专题21.2 一元二次方程的解法—开平方法与配方法（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题21.2 一元二次方程的解法—开平方法与配方法 教学目标 1. 学会用开平方的方法来解一元二次方程； 2. 知道用开平方的方法来解一元二次方程的条件； 3. 学会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程； 4. 掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程； 5. 了解配方法及其应用。 教学重难点 1.重点 （1）开平方法解一元二次方程； （2）配方法解一元二次方程； （3）配方法的应用。 2.难点 （1）根据开平方法、配方法解一元二次方程求参数值； （2）一元二次方程与分式、二次根式综合； （3）配方法的应用。 知识点1 开平方法 1.解方程：x2-2500=0. 问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程? 把方程写成x2=2500 这表明x是2500的平方根，根据平方根的意义，得 x=或x= 因此，原方程的解为x1=50，x2=-50 要点：一元二次方程的解也是一元二次方程的根. 2.解方程（2x+1）2=2 解：根据平方根的有意义，得 x+1=或2x+1= 因此，原方程的根为 3.通过上面的两个例题，你知道什么时候用开平方的方法来解一元二次方程呢？ 要点：对于形如（x+n）2=d(d≥0)的方程，可直接用开平方法解. （直接）开平方法的步骤是：把方程变形成（x+n）2=d(d≥0)，然后（直接）开平方得x+n=和x+n=，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解. 【即学即练】 1．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 2．方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．方程的根是 ． 4．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 5．若一元二次方程的两根为，则等于 ． 知识点2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 1.填上适当的数，使下列等式成立. （1）x2+6x+_____=（x+_____）2； （2）x2-6x+_____=（x-_____）2； （3）x2+6x+4=x2+6x+_____-_____+4=（x+_____）2-_____. 要点：当二次项系数为1时，配方的关键就是加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使含未知数的项在一个完全平方式里. 2.解方程x2+4x=12 我们已知，如果把方程x2+4x=12写成（x+n）2=d的形式，那么就可以根据平方根的意义来求解.那么，如何将左边写成（x+n）2的形式呢？ 我们学过完全平方式，你能否将左边x2+4x添上一项使它成为一个完全平方式？请相互交流. 写出解题过程. 要点：一般地，像上面这样，在方程x2+4x=12的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方.配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.这种解一元二次方程的方法叫作配方法. 3.用配方法解方程：x2+2x-1=0. 解：移项，得x2+2x=1. 配方，得x2+2x+=1+， 即（x+1）2=2. 开平方，得x+1=±. 解得x1=-1，x2=-1. 要点：用配方法解一元二次方程时，应按照步骤严格进行，以免出错.配方添加时，记住方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方. 【即学即练】 1．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 2．用适当的方法解下列方程： (1)． (2)． 3．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成（   ） A． B． C． D． 4．若一元二次方程配方后为，则 ． 知识点3 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 1.如何用配方法解方程25x2+50x-11=0呢？ 如果二次项系数为1，那就好办了！那么怎样将二次项的系数化为1呢？同伴之间可以相互交流. 试着写出解题过程. 2.通过上面配方法解一元二次方程的过程，你能总结用配方法解一元二次方程的步骤吗？ 要点：用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0； （2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边； （3）若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a； （4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解． 要点：通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能用配方法转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将一元二次方程转化为（x+n）2=d(d≥0)的形式. 【即学即练】 1．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 2．用配方法解一元二次方程方程：． 3．方程的根是（   ） A． B． C． D． 4．用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 知识点4 配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 特别说明： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同时对后期学习二次函数有着重要的作用，同学们一定要把它学好． 【即学即练】 1． 用配方法证明：不论为何值，代数式的值恒大于零． 2． （1）求式子的最小值； （2）求式子的最大值． 3．若，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．代数式的最小值是（    ） A．10 B．9 C．19 D．11 题型01 直接开平方法解一元二次方程 【典例1】．方程的解为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式1】．若，则是（     ） A．-2 B．2 C．-2或2 D．4 【变式2】．方程x2- =0的根为 ． 【变式3】．解方程： （1）；                   （2）； （3）；                  （4）． 【变式4】．计算：4（3x+1）2﹣1＝0、﹣2＝0的结果分别为（　　） A．x＝±，y＝± B．x＝±，y＝ C．x＝﹣，y＝ D．x＝﹣或﹣，y＝ 【变式5】．一元二次方程的实数根为（    ） A． B． C． D． 题型02 判断能否用开平方法解一元二次方程 【典例1】．下列方程能用直接开平方法求解的是(      ) A． B． C． D． 【变式1】．方程y2＝-a有实数根的条件是（    ） A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数 【变式2】．有下列方程：①x2-2x=0；②9x2-25=0；③(2x-1)2=1；④．其中能用直接开平方法做的是(   ) A． B． C． D． 题型03 利用开平方法判断一元二次方程根的情况 【典例1】．有关方程的解说法正确的是（    ） A．有两不等实数根3和 B．有两个相等的实数根3 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【变式1】．方程 x2=（x﹣1）0 的解为（    ） A．x=-1 B．x=1 C．x=±1 D．x=0 【变式2】．一元二次方程的根与的根（    ） A．都相等 B．都不相等 C．有一个根相等 D．无法确定 题型04 根据开平方法解一元二次方程求参数 【典例1】．若方程的两个根分别是与，则 ． 【变式1】．如果方程可以用直接开平方求解，那么的取值范围是（    ）. A． B． C． D．任意实数 【变式2】．已知方程有实数根，则与的关系是（    ）. A． B．或、异号 C．或、同号 D．是的整数倍 题型05 开平方法解一元二次方程—复合型 【典例1】．方程(x－2)2=(2x+3)2的根是(     ) A．x1=－,x2=－5 B．x1=－5,x2=－5 C．x1=,x2=5 D．x1=5,x2=－5 【变式1】．方程(x+1)2=4(x-2)2的解是(   ) A．x=1 B．x＝5 C．x1=1，x2=5 D．x1=1，x2=-2 【变式2】．方程的解为（    ） A． B． C． D． 题型06 开平方法解一元二次方程的根的形式 【典例1】．关于x的方程(x+a) =b(b>0)的根是（        ） A．x=±-a B．x=±a+ C．当b≥0时，x=-a± D．当a≥0时，x=a± 【变式1】．形如的方程，下列说法错误的是（    ） A．时，原方程有两个不相等的实数根 B．时，原方程有两个相等的实数根 C．时，原方程无实数根 D．原方程的根为 题型07 开平方法解一元二次方程-降次 【典例1】．方程的根的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．若，则的值是（       ） A． B．3 C．3或 D．或 【变式2】．如果，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或 【变式3】．若的两个实数根为1和，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 题型08 配方法解一元二次方程（二次项系数为1） 【典例1】．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 题型09 配方法解一元二次方程（二次项系数不为1） 【典例1】．用配方法解下列方程： （1）； （2）． 【变式1】．用配方法解方程： (1) (2)． 【变式2】．解下列方程： (1) (2) 题型10 配方法解一元二次方程（综合） 【典例1】．用配方法解下列方程： （1）x2+4x+1=0；              （2）2x2－4x－1=0； （3）9y2－18y－4=0；           （4）x2+3=2x. 【变式1】．解方程 (1) (2) (3) 【变式2】．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型11 辨析配方法解一元二次方程 【典例1】．用配方法解一元二次方程 ，以下变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】．用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．把方程左边配成一个完全平方式后，得到的方程是（    ） A． B． C． D．以上都不对 题型12 根据配方法解一元二次方程求参数 【典例1】．若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则a＋c的值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【变式1】．珍珍将方程化为的形式时，得到p的值为2，q的值为6，则珍珍所得结果（    ） A．正确 B．不正确，p的值应为 C．不正确，q的值应为2 D．不正确，q的值应为4 【变式2】．已知实数，，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型13 配方法解一元二次方程与二次根式 【典例1】．无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，则 题型14 配方法解一元二次方程与分式 【典例1】．小明和小林在探索代数式（）有没有最大（小）值时，小明做了如下探索： ∵， ∴小明的结论是的最小值为， 小林做了如下探索： ∵， 小林的结论是的最小值为2；则（    ） A．小明正确 B．小林正确 C．小明和小林都正确 D．小明和小林都不正确 【变式1】．关于代数式，有以下几种说法， ①当时，则的值为-4. ②若值为2，则. ③若，则存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【变式2】．若，则的值为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 题型15 配方法的应用—比较代数式的大小 【典例1】．若，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．若，，为实数，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．的大小关系与的取值有关 题型16 配方法的应用—最值问题及其应用 【典例1】．代数式的值的值一定（    ） A．大于3 B．小于3 C．等于3 D．不小于1 【变式1】．已知代数式，无论取任何值，它的值一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【变式2】．关于x的多项式的最大值为10，则m的值是（　　） A．1 B． C． D． 【变式3】．不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（　　） A．总大于7 B．总不小于9 C．总不小于﹣9 D．为任意有理数 【变式4】．代数式的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型17 配方法的应用—几何应用 【典例1】．如果一个三角形的三边均满足方程，则此三角形的面积是 【变式1】．的三边分别为、、，若，，按边分类，则是 三角形 【变式2】．已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（    ） A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13 题型18 新定义、材料题 【典例1】．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 【变式1】．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（为整数）的形式，则称这个数为“美丽数”．例如，5是“美丽数”，理由：因为，所以5是“美丽数”． 解决问题： (1)已知53是“美丽数”，请将它写成（为整数）的形式． (2)若可配方成（，为常数），求的值； (3)已知（是整数，是常数），要使为“美丽数”，试求出的值． 【变式2】．对于实数，，且，我们用符号表示，两数中较小的数，如，若，则 ． 【变式3】．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个“新数”，使其满足(即方程有一个根为)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，．从而对任意正整数n，我们可得到，同理可得，那么，的值为（　　） A．0 B．1 C．-1 D． 一、单选题 1．方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（   ） A． B． C． D． 3．用配方法解方程时，应该把方程两边同时（    ） A．减36 B．加36 C．减9 D．加9 4．若关于的方程是由配方后得到的，则a、b的值分别为（   ） A．4，2 B． C． D． 5．关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．当时，有两个解 B．有两个解 C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根 6．已知，则比较P，Q的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．用配方法解方程，方程的解为 ． 8．王老师在批改作业时发现，一位同学在用配方法解一元二次方程时，配方后等号右边的数字不小心被墨水污染了如下：▊．若该方程的一个根为，则另一个根为 ． 9．若方程的两根为，则方程的两根为 ． 10．已知实数满足，则 ． 11．已知关于的一元二次方程的根为，那么关于的一元二次方程的解为 ． 12．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是 ． 三、解答题 13．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 14．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 15．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 16．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ． 解：二次项系数化为1，得，第一步         移项，得，第二步 配方，得，第三步 变形，得，第四步 开方，得，第五步 解得，，第六步 (1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______； (2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程． 17．用配方法证明：二次三项式的值一定小于0． 18．（1）已知，，求的值． （2）已知，求的值； （3）用配方法求代数式的最小值． 19．形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 20．先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.2 一元二次方程的解法—开平方法与配方法 教学目标 1. 学会用开平方的方法来解一元二次方程； 2. 知道用开平方的方法来解一元二次方程的条件； 3. 学会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程； 4. 掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程； 5. 了解配方法及其应用。 教学重难点 1.重点 （1）开平方法解一元二次方程； （2）配方法解一元二次方程； （3）配方法的应用。 2.难点 （1）根据开平方法、配方法解一元二次方程求参数值； （2）一元二次方程与分式、二次根式综合； （3）配方法的应用。 知识点1 开平方法 1.解方程：x2-2500=0. 问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程? 把方程写成x2=2500 这表明x是2500的平方根，根据平方根的意义，得 x=或x= 因此，原方程的解为x1=50，x2=-50 要点：一元二次方程的解也是一元二次方程的根. 2.解方程（2x+1）2=2 解：根据平方根的有意义，得 x+1=或2x+1= 因此，原方程的根为 3.通过上面的两个例题，你知道什么时候用开平方的方法来解一元二次方程呢？ 要点：对于形如（x+n）2=d(d≥0)的方程，可直接用开平方法解. （直接）开平方法的步骤是：把方程变形成（x+n）2=d(d≥0)，然后（直接）开平方得x+n=和x+n=，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解. 【即学即练】 1．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开方法，是解题的关键： （1）移项，系数化1，再开方即可； （2）移项，合并，系数化1，再开方即可． 【详解】（1）解：移项，得． 二次项系数化为1，得． 直接开平方，得． （2）移项，得． 二次项系数化为1，得． 直接开平方，得． 2．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程．将方程化为标准形式后，利用平方根的定义求解． 【详解】解：∵， 两边同时除以2，：， ∴直接开方得：， 解得：，， 故选：B． 3．方程的根是 ． 【答案】， 【分析】利用一元二次方程的解法——直接开方法解方程即可 【详解】 解： 或 ∴ 4．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，． (2)， 【详解】解：（1）移项，得． 两边直接开平方，得， 解得，． （2）两边直接开平方，得， 即或， 解得，． 5．若一元二次方程的两根为，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程，直接开方法求出方程的根，进而确定的值，再求和即可． 【详解】解：由题意，有根， ∴， ∴， ∵方程的根为， ∴， ∴； 故答案为：． 知识点2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 1.填上适当的数，使下列等式成立. （1）x2+6x+_____=（x+_____）2； （2）x2-6x+_____=（x-_____）2； （3）x2+6x+4=x2+6x+_____-_____+4=（x+_____）2-_____. 要点：当二次项系数为1时，配方的关键就是加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使含未知数的项在一个完全平方式里. 2.解方程x2+4x=12 我们已知，如果把方程x2+4x=12写成（x+n）2=d的形式，那么就可以根据平方根的意义来求解.那么，如何将左边写成（x+n）2的形式呢？ 我们学过完全平方式，你能否将左边x2+4x添上一项使它成为一个完全平方式？请相互交流. 写出解题过程. 要点：一般地，像上面这样，在方程x2+4x=12的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方.配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.这种解一元二次方程的方法叫作配方法. 3.用配方法解方程：x2+2x-1=0. 解：移项，得x2+2x=1. 配方，得x2+2x+=1+， 即（x+1）2=2. 开平方，得x+1=±. 解得x1=-1，x2=-1. 要点：用配方法解一元二次方程时，应按照步骤严格进行，以免出错.配方添加时，记住方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方. 【即学即练】 1．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练运用解一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程两边都加上4，再运用配方法求解即可； （2）方程运用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ∴； （2）解：， ， ， ， ， ∴． 2．用适当的方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）移项，得：， 配方，得 ， 解得：． （2）方程整理，得， 即， 解得． 3．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案. 【详解】方程， 移项，得． 配方，得， 即． 根据题意，得，， ，， 代入，得． 配方，得． 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程. 4．若一元二次方程配方后为，则 ． 【答案】2 【分析】题目主要考查一元二次方程的配方法及求代数式的值，将配方后的方程展开是解题关键． 将配方后的方程化为一般形式，即可得出，，代入代数式求解即可． 【详解】解：由可得， ∴，， ∴， 故答案为：2． 知识点3 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 1.如何用配方法解方程25x2+50x-11=0呢？ 如果二次项系数为1，那就好办了！那么怎样将二次项的系数化为1呢？同伴之间可以相互交流. 试着写出解题过程. 2.通过上面配方法解一元二次方程的过程，你能总结用配方法解一元二次方程的步骤吗？ 要点：用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0； （2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边； （3）若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a； （4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解． 要点：通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能用配方法转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将一元二次方程转化为（x+n）2=d(d≥0)的形式. 【即学即练】 1．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查配方法解一元二次方程． （1）先将系数化为1，后配方即可得到本题答案； （2）先将常数项移动到等号右侧，再两边同时乘以2系数化为1，再进行配方直接开方即可求解． 【详解】（1）解：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 整理得：， ∴， ； （2）解：， 移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， 整理得：， ∴， ． 2．用配方法解一元二次方程方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程−−配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．方程整理后，利用配方法求出解即可． 【详解】解∶方程整理，得， 配方，得，即， 开方，得， 解得，． 3．方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，用公式法、配方法均可求解. 【详解】解：将方程化为一般式， ∴a=2，b=-8，c=-3， ∴Δ==64-4×2×（-3）=88＞0， ∴ 故选： A． 4．用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，按照配方法的步骤写出配方之后的方程即可． 【详解】解： 故答案选B 知识点4 配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 特别说明： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同时对后期学习二次函数有着重要的作用，同学们一定要把它学好． 【即学即练】 1．用配方法证明：不论为何值，代数式的值恒大于零． 【答案】见解析 【分析】把含的项提取2后，配方，整理为与原来的代数式相等的形式即可． 【详解】解：， ， ， 为非负数， 为正数， 的值恒大于零． 【点睛】本题考查配方法的应用；若证明一个代数式的值为非负数，需把这个代数式整理为一个完全平方式与一个正数的和的形式． 2．（1）求式子的最小值； （2）求式子的最大值． 【答案】（1）2；（2）4 【分析】（1）将代数式进行配方，求解即可； （2）将代数式进行配方，求解即可． 【详解】解：（1）， ∵ ∴ ∴式子的最小值为； （2） ∵ ∴， ∴ 即式子的最大值为 【点睛】此题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握配方法的步骤，正确的将式子进行变形． 3．若，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，关键是作差法和配方法的应用．利用作差法和配方法计算即可． 【详解】解：：， ， ， ， 故选：C 4．代数式的最小值是（    ） A．10 B．9 C．19 D．11 【答案】A 【分析】把代数式根据完全平方公式化成几个完全平方和的形式，再进行求解即可． 【详解】解： ∵ ∴代数式的最小值是10． 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点是配方法的应用-用配方法确定代数式的最值，解此题的关键是将原代数式化成几个完全平方和的形式． 题型01 直接开平方法解一元二次方程 【典例1】．方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．利用直接开平方法即可求解． 【详解】解： 故选：C． 【变式1】．若，则是（    ） A．-2 B．2 C．-2或2 D．4 【答案】C 【分析】先计算，再用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】 故选C 【点睛】本题考查了有理数的乘方，直接开平方法解一元二次方程，熟练直接开平方法是解题的关键． 【变式2】．方程x2- =0的根为 ． 【答案】x=± 【分析】根据算术平方根的定义得出=8，得出x2=8，利用直接开平方法即可求解． 【详解】解： x2- =0， ∴x2=8， ∴x=． 故答案为：x=． 【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程及算术平方根，解题关键是熟练掌握直接开平方法的解题步骤． 【变式3】．解方程： （1）；                   （2）； （3）；                  （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得； （2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得； （3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得； （4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得． 【详解】（1）， ， ， ， 即； （2）， ， 或， 或， 即； （3）， ， 或， 或， 即； （4）， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，一元二次方程的主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键． 【变式4】．计算：4（3x+1）2﹣1＝0、﹣2＝0的结果分别为（　　） A．x＝±，y＝± B．x＝±，y＝ C．x＝﹣，y＝ D．x＝﹣或﹣，y＝ 【答案】D 【分析】直接开平方与开立方，再解一次方程即可． 【详解】解：由4（3x+1）2﹣1＝0得（3x+1）2＝， 所以3x+1＝±， 解得x＝﹣或x＝﹣， 由﹣2＝0得y3＝， 所以y＝， 所以x＝﹣或﹣，y＝． 故选：D． 【点睛】本题考查开平方法解一元二次方程与立方根法解三次方程，掌握平方根与立方根性质与区别是解题关键． 【变式5】．一元二次方程的实数根为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可得． 【详解】， 两边同除以得：， 利用直接开方法得：， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键． 题型02 判断能否用开平方法解一元二次方程 【典例1】．下列方程能用直接开平方法求解的是(      ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法﹣直接开方法，解题的关键是掌握直接开方法．形如的方程均可采用直接开方法进行解答，据此判断即可． 【详解】解：选项A，B，C方程左边均不能化为完全平方式，故选项A，B，C不能用直接开平方法求解； 由得，故选项D能用直接开平方法求解． 故选：D． 【变式1】．方程y2＝-a有实数根的条件是（    ） A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数 【答案】A 【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a≥0，再进行整理即可． 【详解】解：∵方程y2＝﹣a有实数根， ∴﹣a≥0（平方具有非负性）， ∴a≤0； 故选：A． 【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a≥0． 【变式2】．有下列方程：①x2-2x=0；②9x2-25=0；③(2x-1)2=1；④．其中能用直接开平方法做的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用因式分解法与直接开平方法判断即可得到结果． 【详解】①x2-2x=0，因式分解法； ②9x2-25=0，直接开平方法； ③(2x-1)2=1，直接开平方法； ④，直接开平方法， 则能用直接开平方法做的是②③④. 故选:C. 【点睛】考查直接开方法解一元二次方程，掌握一元二次方程的几种解法是解题的关键. 题型03 利用开平方法判断一元二次方程根的情况 【典例1】．有关方程的解说法正确的是（    ） A．有两不等实数根3和 B．有两个相等的实数根3 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【答案】D 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴该方程无实数解． 故选：D 【点睛】考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 【变式1】．方程 x2=（x﹣1）0 的解为（    ） A．x=-1 B．x=1 C．x=±1 D．x=0 【答案】A 【分析】根据(x-1)0有意义，可得x-1≠0，求出x≠1，通过解方程x2=1，确定x的值即可. 【详解】∵(x-1)0有意义， ∴x-1≠0，即x≠1， ∵x2=（x﹣1）0 ∴x2=1，即x=±1 ∴x=-1. 故选A. 【点睛】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．同时还考查了零次幂. 【变式2】．一元二次方程的根与的根（    ） A．都相等 B．都不相等 C．有一个根相等 D．无法确定 【答案】C 【分析】运用直接开平方法分别求出两个方程的解，然后再进行判断即可得解. 【详解】， ， ∴； ， ， ∴，； ∴两个方程有一个相等的根. 故选C. 【点睛】此题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程和确定方程的解，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）． 题型04 根据开平方法解一元二次方程求参数 【典例1】．若方程的两个根分别是与，则 ． 【答案】 【分析】利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与，则有，然后两边平方得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴方程的两个根互为相反数， ∵方程的两个根分别是与， ∴， 解得， ∴，， ∴一元二次方程ax2＝b的两个根分别是与， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成的形式，那么． 【变式1】．如果方程可以用直接开平方求解，那么的取值范围是（    ）. A． B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】根据时方程有实数解，可求出m的取值范围． 【详解】由题意可知时方程有实数解，解不等式得，故选B． 【点睛】形如的一元二次方程当a≥0时方程有实数解． 【变式2】．已知方程有实数根，则与的关系是（    ）. A． B．或、异号 C．或、同号 D．是的整数倍 【答案】B 【分析】将原方程化为的形式，根据可判断出正确答案． 【详解】原方程可化为，∵，∴时方程才有实数解．当c=0时，有实数根；当a、c异号时， ，方程有实数解．故选B． 【点睛】形如的一元二次方程当a≥0时方程有实数解． 题型05 开平方法解一元二次方程—复合型 【典例1】．方程(x－2)2=(2x+3)2的根是(     ) A．x1=－,x2=－5 B．x1=－5,x2=－5 C．x1=,x2=5 D．x1=5,x2=－5 【答案】A 【分析】可运用因式分解法来解这两个方程.因为方程两边都是平方的形式，可以移项，用平方差公式分解，用公式ab=0则b=0求值. 【详解】解：(x－2)2 (2x+3)2=0 (x-2+2x+3)(x-2-2x-3)=0 x-2+2x+3=0或x-2-2x-3=0 即x1=,x2=5. 故答案为A. 【点睛】应用因式分解法中的提公因式法是关键是找到公因式，此题渗透了数学中的整体思想． 【变式1】．方程(x+1)2=4(x-2)2的解是(   ) A．x=1 B．x＝5 C．x1=1，x2=5 D．x1=1，x2=-2 【答案】C 【分析】根据方程表示x+1与2（x-2）的平方相等，则这两个数相等或互为相反数，据此即可把所求方程转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：原方程可化为：(x+1)2=[2(x-2)]2， x+1=±2(x-2)，即x+1=2x-4或x+1=-2x+4， 解得x1=5，x2=1； 所以选C 【点睛】解一元二次方程的基本思想是降次，就是把二次方程转化为一元一次方程． 【变式2】．方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】移项后利用直接开平方法解答即可． 【详解】解：移项，得， 两边直接开平方，得， 即或， 解得：，． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 题型06 开平方法解一元二次方程的根的形式 【典例1】．关于x的方程(x+a) =b(b>0)的根是（        ） A．x=±-a B．x=±a+ C．当b≥0时，x=-a± D．当a≥0时，x=a± 【答案】A 【分析】由b>0，可两边直接开平方，再移项即可得． 【详解】∵b>0， ∴两边直接开平方,得：x+a=±， ∴x=±-a， 故选A 【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解题关键在于掌握运算法则 【变式1】．形如的方程，下列说法错误的是（    ） A．时，原方程有两个不相等的实数根 B．时，原方程有两个相等的实数根 C．时，原方程无实数根 D．原方程的根为 【答案】D 【分析】根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案． 【详解】解：A、当时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意； B、当时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意； C、当时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意； D、当时，原方程的根为，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键． 题型07 开平方法解一元二次方程-降次 【典例1】．方程的根的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】移项得=24,然后两边同时开四次方得x-=±2，由此即可解决问题． 【详解】解：∵ ∴=24， ∴x=±2， ∴方程的根是x=±2. 故选B. 【点睛】本题考查高次方程的解法，解题的关键是降次，这里通过开四次方把四次降为了一次． 【变式1】．若，则的值是（       ） A． B．3 C．3或 D．或 【答案】B 【分析】设，利用换元法将原方程转化为一元二次方程，再利用的非负性得出结果． 【详解】解：由题意得，， 设， ， ， ， 或， ， （不符合题意，舍去）， ， 故选：． 【点睛】本题考查了换元法，一元二次方程的解法，代数式的非负性，对整体思想的把握是解决问题的关键． 【变式2】．如果，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及非负数的性质，将转换为一元二次方程是解题关键．设，再将转换为一元二次方程并求解，结合非负数的性质即可获得答案． 【详解】解：设， 根据题意可得，， 解得，， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式3】．若的两个实数根为1和，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】令可将方程化成可得或，由此即可得． 【详解】解：令， 则方程可化成为方程， ∵方程的两个实数根为1和， 方程的两个实数根为1和， 或， 解得或， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键． 题型08 配方法解一元二次方程（二次项系数为1） 【典例1】．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2) (3)无实数根 (4) 【分析】（1）把常数项移项，两边同时加上一次项系数一半的平方，即可求解； （1）把常数项移项，两边同时加上一次项系数一半的平方，即可求解； （1）把常数项移项，两边同时加上一次项系数一半的平方，即可求解； （1）方程整理后，然后把常数项移项，两边同时加上一次项系数一半的平方，即可求解． 【详解】（1）解：， 移项得， 配方得，即， 开方得， ∴； （2）解：， 移项得， 配方得，即， 开方得， ∴； （3）解：， 移项得， 配方得，即， ∴方程无实数根； （4）解：， 整理得， 移项合并得， 配方得，即， 开方得， ∴． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．熟练掌握是解题的关键． 【变式1】．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行求解即可； （2）先根据乘法法则展开，移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行求解即可． 【详解】（1）解：移项，得． 配方，得， 即， ， 解得． （2）整理，得． 配方，得， 即， ， 解得． 题型09 配方法解一元二次方程（二次项系数不为1） 【典例1】．用配方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），．（2），． 【分析】（1）把方程两边都除以-2，把二次项系数化为1，然后配方求解即可； （2）把方程两边都乘以2，把二次项系数化为1，然后配方求解即可 【详解】（1）原方程可化为， 移项，得， 配方，得， 即， 两边开平方，得， 解得，． （2）原方程可化为， 移项，得， 配方，得， 即， 两边开平方，得， 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 【变式1】．用配方法解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键； （1）先化为，然后根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）先化为，然后根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 方程整理得：， 配方得：， 即， 开方得：或， ， （2）解： 方程整理得：， 配方得：， 即， 开方得：或， ， 【变式2】．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据配方法即可求出答案； （2）根据因式分解法即可求出答案． 【详解】（1）解： ∴； （2） ∴或， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 题型10 配方法解一元二次方程（综合） 【典例1】．用配方法解下列方程： （1）x2+4x+1=0；              （2）2x2－4x－1=0； （3）9y2－18y－4=0；           （4）x2+3=2x. 【答案】（1）x1=－2，x2=－－2；（2）x1=1+，x2=1－； （3）y1=+1，y2=1－；（4）x1=x2=. 【详解】试题分析：（1）先移项，再配方，解出x即可；（2）先移项，再将二次项系数化为1，最后配方解出x即可；（3）先移项，再将二次项系数化为1，最后配方解出x即可；（4）先移项，再配方解出x即可. 试题解析：（1）移项，得x2+4x=－1，配方，得x2+4x+22=－1+22，即（x+2）2=3， 解得x1=－2，x2=－－2； （2）移项，得2x2－4x=1，二次项系数化为1，得x2－2x=，配方，得x2－2x+12=+12， 即（x－1）2=，解得x－1=±，即x1=1+，x2=1－； （3）移项，得9y2－18y=4，二次项系数化为1，得y2－2y=，配方，得y2－2y+12=+12， 即（y－1）2=，解得y－1=±，即y1=+1，y2=1－； （4）移项，得x2－2x+3=0，配方，得（x－）2=0，解得x1=x2=. 点睛：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）解出x. 【变式1】．解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）整理后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ∴ 解得； （2） 或 解得，； （3） ∴或 解得，． 【变式2】．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)，； (4)，； (5)，； (6)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法．各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． （1）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （2）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （3）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （4）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （5）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （6）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ， ， ， ，； （5）解：， ， ， ， ， ， ，； （6）解：， ， ， ， ， ， ，． 题型11 辨析配方法解一元二次方程 【典例1】．用配方法解一元二次方程 ，以下变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是配方法解一元二次方程，通过配方法将方程转化为完全平方形式，直接计算即可． 【详解】解：原方程为 ， 移项：将常数项移到右边，得， 配方：方程左边为 ，配方时需加上一次项系数一半的平方，即 ， 两边同时加9，得， 化简：左边写成完全平方形式，右边计算得， 故选：A． 【变式1】．用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程配方法，熟知配方法是解题的关键．利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【详解】解：由题知， ， ， ， ． 故选：A． 【变式2】．把方程左边配成一个完全平方式后，得到的方程是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出答案． 【详解】解： 把方程左边配成一个完全平方式后，得到的方程是． 故选：C． 题型12 根据配方法解一元二次方程求参数 【典例1】．若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则a＋c的值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】先配方得，根据题意得，进行计算算出a，c的值，即可得． 【详解】解： ， ， ∵配方后得到方程， ∴ 解得，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了配方法，代数式求值，解题的关键是掌握配方法，正确计算． 【变式1】．珍珍将方程化为的形式时，得到p的值为2，q的值为6，则珍珍所得结果（    ） A．正确 B．不正确，p的值应为 C．不正确，q的值应为2 D．不正确，q的值应为4 【答案】B 【分析】本题考查配方法的应用．按照一移，二配，三变形的方法，进行配方后，判断即可．掌握配方法，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∴到p的值为，q的值为6， 故选B． 【变式2】．已知实数，，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由变形得，代入中得到，再进行配方，根据非负数的性质即可得到答案． 【详解】 故选：A． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，涉及非负数的性质、偶次方，熟练运用上述知识是解题的关键． 题型13 配方法解一元二次方程与二次根式 【典例1】．无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵，且无论x取任何实数，代数式都有意义， ∴， ∴． 故选：A 【变式1】．已知，则 【答案】20 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b、c的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】将等式整理配方, ∴ 则=0，=0，=0 ∵a-1≥0，b-2≥0，c-3≥0， ∴∴a=2，b=6，c=12， ∴a+b+c=20. 故填：20. 【点睛】此题主要考查配方法的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形应用. 题型14 配方法解一元二次方程与分式 【典例1】．小明和小林在探索代数式（）有没有最大（小）值时，小明做了如下探索： ∵， ∴小明的结论是的最小值为， 小林做了如下探索： ∵， 小林的结论是的最小值为2；则（    ） A．小明正确 B．小林正确 C．小明和小林都正确 D．小明和小林都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，根据小明和小林的探究方法，分别求出当有最小值时的值即可判断，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 【详解】解：小明的探究：， 则当，即时，有最小值为， 而无解， 小明的探究是错误的， 小林的探究：， 则当，即时，有最小值为2， 小林的探究是正确的， 故选：B． 【变式1】．关于代数式，有以下几种说法， ①当时，则的值为-4. ②若值为2，则. ③若，则存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】①将代入计算验证即可；②根据题意=2，解得a的值即可作出判断；③若a＞-2，则a+2＞0，则对配方，利用偶次方的非负性可得答案． 【详解】解：①当时， ． 故①正确； ②若值为2， 则， ∴a2+2a+1=2a+4， ∴a2=3， ∴． 故②错误； ③若a＞-2，则a+2＞0， ∴= = =≥0． ∴若a＞-2，则存在最小值且最小值为0． 故③正确． 综上，正确的有①③． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键． 【变式2】．若，则的值为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用、已知式子的值，求代数式的值，先整理，以及把化为，再把，代入计算化简，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， 则 把，代入上式，得 故选：A 题型15 配方法的应用—比较代数式的大小 【典例1】．若，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，关键是作差法和配方法的应用．利用作差法和配方法计算即可． 【详解】解：：， ， ， ， 故选：C 【变式1】．若，，为实数，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．的大小关系与的取值有关 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，配方法的应用．直接利用整式的加减运算法则结合偶次方的性质得出答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 题型16 配方法的应用—最值问题及其应用 【典例1】．代数式的值的值一定（    ） A．大于3 B．小于3 C．等于3 D．不小于1 【答案】D 【分析】利用配方法把所给代数式变形为，根据偶次方的非负性推出，由此即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值一定不小于1， 故选D． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确将所给代数式变形为是解题的关键． 【变式1】．已知代数式，无论取任何值，它的值一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用；直接利用完全平方公式分解因式进而利用偶次方的性质分析得出即可． 【详解】∵， ， ∴，则 故选：B． 【变式2】．关于x的多项式的最大值为10，则m的值是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法将进行配方，即可得出答案． 【详解】解：， ∵，多项式的最大值为10， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了配方法的运用，掌握配方法是解题的关键． 【变式3】．不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（　　） A．总大于7 B．总不小于9 C．总不小于﹣9 D．为任意有理数 【答案】C 【分析】先将原式配方，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于−9即可． 【详解】解：4x2+3y2+8x﹣12y+7 ＝4x2＋8x＋4＋3y2−12y＋3 ＝4（x2＋2x＋1）＋3（y2−4y＋1） ＝4（x＋1）2＋3（y2−4y＋4−4＋1） ＝4（x＋1）2＋3（y−2）2−9， ∵（x＋1）2≥0，（y−2）2≥0， ∴4x2+3y2+8x﹣12y+7≥−9． 即不论x、y为什么实数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值总不小于−9． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法． 【变式4】．代数式的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先将原式变形为，再分解因式，然后根据配方法得到，然后利用非负数的性质即可求解． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式有最小值， 此时最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解，配方法的应用，以及非负数的性质，得出是解题的关键． 题型17 配方法的应用—几何应用 【典例1】．如果一个三角形的三边均满足方程，则此三角形的面积是 【答案】 【详解】解方程：，得 ， ∴. ∵一个三角形的三边均满足方程 ， ∴此三角形是以5为边长的等边三角形， ∴三角形的面积=°=. 故答案是：. 【变式1】．的三边分别为、、，若，，按边分类，则是 三角形 【答案】等腰 【分析】将，代入中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a与c的值，进而求出b的值，即可确定出三角形形状． 【详解】解：∵ ∴ ， ∴， ∴， 即， 整理得：， ∵，， ∴，即；，即， ∴， 则△ABC为等腰三角形． 故答案是：等腰． 【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式2】．已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（    ） A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13 【答案】C 【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0， ∴（a2-10a+25）+（b2-16b+64）=0， ∴（a-5）2+（b-8）2=0， ∵（a-5）2≥0，（b-8）2≥0， ∴a-5=0，b-8=0， ∴a=5，b=8． ∵三角形的三条边为a，b，c， ∴b-a＜c＜b+a， ∴3＜c＜13． 又∵这个三角形的最大边为c， ∴8＜c＜13． 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键． 题型18 新定义、材料题 【典例1】．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的定义，理解题目中的新定义是解题的关键；利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】与是“同族二次方程”， ， ， ，解得：， ， 当时，能取的最小值是2019， 故选：． 【变式1】．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（为整数）的形式，则称这个数为“美丽数”．例如，5是“美丽数”，理由：因为，所以5是“美丽数”． 解决问题： (1)已知53是“美丽数”，请将它写成（为整数）的形式． (2)若可配方成（，为常数），求的值； (3)已知（是整数，是常数），要使为“美丽数”，试求出的值． 【答案】(1) (2)8 (3)13 【分析】本题考查配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据“美丽数”的定义即可求解； （2）先通过配方求出m和n的值，再求的值； （3）通过配方将变形为，再根据“美丽数”的定义即可求解． 【详解】（1）解：， 故 （2）解：， ，， ， （3）解： ， 为“美丽数”， ， ． 【变式2】．对于实数，，且，我们用符号表示，两数中较小的数，如，若，则 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，列出方程，并检验，可得答案． 【详解】解：若， 则， 解得：（不合题意，舍去）或； 若， 则， 解得：或（不合题意，舍去）； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，实数的大小比较以及分类思想的运用，关键是正确理解题意． 【变式3】．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个“新数”，使其满足(即方程有一个根为)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，．从而对任意正整数n，我们可得到，同理可得，那么，的值为（　　） A．0 B．1 C．-1 D． 【答案】D 【分析】根据题意找出规律，每四项为一个循环，进行计算即可． 【详解】∵i1=i，i2=-1，i3=i2•i=（-1）•i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1， ， ∴原式=（i-1-i+1）×504+i=0+i=i； 故选：D． 【点睛】此题运用直接开平方法解一元二次方程，弄清题中的新定义并找出规律是解本题的关键． 一、单选题 1．方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．直接应用开平方法计算即可． 【详解】解：， ， ， ，， 故选：C． 2．用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．通过移项、配方将方程转化为完全平方形式，再对比选项即可得出答案． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， ∴． 故选：C 3．用配方法解方程时，应该把方程两边同时（    ） A．减36 B．加36 C．减9 D．加9 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，根据题意可知只需要把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即加上9即可，据此可得答案． 【详解】解：中一次项系数一半的平方为：， 应该把方程两边同时加9，即 ， 故选D． 4．若关于的方程是由配方后得到的，则a、b的值分别为（   ） A．4，2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 首先将变形为，然后根据题意得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵关于的方程是由配方后得到的 ∴， ∴． 故选：C． 5．关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．当时，有两个解 B．有两个解 C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，当时，才有意义，那么把原方程两边同时开平方可得，即，当时，无意义，即此时方程无解，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴ ∴当时，有两个解， 当时，无意义，即此时方程无解， 故选：A． 6．已知，则比较P，Q的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据配方法的即可求出答案． 【详解】 解： 故选：C． 【点睛】本题考查配方法的应用，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型． 二、填空题 7．用配方法解方程，方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先将二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方求解即可． 【详解】解： ∴； 故答案为： 8．王老师在批改作业时发现，一位同学在用配方法解一元二次方程时，配方后等号右边的数字不小心被墨水污染了如下：▊．若该方程的一个根为，则另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，先把代入原方程，求出▊，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵方程▊的一个根为， ∴▊，即▊， ∴原方程为， 解得， 故答案为：． 9．若方程的两根为，则方程的两根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法的应用、直接开平方等知识点，掌握整体思想是解题的关键． 由可得，再对配方得到，然后运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：可得， ， ， 所以． 故答案为：． 10．已知实数满足，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．运用整体的思想是解题的关键． 由，整理得，即，然后求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴，整理得， ∴， 解得，， 故答案为：2． 11．已知关于的一元二次方程的根为，那么关于的一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得，进而解关于的一元二次方程即可求解。 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴关于的一元二次方程可得， 解得， 故答案为：， 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键。 12．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解． 【详解】解：∵，p=3，c=2， ∴， ∴a+b=4， ∴a=4−b， ∴ ∴当b=2时，S有最大值为． 【点睛】本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积． 三、解答题 13．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）先移项，然后利用直接开方的方法进行求解即可； （2）先移项，然后利用直接开方的方法进行求解即可． 【详解】（1）解： 整理，得， ， 解得． （2）解： 整理，得， ， 解得． 14．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键． （1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． （2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． （3）将方程化为一般式，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． 【详解】（1）解：方程变形得：， 配方得：， 即， 开方得：， ，； （2）解：方程变形得：， 配方得：， 即， 开方得：， 解得：； ，； （3）解：整理得：， 配方得：， 即， 开方得：， ，． 15．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：3x2−5x=2 移项得：x2-x=， 配方得：x2-x+=+， 合并得：（x-）2=， 解得：x1=+=2，x2=-=-； （2）解：x2+8x=9 配方得：x2+8x +16=9+16， 合并得：（x+4）2=25， 解得x1=1，x2=-9； （3）解：x2+12x−15=0 移项得：x2+12x+36=15+36， 配方得：（x+6）2=51 解得x1=-6＋，x2=-6- （4）解：x2−x−4=0 去分母得：， 移项得：， 配方得：x2-4 x+4=16+4， 合并得：（x-2）2=20， 解得：x1=2＋2，x2=2－2； （5）解：2x2+12x+10=0 系数化为1得：， 移项得：， 配方得：x2+6x+9=-5+9， 合并得：（x+3）2=4， 解得：x1=-1，x2=--5； （6）解：x2+px+q=0， 移项得：， 配方得：x2+px+=-q+， 合并得：(x+)2=， 解得x=． 【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解题的关键． 16．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ． 解：二次项系数化为1，得，第一步         移项，得，第二步 配方，得，第三步 变形，得，第四步 开方，得，第五步 解得，，第六步 (1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______； (2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程． 【答案】(1)转化思想，完全平方公式 (2)三，解答过程见详解 【分析】（1）根据解答过程判断依据即可； （2）根据配方法判断即可． 【详解】（1）解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式； （2）解题过程，从第三步开始出现错误，正确的解答过程如下： 解： ， ， ， ， ， 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种常见解法：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，结合方程的特点选择合适的解法是解题的关键． 17．用配方法证明：二次三项式的值一定小于0． 【答案】证明见解析 【分析】将配方，先把二次项系数化为1，然后再加上一次项系数一半的平方，然后根据配方后的形式，再根据这一性质即可证得． 【详解】解：， ， ， ， 即的值一定小于0． 【点睛】此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 18．（1）已知，，求的值． （2）已知，求的值； （3）用配方法求代数式的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）代数式的最小值为2 【分析】（1）由，可得、的值，由，然后代入求解即可； （2）由等式的性质可把方程变形为，然后利用完全平方公式可进行求解； （3）利用配方法可把代数式变形为，然后问题可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴； （2）由可变形为：， ∴两边同时平方得：， ∴， ∴； （3）根据配方法可得： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为2． 【点睛】本题主要考查完全平方公式、因式分解、二次根式的运算及配方法的应用，熟练掌握完全平方公式、因式分解、二次根式的运算及配方法的应用是解题的关键． 19．形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 【答案】(1)当时，代数式有最小值，最小值为 (2)当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是明确题意，列出关系式． （1）将代数式配方成，再根据非负数的性质可得答案； （2）设，则，根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后配方即可求得结果，注意求出的边长要符合题意． 【详解】（1）解：∵， ∵， ∴． 当时，代数式有最小值，最小值为． （2）解：设，则， ∴， 解得． ∴． ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 20．先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)多项式的最小值为 (3)的周长为12 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质，理解题意，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法分解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可； （3）原式配方后，利用非负数的性质求出、、的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 的最小值为； （3）解：， ， ， ∴，，， 故的周长为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$