专题11.5 整式的除法（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题11.5整式的除法 教学目标 1. 会用同底数幂的除法性质进行计算； 2. 进行单项式除以单项式的计算； 3. 掌握整式除以单项式的计算。 教学重难点 1.重点 （1）会进行整式的除法运算； （2）根据整式的除法求参数、求代数式的值； （3）整式除法的应用。 2.难点 （1）整式除法有关的化简、变形、求值等问题； （2）整式除法的综合应用。 知识点1 同底数幂的除法 1.观察 一般地，设m、n是正整数且m>n,a≠0,如何计算am÷an? 同底数幂的除法性质： am÷an=am-n(m、n是正整数且m>n,a≠0). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 同底数幂的除法运算，可以转化为指数的减法运算. 当a≠0时，am÷am=1.要使得同底数幂的除法性质在m=n时仍成立，即am÷am=am-m=a⁰, 规定 a⁰=1(a≠0),即任何不等于零的数的零次幂都等于1. 要点： （1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或整式. （5）底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)16 (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是熟记同底数幂的除法的法则：底数不变，指数相减． （1）利用同底数幂的除法的法则进行运算即可； （2）利用同底数幂的除法的法则进行运算即可； （3）利用同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则进行运算即可； （4）利用同底数幂的除法的法则进行运算即可； （5）利用同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则进行运算即可； （6）利用同底数幂的除法的法则进行运算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： 2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把当作一个整体，根据同底数幂的除法法则计算，再利用积的乘方法则计算即可； （2）先根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的除法法则计算； （3）先根据同底数幂的乘法法则计算同时根据有理数乘方进行运算，再根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查整式的乘除混合运算，掌握相应的运算法则、掌握运算顺序是解题的关键． 3．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆运用同底数幂的除法的性质解答即可； （2）逆运用幂的乘方与同底数幂的除法进行计算即可得解． 【详解】（1）解：，， ； （2），， ． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键． 知识点2 单项式除以单项式 1.问题 2022年我国粮食总产量大约为7.0×10¹¹kg.如果按我国人口1.4×10⁹人计算，那么人均粮食产量大约是多少? 计算：(7.0×10¹¹)÷(1.4×10⁹). (7.0×10¹¹)÷(1.4×10⁹) =(7.0÷1.4)×(10¹¹÷10⁹) =5×10²(kg). (7.0×1011)÷(1.4×109) 2.思考 如何用单项式和单项式的乘法验证上面的计算? 可以计算(5x²)·(1.4x⁹)=(5×1.4)·(x²·x⁹)=7x¹¹, 由于除法是乘法的逆运算，因此 7x¹¹÷1.4x⁹=(7÷1.4)·(x¹¹÷x⁹)=5x11-9=5x². 注意：这里，7x¹¹÷1.4x⁹指的是(7x¹¹)÷(1.4x⁹).今后，在以单项式作为除式时，我们总是这样处理. 两个单项式相除，把系数和同底数幂分别相除. 要点：单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式. 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式除以单项式，积的乘方，单项式的乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用单项式除以单项式的法则计算即可； （2）利用单项式除以单项式的法则计算即可； （3）利用单项式除以单项式的法则计算即可； （4）先算积的乘方，再利用单项式的乘除法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式除以单项式，积的乘方和幂的乘方； （1）根据单项式除以单项式的法则计算即可； （2）根据单项式除以单项式的法则计算即可； （3）对原式变形，然后根据幂的运算法则计算即可； （4）先利用积的乘方和幂的乘方法则计算，再根据单项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．已知，则m和n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式法则可得，进而得到，，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， 故选：D． 知识点3 整式除以单项式 整式除以单项式：先把整式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 即 要点： （1）整式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式. （2）利用法则计算时，整式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 【即学即练】 1．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的除法运算，熟练掌握整式除以单项式的法则． （1）利用整式除法法则，每一项都除以即可； （2）利用整式除法法则，每一项都除以即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据整式除以单项式法则进行计算即可． （2）根据整式除以单项式法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的运算，先进行括号内的单项式乘以整式，平方差公式和合并同类项运算，再整式除以单项式运算即可，把变形为，然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ， ∵， ∴， ∴原式． 题型01 同底数幂的除法 【典例1】．下列计算是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”，并写出正确的计算结果． （1）( ) ；      （2）( ) ； （3）( ) ；     （4）( ) ． 【答案】 × √ × × 【点评】此题主要考查了同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减分别进行计算即可． 【详解】解：（1），故原题计算错误； 故答案为：×；； （2），故原题计算正确； 故答案为：√；； （3）故原题计算错误； 故答案为：×；； （4），故原题计算错误； 故答案为：×，． 【变式1】．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查同底数幂的除法运算和积的乘方， （1）根据同底数幂的除法计算即可； （2）根据同底数幂的除法和积的乘方计算即可； （3）根据同底数幂的除法计算即可； （4）根据同底数幂的除法计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（3）先根据同底数幂的除法法则，（3）再按完全平方公式计算即可； （2）（4）根据同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，掌握相关的运算法则以及公式是解题的关键． 题型02 幂的综合运算 【典例1】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据积的乘方，同底数幂的乘除法进行计算即可； （2）根据幂的乘方和同底数幂的乘除法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算等知识，熟记相关运算法则是解决问题的关键． （1）由同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算法则求解即可得到答案； （2）由同底数幂的除法运算、同底数幂的乘法运算法则求解即可得到答案； （3）由同底数幂的除法运算法则求解即可得到答案； （4）先由同底数幂的除法运算化简，再由乘方运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】．计算： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）;（2）1;（3）. 【分析】（1）先利用同底数幂的除法法则运算，再利用积的乘方进行运算即可； （2）先计算幂的乘方进行运算后，再利用同底数幂的除法法则运算即可； （2）先计算幂的乘方进行运算后，再利用同底数幂的除法法则运算即可 【详解】解：（1） （2） （3）. 【点睛】本题考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法，记住并运用法则是解决本题的关键． 题型03 根据同底数幂的除法求参数的值 【典例1】．若，则m的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】此题考查了同底数幂的除法，根据得到即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D 【变式1】．若，则 ． 【答案】2 【分析】利用幂的乘方以及同底数幂的除法即可求解． 【详解】解： ， ， ， ． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式2】．已知，求的值. 【答案】m=2 【分析】将变形为以2为底的幂进行比较列出方程计算即可； 【详解】解：∵ 又∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了幂的运算，灵活进行幂之间的转化是解题的关键. 题型04 同底数幂除法的逆用 【典例1】．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆运用同底数幂的除法的性质解答即可； （2）逆运用幂的乘方与同底数幂的除法进行计算即可得解． 【详解】（1）解：，， ； （2），， ． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键． 【变式1】．已知：，，求的值. 【答案】 【分析】首先用同底数幂的除法和幂的乘方将原式化为102m÷103n，即(10m)2÷(10n)3； 然后再将，代入得到的算式进行计算即可求解. 【详解】因为，， 所以=102m÷103n =(10m)2÷(10n)3=52÷43= 【点睛】此题考查同底数幂的除法和幂的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. 【变式2】．若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法，方法一：由求出，代入计算即可；方法二：把变形为计算即可． 【详解】方法一：，则， 所以． 方法二：， 因为， 所以． 【变式3】．（1）已知，，求 ①的值； ②的值 （2）已知，求x的值． 【答案】（1）6；；（2）9 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则和除法法则求解即可； （2）把各个数字化为以3为底数的形式，按照同底数幂的乘法法则，求解即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴ ； ②∵，， ∴ ； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 题型05 根据同底数幂除法求代数式的值 【典例1】．已知，，则的值为（    ） A．16 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的除法，完全平方公式的变形求值，根据已知可得，得出，进而根据完全平方公式变形求值即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴ ∴ 故选：D． 【变式1】．若，，，则 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查求代数式的值，熟练掌握同底数幂的乘法逆运算、同底数幂的除法逆运算、幂的乘方逆运算是解题关键． 利用同底数幂的乘法逆运算、同底数幂的除法逆运算、幂的乘方逆运算得出即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：1． 【变式2】．若，，则的值是（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算求出，再根据同底数幂的乘除法逆运算求出即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂乘除法的逆运算，代数式求值，熟知相关计算法则是解题的关键． 题型06 根据同底数幂除法求参数之间的关系 【典例1】．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出字母、、之间的数量关系为______． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】（1）根据幂的乘方法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘、除法逆运算进行解答即可； （3）根据 ，结合幂的乘方，同底数相乘法则即可得出结论． 【详解】（1）解：∵=3， ∴； （2）解：∵=3，=8，=72， ∴； （3）解：∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查了同底数的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法等知识，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 【变式1】．已知：，，． (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1)125 (2)见解析 【分析】（1）逆用同底数幂乘法和同底数幂除法运算的性质进行求解即可； （2）利用，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了同底数幂除法与同底数幂乘法性质的逆向运用，逆向思维是解题的关键． 题型07 单项式除以单项式 【典例1】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是积的乘方运算，单项式除以单项式，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先计算积的乘方运算，再按照单项式除以单项式计算即可； （2）先计算积的乘方运算，再按照单项式除以单项式计算即可； 【详解】（1）解：； （2）． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用单项式除以单项式法则进行计算即可； （2）利用单项式除以单项式法则进行计算即可； （3）先计算积的乘方，再利用单项式除以单项式法则进行计算即可． 【详解】（1） （2） （3） 【点睛】本题考查了单项式除以单项式法则和积的乘方，单项式除以单项式法则：把系数、相同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式除以单项式，积的乘方，单项式的乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用单项式除以单项式的法则计算即可； （2）利用单项式除以单项式的法则计算即可； （3）利用单项式除以单项式的法则计算即可； （4）先算积的乘方，再利用单项式的乘除法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型08 单项式除以单项式的应用 【典例1】．已知，那么m，n的值分别为（　　） A．4，3 B．4，1 C．1，3 D．2，3 【答案】A 【分析】将依据整式的除法法则得到，易得3-n=0，m-2=2，即可求出m，n． 【详解】解：∵， ∴， 解方程组得． 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的除法，掌握单项式除单项式的运算法则进行计算是解决本题的关键． 【变式1】．若是正整数，且，则 ． 【答案】48 【分析】根据积的乘方运算，单项式的除法运算进行计算即可求解． 【详解】解：∵，n是正整数， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了积的乘方运算，单项式的除法运算，正确的计算是解题的关键． 【变式2】．明明在检查作业时，发现有一道题的部分内容被墨水浸染了，，那么这部分内容可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式乘除运算．根据整式乘除运算法则求解即可． 【详解】解：由题意得 ∴被墨水侵染了的部分内容可能是． 故选：C． 题型09 整式除以单项式 【典例1】．计算： (1). (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据整式除以单项式法则计算即可； （2）先计算乘方，再根据整式除以单项式法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【点睛】本题考查整式除以单项式．掌握整式除以单项式法则是解题关键． 【变式1】．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是积的乘方运算，整式除以单项式的运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）先计算积的乘方运算，再计算整式除以单项式的运算即可； （2）先计算积的乘方运算，再计算整式除以单项式的运算即可； 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】各小题直接利用整式除以单项式运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关的运算法则是解题的关键． 题型10 整式除以单项式的求值问题 【典例1】．先化简，再求值：，其中． 【答案】，8 【分析】先利用完全平方公式和平方差公式进行运算，再按照整式加减法则和整式除法法则完成化简，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式混合运算及代数式求值，熟练掌握完全平方公式、平方差公式及相关运算法则是解题关键． 【变式1】．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，0 【分析】先根据平方差公式和整式除以单项式的运算法则，将整式化简，最后将，代入计算即可． 【详解】解：原式， ， 当，时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式混合运算的化简求值，解题的关键是掌握平方差公式和整式除以单项式的运算法则． 【变式2】．先化简，再求值．，其中． 【答案】， 【分析】利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘以整式的运算法则去掉中括号里面的小括号，再合并同类项，然后根据整式除以单项式的计算法则化简，最后根据非负数的性质求出x、y的值并代值计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，熟知整式的混合计算法则是解题的关键． 题型11 整式除以单项式的应用—积商思想 【典例1】．如果，那么____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解，整式除以单项式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 将因式分解即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】．一个整式除以，商为，这个整式为 ． 【答案】 【分析】把商乘以可以得这个整式． 【详解】解∶由题意，得这个整式为∶ 故应填∶． 【点睛】本题考查了整式的除法，属于基础题型，解决本题的关键应熟练掌握整式与单项式的乘法运算． 【变式2】．整式A与单项式的积为，则整式A为 ． 【答案】 【分析】直接利用整式除以单项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵整式A与单项式的积为， ∴整式A为： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【变式3】．已知整式除以一个整式，得商式为，余式为，求这个整式是 ． 【答案】 【分析】根据整式的加减运算及乘除运算法则即可求出答案． 【详解】由题意可知： 故答案为： 【点睛】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的乘除运算以及加减运算． 题型12 整式除以单项式的应用—遮住、看错等问题 【典例1】．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个整式，形式如下：，则所指的整式为 ． 【答案】 【分析】直接利用整式除以单项式的运算法则计算得出答案． 【详解】由题意可得，所捂整式是： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式除以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【变式1】．小明的作业本上有一道题不小心被沾上了墨水：，通过计算，这道题的■处应是 ． 【答案】 【分析】根据整式的四则运算法则求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】题目主要考查整式的四则运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 【变式2】．已知，B是一个整式，在计算时，小马同学把看成了，结果得，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式乘以整式的运算，整式除以单项式的含义，整式的加减运算，由除法的意义列式，求解B后，再进一步计算即可． 【详解】解：根据题意得， ∴． 故答案为： 【变式3】．已知，是整式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，细心的小明同学计算正确，那么小明计算出的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意得出，即可求出整式，进而求出． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的乘除以及整式加减运算，解题的关键是得出整式． 题型13 整式除以单项式的几何应用 【典例1】．面积为的长方形，若它的宽为，则它的长为 ． 【答案】/ 【分析】根据长方形的面积公式列除法算式，再由整式除法法则计算可求解． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查整式的除法，掌握整式的除法法则是解题的关键． 【变式1】．已知的面积为，一边长为，则这条边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是整式除以单项式的应用，直接利用面积的2倍除以这条边的边长列式计算即可． 【详解】解：由题意得这条边上的高为 ； 故答案为：． 题型14 材料题—整式除以整式 【典例1】．在求整式除以整式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得的商式为，余式为22，如图所示．运用此方法，那么的商式为 ，余式为 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了整式的除法运算，仿照条件中的方法，列出竖式，进行计算即可． 【详解】解：如图所示： 的商式为，余式为3， 故答案为：，3． 【变式1】．在学习整式的除法之后，小婷通过延伸发现：两个整式相除，可以先把这两个整式都按照同一字母的降幂排列，然后仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．如图，计算时，可以仿照用竖式计算．请你仿照上面的例子计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式与整式的除法计算，根据所给例子计算即可． 【详解】解：用竖式计算，如图， ∴． 故答案为；：． 【变式2】．我们学过单项式除以单项式、整式除以单项式，那么整式除以整式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． (1)的商是_______． (2)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加8，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的3倍（如图），用含x的代数式表示a． (3)在（2）的条件下，另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积小55，求长方形C的另一边长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式除以整式，整式乘以整式，熟知整式与整式的乘除法计算法则是解题的关键． （1）根据题中竖式求解； （2）根据长方形周长计算公式结合已知条件列出关于a、x的等式即可得到答案； （3）先求出长方形B的面积，进而求出长方形C的面积，再利用短除法求出长方形C的另一边长即可． 【详解】（1）解：， ∴的商是， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：； （3）解：长方形B的面积为， ∴长方形C的面积为 ， ， ∴长方形C的另一边长为． 一、单选题 1．下列四个算式： ①；②；③；④． 其中，计算错误的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，根据同底数幂的除法运算法则计算即可判断求解，掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键． 【详解】解：①，该计算错误，符合题意； ②，该计算正确，不合题意； ③，该计算错误，符合题意； ④，该计算错误，符合题意； ∴计算错误的有个， 故选：． 2．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、，原计算错误，符合题意； D、，计算正确，不符合题意； 故选C． 3．已知，其中n是正整数，的值是（    ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】D 【分析】本题考查了整式与单项式的除法，整式除以单项式用整式的每一项分别与单项式相除即可．先根据整式与单项式的除法法则把等式左边化简求出a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 故选D． 4．已知，则的值为（   ） A．6 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相除，逆用同底数幂相除法则计算即可． 【详解】解：， ，则， 故选：C． 5．李老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个整式，形式如下：这个被捂住的整式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意列算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得，， 被捂住的整式是， 故选：B ． 6．下列运算正确的是（    ） ①； ②； ③； ④． A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查整式除以单项式，本题要依照整式除以单项式的法则逐题进行检查计算即可． 【详解】解：①，故①计算错误，不符合题意； ②，故②计算错误，不符合题意； ③，故③计算正确，符合题意； ④，故④计算正确，符合题意． 所以，运算正确的是③④， 故选：B 7．已知，，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂除法及幂的乘方，将进行正确的变形是解题的关键． 利用同底数幂除法及幂的乘方法则将变形后可得，将已知数值代入计算即可． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， ∵， ∴， 故选：B． 8．若整数，，满足，则的值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】利用幂的乘方与积的乘方法则和同底数幂的乘除法则将已知条件适当变形，得到关于，，的等式，并组成方程组，解方程组求得，，的值，将，，的值代入计算即可． 【详解】解：整数，，满足， ， ． ． ， 解得：， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方法则和同底数幂的乘除法则，利用幂的乘方与积的乘方法则和同底数幂的乘除法则将已知条件适当变形，得到关于，，的等式，并组成方程组是解题的关键． 二、填空题 9．（1） ；（2） ； （3） ；（4） ； （5） ． 【答案】 【分析】（1）根据同底数幂的除法计算法则求解即可； （2）根据同底数幂的除法计算法则求解即可； （3）根据即可得到； （4）根据即可得到； （5）根据同底数幂的除法计算法则求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）∵， ∴； （4）∵， ∴； （5）． 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解． 10．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的乘除运算. 先计算单项式的乘法，再计算单项式的除法即可. 【详解】 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．根据整式的除法运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．长方形的面积为，如果它的长为，则它的宽为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了整式的除法，直接利用整式的除法运算法则计算进而得出它的宽．正确掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：∵长方形的面积为，它的长为， ∴它的宽为：． 故答案为：． 13．已知，，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算，将变形为，再将，代入求值即可． 【详解】解：， 故答案为：16． 14．已知，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则及合并同类项法则得出，即可求出的值． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 故答案为：4． 15．已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，求出a、b、c之间的关系是解题的关键．先根据同底数幂的乘除法求出，得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 两式相减，可得， ∴， 故答案为：． 16．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式乘整式的应用，单项式除以单项式等知识．熟练掌握整式乘整式的应用，单项式除以单项式是解题的关键． 由题意知，大长方形的面积为，根据大长方形的面积为A、B、C类卡片面积的和求解作答即可． 【详解】解：由题意知，大长方形的面积为， ∵， ∴需要C类卡片张数为张， 故答案为：． 三、解答题 17．计算： （1）；             （2）；    （3）； （4）；     （5）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【分析】（1）先计算同底数幂的除法，然后计算积的乘方即可； （2）利用同底数幂的除法计算法则求解即可； （3）先得到，然后利用同底数幂的除法计算法则求解即可； （4）先计算同底数幂的除法，然后计算积的乘方即可； （5）直接根据同底数幂的乘除法计算法则求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则． 18．计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式利用器的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可得到结果； （2）原式中括号里利用整式乘整式法则计算，去括号合并后利用整式除以单项式法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂除法计算，根据幂的乘方计算方程和同底数幂除法计算法则可得，，则，，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 20．先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式去小括号，然后合并同类项，再计算整式除以单项式，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ． 当时，原式． 21．（1）若，求的值； （2）若，其中，是正整数，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了幂的运算，负整数指数幂，二元一次方程组的解．熟练掌握幂的运算法则是解题的关键； （1）根据逆用幂的乘方以及同底数幂的除法进行计算，根据已知得出，再代入即可求解． （2）根据同底数幂的乘方进行计算，得出，根据，是正整数得出的值，再代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∴ （2）∵ ∴， ∴， ∵，是正整数 ∴ 当时， 当时， ∴的值为或 22．小明在做练习册上的一道整式除以单项式的习题时，一不小心，一滴墨水污染了这道习题，只看见了被除式中第一项是及中间的“”，污染后习题形式如下：    ，小明翻看了书后的答案是“”，你能够复原这个算式吗?请你试一试． 【答案】复原后的算式为 【分析】先根据被除式的首项和商式的首项可求得除式，然后根据除式乘商式等于被除式求解即可． 【详解】解：对应的结果为：， 除式为：， 根据题意得：， 复原后的算式为． 【点睛】本题主要考查的是整式的除法和乘法，掌握运算法则是解题的关键． 23．已知A、B均为整式，，小马在计算时，误把“÷”抄成了“”，这样他计算的正确结果为． (1)将整式A化为最简形式； (2)求整式B； (3)求的正确结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据整式混合运算的运算顺序和运算法则进行化简即可； （2）根据题意可得，则，根据整式混合运算顺序和运算法则进行计算即可； （3）根据（2）中求出B的值，列出式子进行计算即可． 【详解】（1）解： ， （2）解：根据题意可得：， ∴， ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则． 24．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1) ；若，则 ． (2)已知，，，若，则 ． (3)若，，求的值． 【答案】(1)4，64 (2)15 (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法． （1）根据新定义列式求值即可； （2）根据新定义列式，利用幂的运算性质进行变形，即可解得m的值； （3）根据新定义列式，利用幂的运算性质进行变形，最后化简求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：4，64； （2）解：由题意得：，，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：15； （3）解：由题意得：，， ∴， ∴， ∴的值为． 25．因为，所以．这说明能被整除，同时也说明整式有一个因式为；另外，当整式的值为．阅读上述材料回答问题： （1）由可知，当_时，整式的值为； （2）一般地，如果一个关于字母的整式当时，的值为，那么与代数式之间有一定的关系，这种关系是：_____； （3）已知关于的整式能被整除，试求的值． 【答案】（1）2或－1；（2）整式M能被整除；（3）k的值为3 【分析】（1）根据题意可知当因式或的值为0时，整式的值为0，由此可得答案； （2）当时，的值为，由此可判断是整式M的一个因式； （3）根据题意可知是整式的一个因式，结合（1）（2）两问可知当时，，由此可得k的值． 【详解】解：（1）∵， ∴当或时，， 即：当或时，， 故答案为：2或－1； （2）根据题意可知：是整式M的一个因式， 故答案为：整式M能被整除； （3）根据题意可知：当时，， 即：当时，， 则， 解得， 答：k的值为3． 【点睛】本题考查了整式的除法，是一道推理题，掌握好整式的除法法则是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.5整式的除法 教学目标 1. 会用同底数幂的除法性质进行计算； 2. 进行单项式除以单项式的计算； 3. 掌握整式除以单项式的计算。 教学重难点 1.重点 （1）会进行整式的除法运算； （2）根据整式的除法求参数、求代数式的值； （3）整式除法的应用。 2.难点 （1）整式除法有关的化简、变形、求值等问题； （2）整式除法的综合应用。 知识点1 同底数幂的除法 1.观察 一般地，设m、n是正整数且m>n,a≠0,如何计算am÷an? 同底数幂的除法性质： am÷an=am-n(m、n是正整数且m>n,a≠0). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 同底数幂的除法运算，可以转化为指数的减法运算. 当a≠0时，am÷am=1.要使得同底数幂的除法性质在m=n时仍成立，即am÷am=am-m=a⁰, 规定 a⁰=1(a≠0),即任何不等于零的数的零次幂都等于1. 要点： （1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或整式. （5）底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 3．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 知识点2 单项式除以单项式 1.问题 2022年我国粮食总产量大约为7.0×10¹¹kg.如果按我国人口1.4×10⁹人计算，那么人均粮食产量大约是多少? 计算：(7.0×10¹¹)÷(1.4×10⁹). (7.0×10¹¹)÷(1.4×10⁹) =(7.0÷1.4)×(10¹¹÷10⁹) =5×10²(kg). (7.0×1011)÷(1.4×109) 2.思考 如何用单项式和单项式的乘法验证上面的计算? 可以计算(5x²)·(1.4x⁹)=(5×1.4)·(x²·x⁹)=7x¹¹, 由于除法是乘法的逆运算，因此 7x¹¹÷1.4x⁹=(7÷1.4)·(x¹¹÷x⁹)=5x11-9=5x². 注意：这里，7x¹¹÷1.4x⁹指的是(7x¹¹)÷(1.4x⁹).今后，在以单项式作为除式时，我们总是这样处理. 两个单项式相除，把系数和同底数幂分别相除. 要点：单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式. 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．已知，则m和n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 知识点3 整式除以单项式 整式除以单项式：先把整式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 即 要点： （1）整式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式. （2）利用法则计算时，整式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 【即学即练】 1．计算： (1)． (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．先化简，再求值：，其中． 题型01 同底数幂的除法 【典例1】．下列计算是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”，并写出正确的计算结果． （1）( ) ；      （2）( ) ； （3）( ) ；     （4）( ) ． 【变式1】．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 题型02 幂的综合运算 【典例1】．计算： (1)； (2)． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．计算： （1）； （2）； （3）. 题型03 根据同底数幂的除法求参数的值 【典例1】．若，则m的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式1】．若，则 ． 【变式2】．已知，求的值. 题型04 同底数幂除法的逆用 【典例1】．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式1】．已知：，，求的值. 【变式2】．若，则的值为 ． 【变式3】．（1）已知，，求 ①的值； ②的值 （2）已知，求x的值． 题型05 根据同底数幂除法求代数式的值 【典例1】．已知，，则的值为（    ） A．16 B．4 C． D． 【变式1】．若，，，则 ． 【变式2】．若，，则的值是（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 题型06 根据同底数幂除法求参数之间的关系 【典例1】．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出字母、、之间的数量关系为______． 【变式1】．已知：，，． (1)求的值； (2)证明：． 题型07 单项式除以单项式 【典例1】．计算： (1)； (2)． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3). 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型08 单项式除以单项式的应用 【典例1】．已知，那么m，n的值分别为（　　） A．4，3 B．4，1 C．1，3 D．2，3 【变式1】．若是正整数，且，则 ． 【变式2】．明明在检查作业时，发现有一道题的部分内容被墨水浸染了，，那么这部分内容可能是（   ） A． B． C． D． 题型09 整式除以单项式 【典例1】．计算： (1). (2). 【变式1】．计算： (1)； (2) 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型10 整式除以单项式的求值问题 【典例1】．先化简，再求值：，其中． 【变式1】．先化简，再求值：，其中，． 【变式2】．先化简，再求值．，其中． 题型11 整式除以单项式的应用—积商思想 【典例1】．如果，那么____________． 【变式1】．一个整式除以，商为，这个整式为 ． 【变式2】．整式A与单项式的积为，则整式A为 ． 【变式3】．已知整式除以一个整式，得商式为，余式为，求这个整式是 ． 题型12 整式除以单项式的应用—遮住、看错等问题 【典例1】．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个整式，形式如下：，则所指的整式为 ． 【变式1】．小明的作业本上有一道题不小心被沾上了墨水：，通过计算，这道题的■处应是 ． 【变式2】．已知，B是一个整式，在计算时，小马同学把看成了，结果得，则 ． 【变式3】．已知，是整式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，细心的小明同学计算正确，那么小明计算出的值为 ． 题型13 整式除以单项式的几何应用 【典例1】．面积为的长方形，若它的宽为，则它的长为 ． 【变式1】．已知的面积为，一边长为，则这条边上的高为 ． 题型14 材料题—整式除以整式 【典例1】．在求整式除以整式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得的商式为，余式为22，如图所示．运用此方法，那么的商式为 ，余式为 ． 【变式1】．在学习整式的除法之后，小婷通过延伸发现：两个整式相除，可以先把这两个整式都按照同一字母的降幂排列，然后仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．如图，计算时，可以仿照用竖式计算．请你仿照上面的例子计算的结果为 ． 【变式2】．我们学过单项式除以单项式、整式除以单项式，那么整式除以整式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． (1)的商是_______． (2)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加8，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的3倍（如图），用含x的代数式表示a． (3)在（2）的条件下，另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积小55，求长方形C的另一边长． 一、单选题 1．下列四个算式： ①；②；③；④． 其中，计算错误的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，其中n是正整数，的值是（    ） A． B．0 C．1 D．或1 4．已知，则的值为（   ） A．6 B．1 C．2 D．4 5．李老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个整式，形式如下：这个被捂住的整式是（   ） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（    ） ①； ②； ③； ④． A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 7．已知，，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 8．若整数，，满足，则的值为（   ） A． B． C．0 D．1 二、填空题 9．（1） ；（2） ； （3） ；（4） ； （5） ． 10．计算： ． 11．计算： ． 12．长方形的面积为，如果它的长为，则它的宽为 ． 13．已知，，则 ． 14．已知，则的值为 ． 15．已知，则代数式的值是 ． 16．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为 ． 三、解答题 17．计算： （1）；             （2）；    （3）； （4）；     （5）． 18．计算下列各题： (1)； (2)． 19．已知，，求的值． 20．先化简，再求值：，其中x，y满足． 21．（1）若，求的值； （2）若，其中，是正整数，求的值． 22．小明在做练习册上的一道整式除以单项式的习题时，一不小心，一滴墨水污染了这道习题，只看见了被除式中第一项是及中间的“”，污染后习题形式如下：    ，小明翻看了书后的答案是“”，你能够复原这个算式吗?请你试一试． 23．已知A、B均为整式，，小马在计算时，误把“÷”抄成了“”，这样他计算的正确结果为． (1)将整式A化为最简形式； (2)求整式B； (3)求的正确结果． 24．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1) ；若，则 ． (2)已知，，，若，则 ． (3)若，，求的值． 25．因为，所以．这说明能被整除，同时也说明整式有一个因式为；另外，当整式的值为．阅读上述材料回答问题： （1）由可知，当_时，整式的值为； （2）一般地，如果一个关于字母的整式当时，的值为，那么与代数式之间有一定的关系，这种关系是：_____； （3）已知关于的整式能被整除，试求的值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$