11.3整式的除法(7大题型提分练)-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂(沪教版2024)

11.3 整式的除法 知识点一 同底数幂的除法 1.同底数幂的除法性质 同底数幂相除，底数不变,指数相减 2.同底数幂的除法运算法则的推导 推导1： 一般地，设， 推导2： 因为除法是乘法的逆运算，由,可以得到同底数幂的除法运算法则 知识点二 零指数幂 如果把公式(，推广到的情形,那么有.又,所以规定,即任何不等于零的数的零次幂为1 知识点三 幂的运算顺序 在含有乘方的同底数幂的乘除运算中，先算积的乘方、幂的乘方，再算同底数幂的乘除: 在只有乘除的运算中，应按从左到右的顺序进行,有括号的先算括号里面的 知识点四 单项式除以单项式 1.法则 两个单项式相除,把系数同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式 提示 单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为系数与系数相除，同底数幂分别相除 2.一般运算步骤 (1)系数:先确定商的系数，系数相除所得的商作为商的系数[注意系数的符号] (2)同底数幂：同底数幂相除，利用同底数幂的除法运算性质进行正确计算，所得的商作为商的一个因式 (3)只在被除式里含有的字母:只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，不能遗漏 知识点五 整式除以单项式 1.法则 （1）多项式除以单项式,先把多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加 （2）式子表示： 2.实质 把“多项式除以单项式”转化为“单项除以单项式 注意： (1)在计算时，多项式里的各项要包括它前面的符号,还要注意各个运算结果的符号,不要将符号弄错; (2)多项式除以单项式要逐项相除，不要漏项，所得的商的项数与多项式的项数相同，多项式除以单项式商为 1的项不能漏掉. 题型一、同底数幂的除法运算 解题技巧提炼 同底数幂的除法运算核心在于紧扣＂底数不变、指数相减＂法则 ），解题时需先通过符号转化或分解变形统一底数，指数运算要注意负指数转化为＂加正数＂、 0 指数直接用 1 ，系数与幂需分离计算且多步运算遵循＂先乘方再乘除＂顺序；易错点在于忽略底数非 0限制、混淆指数加减符号（如 应得 ）及对不同底数强行套用法则，需针对性规避. 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 4．计算： ． 题型二、同底数幂除法的逆用 解题技巧提炼 同底数幂除法的逆用核心是将指数差的形式转化为幂的除法，即由 逆推为 （ ），解题时需善于观察指数的差关系，将复杂指数拆分（如 ），尤其注意负指数的逆用（如 ）；易错点在于拆分指数时忽略底数一致性、忘记底数非 0 限制，以及对负指数逆用中＂减正指数＂与＂除以幂＂的对应关系混淆，需强化指数拆分的合理性与法则逆用的条件意识. 5．若则的值为（   ） A．2 B．0.5 C．4 D．1 6．已知，，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 7．若，则 ． 8．若，，则 ． 9．已知，，则等于 ． 题型三、零指数幂 解题技巧提炼 零指数幂运算是紧扣＂任何非 0 数的 0 次幂等于 1 ＂这一法则 ，解题时需先确认底数是否为 0 （若底数为 0 则无意义），运算中遇到零指数可直接替换为 1 ，同时注意与其他幂运算结合时的顺序（如先处理零指数再进行乘除）；易错点在于忽略底数非 0 的关键限制、误将 0 的 0 次幂认为是 1 ，以及在综合运算中忘记零指数的优先级，需时刻警惕底数取值并规范步骤. 10．计算的结果是（    ） A． B．1 C．2025 D．2026 11．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 12．如果（，m，n是正整数），那么m n．（填写“>”，“=”，“<”） 13．计算： 14．先化简，再求值：，其中． 题型四、幂的混合运算 解题技巧提炼 幂的混合运算遵循＂先乘方，再乘除，最后加减＂的运算顺序，熟练结合同底数幂乘除法（底数不变、指数加减）、幂的乘方（底数不变、指数相乘）、积的乘方（各因式分别乘方再相乘）等法则，运算时需先观察式子结构，拆分系数与幂、统一底数（如将不同底数转化为同底数幂），指数运算注意符号（负指数转化为倒数、零指数用 1）.易错点在于混淆运算顺序（如先乘除后乘方）、不同底数强行套用同底数法则、指数符号计算错误（如负指数与正指数的转化失误）及忽略底数非 0 限制，需通过分步拆解和法则对照来规避. 15．计算： (1)； (2) 16．计算：． 17．计算： (1) (2) 18．计算：． 题型五、单形式除以单项式 解题技巧提炼 单项式除以单项式的运算，需采用分步拆解的方式：首先对系数进行除法运算，遵循有理数除法法则；其次针对同底数幂，按＂底数不变、指数相减＂的规则分别处理；对于仅在被除式中含有的字母，连同其指数直接作为商的因式保留。运算过程中，要特别注意系数除法的符号规则，避免同底数幂指数运算时出现混淆（如 ，不可误算为 ），同时防止遗漏仅存在于被除式中的字母。通过规范分步运算流程，可有效降低失误率. 19．计算： ． 20．计算： ． 21．计算： ． 22．计算：． 23．先化简，再求值：，其中，． 题型六、整式除以单项式 解题技巧提炼 多项式除以单项式，本质是运用分配律将其拆解为多项式各项分别除以该单项式，再将所得商相加。运算时，每项除法均遵循单项式除以单项式法则（系数相除、同底数幂指数相减，独存字母保留），需注意项数完整、符号准确及指数运算无误，最终合并结果即可. 24．计算： ． 25．计算： ． 26．计算： ． 27．先化简，再求值：，其中，． 28．先化简，再求值 ，其中 题型七、整式的四则混合运算 解题技巧提炼 整式的四则混合运算需遵循＂先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内＂的运算层级，综合运用幂的运算法则（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方）与去括号规则。具体操作时，先处理括号内的运算，再对乘方项按法则化简，接着进行乘除运算（单项式间乘除需系数与同底数幂分别计算，多项式乘单项式需分配律展开），最后进行加减运算（合并同类项时确保字母与指数不变，系数相加减）。需特别注意符号处理（去括号时括号前负号需变号）、同类项准确识别及幂运算中指数的准确性，通过分步拆解与法则对照规避错误. 29．先化简，再求值：，其中，． 30．先化简，再求值 ，其中． 31．先化简，再求值：，其中，，． 32．先化简，再求值：，其中 33．先化简，再求值：，其中，． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.3 整式的除法 知识点一 同底数幂的除法 1.同底数幂的除法性质 同底数幂相除，底数不变,指数相减 2.同底数幂的除法运算法则的推导 推导1： 一般地，设， 推导2： 因为除法是乘法的逆运算，由,可以得到同底数幂的除法运算法则 知识点二 零指数幂 如果把公式(，推广到的情形,那么有.又,所以规定,即任何不等于零的数的零次幂为1 知识点三 幂的运算顺序 在含有乘方的同底数幂的乘除运算中，先算积的乘方、幂的乘方，再算同底数幂的乘除: 在只有乘除的运算中，应按从左到右的顺序进行,有括号的先算括号里面的 知识点四 单项式除以单项式 1.法则 两个单项式相除,把系数同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式 提示 单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为系数与系数相除，同底数幂分别相除 2.一般运算步骤 (1)系数:先确定商的系数，系数相除所得的商作为商的系数[注意系数的符号] (2)同底数幂：同底数幂相除，利用同底数幂的除法运算性质进行正确计算，所得的商作为商的一个因式 (3)只在被除式里含有的字母:只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，不能遗漏 知识点五 整式除以单项式 1.法则 （1）多项式除以单项式,先把多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加 （2）式子表示： 2.实质 把“多项式除以单项式”转化为“单项除以单项式 注意： (1)在计算时，多项式里的各项要包括它前面的符号,还要注意各个运算结果的符号,不要将符号弄错; (2)多项式除以单项式要逐项相除，不要漏项，所得的商的项数与多项式的项数相同，多项式除以单项式商为 1的项不能漏掉. 题型一、同底数幂的除法运算 解题技巧提炼 同底数幂的除法运算核心在于紧扣＂底数不变、指数相减＂法则 ），解题时需先通过符号转化或分解变形统一底数，指数运算要注意负指数转化为＂加正数＂、 0 指数直接用 1 ，系数与幂需分离计算且多步运算遵循＂先乘方再乘除＂顺序；易错点在于忽略底数非 0限制、混淆指数加减符号（如 应得 ）及对不同底数强行套用法则，需针对性规避. 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，同底数幂的除法运算，合并同类项，幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】A：，故本选项符合题意； B：，故本选项不符合题意； C：，故本选项不符合题意； D：，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项、幂的运算等知识．根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘除法法则逐一判断即得答案． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减求解即可． 【详解】解：； 故选：C． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，用字母表示为，其中且为正整数，熟练掌握同底数幂的除法法则是解题的关键．直接利用同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】由 故答案为： 题型二、同底数幂除法的逆用 解题技巧提炼 同底数幂除法的逆用核心是将指数差的形式转化为幂的除法，即由 逆推为 （ ），解题时需善于观察指数的差关系，将复杂指数拆分（如 ），尤其注意负指数的逆用（如 ）；易错点在于拆分指数时忽略底数一致性、忘记底数非 0 限制，以及对负指数逆用中＂减正指数＂与＂除以幂＂的对应关系混淆，需强化指数拆分的合理性与法则逆用的条件意识. 5．若则的值为（   ） A．2 B．0.5 C．4 D．1 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的除法与幂的乘方的性质；把9变成3的平方，利用同底数幂的除法逆运算可以得出结果． 【详解】解： ； 故选：A． 6．已知，，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂除法及幂的乘方，将进行正确的变形是解题的关键． 利用同底数幂除法及幂的乘方法则将变形后可得，将已知数值代入计算即可． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， ∵， ∴， 故选：B． 7．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数除法的逆运用，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将，代入计算即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 8．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法逆用，熟练掌握同底数幂除法运算法则是解题的关键．逆用同底数幂除法运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 9．已知，，则等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法逆运算，幂的乘方逆运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．利用同底数幂的除法的逆运算法则及幂的乘方的逆运算法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 题型三、零指数幂 解题技巧提炼 零指数幂运算是紧扣＂任何非 0 数的 0 次幂等于 1 ＂这一法则 ，解题时需先确认底数是否为 0 （若底数为 0 则无意义），运算中遇到零指数可直接替换为 1 ，同时注意与其他幂运算结合时的顺序（如先处理零指数再进行乘除）；易错点在于忽略底数非 0 的关键限制、误将 0 的 0 次幂认为是 1 ，以及在综合运算中忘记零指数的优先级，需时刻警惕底数取值并规范步骤. 10．计算的结果是（    ） A． B．1 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查了零指数幂，底数不是0的零指数幂的结果为1，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 11．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除，零次幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，同底数幂的乘除，零次幂的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．，原式错误； B．，计算正确； C．，原式错误； D．，原式错误； 故选：B． 12．如果（，m，n是正整数），那么m n．（填写“>”，“=”，“<”） 【答案】= 【分析】本题考查同底数幂相除，零指数幂．熟练掌握同底数幂除法和零指数幂的运算法则是解题的关键． 先根据同底数幂除法计算，再由，得出，则．即可求解． 【详解】解：， 即， ， ， 故答案为：=． 13．计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，零指数幂，先根据幂的乘方、积的乘方法则、零指数幂的意义化简，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式． 14．先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据幂的乘方、同底数幂相乘，零次幂法则进行化简，再合并同类项，得出，然后把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解： 把代入， 得 题型四、幂的混合运算 解题技巧提炼 幂的混合运算遵循＂先乘方，再乘除，最后加减＂的运算顺序，熟练结合同底数幂乘除法（底数不变、指数加减）、幂的乘方（底数不变、指数相乘）、积的乘方（各因式分别乘方再相乘）等法则，运算时需先观察式子结构，拆分系数与幂、统一底数（如将不同底数转化为同底数幂），指数运算注意符号（负指数转化为倒数、零指数用 1）.易错点在于混淆运算顺序（如先乘除后乘方）、不同底数强行套用同底数法则、指数符号计算错误（如负指数与正指数的转化失误）及忽略底数非 0 限制，需通过分步拆解和法则对照来规避. 15．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可； （2）先算幂的乘方，同底数幂的乘法，再算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 16．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则、运算顺序是解决本题的关键． 先计算积的乘方乘方，然后计算同底数幂的乘法，最后算加法． 【详解】解： ． 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算同底数幂的乘法、幂的乘方，再合并同类项即可得解； （2）先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则．根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 题型五、单形式除以单项式 解题技巧提炼 单项式除以单项式的运算，需采用分步拆解的方式：首先对系数进行除法运算，遵循有理数除法法则；其次针对同底数幂，按＂底数不变、指数相减＂的规则分别处理；对于仅在被除式中含有的字母，连同其指数直接作为商的因式保留。运算过程中，要特别注意系数除法的符号规则，避免同底数幂指数运算时出现混淆（如 ，不可误算为 ），同时防止遗漏仅存在于被除式中的字母。通过规范分步运算流程，可有效降低失误率. 19．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式除以单项式的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 20．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，单项式除单项式，先计算积的乘方（将积中的每个乘数分别进行乘方运算,然后将得到的幂相乘），再计算单项式除单项式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 21．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的除法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据整式除法运算法则计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 22．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式的乘除，先计算积的乘方，再计算单项式的乘除即可求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 23．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，145 【分析】本题考查的是整式的化简求值，根据平方差公式、积的乘方、单项式除以单项式的运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可． 【详解】 ∵， ∴原式 ． 题型六、整式除以单项式 解题技巧提炼 多项式除以单项式，本质是运用分配律将其拆解为多项式各项分别除以该单项式，再将所得商相加。运算时，每项除法均遵循单项式除以单项式法则（系数相除、同底数幂指数相减，独存字母保留），需注意项数完整、符号准确及指数运算无误，最终合并结果即可. 24．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式的计算，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 25．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式的计算，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为；． 26．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 27．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了乘法公式、单项式乘以多项式、多项式除以单项式及化简求值等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算乘法公式、单项式乘以多项式，再计算单项式乘以多项式、括号内的加减法，然后计算多项式除以单项式，最后计算加减法，将，代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 将，代入得：原式． 28．先化简，再求值 ，其中 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ； 将，代入原式． 题型七、整式的四则混合运算 解题技巧提炼 整式的四则混合运算需遵循＂先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内＂的运算层级，综合运用幂的运算法则（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方）与去括号规则。具体操作时，先处理括号内的运算，再对乘方项按法则化简，接着进行乘除运算（单项式间乘除需系数与同底数幂分别计算，多项式乘单项式需分配律展开），最后进行加减运算（合并同类项时确保字母与指数不变，系数相加减）。需特别注意符号处理（去括号时括号前负号需变号）、同类项准确识别及幂运算中指数的准确性，通过分步拆解与法则对照规避错误. 29．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先由计算括号里的，由完全平方和公式、平方差公式展开，再结合整式加减运算化简，最后由整式除法运算求解得到，再将，代入运算后的结果求值即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【点睛】本题考查整式混合运算求值，涉及完全平方和公式、平方差公式、整式加减运算、整式除法运算等知识，熟记整式混合运算法则及代数式求值方法是解决问题的关键． 30．先化简，再求值 ，其中． 【答案】；． 【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的应用，熟记乘法公式与多项式除以单项式的运算法则是解本题的关键；本题先去括号，再合并同类项，最后计算多项式的除法运算，再把代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 31．先化简，再求值：，其中，，． 【答案】， 【分析】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知整式的乘除运算法则． 先根据整式的乘除运算法则进行化简，再代入、的值计算即可． 【详解】解： 当，时，原式． 32．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，涉及平方差公式的运用，多项式除以单项式，单项式乘以多项式．先利用平方差公式，单项式乘以多项式合并同类项将括号里的式子化简，再根据多项式除以单项式化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 33．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算以及代数求值，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算括号内平方差公式和完全平方公式，然后合并，然后计算括号外多项式除以单项式，然后化简零指数幂，最后代数求解即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$