D．放大后，面积是原来的4倍 题型02 比例线段及其性质、应用 【典例1】．下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（　　） A．1、2、3、4 B．2、3、4、6 C．4、5、5、6 D．1、2、5、20 【变式1】．如果的值是，那么的值为 ． 【变式2】．2024年8月2日，北横通道东段主线正式试通车，标志着这一世界最长城市核心区地下道路全线双向贯通．在一张比例尺为的地图上，北横通道长约1.9厘米，那么北横通道实际长度约为（   ） A．0.19千米 B．1.9千米 C．19千米 D．190千米 【变式3】．若，且，则 ． 题型03 黄金分割 【典例1】．已知点是线段的黄金分割点，，且，则 ． 【变式1】．已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ． 【变式2】．已知线段是线段、的比例中项，如果，，那么线段的长为（    ） A． B．6 C． D．36 【变式3】．已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】．已知点P是线段的黄金分割点，且，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型04 三角形一边平行线的性质及推论 【典例1】．如图，，若，则下面结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，，分别截两直线于六点．若，，则 ． 【变式2】．如图，点E、F分别在线段、上，，，，，那么 ． 【变式3】．如图，在的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点、，如果线段与网格线的其中两个交点为、，那么：：的值是（     ） A． B． C． D． 【变式4】．如图，已知，是的中线，是的中点，则 ． 题型05 三角形一边平行线的判定及推论 作图辨析 【典例1】．如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．已知，在中，点D、E分别在边上，那么下列各条件中，不一定能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．已知在中，点、分别是边、上的一点，，，要使，那么 ． 【变式3】．已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作图中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型06 直接利用相似三角形的性质求解 【典例1】．如果两个相似三角形面积的比为，那么它们周长的比为 ． 【变式1】．如果两个相似三角形对应周长之比是，那么它们的对应边之比是（　　） A． B． C． D． 题型07 相似三角形的判定，性质辨析 【典例1】．如图，相交于点O，添加一个条件 ，可以使． 【变式1】．下列给出的条件不能得出的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】．已知的三边都不相等，如果与相似，且，那么下列等式一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应）．那么下列等式中，不一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【变式4】．如图，已知，下列添加的条件不能使的是（    ） A． B． C． D． 题型08 网格、裁剪问题 【典例1】．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 题型09 平面向量的线性运算 【典例1】．已知（其中k为实数）．下列说法中错误的是（    ） A．若，那么 B．若，那么一定是非零向量 C．若，那么与的方向相反 D．若是单位向量，那么的模是 【变式1】．已知向量、、满足，试用向量、表示向量，那么= ． 【变式2】．下列说法中，错误的是（   ） A．设为单位向量，那么； B．如果，那么或； C．如果，其中，那么； D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解． 【变式3】．已知与单位向量的方向相反，且长度为4，那么表示为 ． 【变式4】．如图，在中，是边的中线，设向量，，那么用向量、表示向量是 ． 【变式5】．已知是非零向量，与同方向的单位向量记作，下列式子中，正确的是（  ） A． B． C． D． 题型10 相似三角形的性质综合应用 【典例1】．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE与CD相交于点F，如果，那么等于 【变式1】．小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离为米，凉亭的高度为米，小明到凉亭的距离为米，凉亭与观景台底部的距离为米，小杰身高为米．那么观景台的高度为 米． 【变式2】．如图，已知正方形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，BC＝15，高AH＝10，则正方形DEFG的边长等于 ． 题型11 重心的性质及其应用 【典例1】．如图，点G是重心，，如果，那么线段的长为 【变式1】．如图，在中，，是的重心，若，则 ． 【变式2】．已知边长为4的等边的重心为点，则的面积为 ． 【变式3】．在中，，点G是重心，如果，那么 ． 【变式4】．如图，已知点是的重心，过点作，分别交于点，如果设那么用、表示 ． 【变式5】．如图，点是的重心，四边形与面积的比值是 ． 题型12 解答题 【典例1】．已知：线段，且． (1)求的值； (2)如果线段，满足，求的值． 【变式1】．如图，在中，点、分别在边、延长线上，，，已知，． (1)用向量、分别表示向量、； (2)作出向量分别在、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）． 【变式2】．如图，平行四边形中，已知，是边的中点，连接．，垂足在边上，连接并延长，交延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【变式3】．如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点、，过作交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)反比例函数的图象与直线交于第二象限内的点，当时，求的值； (3)设线段的中点为，过点作轴的垂线，垂足为点，交反比例函数的图象于点，分别连接，当与相似时，求满足条件的所有的值． 【变式4】．如图，在中，，，，D是边上一动点（不与点A、C重合），，垂足为E，交边于点F． (1)当点D是边中点时，求，的值； (2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)当与相似时，求线段的长． 一、单选题 1．下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 2．已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知非零向量、，且有，下列说法中，不正确的是（   ） A． B． C．与方向相反 D． 4．如图，中，，，，，则的长度为（    ） A．2 B．6 C．3 D．4 5．如图，点在边上，，点是的角平分线与的交点，且，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若，则的值为 ． 7．已知 ，的周长与的周长的比值是，、分别是它们对应边上的中线，且，则 ． 8．如图，已知，它们依次交直线m、n于点A、B、C和点D、E、F，如果，那么 ． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章 相似三角形 教学目标 1. 了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段的概念； 2. 知道比例线段的性质；三角形一边平行线的性质定理与判定定理及其推论； 3. 知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例，周长的比等于对应边的比，面积的比等于对应边比的平方； 4. 了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件； 5. 理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律.平面向量的线性运算. 教学重难点 1.重点 （1）比例线段及其性质；黄金分割； （2）三角形一边的平行线的性质定理、判定定理及其推论；平行线分线段成比例 （3）相似三角形的判定与性质； （4）实数与向量相乘；平面向量的线性运算. 2.难点 （1）比例线段的性质、三角形一边的平行线的几何应用； （2）相似三角形的判定与性质综合； （3）动态几何问题；分类讨论思想等. 知识点1 放缩与相似形 1.图形的放缩运动 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动.将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形. 2.相似形 ①相似形：我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形. ②相似的图形，它们的大小不一定相同.对于大小不同的两个相似形，可以看作大的图形由小的图形放大而得到，或小的图形由大的图形缩小而得到. ③对于大小相同的两个相似形，它们可以重个这时它们是全等形. 3.相似多边形 一般来说，两个多边形是相似形，就是说它们同为n边形而且形状相同.也就是这两个多边形的角对应相等，边的长度对应成比例. 如果四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且点A、B、C、D分别与点A1、B1、C1、D1对应，则记作：“四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1”. 4.相似多边形的性质 根据多边形相似的含义，得到： ①如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例. ②当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1. 【即学即练】 1．下列各组图形中，一定相似的是（   ） A．两个菱形 B．两个正方形 C．两个三角形 D．两个等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查的是相似图形，根据相似图形的定义解答即可． 【详解】解：A、两个菱形的对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，不符合题意； B、两个正方形一定相似，符合题意； C、两个三角形不一定相似，不符合题意； D、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意， 故选：B． 2．若如图所示的两个四边形相似，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应角相等求出∠1的度数，根据四边形内角和等于计算即可． 【详解】解：∵两个四边形相似， ∴， ∵四边形的内角和等于， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等是解题的关键． 3．下列关于“相似形”的说法中正确的是（    ） A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形 C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例 【答案】B 【分析】根据相似形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A：相似形形状相同、大小不一定相同，但是可以相同，故选项A错误； B：图形的放缩运动可以得到相似形，选项B正确； C：如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形，故选项C错误； D：全等形是相似形的特例，故选项D错误． 【点睛】本题考查相似形的性质，解题的关键是熟练掌握相似形的相关知识． 知识点2 比例线段 1.成比例： 如果a:b=c:d（或),那么就说a、b、c、d成比例. 2.两条线段的比：两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 3.求两条线段的比时，对这两条线段一定要用同一长度单位来度量.因为线段的长度是正量，所以两条线段的比值总是正数. 4.成比例线段（比例线段） 在图24-6中，DE是△ABC的中位线.线段DE与BC的比可记作(或DE:BC),于是得到 在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 例如图24-6中，根据DE是△ABC的中位线的条件，可得,则线段DE、BC、AD、AB是比例线段. 5.比例线段的基本性质：如果a、b、c、d是比例线段，即(或a:b=c:d)，那么线段a、d是比例外项，线段b、c是比例内项. 我们知道，比例线段有以下基本性质：两个外项的积等于两个内项的积.即 如果，那么ad=bc. 还可以得到，， 6.合比性质：如果 如果 7.等比性质：如果 8.等比性质的推广 等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形.例如： 如果 那么 对于其他的同类量，也有与线段一样的比例性质.但在实数范围内，要注意式中的分母不能为零，如b+d≠0,b₁+b₂+b₃≠0等 9.比例中项 在比例式 中，两个内项都是线段AP, 这时线段AP称为线段AB与PB的比例中项. 10.黄金分割 如果点P把线段AB分割成AP和PB(AP>PB)两段(如图24 - 9),其中AP是AB和P的比例中项，那么称这种分割为黄金分割,点P称为线段AB的黄金分割点. 注意：一般来说，一条线段的黄金分割点有两个. AP与 AB的比值 称为黄金分割数(简称黄金数).黄金分割数是一个无理数，在应用时常取它的近似值0.618. 【即学即练】 1．下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比)与另两条线段的比相等，则或，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．根据比例线段的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A．由于，则，，，不成比例，故A选项不符合题意； B．由于，则，，，成比例，故B选项符合题意； C．由于，则，，，不成比例，故C选项不符合题意； D．由于，则，，，不成比例，故D选项不符合题意． 故选：B． 2．在比例尺为的某地旅游地图上，经测量景点与景点相距约，则这两景点实际距离约 ． 【答案】40 【分析】本题考查成比例线段，设这两景点实际距离为，利用比例尺的定义得到，求出x的值后，把单位化为即可． 【详解】解：设这两景点实际距离为， ， 解得， ， 故答案为：40． 3．如果6是3和x的比例中项，那么 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了比例的基本性质的应用，熟知比例中项的定义是解题的关键． 根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，进而可求解． 【详解】解：∵6是3和的比例中项， ∴， 解得：． 故答案为：12． 4．已知，那么下列四个选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质逐项判断即可，解题的关键是掌握比例的性质和等式的基本性质． 【详解】解：由可设， 则，故A正确，符合题意； ，故B错误，不符合题意； 则不一定等于，故C错误，不符合题意； 则，故D错误，不符合题意； 故选：A． 5．已知点P是线段的黄金分割点，，那么的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：∵P为线段的黄金分割点，且是较长线段， 则，即 ∴ 经检验，是原方程的解． 故答案为：． 知识点3 三角形一边的平行线 1.三角形一边的平行线性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例. 2.三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 要点： (1)主要的基本图形：分A型和X型； A型 X型 （2）常用的比例式： 对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 等等. 3.三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 4.三角形一边的平行线推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 要点： 判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例). 5.平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例. 6.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点： （1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例； (2) 由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中. 【即学即练】 1．如图，在中，点分别在边延长线上，，如果，，那么的长是 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据可得，根据，求出即可． 【详解】解：， ， ； 故答案为：4． 2．已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握比例的性质，线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据作，结合线段成比例的计算方法判定即可． 【详解】解：A、已知线段，求作线段，作，可以运用平行线分线段成比例得到，故作图合理，不符合题意； B、求作线段的值，即运用确定的的计算，B选项中需要确定的长度，点A也可以在点C的右边，故无法保证，故作图不合理，符合题意； C、如图，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； D、如图所示，，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； 故选：B ． 3．如图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D，E，F．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理．直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．中，点分别为边和边上的点，下列式子可以判定的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理逐项跑的即可． 【详解】解∶A． ， ， ， ， ， 故该选项符合题意； B． 根据，，不能判定，故该选项不符合题意； C．根据 ，，不能判定，故该选项不符合题意； D．根据，，不能判定，故该选项不符合题意； 故选：A． 知识点4 相似三角形的判定 1.相似三角形 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形. 2.相似三角形的表示 在两个相似三角形中，对应相等的角及其顶点分别是它们的对应角和对应顶点，以对应顶点为端点的边是它们的对应边. 两个三角形是相似三角形，也可以表述为“两个三角形相似”,或“一个三角形与另一个三角形相似”. 如图24-31,已知DE是△ABC的中位线，那么在△ADE与△ABC中，∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C; 由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似.用符号来表示，记作△ADE∽△ABC,其中点A与点A、点D与点B、点E与点C分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”. 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“△”后相应的位置上. 3.相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等、对应边成比例. 4.相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比(或相似系数). 5.两个三角形相似比的关系：设△ABC与△A'B'C′的相似比为k,△A'B'C′与△ABC的相似比为k′,则k′=. 6.三角形相似的传递性： 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似. 7.相似三角形判定预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似. 8.相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 9.相似三角形判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 10.相似三角形判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似） 11.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 （简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似） 【即学即练】 1．下列各组条件中不能使与相似的是（   ） A．，， B．，， C．，，，， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定法则即可得出答案，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键． 【详解】解：A、，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴，故选项不符合题意； C、∵，，， ∴， 又∵， ∴，故选项不符合题意； D、∵， ∴与的夹角为，与的夹角为， 而给出的条件为， ∴不能判断，故选项符合题意； 故选：D． 2．如图，已知在梯形中，，要使与相似，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需填一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的性质，三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．根据题意可证，结合三角形相似的判定定理添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当或时或时，与相似． 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图所示，是的边上的一点，连接，以下条件中不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似．根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可． 【详解】解：A．能判定，符合两组对应边的成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； B．不能判定，不符合两组对应边的成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； C．能判定，符合有两组角对应相等的两个三角形相似； D．能判定，符合有两组角对应相等的两个三角形相似． 故选B． 知识点5 相似三角形的性质 1.根据相似三角形的定义，可以直接得到相似三角形的性质： 相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2.相似三角形性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 3.相似三角形性质定理2: 相似三角形周长的比等于相似比. 4. 相似三角形性质定理3:相似三角形面积的比等于相似比的平方. 【即学即练】 1．如果两个相似三角形的对应中线之比为，那么它们的对应高之比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角平分线的比、对应中线比、对应高线比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应中线之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应高之比为， 故答案为：． 2．已知，与的相似比为，与的相似比为，那么与的相似比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据，且与的相似比为，与的相似比为，故设，则，，所以，即可作答． 【详解】解：∵，与的相似比为，与的相似比为， ∴设， 则，， ， ∴与的相似比为， 故选：B． 3．如果两个相似三角形的面积之比为，则它们的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 根据相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴它们的周长比为：， 故选：B． 4．如图，长方形的边在的边上，顶点分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 设交于点，由题意得， ，，，得出四边形是矩形，由得到，继而得到，即，计算即可求解． 【详解】解：设交于点，如图， 长方形的边在的边上，顶点分别在、上， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为： ． 5．在中，点D、E分别在边、上，，如果，，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．由可得，再通过证明得到相似比，代入即可得到的长． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：3． 知识点6 平面向量的线性运算 1. 实数与向量相乘的意义： 一般地，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 2．向量数乘的定义 一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下： （1）如果时，则： ①的长度：；②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向； （2）如果时，则：，的方向任意. 实数与向量相乘，叫做向量的数乘. 3. 实数与向量的相乘的运算律： 设为实数，则： （1）（结合律）； （2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）； （3） （向量的数乘对于向量加法的分配律） 4.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点： 任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，. 5.平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使. 6．向量的线性运算定义： 向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 7．向量的分解： 平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得. 8．用向量方法解决平面几何问题： （1）利用已知向量表示未知向量 用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． （2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”： ①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 【即学即练】 1．计算： 【答案】 【分析】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．根据平面向量的加法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．已知都是非零向量，下列条件中不能判定的是（    ） A．， B． C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查了向量平行的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据向量平行的判定，向量模的理解进行判定即可求解． 【详解】解：A、，则，能判定，不符合题意； B、，则，能判定，不符合题意； C、模相等，不一定平行，故不能判定，符合题意； D、，则， ∴，能判定，不符合题意； 故选：C ． 3．已知一个单位向量，设、、是非零向量，那么下列说法正确的是（   ） A． B．若，则有，或 C． D．若，，则 【答案】D 【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意； B、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、∵，， ∴， ∴，故本选项符合题意； 故选：D． 4．下列命题中，正确的是（   ） A．如果或，那么 B．如果、都是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果m、n为实数，那么 【答案】D 【分析】本题考查了平面向量的定义，向量的模，单位向量，平行向量，注意向量是既有大小又有方向的量，根据平面向量的定义，向量的模，单位向量，平行向量的定义一一判断即可． 【详解】解：A．如果或，那么，故不正确； B．如果、都是单位向量，那么不一定成立，因为方向可能不同，故不正确； C．如果，那么不一定成立，因为方向可能不同，故不正确； D．如果m、n为实数，那么，正确； 故选D． 5．如图，梯形中，，，设，，那么可以用、表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查向量的线性计算．熟练掌握三角形法则，是解题的关键．先根据，，，得出，然后利用三角形法则，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型01 放缩与相似形 【典例1】．对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（　　） A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变 B．图形中线段的长度与角的大小都会改变 C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变 D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变 【答案】D 【详解】根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，可知对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变， 故选D． 点睛：本题主要考查相似图形的性质.理解相似图形的性质是解题的关键. 【变式1】．下列图形，一定相似的是（    ） A．两个等边三角形 B．两个等腰三角形 C．两个矩形 D．两个菱形 【答案】A 【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析． 【详解】解：A、两个等边三角形的三个角对应相等均为，故一定相似，符合题意； B、两个等腰三角形的顶角不一定相等，不一定相似，不符合题意； C、两个矩形的边不一定成比例，不一定相似，不符合题意； D、两个菱形的角不一定对应相等，不一定相似，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边成比例的多边形，叫做相似多边形是解题的关键． 【变式2】．用一个2倍放大镜照一个，下面说法中错误的是（    ） A．放大后，是原来的2倍 B．放大后，各边长是原来的2倍 C．放大后，周长是原来的2倍 D．放大后，面积是原来的4倍 【答案】A 【分析】用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变． 【详解】解：因为放大前后的三角形相似， 放大后三角形的内角度数不变， 面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍， 故选A． 【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 题型02 比例线段及其性质、应用 【典例1】．下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（　　） A．1、2、3、4 B．2、3、4、6 C．4、5、5、6 D．1、2、5、20 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段，根据最小的值与最大的值相乘等于其他两个值的乘积，得出它们成比例线段，即可作答． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】．如果的值是，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要运用了比例性质，根据比例的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】．2024年8月2日，北横通道东段主线正式试通车，标志着这一世界最长城市核心区地下道路全线双向贯通．在一张比例尺为的地图上，北横通道长约1.9厘米，那么北横通道实际长度约为（   ） A．0.19千米 B．1.9千米 C．19千米 D．190千米 【答案】C 【分析】本题考查了比例尺的意义的运用，比例线段．由比例尺的定义：图上距离与实际距离的比叫做比例尺建立等量关系，就可以求出实际距离． 【详解】解：设地铁线路的实际长度约为是厘米，由题意，得 ， 解得：， 1900000厘米千米． 故选：C． 【变式3】．若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的基本性质，能够熟练掌握整体代入思想是解决本题的关键．根据题意可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为： 题型03 黄金分割 【典例1】．已知点是线段的黄金分割点，，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割，掌握黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割的定义即得出，代入数据，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式1】．已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：， 点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】．已知线段是线段、的比例中项，如果，，那么线段的长为（    ） A． B．6 C． D．36 【答案】B 【分析】利用比例中项的平方等于两个外项的积，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查比例选段．熟练掌握比例中项的平方等于两个外项的积，是解题的关键． 【变式3】．已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项，解题的关键是掌握黄金分割点的性质．据黄金分割的定义求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵是线段的黄金分割点，且， ∴， A、，故该选项正确，不符合题意； B、 ，故该选项不正确，符合题意； C、 ，故该选项正确，不符合题意； D、 ，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【变式4】．已知点P是线段的黄金分割点，且，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且， ∴，， ∴A正确，B，C，D不正确． 故选：A． 题型04 三角形一边平行线的性质及推论 【典例1】．如图，，若，则下面结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．已知，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可． 【详解】解：A、由，得，故A不符合题意； B、由，得，故B不符合题意； C、根据已知条件得不出，故C符合题意； D、由，得，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1】．如图，，分别截两直线于六点．若，，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例． 先根据平行线分线段成比例求出，再计算的长即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ， ． 故答案为：20． 【变式2】．如图，点E、F分别在线段、上，，，，，那么 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；连接，延长交于点H，然后由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：连接，延长交于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 故答案为3． 【变式3】．如图，在的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点、，如果线段与网格线的其中两个交点为、，那么：：的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理内容是解题的关键；由网格特点知，，则有，从而可求解． 【详解】解：根据网格特点，， ∴， 故选：C． 【变式4】．如图，已知，是的中线，是的中点，则 ． 【答案】 【分析】过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据线段中点的性质得到，得到，，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：过点作交于， 则， 是的中线，是的中点， ，， ， ． 故答案为：． 题型05 三角形一边平行线的判定及推论 作图辨析 【典例1】．如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，理解平行线分线段成比例是解答关键． 根据平行线分线段成比例来逐一进行判定求解． 【详解】解：∵， ∴，故A不合题意； ∵， ∴，故B不合题意； ∵， ∴，故C不合题意； ∵， 不能判断与平行，故D符合题意． 故选：D． 【变式1】．已知，在中，点D、E分别在边上，那么下列各条件中，不一定能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∴，本选项不符合题意； B、∵， ∴，本选项不符合题意； C、当时，不能判定，本选项符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∴，本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】．已知在中，点、分别是边、上的一点，，，要使，那么 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，能灵活运用平行线分线段成比例的性质得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例即可得出答案． 【详解】解：当时， 故答案为∶6． 【变式3】．已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作图中正确的是（   ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．利用图形得比例线段，再与已知式作对比，可以得出结论． 【详解】解：A、由图可得，即，故此选项不符合题意； B、由图可得，即，故此选项不符合题意； C、由图可得，即，故此选项符合题意； D、由图可得，即，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型06 直接利用相似三角形的性质求解 【典例1】．如果两个相似三角形面积的比为，那么它们周长的比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：由题意，相似三角形的相似比为：， ∴它们周长的比为； 故答案为：． 【变式1】．如果两个相似三角形对应周长之比是，那么它们的对应边之比是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比，求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形对应周长之比是， ∴它们的对应边之比为， 故选：A． 题型07 相似三角形的判定，性质辨析 【典例1】．如图，相交于点O，添加一个条件 ，可以使． 【答案】 【分析】此题是开放题，解题时注意相似三角形的判定定理．此题的已知条件为，根据有两个角对应相等的三角形相似，可添加或；根据两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，可添加． 【详解】解：此题答案不唯一： ∵，要使使， ∴可添加：或或， 故答案为：或或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定：有两个角对应相等的三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的三角形相似．解题时注意要认真分析． 【变式1】．下列给出的条件不能得出的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键． 【详解】解：A. ，，不是夹对应角的两边对应成比例，不能得到，故符合题意； B.，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； C.，即，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； D.，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； 故选A． 【变式2】．已知的三边都不相等，如果与相似，且，那么下列等式一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定条件：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）夹角相等，对应边成比例，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似，（4）斜边和直角边对应成比例的两直角三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．本题中结合题意根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得到答案． 【详解】解：如图， A、，，故，不符合题意； B、，，故，，不符合题意； C、，夹角不对应相等，故不能证明相似，符合题意； D、，若，则，不符合题意， 故选：C． 【变式3】．如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应）．那么下列等式中，不一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，对应角相等，对应线段成比例，面积比等于相似比的平方，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故选项A，B，D不符合题意； 不一定相等，故选项C符合题意； 故选C． 【变式4】．如图，已知，下列添加的条件不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据相似三角形的判定定理判断求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 故C不符合题意； 由，，不能判定， 故D符合题意； 故选：D． 题型08 网格、裁剪问题 【典例1】．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判断，熟练掌握基本性质是解题关键． 通过勾股定理算出已知图形三条边的长度，然后算出三边之比，再逐一算出选项的三边之比是否和题干图形的比一样，再进行判断即可． 【详解】解：通过勾股定理可得到已经图形的三条边分别为，2，，所以三边之比为 A、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，1，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意； B、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，1，，所以三边之比为，与已知图形之比一样，故两个三角形相似，故符合题意； C、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，3，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意； D、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，2，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意； 故选：B ． 【变式1】．下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题主要应用两三角形相似的判定定理和勾股定理，相似三角形的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形相似，解答此题先根据勾股定理求出三角形的边长，然后看三边是否对应成比例即可． 【解答】解：设单位正方形的边长为，则给出的三角形三边长分别为，，． A.三角形三边分别是，，，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误； B.三角形三边，，，与给出的三角形的各边不成比例，故B选项错误； C.三角形三边，，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误； D.三角形三边，，，，与给出的三角形的各边成正比例，故D选项正确． 故选D． 【变式2】．如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：C． 题型09 平面向量的线性运算 【典例1】．已知（其中k为实数）．下列说法中错误的是（    ） A．若，那么 B．若，那么一定是非零向量 C．若，那么与的方向相反 D．若是单位向量，那么的模是 【答案】B 【分析】本题考查了平面向量，根据零向量的意义，共线向量以及模的定义进行判断即可．解题的关键是掌握平面向量的性质，平面向量既有大小，也有方向． 【详解】解：A、若，那么，故本选项正确； B、若，则可能是零向量，也可能是非零向量， ∴可能是零向量，也可能是非零向量，故本选项错误； C、若，那么与的方向相反，故本选项正确； D、若是单位向量，那么的模是，故本选项正确； 故选：B． 【变式1】．已知向量、、满足，试用向量、表示向量，那么= ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了向量的线性运算，先去括号，然后移项合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】．下列说法中，错误的是（   ） A．设为单位向量，那么； B．如果，那么或； C．如果，其中，那么； D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解． 【答案】B 【分析】本题考查平面向量，根据平面向量的运算法则和向量的模的定义逐一判断即可． 【详解】解：A. 设为单位向量，那么，说法正确； B. 如果，只能说明向量的模是向量的模的3倍，方向不一定是相同或相反，所以不能说明或，故说法错误； C.∵，（为非零向量）， ∴， 即， ∴， ∴与平行，故说法正确； D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，说法正确． 故选：B． 【变式3】．已知与单位向量的方向相反，且长度为4，那么表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键． 根据向量的表示方法，可直接进行解答． 【详解】解：∵的长度为，向量是单位长度， ∴， ∵与单位向量的方向相反， ∴． 故答案为： ． 【变式4】．如图，在中，是边的中线，设向量，，那么用向量、表示向量是 ． 【答案】 【分析】本题考查了向量运算，先由中点得出，根据三角形法则列式，然后计算，即可作答． 【详解】解：∵是边的中线， ， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式5】．已知是非零向量，与同方向的单位向量记作，下列式子中，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】单位向量是指模等于1的向量．由于是非零向量，单位向量具有确定的方向． 一个非零向量除以它的模，可得与其方向相同的单位向量． 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同． 【详解】解：A、 ，原式计算错误，故本选项不符合题意； B、，原式计算正确，故本选项符合题意； C、，原式计算错误，故本选项不符合题意； D、 ，原式计算错误，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面向量的模与向量的一些基础知识，应熟练掌握一个非零向量除以它的模，可得与其方向相同的单位向量． 题型10 相似三角形的性质综合应用 【典例1】．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE与CD相交于点F，如果，那么等于 【答案】 【分析】首先根据得到，根据，得出，然后得到，再根据同底不同高，面积比等于高之比即可． 【详解】解：， ， ， ， 分别过点作的垂线，交于， 在与， ， ， ， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是了解相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【变式2】．小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离为米，凉亭的高度为米，小明到凉亭的距离为米，凉亭与观景台底部的距离为米，小杰身高为米．那么观景台的高度为 米． 【答案】// 【分析】根据题意构造直角三角形，继而利用相似三角形的判定与性质解答． 【详解】解：过点作于点，交于点， 由题意得，，，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，构造直角三角形是解题关键． 【变式3】．如图，已知正方形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，BC＝15，高AH＝10，则正方形DEFG的边长等于 ． 【答案】6 【分析】设正方形的边长为，则，所以，再证明，则根据相似三角形的对应高之比等于相似比得到，由此计算即可求得答案． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 又∵高AH＝10， ， ∵四边形DEFG是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ， 即， 解得：， ∴正方形DEFG的边长为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，熟练掌握相似三角形的对应高之比等于相似比是解决本题的关键． 题型11 重心的性质及其应用 【典例1】．如图，点G是重心，，如果，那么线段的长为 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．先根据三角形重心性质得到，，再证明，然后利用相似比可计算的长． 【详解】解：∵点G是的重心， ∴为中线，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：2． 【变式1】．如图，在中，，是的重心，若，则 ． 【答案】 【分析】延长交于点中点，取的中点，的中点，连接，，，又根据中位线的性质，则，，得四边形是平行四边形，根据矩形的判定和性质，又根据是的重心，，则，即可求出． 【详解】延长交于点，取的中点，的中点，连接，， ∴，， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴平行四边形是矩形 ∴ ∵是的重心， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形重心，中位线，矩形的知识，解题的关键是掌握三角形重心定理，三角形中位线的性质，矩形的判定和性质． 【变式2】．已知边长为4的等边的重心为点，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的重心，等边三角形的性质，画出图形，利用重心的性质得到的值即可，熟知重心的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 等边的重心为点， 为的中线，且， ， 根据三线合一可得， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】．在中，，点G是重心，如果，那么 ． 【答案】9 【分析】本题考查了重心的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握重心的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 如图，是的中线，由G是重心，，可求，，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，是的中线，    ∵G是重心，， ∴，即， 解得，， ∴， ∵，是的中线， ∴， 故答案为：9． 【变式4】．如图，已知点是的重心，过点作，分别交于点，如果设那么用、表示 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，向量的线性运算．熟练掌握三角形重心的性质和相似三角形的性质是解题的关键．连接并延长交于点，根据重心的性质可得，根据相似三角形的性质可得，进而根据向量的计算可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点， 点是的重心， 又， ， ，即 ， 则． ． 故答案为：． 【变式5】．如图，点是的重心，四边形与面积的比值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键．连接，根据三角形中位线定理以及中线的性质可得，，，从而得到，进而得到，继而得到，，可得，再由，即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点G是的重心， ∴点D，E分别为的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即四边形与面积的比值是． 故答案为：． 题型12 解答题 【典例1】．已知：线段，且． (1)求的值； (2)如果线段，满足，求的值． 【答案】(1) (2)，，． 【分析】（1）根据比例的性质得出，即可得出的值； （2）首先设，则，，，利用求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）设， 则，，， ， ， ， ，，． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出，，进而得出的值是解题关键． 【变式1】．如图，在中，点、分别在边、延长线上，，，已知，． (1)用向量、分别表示向量、； (2)作出向量分别在、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）． 【答案】(1)， (2)图见解析，， 【分析】本题考查了平面向量的知识与平行线分线段成比例定理．熟练掌握三角形法则，平行四边形法则是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理可得出，，即可得出，根据即可得答案； （2）过点分别作，，可得、是向量分别在、方向上的分向量，根据平行线分线段成比例定理求出和即可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵与的方向相同，，与的方向相同，， ∴，， ∴． （2）解：如图，过点分别作，，则、是向量分别在、方向上的分向量， ∵，， ∴，， ∴，， ∵与的方向相同，与的方向相反， ∴，． 【变式2】．如图，平行四边形中，已知，是边的中点，连接．，垂足在边上，连接并延长，交延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键．     （1）证明，，由即可得到结论； （2）证明∽，则，得到，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴//，， ∵//， ∴ ∵是边的中点， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵//， ∴， 在中，∵是斜边的中点， ∴， ∴ ∵，，是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， 又∵， ∴∽， ∴， 即， ∵， ∴． 【变式3】．如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点、，过作交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)反比例函数的图象与直线交于第二象限内的点，当时，求的值； (3)设线段的中点为，过点作轴的垂线，垂足为点，交反比例函数的图象于点，分别连接，当与相似时，求满足条件的所有的值． 【答案】(1)直线的解析式为 (2) (3)的值为或 【分析】（1）根据题意可得，再证明，得到，解得，运用待定系数即可求解； （2）根据勾股定可得，则，如图所示，过点作轴于点，可证，得到，解得，则，运用待定系数法即可求解； （3）根据中点坐标可得，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，分类讨论：当时，得；当时，得 ；由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴，即， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象与直线交于第二象限内的点， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∵轴， ∴点的横坐标为， 如图所示，当时， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 如图所示，当时， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点在第三象限， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查勾股定理，待定系数法解一次函数、反比例函数解析式，相似三角形的判定和性质，中点坐标，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，掌握一次函数图象的性质，反比例函数图象的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式4】．如图，在中，，，，D是边上一动点（不与点A、C重合），，垂足为E，交边于点F． (1)当点D是边中点时，求，的值； (2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)当与相似时，求线段的长． 【答案】(1)，； (2)； (3)当与相似时，线段的长是或3． 【分析】（1）先根据勾股定理计算长，利用面积法计算的长，最后利用勾股定理求的长； （2）如图2，作辅助线，证明，列比例式可得， ，证明，可得结论； （3）分两种情况： ①当时，如图3，由，则； ②当时，如图4，证明，则，可得①，由（2）中得y与x的函数关系式，联立方程组可得x的值． 【详解】（1）解：∵，D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ， 由勾股定理得：； （2）如图2，过F作 于N， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴与相似，要分两种情况： ①当时，如图3， ∴， ∴， 而，， ∴， ∴， ∴， ②当时，如图4， ∴ ，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 即①， 由（2）知： ②， 由①②得： ， 整理得：，   解得：，（舍）， ∴， 综上所述，当与相似时，线段的长是或3． 【点睛】此题是相似形的综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，动点问题，等腰直角三角形的判定，勾股定理，解本题的关键是利用相似找到相等关系，建立方程． 一、单选题 1．下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形的识别，熟练掌握相似图形的定义：对应边成比例，对应角相等的图形叫相似图形是解题的关键．根据相似图形的定义，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、两个平行四边形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； B、两个正方形对应边成比例，对应角相等，故一定相似，符合题意； C、两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； D、两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； 故选：B． 2．已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例是性质，根据内项之积等于外项之积对各个选项进行化简，即可求解；掌握性质“若，则．”是解题的关键． 【详解】解：A.由可得，故不符合题意； B.由可得，故不符合题意； C.由可得，故符合题意； D.由可得，故不符合题意； 故选：C． 3．已知非零向量、，且有，下列说法中，不正确的是（   ） A． B． C．与方向相反 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握平面向量的性质 根据平面向量的性质进行分析判断． 【详解】解∶ ， ，，， 故A、B、C正确，D错误， 故选∶D． 4．如图，中，，，，，则的长度为（    ） A．2 B．6 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 运用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：， , 又，，， ， ， ∴， 故选：B． 5．如图，点在边上，，点是的角平分线与的交点，且，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，得出，利用判断选项A、C，证明得出判断选项B，分别用表示出和，判断选项D，即可得出结论． 【详解】，， ， ， 且， ， ， ，故选项A、C正确； ，， ， ， ， ，故选项D错误； 平分， ， ， ， ，故选项B正确； 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 二、填空题 6．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意根据两内项之积等于两外项之积列式整理，并代入要求的式子即可． 【详解】解：∵ ∴，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握并利用两内项之积等于两外项之积的性质对式子变形整理是解题的关键． 7．已知 ，的周长与的周长的比值是，、分别是它们对应边上的中线，且，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查相似三角形的性质，利用相似三角形的性质对应中线的比等于相似比解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：9． 8．如图，已知，它们依次交直线m、n于点A、B、C和点D、E、F，如果，那么 ． 【答案】 【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例列出比例式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$