专题01 期中解答压轴题（高效培优期中专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

专题01 期中解答压轴题 考点01 根据已知相似条件求解 考点02 特殊三角形 考点03 根据特殊比例关系求解 考点04 解直角三角形的综合应用 考点05 求几何中的函数解析式 考点06 其他问题 考点07 动态几何 考点01 根据已知相似条件求解 1．如图1，AD、BD分别是的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E． （1）求证：； （2）如图2，如果AE=AB，且BD：DE=2：3，求BC：AB的值； （3）如果∠ABC是锐角，且与相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值． 2．如图，已知矩形中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，连接，过点作，交边于点（点与点不重合）． 　　 (1)当是的中点时，求证：； (2)当的长度取不同值时，在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； (3)延长交边于点，连接，与能否相似，若能相似，求出此时的长；若不能相似，请说明理由． 3．如图，已知平行四边形中，，，，点在射线上，过点作，垂足为点，交射线于点，交射线于点，连接、，设． (1)当点在边上时， 求的面积；（用含的代数式表示） 当时，求的值； (2)当点在边的延长线上时，如果与相似，求的值． 考点02 特殊三角形 4．在梯形中，，，的延长线交射线于点M，过点A作的垂线交的延长线于点N，交边于点E，已知， (1)如图，求证： (2)联结，在中是否存在角度保持不变的角？如果存在，请指出并求该角的余切如果不存在，请说明理由； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的值． 5．如图，正方形中，，是边上一点（点不与点、重合），点在的延长线上，且，连接，分别交、于点、． (1)已知，求的长； (2)求证：； (3)当是等腰三角形时，求的值． 6．如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点（点不与点重合），且． (1)当时，连接，求的余切值； (2)当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)连接，若为等腰三角形，求的长． 考点03 根据特殊比例关系求解 7．在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，连接．求证：． (2)已知． ①如图2所示，连接，如果垂直平分线的交点P恰好落在的平分线上，求的长． ②如图3所示，如果点M在边上，连接、、，与交于点N，如果，且，求边的长． 8．如图1，在中，是锐角，交边于点，点是边上一点，连接且满足，交边于点． (1)如图2，当点是边中点时，求证：； (2)当，且是直角三角形时，求此时的正切值； (3)记的面积为，的面积为，的面积为，若是和的比例中项，求的值． 考点04 解直角三角形的综合应用 9．已知：如图，在中，．点是射线上一点，过点A作，分别交射线于点D、F． (1)当点M在上（点M与点不重合）时． ①如图（1），如果，求的长； ②的面积为，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)过点A作，交直线于点，当为等腰三角形时，求的长． 10．在中，，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧作，使得，且，连接． (1)如图1，求证：； (2)已知点F与点C关于直线对称，连接、、 ①如图2，如果，四边形的面积为20，求线段的长； ②如图3，如果，求的正切值． 考点05 求几何中的函数解析式 11．已知：如图，在平行四边形中，，，，为上一动点，作，射线交射线于点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，当点在线段上时，射线交射线于点，设，，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 12．已知：在梯形中，，，，点在对角线上(不与点重合)，，的延长线与射线交于点，设的长为． (1)如图，当时，求的长； (2)设的长为，求关于的函数解析式，并直接写出定义域； (3)当是等腰三角形时，求的长． 考点06 其他问题 13．如图1，已知梯形，，，． (1)当，时，求梯形的面积； (2)作的垂直平分线交射线于点E，交于点F． ①如图2，当点E与点B重合时，求的余弦值； ②当经过的中点时，求的值． 14．如图，是边长为4的等边三角形，点D与点B分别位于直线的两侧，且，连接、，交直线于点E． (1)当时，求线段的长． (2)过点A作，垂足为点H，直线交于点F， ①当时，设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②当时，请直接写出线段的长． 15．在平行四边形中，对角线与边垂直，，四边形的周长是，点是在延长线上的一点，点是在射线上的一点，． (1)如图1，如果点与点重合，求的余切值； (2)如图2，点在边上的一点．设，，求关于的函数关系式并写出它的定义域； (3)如果，求的面积． 16．如图，在矩形中，，，点E是射线上的一点，点F是边延长线上的一点，且．连接、，分别交射线于点O、点P，连接、． (1)当点E在边上时， ①求证：； ②设，，求y关于x的函数解析式； (2)过点E作射线的垂线，垂足为点Q，当时，请直接写出的长． 考点07 动态几何 17．如图，在菱形ABCD中，∠ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F． (1)当AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC时，联结BD，EF， ①求证：△CEF∽△CBD； ②若＝，求的值； (2)当∠EAF＝∠BAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，联结AG，MN，若AB＝4，AC＝2，当△AMN是等腰三角形，求CE的长． 18．如图，梯形中，，，，，，点是射线上一动点（不与点重合），将沿着进行翻折，点的对应点记为点．    (1)如图，当点落在梯形的中位线上时，求的长． (2)如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出定义域． (3)如图，连接，线段与射线交于点，当是等腰三角形时，求的长． 19．折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． (1)操作判断： 在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，过作交、、于点、、，连接并延长交于点，连接，如图，当为中点时，是______三角形． (2)迁移探究： 如图，若，且，求正方形的边长． (3)拓展应用： 如图，若，直接写出的值为______． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01期中解答压轴题 考点归纳 考点01根据已知相似条件求解 考点02特殊三角形 考点03根据特殊比例关系求解 考点04解直角三角形的综合应用 考点05求几何中的函数解析式 考点06其他问题 考点07动态几何 考点专练 考点1根据已知相似条件求解 1.如图1，AD、BD分别是ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD,交BD的延长线于点 图1 图2 (1)求证：E-C (2)如图2，如果AE=AB,且BD:DE=2:3,求BC:AB的值： (3)如果∠ABC是锐角，且ABC与ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出、匹的值。 S.ABC 【答案】(1)详见解析；(2) 手(3)∠A8c-30或者∠A8c-45,=2-5或者=2-5 【分析】(L)先根据题意证明∠BAD=。∠BAC以及∠ABD=∠ABC,再适当变形即可得到答案； (2)先根据角平分线的性质和直线平行的性质证明△BAF≌△CAF,再根据全等三角形的性质得到BF=CF,再根 据BD:DE=2:3,计算即可得到答案； 3)根据△ABC与△ADE相似，∠DAE=90°，因此△ABC中必有一个内角为90°，再根据∠ABC是锐角，得到∠ ABC≠90°，再分情况讨论即可得到答案： 1/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：如图1中， A D B 图1 AE⊥AD, ∴.∠DAE=90°，∠E=90°-∠ADE, AD平分∠BAC, ∠BAD= ∠BAC· 2 同理可得：∠ABD=∠ABC, .∠ADE=∠BAD+∠DBA,∠BAC+∠ABC=180°-∠C, ∠4DE=24Bc+∠B40=90-5<C, E=0-0w-50-c (2)解：延长AD交BC于点F. A E D B 图2 :AD是∠BAC的平分线， ∠BAD=∠CAD, .AB=AE, ∴∠ABE=∠E, BE平分∠ABC, ∴.∠ABE=∠EBC, ∴∠E=∠CBE, ..AEIlBC, 2/65 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠AFB=∠EAD=-90°， BF BD AE DE .∠AFB=∠AFC=90°， 在△BAF和△CAF中， ∠BAD=∠CAD AD=AD ∠AFB=∠AFC .△BAF≌△CAF(ASA), :.BF=CF(全等三角形对应边相等)， .BD:DE=2:3 :BF=BD、2 ”AEDE3' BC BF+CF4 AE AE 3 (3):△ABC与△ADE相似，∠DAE=90°， ∴.△ABC中必有一个内角为90° :∠ABC是锐角， .∠ABC≠90° ①当∠BAC=∠DAE=90时， :∠E=1∠C(1知)， 2 :∠ABC+∠C=90°， ∴.∠ABC=30°， :此时g0延=2-5， S。ABC ②当∠C=∠DAE=90时，∠E=∠C=450, .∠EDA=45°， :△ABC与△ADE相似， .∠ABC=45°， 此时匹=2-2， SABC 绿上，LA8C-我者A0c5各2-5酸 SDE=2-√2； 【点晴】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质，平行线的 判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题， 3/65 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.如图，已知矩形ABCD中，AB=1,BC=2,点P是边AD上一动点，过点P作PE⊥AC,垂足为点E, 连接BE,过点E作EF⊥BE,交边AD于点F(点F与点A不重合). 备用图 (1)当F是AP的中点时，求证：BA=BE; (2)当AP的长度取不同值时，在PEF中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果 不存在，请说明理由： (3)延长PE交边BC于点G,连接FG,△EFG与△AEF能否相似，若能相似，求出此时AP的长；若不能相 似，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 2存在，PF的长皮不变，F号 )能相似，AP=⑤ 2 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质及判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角 函数的比值关系等知识点，灵活运用角的等量关系建立边的比值关系是解题的关键 (1)利用斜边的中线是斜边的一半的性质和矩形的性质，通过角的等量代换得到∠BAE=∠BEA即可； (2)通过角的等量代换和相似三角形的判定方法证出△EPF∽△EAB,即可根据比值关系求解： (3)连接FG,过点P作PH⊥BC,垂足为H,通过角的等量代换和边的比值关系判定出四边形PFGH是 矩形，然后再利用角的等量代换证出∠PAE=∠FGP,当∠AFE=∠FEG时（均为钝角）时，可得到 :EFG:EF4,从而得到PE=PF-分，再利用匀股定舆运算求解即可。 【详解】(1)解：：PE⊥AC,F为AP的中点， :AF EF, ∠FAE=∠FEA, :四边形ABCD为矩形， .∠BAD=90°， EF⊥BE, .∠FEB=90°=∠BAD, ∠FEB-∠FEA=∠BAD-∠FAE, ∴∠BAE=∠BEA, 4/65 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .AB BE (2)解：PF的长度不变，理由如下： AD∥BC, LDAC=∠ACB, :四边形ABCD为矩形，PE⊥AC, .∠PEA=∠ABC=90°， tan∠DAC= PE AE =ian∠ACB=AB=1 BC :∠FAE+∠BAC=∠FAE+∠APE=90°， .∠BAC=∠APE, 又：∠PEA=∠FEB=90°， ∴∠PEA-∠FEA=∠FEB-∠FEA, ·∠AEB=LFEP, ∴.△EPF∽△EAB, PF PE 1 ABAE2 AB=1, .PF=2 1 (3)连接FG,过点P作PH⊥BC,垂足为H,如图所示： D B G H PH=AB=1,∠PHG=90°， 由题意可得：PG⊥AC, ∴∠GEC=∠PEC=∠PHG=90°， ∴∠ECG+∠EGC=∠GPH+∠EGC, ∴.∠ECG=∠GPH, :ian∠ECG=tan∠GPH=4B-Gl_1 BC PH2 1 GH-7-PF. :四边形ABCD为矩形， .PF∥GH, 5/65 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :四边形PFGH是矩形， .∠FGH=90°， ∴：∠PAE+∠APE=∠APE+∠FGP=90°， .∠PAE=∠FGP, :.当∠AFE=∠FEG时（均为钝角），△EFG∽△EFA, .∠PFE=∠FEP, PE=PF7 1 :tan∠DAC=PE-l AE2 AE=1, AP =VAE2+PE2 3.如图，己知平行四边形ABCD中，AD=√5，AB=5,BD⊥AD,点E在射线AD上，过点E作 EF⊥AD,垂足为点E,交射线AB于点F,交射线CB于点G,连接CE、CF,设AE=m D D E (1)当点E在边AD上时， ①求△CEF的面积；（用含m的代数式表示） ②当S.DCE=4SBFG时，求AE:ED的值； (2)当点E在边AD的延长线上时，如果△AEF与△CFG相似，求m的值. 【答案】()①S.cr=2N5m-m2；②AE:ED的值为3： 2)m的值为35或65 2 5 【分折1)①先证明a408408,0=-40-5-可-25,55·即 525,则EF=2m,再用勾股定理表示出AF,再判断出a4EF∽sBGF,得出比例式表示出CG,即 m EF 可得出结论： ②先表示出FG,再用S.DE=4S。BrG,建立方程求出m,即可得出结论： (2》分两种情况：①当。4EF,CGF时，得出∠AFE=LCFG,进而得出BG=BC-5 2 2 6/65 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 FG=BGtan∠CBF=5,再根据勾股定理得BF=VBG+FG=),进而得出AF=AB+BF=5+ 515 T22 最后判断出△BGF∽△AEF,得出比例式建立方程求解即可得出结论；②当△AEF∽aCGF时，先判断出 ∠AFC=90°，进而得出CF=2BF,再根据勾股定理得，求出BF=1,得出AF=AB+BF=6,同理 BG再判断出△BGF∽4AF，得出比例式建立方程求解即可得出结论 此题主要考查了平行四边形的性质，锐角三角函数，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，掌握 知识点的应用是解题的关键， 【详解】(1)解：①：BD⊥AD,EF⊥AD, .∠AEF=∠ADB=90°， :∠A=LA, ÷△AEF∽△ADB,BD=AB2-AD2=S2-(5=25, .AE EF m EF 4DDB，即5F, EF 2m, 根据勾股定理得，AF=√AE2+EF2=√5m, :AB=5, :BF=5-5m, :四边形ABCD是平行四边形， BC=AD=5,AD∥BC, ∴∠G=LAEF=90°， △AEF∽aBGF, .AE AF BG BF' m√5m BG5-√5m BG=√5-m, :CG=BC+BG=+5-m=25-m, S.c-EF-CG-12m-(2J5-m)-2J5m-m ②由①知，△AEF∽△BGF, FG、BF ”EFAF G-r-502m-25-a, √5m 7/65 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :EG=EF+FG=2m+2(5-m)=25, Se-DE-8G=5-m25=5-5m,S8GFrG=5-m25-m-(5-mf S.DcE=4S.BFG时， ∴5-v5m=4(5-m2, m=V5(舍去)或m=35 4 DE=AD-AE=5-35-5 44 AB:BD=35:5-3, 44 AE:ED的值为3； (2),四边形ABCD是平行四边形， BC=AD=5,AD‖BC, :EF⊥AD, EF⊥BC, ·∠AEF=∠CGF=90°， :△AEF与△CFG相似， ①当△AEFn△CGF时，如图1， E D B 图1 ∠AFE=∠CFG, :EF⊥BC, BG-1Bc-5 2 2 :AD∥BC, ∠CBF=LA, :由(1)得tanA= BD=2, AD ∴tan∠CBF=2, 在RtaBGF中，FG=BGtan∠CBF=√5， 8/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 根据勾股定理得，BF=√BG2+FG2=), AF AB+BF=5+ 515 22 :BC∥AD, .△BGF∽△AEF, :BG、BF ”AEAF 55 2=2 m15 2 .m= 35 2 ②当△AEF∽aCGF时，如图2， E D B 图2 ∠EAF=∠GFC, :∠EAF+LAFE=90°， ∠GFC+∠AFE=90°， ∠AFC=90°， :AD∥BC, ∠CBF=LA, .tan Z CBF tan A=2, 在Rt△BFC中，CF=BF,tan∠CBF=2BF, 根据勾股定理得，BF2+CF2=BC2, :BF2+4BF2=(N5, ∴BF=1, :AF AB +BF =6, 在R1:BGF中，同理：BG= 5 :AD∥BC, ∴.△BGF∽△AEF, 9165 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AE AF BG BF' m 6 “5i, J =6v5 .m 综上：如果△AEF与△CFG相似，m的值为35或6N5 2 5 考点02特殊三角形 4.在梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC=90°，BA的延长线交射线CD于点M,过点A作AB的垂线交 BC的延长线于点N,交CD边于点E,已知AD=3,CD=4 M A B C (1)如图，求证：△ADM∽△ECN (2)联结MN,在△BMN中是否存在角度保持不变的角？如果存在，请指出并求该角的余切如果不存在，请 说明理由； (3)如果△BMN是以BN为腰的等腰三角形，求CN的值. 【答案】(1)见解析 2)存在，cot∠BMN=3 4 BCN的值为5写 【分析】(1)首先观察得出△ADM和aECN是一对直角三角形，再寻找出一对相等的角，∠M=LENC,即 可用两角对应相等证明相似； (2)联结AC,先证明△AEM∽aCEN，,再得到△AEC∽△MEN,故LACD=LAWM,则 ian∠ACD=ian∠ANM,那么D=4_3, CDAN=4'故cot∠BMN=AM-3 AN 4 (3)当aBMN是以BN为腰的等腰三角形时，则有BN=BM或者BN=MN,以此两类情形展开分类讨论： ①当BN=BM时，可证明△BMC≌△BNA(AAS),△AME≌△CNE(AAS),设AM=CN=a,AE=CE=b,则 DE=4-,又4D18N,由相以三角形得到2积距。即子片之，即6=和。，在40E中，由约股定 10/65