专题24.6 相似三角形的判定（第1课时）（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题24.6 相似三角形的判定（第1课时） 教学目标 1. 了解相似三角形的概念； 2. 掌握相似三角形的判定-预备定理，判定定理1、2； 3. 会自主证明相似三角形的判定定理。 教学重难点 1.重点 （1）探索相似三角形的判定定理，利用判定定理证明相似三角形； （2）三角形的判定有关辨析、添加条件等； （3）与其他几何图形的性质结合证明相似三角形； 2.难点 （1）找到合适的判定定理证明相似三角形； （2）综合分析中寻求关键突破口； （3）一些中间量、辅助线作法的构建。 知识点1 相似三角形 1.相似三角形 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形. 2.相似三角形的表示 在两个相似三角形中，对应相等的角及其顶点分别是它们的对应角和对应顶点，以对应顶点为端点的边是它们的对应边. 两个三角形是相似三角形，也可以表述为“两个三角形相似”,或“一个三角形与另一个三角形相似”. 如图24-31,已知DE是△ABC的中位线，那么在△ADE与△ABC中，∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C; 由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似.用符号来表示，记作△ADE∽△ABC,其中点A与点A、点D与点B、点E与点C分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”. 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“△”后相应的位置上. 3.相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等、对应边成比例. 4.相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比(或相似系数). 5.两个三角形相似比的关系：设△ABC与△A'B'C′的相似比为k,△A'B'C′与△ABC的相似比为k′,则k′=. 6.三角形相似的传递性： 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似. 【即学即练】 1．若，则 °，括号中填 ． 【答案】 60 【解析】略 2．若，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理．根据∽，则，最后由三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 3．若以点为顶点的三角形与相似，且，则 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，分两种情况进行讨论：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当时，如图所示： ∴； 当时，如图所示： ； 综上分析可知：的值为2或． 故答案为：2或． 4．如图，，，，，那么的值等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：B． 知识点2 相似三角形的判定 1.利用定义判定相似三角形 例 △ABC与△DEF的各角度数和边长如图所示，则△ABC与△DEF能否相似？说明理由． 解：因为∠A＝70°，∠B＝60°，所以∠C＝50°. 因为∠F＝60°，∠E＝50°，所以∠D＝70°. 所以∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E. 又因为＝，＝，＝＝， 所以＝＝.所以△ABC∽△DFE. 要点：判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例．另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上． 2.预备定理 △ABC中，D是AB上任意一点，过D作DE∥BC,交AC边于E，那么△ADE与△ABC是否相似？ 分析 判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑.能否得对应角相等？根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢？可根据平行线分线段成比例的基本事实，推得，通过度量发现，所以可以判断出△ADE与△ABC相似. 思考 （1）你能否通过演绎推理证明你的猜想？ （2）若是DE∥BC,DE与BA、CA延长线交于E、D，那么△ADE与△ABC还会相似吗？试试看，如果相似写出它们对应边的比例式. 由DE∥BC,得(三角形一边平行线的性质的推论)，∠ADE=∠B,∠AED=∠C.又∠DAE=∠BAC,因此△ADE∽△ABC. 归纳结论： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似. 3.相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 分析 相似三角形的预备定理，给我们提供了证明两个三角形相似的一条思路和依据.由此考虑移动其中一个三角形，构造出具有预备定理的图形特征的图形。 4.判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 类似证明判定定理1的分析，分别在射线 AB 、AC上截取AD=A₁B₁,AE=A₁C₁,构造△ADE,则△ADE≌△A₁B₁C₁如果所得图形中有相似三角形预备定理条件中的平行线，那么这个图形就具有预备定理的图形特征. 要点：　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 【即学即练】 1．如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查考查相似三角形的判定，中位线的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．方法一：利用先得出，再结合即可证明；方法二：先证明是的中位线，得出，即可证明． 【详解】证明：方法一：、分别是、的中点， ，， ， ， ； 方法二：、分别是、的中点， ， ． 2．如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形内角和定理可得，即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据余角的性质得出．根据，即可证明结论． 【详解】证明：，， ，， ． ，， ． ． 4．如图，点在的边上，与相交于点，，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，证明，根据相似三角形的判定方法进行判断即可． 【详解】证明：， ， ， ， ， ． 题型01 预备定理证三角形相似 【典例1】．如图，相交于点．求证∶ 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，由平行线的性质，得出，再结合两个对应角分别相等的三角形是相似三角形，即可作答． 【详解】证明∶， ， ． 【变式1】．如图，与按如图位置放置，点B，E，C，F在同一条直线上，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，先证明，再利用两个角对应相等的两个三角形相似即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴．（另：预备定理+三角形相似的传递性，易证） 题型02 两角对应相等证三角形相似 【典例1】．已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′．求证：△ABC∽△A′B′C′． 【答案】证明见解析 【分析】在△ABC的边AB上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，可证△ADE∽△ABC；再证△ADE≌△A′B′C′即可． 【详解】证明：在△ABC的边AB上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E， 则∠ADE=∠B，△ADE∽△ABC． ∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，AD=A′B′， ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的证明，解题关键是通过作辅助线，构建全等三角形进行证明． 【变式1】．已知：如图所示，相交于点O，连接，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据判断两个三角形相似． 【详解】证明：∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【变式2】．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D在AC边上，交BC于点E．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由，∠B=90°可得出，再由公共角相等，即可证得． 【详解】∵，∠B=90°， ∴． 又∵∠C=∠C， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，常用的判定两个三角形相似的方法有1、定义法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．2、平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似．3、两角分别相等的两个三角形相似．4、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 【变式3】．如图，在中，，于D． 求证：． 【答案】见解析 【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可． 【详解】证明：∵于D． ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明． 【变式4】．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°．求证：△ACD∽△BEC 【答案】见解析 【分析】根据AD⊥AB，BE⊥AB，有∠DAC=90°=∠EBC，∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°，再根据∠DCE=90°，有∠DCA+∠ECB=90°，即有∠D=∠ECB，则结论得证． 【详解】证明：∵AD⊥AB，BE⊥AB， ∴∠DAC=90°=∠EBC， ∴∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°， ∵∠DCE=90°， ∴∠DCA+∠ECB=90°， ∴∠D=∠ECB， ∵∠DAC=90°=∠EBC， ∴△ACD∽△BEC． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键． 题型03 两角对应相等证三角形相似的应用 【典例1】．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB． 【答案】见解析 【分析】根据等边三角形性质得出∠B＝∠C＝60°，根据三角形外角性质得出∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，根据∠ADE＝60°，可得∠ADB＝∠2＋60°，可证∠1＝∠2即可． 【详解】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°， ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB＝∠2＋60°， ∴∠1＝∠2， ∴△ADC∽△DEB． 【点睛】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定，掌握等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定是解题关键． 【变式1】．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC． 【答案】证明见解析． 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到ED＝EC，则∠EDC＝∠C，再利用三角形外角性质可得∠AEF＝2∠C，而∠ABC＝2∠C，所以∠ABC＝∠AEF，加上∠EAF＝∠BAC，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△AEF∽△ABC． 【详解】证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴△ADC是直角三角形， ∵点E为AC的中点， ∴ED＝EC， ∴△ECD是等腰三角形， ∴∠EDC＝∠C， ∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠ABC＝∠AEF， ∵∠EAF＝∠BAC， ∴△AEF∽△ABC． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键． 【变式2】．如图，Rt△ABC中，，于F，AD是∠BAC的平分线，交AC于G，AD与BF交于点E． (1)求证： (2) ， ． 【答案】(1)见解析 (2)ADG，AFE，ACD 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】（1）解：证明：如下图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． （2）∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2， 又，，， ∴∠ABC=∠ADG=∠AFB=90°， ∴ADGAFE， ∴∠3=∠AGD=∠AEF， ∴∠ADC=∠CGD=∠AEB， 又根据直角三角形两锐角互余可得∠5=∠C， ∴ 故答案为：ADG，AFE，ACD． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型． 题型04 两边对应成比例且夹角相等证三角形相似 【典例1】．已知：D、E是的边、上的点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据已知线段长度求出，再根据推出相似即可． 【详解】证明：在和中， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，注意：有两边的对应成比例，且夹角相等的两三角形相似． 【变式1】．如图，在中，，D是边上一点，．求证． 【答案】详见解析 【分析】由题中线段长度得出，结合相似三角形的判定定理即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 【变式2】．如图，与交于点，，，，，求证：． 【答案】见解析. 【分析】根据两边对应成比例，两三角形相似即可证明. 【详解】解：∵，， ∴， ∵∠DAE=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，属于基础题型，熟知两边对应成比例，两三角形相似的判定方法是解此题的关键. 【变式3】．如图，中，点D在上，连接．已知，，， 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据已知线段的长度，推出，利用两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，即可得证． 【详解】证明：∵，，． ∴，， ∴，即， 又， ∴． 题型05 两边对应成比例且夹角相等证三角形相似的应用 【典例1】．已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，，根据两边成比例夹角相等证得． 【详解】证明：是等边三角形， ，． ． 又，， ， ． 【变式1】．如图、已知，，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定． （1）在中，根据勾股定理求出，再用即可求出的长； （2）先求出的长，得到，再根据，即可证明． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 题型06 添加一个条件使三角形相似 【典例1】．如图，与相交于点，可添加一个条件： ，使得与相似． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 本题中已知是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断． 【详解】解：如图所示：，再添加另一对对应角相等或该夹角两组对应边的比相等即可． 例如：或或． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】．如图，与相交于点，连接，，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定等知识点，由图可知，所以要使，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可得解，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关键． 【详解】∵（对顶角相等）， ∴要使，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可， ∴可以添加， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】．如图，中，D、E分别是、的点，要使，需添加一个条件是 ．（只要写一个条件） 【答案】或或 【分析】 由是公共角，根据相似三角形的判定方法，即可得要使，可添加：或或等． 此题考查了相似三角形的判定．此题属于开放题，答案不唯一．注意掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似与有两组角对应相等的两个三角形相似是解此题的关键． 【详解】 解：是公共角， 要使，可添加：或或等． 故答案为：如或或等（此题答案不唯一）． 【变式3】．如图示，已知，那么添加下列一个条件后，能判定的是 （请填写序号） ① ② ③ ④ 【答案】①②③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相关判定定理的内容是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ 即： ①若，则（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）； ②若，则（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）； ③若，则（如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似）； ④，不能判定； 故答案为：①②③ 题型07 三角形相似条件的辨析（基础） 【典例1】．如图所示的三个三角形中，相似的是（    ）            A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（1）和（3） D．（1）和（2）和（3） 【答案】A 【分析】根据相似的判定找到两组对应角即可． 【详解】题图（1）中三角形的三个内角分别为71°,65°,44°, 题图（2）中三角形的三个内角分别为71°,44°,65°, 题图（3）中三角形的三个内角分别为71°,67°,42°, 所以（1）和（2）相似． 故选A． 【点睛】本题考查相似的判定,关键在于熟练掌握相似的判定条件． 【变式1】．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三角形相似的判定方法有（1）平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似； （2）如果两个三角形对应边的比相等且夹角相等，这2个三角形也可以说明相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.）； （3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似（简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.）； （4）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两个三角形相似）。 【详解】A选项符合判定方法（4），符合题意． B选项相等的角不是对应边的夹角，不符合题意． C选项相等的角不是对应角，不符合题意． D选项相等的角不是对应角，不符合题意． 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定方法，解题的关键是牢记判定方法． 【变式2】．下列能判定的条件是(　　) A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A. ，，则，故此选项错误； B. ，，则，故此选项错误； C. ，，则，故此选项错误； D. ，，则，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，熟记定理内容是解此题的关键． 题型08 三角形相似条件的辨析（提升） 【典例1】．如图，点，分别在的边，上，添加下列条件仍不能判断与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了补充条件使两个三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 利用相似三角形的判定方法，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴， 故选项不符合题意； B、添加时，仍无法判断与相似， 故选项符合题意； C、∵， ∴，， ∴， 故选项不符合题意； D、∵，， ∴， 故选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】．如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键． 分别利用相似三角形的各种判定方法判断即可求解． 【详解】解：A、当且，故，此选项正确，但不符合题意； B、当且，故，此选项正确，但不符合题意； C、当时，无法得到，此选项错误，但符合题意； D、当，即，且，故，此选项正确，但不符合题意． 故选：C． 【变式2】．如图，点P是的边上一点，连接，以下条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中， ∵， ∴当时，；故选项A不符合题意； 当时，；故选项B不符合题意； 当时，；故选项C不符合题意； 当时，无法得到；故选项D符合题意； 故选D． 【变式3】．下列命题是假命题的是（  ） A．所有等边三角形一定相似 B．所有等腰直角三角形一定相似 C．有一个角为的两个等腰三角形相似 D．有一条边对应成比例的两个等腰三角形相似 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理进行判定即可． 【详解】解：A、所有等边三角形一定相似，故A选项为真命题； B、所有等腰直角三角形一定相似，故B选项为真命题； C、有一个角为的两个等腰三角形相似，故C选项为真命题； D、有一条边对应成比例的两个等腰三角形不一定相似，故D选项为假命题， 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【变式4】．如图，点、分别在的、边上，增加下列哪些条件：①；②；③，使与一定相似（    ）    A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】A 【分析】利用相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】①∵ , ,故正确； ②虽然有对应边成比例，但是夹角并不一定相等，所以与不一定相似，故错误； ③∵， ,故正确； 所以正确的是：①③ 故选：A． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 题型09 相似三角形的对数 【典例1】．如图，在△ABC中，DE∥BC，MN∥AB，则图中与△ABC相似的三角形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据三角形相似的判定定理，结合图形分析即可得出相似三角形的个数． 【详解】解：如图， 根据题意，DE∥BC，MN∥AB， 可得△ADE，△MNC，△MGE均与△ABC相似，共3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和平行线的性质． 【变式1】．如图，在中，高相交于点，图中与相似的三角形共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先利用高的定义得到∠BEC=∠BDC=90°，再利用等角的余角相等得到∠ABD=∠ACE，加上∠A=∠A，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△ACE，利用同样的方法得到△FBE∽△ABD，△FCD∽△ACE，所以△FBE∽△ABD∽△ACE∽△FCD． 【详解】解：∵高BD、CE相交于点F， ∴∠BEC=∠BDC=90°， ∵∠BFE=∠CFD， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠A=∠A， ∴△ABD∽△ACE， ∵∠ABD=∠FBE，∠BEF=∠BDA， ∴△FBE∽△ABD， 同理可得△FCD∽△ACE， ∴△FBE∽△ABD∽△ACE∽△FCD． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似. 题型10 求解符合相似条件的情况的个数 【典例1】．如图，锐角，是边上异于、的一点，过点作直线截，所截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线共有（     ）条． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题可以分两种方法，第一种：利用平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理，过点P分别做AC与BC的平行线.第二种：利用两边对应成相等比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理，过P分别做PE交AC或交BC于点E，使使AE：AB=AP：AC或使BP：CB=BE：AB，夹角是公共角∠A或∠B. 【详解】 （1）如图1，作PE平行于BC，则△APE△ABC,（2）如图2，作PE平行于AC，则△BPE△BAC,（3）如图3，作PE，使AE：AB=AP：AC,此时∠A.是公共角，△APE△ACB,（4）如图4，作PE，使BP：CB=BE：AB．此时∠B是公共角，△PEB△ACB 所以共有四种画法，即四条直线满足条件，故选D． 【点睛】本题综合考查了平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理与两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理，熟练掌握是解题关键. 【变式1】．如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理“有两个角分别相等的两个三角形相似”，按点P的运动轨迹，依次进行判断即可． 【详解】解：①当时，，， ②当时，，， ③当时，，， ④当时，，， 综上：一共有4个， 故选：D． 题型11 判定定理1、2综合 【典例1】．已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（   ） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 根据相似三角形的判定去判断两个三角形是否相似即可． 【详解】解：在图①中：第一个三角形三个角分别为：，，；第二个三角形的两个角分别为：，；故根据两个角分别相等的两个三角形相似，得两个三角形相似； 在图②中：，， ∴， ∵， ∴， 故①组和②组的两个三角形都相似． 故选：A． 【变式1】．如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 【答案】(1)小星和小红对，小亮错 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）见解析（1）． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错； （2）证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． 【变式2】．四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． (1)若，求的长； (2)如果，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，由平行线分线段成比例定理得，继而得到，根据平行四边形性质得，推出，可得结论； （2）根据中点的定义及已知得，由（1）知，推出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， ∵点和点分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴的长为； （2）证明：∵为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点．掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定是解题的关键． 一、单选题 1．下列各组条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定逐一分析，即可完成求解． 【详解】A、根据不可判定全等，该项符合题意； B、根据即可判定全等，该项不符合题意； C、根据即可判定全等，该项不符合题意； D、根据即可判定全等，该项不符合题意； 故选：A． 2．下列命题是真命题的是（     ） A．有一个角是36°的两个等腰三角形相似 B．有一个角是45°的两个等腰三角形相似 C．有一个角是60°的两个等腰三角形相似 D．有一个角是钝角的两个等腰三角形相似 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定方法，根据有两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：A、36度的两个角一个是顶角，一个是底角时，两个等腰三角形不相似，选项为假命题； B、45度的两个角一个是顶角，一个是底角时，两个等腰三角形不相似，选项为假命题； C、有一个角是60°的两个等腰三角形均为等边三角形，相似，为真命题； D、有一个角是钝角，且钝角的度数相等的两个等腰三角形相似，选项为假命题； 故选C． 3．如图，△ABC中，∠B＝65°，AB＝3， BC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故本选项不符合题意； C、两三角形的对应边不成比例，故本选项符合题意； D、两三角形对应边成比例（6﹣5）：（3﹣1）＝1：2＝3：6，且夹角∠B相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 4．如图，不能判定和相似的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行判定即可． 【详解】解：A、由知，且， 可判断和相似，故选项A不符合题意； B、，且， 可判断和相似，故选项B不符合题意； C、，且， 可判断和相似，故选项C不符合题意； D、由，缺少条件，无法判断和相似，故选项D不符合题意； 故选：D． 5．在中，，，平分，则与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，由等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理推出、、是钝角三角形，而是锐角三角形，因此和不相似，由平行线的性质推出和的两角对应相等，因此和相似． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∵是锐角三角形， ∴和不相似， 故A不符合题意； ∵平分 ∴， 又∵， ∴，故B符合题意； ∵平分， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∵是锐角三角形， ∴和不相似， 故C不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∴和不相似， 故D不符合题意． 故选：B． 6．如图，在矩形ABCD中，将△ABF沿着AF折叠，点B恰好落在DC边上的点E处，则一定有(　　) A．△ADE∽△ECF B．△ECF∽△AEF C．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△AFB 【答案】A 【分析】由矩形的性质得出∠C=∠D=∠C=90°，由折叠的性质得出∠AEF=∠B=90°，利用等角的余角相等得出∠DAE＝∠CEF，从而可得出△ADE∽△ECF，得出答案． 【详解】根据题意可知，∠DAE＋∠AED＝∠AED＋∠CEF＝90°， ∴∠DAE＝∠CEF. 又∵∠D＝∠C＝90°， ∴△ADE∽△ECF. 故选：A． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的条件是解题的关键． 二、填空题 7．图中的两个三角形是否相似， （填“是”或“否”）. 【答案】是 【分析】先根据三角形的内角和定理求得第一个三角形的第三个内角的度数，根据相似三角形的判定即可解答． 【详解】解：如图，第一个三角形的第三个内角的度数为， 根据有两个角对应相等的两个三角形相似得这两个三角形相似， 故答案为：是 【点睛】本题考查相似三角形的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键． 8．如图，，゜，，．当 ， 时，． 【答案】 , 【分析】根据相似三角形的判定方法得到当，∠A＝∠A′时，△ABC∽△A′B′C′，然后把AB＝8，∠A＝50゜，A′B′＝4，A′C′＝3代入计算即可． 【详解】当，∠A＝∠A′时，△ABC∽△A′B′C′． ∵AB＝8，∠A＝50゜，A′B′＝4，A′C′＝3，∴∠A′＝50°，，∴AC＝6． 故答案为6，50°． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 9．如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 【答案】（或或或）（答案不唯一） 【分析】本题考查两个相似三角形的判定定理，涉及两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可得到答案．熟记两个相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 是的一个外角， ， 即，且， ， 当时，；或当时，；或当时，； 故答案为：（或或或）（答案不唯一）． 10．如图所示，，交于点O，且，，，当 时，． 【答案】 【分析】直接根据相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等，进行解答即可． 【详解】解：∵，，，,， ∴，即，， 解得 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定，熟练掌握其判定定理是解题的关键． 11．如图，在中，，则图中相似三角形共有 对． 【答案】6 【分析】根据平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似，可知图中△AEF、△AGH、△AIJ和△ABC任意两个三角形都相似． 【详解】解：在△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC， ∴△AEF，△AGH，△AIJ，△ABC中的任意两个三角形都相似． ∴相似三角形共有6对． 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟记平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似是解题关键． 12．在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．根据相似三角形的判定得出要使B，D，E三点组成的三角形与相似，必须满足或，再代入求出答案即可． 【详解】解：如图， ， ∴要使B，D，E为三点组成的三角形与相似，则需满足或， ∵，，， ∴或， 解得：或； 故答案为或． 三、解答题 13．如图，在中，，，D为边上一点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，由题意得到两边对应比例，且夹角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证． 【详解】解：证明：∵在中，，，， ∴， 又∵， ∴． 14．如图，在中，，点D是上一点，，于点E，连接．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三线合一定理，先由三线合一定理得到，再由垂直的定义推出，再由，即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 15．如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△PAC∽△BPD．    【答案】见解析 【分析】根据PC＝PD＝CD，可得出为等边三角形，即可得出,进而得出,再根据相似三角形的判定推出即可． 【详解】证明：∵PC＝PD＝CD， ∴为等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC， ∴, ∵∠A＝∠BPD， ∴△PAC∽△PBD． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定等知识点，注意：如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似． 16．如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 17．如图，在中，为边上一点，连接为上一点，连接，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和平行四边形的性质，由平行四边形的性质得，，得到，然后由，得到，然后根据相似三角形的判定可得结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 18．如图，在中，点D在上，连接，．求证：． 【答案】见详解 【分析】该题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定定理． 根据题意得出，根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴． 19．如图，绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到，点在边上，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定，先由旋转得，进而得，，，即可证． 【详解】证明：根据旋转的性质，得， ， ， ． 由， 得， ． 20．如图，在矩形中，为边上一点，将点沿翻折恰好落到边上的点处．求证：； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质及相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定定理是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求证． 【详解】证明：在矩形中，， 根据翻折可得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查相似三角形，平行四边形的知识，解题是掌握相似三角形的判定，平行四边形的性质，根据相似三角形的判定，平行四边形的性质，进行解答，即可． （1）根据题意，则，根据，等量代换，根据等边对等角，得到，再根据三角形的内角和为，即可； （2）根据，得到，再根据等边对等角，可得，根据相似三角形的判定，即可． 【详解】（1）解：证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE＝CF，连接EF交AC于点P，分别连接DE，DF，DP （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）求证：△ADP∽△BDF； （3）如图2，若PE＝BE，PC＝，求CF的值． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）CF＝﹣1， 【分析】（1）根据SAS证明即可； （2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H．易证△APE≌△HPF（AAS），得PE＝PF，再证△DEF是等腰直角三角形，得∠EDP＝∠FDP＝45°，进而得∠DAP＝∠DBF，∠ADP＝∠BDF即可得到结论； （3）如图2，作PH⊥BC于H．首先证明∠EFB＝30°，由PC＝，得：HF＝，进而求出CF，即可解决问题． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝DC，∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝90°， ∵AE＝CF， ∴△ADE≌△CDF（SAS）； （2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠FCH＝45°， ∵AB∥FH， ∴∠HFC＝∠ABC＝90°， ∴∠FCH＝∠H＝45°， ∴CF＝FH＝AE， ∵∠PAE＝∠H＝45°，∠APE＝∠FPH， ∴△APE≌△HPF（AAS）， ∴PE＝PF， ∵△ADE≌△CDF， ∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF， ∴∠EDF＝∠ADC＝90°， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∵EP＝PF， ∴∠EDP＝∠FDP＝45°， ∵ADP＝∠ADE+∠PDE＝∠ADE+45°，∠BDF＝∠CDF+∠BDC＝∠CDF+45°， ∴∠ADP＝∠BDF， ∵∠DAP＝∠DBF＝45°， ∴△ADP∽△BDF； （3）如图2中，作PH⊥BC于H． ∵∠ACB＝45°，PC＝， ∴PH＝CH＝1． 由（2）得：BE＝PE＝PF， ∴BE＝EF， ∴∠BFE＝30°， ∴PF＝2， ∴HF＝， ∴CF＝﹣1， 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理，正方形的性质定理，全等三角形的判定和性质定理，等腰直角三角形的性质定理以及含30°角的直角三角形的性质定理，添加辅助线，构造全等三角形和含30°角的直角三角形，是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24.6 相似三角形的判定（第1课时） 教学目标 1. 了解相似三角形的概念； 2. 掌握相似三角形的判定-预备定理，判定定理1、2； 3. 会自主证明相似三角形的判定定理。 教学重难点 1.重点 （1）探索相似三角形的判定定理，利用判定定理证明相似三角形； （2）三角形的判定有关辨析、添加条件等； （3）与其他几何图形的性质结合证明相似三角形； 2.难点 （1）找到合适的判定定理证明相似三角形； （2）综合分析中寻求关键突破口； （3）一些中间量、辅助线作法的构建。 知识点1 相似三角形 1.相似三角形 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形. 2.相似三角形的表示 在两个相似三角形中，对应相等的角及其顶点分别是它们的对应角和对应顶点，以对应顶点为端点的边是它们的对应边. 两个三角形是相似三角形，也可以表述为“两个三角形相似”,或“一个三角形与另一个三角形相似”. 如图24-31,已知DE是△ABC的中位线，那么在△ADE与△ABC中，∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C; 由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似.用符号来表示，记作△ADE∽△ABC,其中点A与点A、点D与点B、点E与点C分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”. 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“△”后相应的位置上. 3.相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等、对应边成比例. 4.相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比(或相似系数). 5.两个三角形相似比的关系：设△ABC与△A'B'C′的相似比为k,△A'B'C′与△ABC的相似比为k′,则k′=. 6.三角形相似的传递性： 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似. 【即学即练】 1．若，则 °，括号中填 ． 2．若，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．若以点为顶点的三角形与相似，且，则 ． 4．如图，，，，，那么的值等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 知识点2 相似三角形的判定 1.利用定义判定相似三角形 例 △ABC与△DEF的各角度数和边长如图所示，则△ABC与△DEF能否相似？说明理由． 解：因为∠A＝70°，∠B＝60°，所以∠C＝50°. 因为∠F＝60°，∠E＝50°，所以∠D＝70°. 所以∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E. 又因为＝，＝，＝＝， 所以＝＝.所以△ABC∽△DFE. 要点：判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例．另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上． 2.预备定理 △ABC中，D是AB上任意一点，过D作DE∥BC,交AC边于E，那么△ADE与△ABC是否相似？ 分析 判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑.能否得对应角相等？根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢？可根据平行线分线段成比例的基本事实，推得，通过度量发现，所以可以判断出△ADE与△ABC相似. 思考 （1）你能否通过演绎推理证明你的猜想？ （2）若是DE∥BC,DE与BA、CA延长线交于E、D，那么△ADE与△ABC还会相似吗？试试看，如果相似写出它们对应边的比例式. 由DE∥BC,得(三角形一边平行线的性质的推论)，∠ADE=∠B,∠AED=∠C.又∠DAE=∠BAC,因此△ADE∽△ABC. 归纳结论： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似. 3.相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 分析 相似三角形的预备定理，给我们提供了证明两个三角形相似的一条思路和依据.由此考虑移动其中一个三角形，构造出具有预备定理的图形特征的图形。 4.判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 类似证明判定定理1的分析，分别在射线 AB 、AC上截取AD=A₁B₁,AE=A₁C₁,构造△ADE,则△ADE≌△A₁B₁C₁如果所得图形中有相似三角形预备定理条件中的平行线，那么这个图形就具有预备定理的图形特征. 要点：　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 【即学即练】 1．如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 2．如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，且，，．求证：． 3．如图，，，，求证：． 4．如图，点在的边上，与相交于点，，．试说明：． 题型01 预备定理证三角形相似 【典例1】．如图，相交于点．求证∶ 【变式1】．如图，与按如图位置放置，点B，E，C，F在同一条直线上，且，，求证：． 题型02 两角对应相等证三角形相似 【典例1】．已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′．求证：△ABC∽△A′B′C′． 【变式1】．已知：如图所示，相交于点O，连接，且，求证：． 【变式2】．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D在AC边上，交BC于点E．求证：． 【变式3】．如图，在中，，于D． 求证：． 【变式4】．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°．求证：△ACD∽△BEC 题型03 两角对应相等证三角形相似的应用 【典例1】．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB． 【变式1】．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC． 【变式2】．如图，Rt△ABC中，，于F，AD是∠BAC的平分线，交AC于G，AD与BF交于点E． (1)求证： (2) ， ． 题型04 两边对应成比例且夹角相等证三角形相似 【典例1】．已知：D、E是的边、上的点，，求证：． 【变式1】．如图，在中，，D是边上一点，．求证． 【变式2】．如图，与交于点，，，，，求证：． 【变式3】．如图，中，点D在上，连接．已知，，， 求证：． 题型05 两边对应成比例且夹角相等证三角形相似的应用 【典例1】．已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【变式1】．如图、已知，，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 题型06 添加一个条件使三角形相似 【典例1】．如图，与相交于点，可添加一个条件： ，使得与相似． 【变式1】．如图，与相交于点，连接，，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 【变式2】．如图，中，D、E分别是、的点，要使，需添加一个条件是 ．（只要写一个条件） 【变式3】．如图示，已知，那么添加下列一个条件后，能判定的是 （请填写序号） ① ② ③ ④ 题型07 三角形相似条件的辨析（基础） 【典例1】．如图所示的三个三角形中，相似的是（    ）            A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（1）和（3） D．（1）和（2）和（3） 【变式1】．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】．下列能判定的条件是(　　) A． B．， C．， D．， 题型08 三角形相似条件的辨析（提升） 【典例1】．如图，点，分别在的边，上，添加下列条件仍不能判断与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，点P是的边上一点，连接，以下条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．下列命题是假命题的是（  ） A．所有等边三角形一定相似 B．所有等腰直角三角形一定相似 C．有一个角为的两个等腰三角形相似 D．有一条边对应成比例的两个等腰三角形相似 【变式4】．如图，点、分别在的、边上，增加下列哪些条件：①；②；③，使与一定相似（    ）    A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 题型09 相似三角形的对数 【典例1】．如图，在△ABC中，DE∥BC，MN∥AB，则图中与△ABC相似的三角形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．如图，在中，高相交于点，图中与相似的三角形共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型10 求解符合相似条件的情况的个数 【典例1】．如图，锐角，是边上异于、的一点，过点作直线截，所截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线共有（     ）条． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 题型11 判定定理1、2综合 【典例1】．已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（   ） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 【变式1】．如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 【变式2】．四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． (1)若，求的长； (2)如果，求证：． 一、单选题 1．下列各组条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 2．下列命题是真命题的是（    ） A．有一个角是36°的两个等腰三角形相似 B．有一个角是45°的两个等腰三角形相似 C．有一个角是60°的两个等腰三角形相似 D．有一个角是钝角的两个等腰三角形相似 3．如图，△ABC中，∠B＝65°，AB＝3， BC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，不能判定和相似的条件是（　　） A． B． C． D． 5．在中，，，平分，则与相似的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形ABCD中，将△ABF沿着AF折叠，点B恰好落在DC边上的点E处，则一定有(　　) A．△ADE∽△ECF B．△ECF∽△AEF C．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△AFB 二、填空题 7．图中的两个三角形是否相似， （填“是”或“否”）. 8．如图，，゜，，．当 ， 时，． 9．如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 10．如图所示，，交于点O，且，，，当 时，． 11．如图，在中，，则图中相似三角形共有 对． 12．在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 三、解答题 13．如图，在中，，，D为边上一点，．求证：． 14．如图，在中，，点D是上一点，，于点E，连接．求证：． 15．如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△PAC∽△BPD．    16．如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 17．如图，在中，为边上一点，连接为上一点，连接，且．求证：． 18．如图，在中，点D在上，连接，．求证：． 19．如图，绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到，点在边上，连接，求证：． 20．如图，在矩形中，为边上一点，将点沿翻折恰好落到边上的点处．求证：； 21．如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 22．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE＝CF，连接EF交AC于点P，分别连接DE，DF，DP （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）求证：△ADP∽△BDF； （3）如图2，若PE＝BE，PC＝，求CF的值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$