安徽省六安市毛坦厂中学教育集团2024-2025学年高一下学期期末联考数学试题

高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知i为虚数单位，则(2+3i)(4一i)= A.11+10i B.10i C.11i D.10+11i 2.已知向量a=（-1,2)b=1,m),若a1b,则1b1= A./3 B.2 C.5 D.5 3.下列说法错误的是 A.为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B.频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C.抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法 D.某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 4.已知水平放置的四边形OABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中OA'∥B'C', ∠OA'B'=90°，OA'=2,B'C'=4,则原四边形OABC的面积为 A.242 B.12√2 C.62 145 D.3√2 5.已知α，3是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列说法正确的是 A.若a⊥3，m⊥a,m∥n,则n∥3 B.若m∥B,n∥B,mCa,nCa,则a∥3 C.若m∥a,mCB,a∩3=n,则m∥n D.若m⊥a,n⊥3，aL3,则m∥n 【高一数学第1页（共4页）】 25-T-866A 6.某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用分层随机抽样的方法调查了50名高一 学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差 分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为 A.168,35 B.168,20 C.169.6,35 D.169.6,20 7.已知一组数据1,2,3,4，x(0<x5)的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个数，则这 2个数字之积小于5的概率为 A号 B号 c n号 知三棱锥A-BCD的棱长均为2，点P在△BCD内，且AP=2,则点P的轨迹 度为 A. 8多 C D.π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.一组样本数据如下：62,63,65,65,65,66,67,67,68,69，则这组数据的 A.众数为65 B.极差为7 C.平均数为65.4 D.80%分位数为67.5 10.已知A,B,C是一个随机试验中的三个事件，则下列结论一定正确的是 A.若事件A,B,C两两互斥，则P(AUBUC)=P(A)十P(B)十P(C) B.若事件A,B相互独立，则A与B也相互独立 C.若P(A)>0,P(B)>0,则事件A,B相互独立与互斥能同时成立 D.若A,B,C两两独立，则P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点E为AB的中 点，点P是正方形ABB,A内的一点（包含边界），则下列说法正确 B 的是 A.正方体ABCD-A,B,CD1的外接球的表面积为12π R二面角D-BC-B的正切值为-写 C.△PDC的周长的最小值为2√6+2√2 D.若CP∥平面DCE,则点P的轨迹长度为√2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若圆台上、下底面直径分别为2和4，高为3，则此圆台的体积为 13.某高一班级有40名学生，在一次物理考试中统计出平均分数为70，方差为95，后来发现有2 名同学的成绩有误，甲实得70分却记为50分，乙实得60分却记为80分，则更正后的方差 是 14.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b.c,且A=子a=3,则nnC b+c 若△ABC的外接圆的圆心是O,则AO·(AB+AC)的最大值为 【高一数学第2页（共4页）】 25-T-866A 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一 局先手的一方，下一局比赛将作为后手.在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率 为号：若甲方后手，则该局甲获胜的概率为号 (1)求双方需要进行第三局比赛的概率； (2)若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率。 16.(本小题满分15分) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C中，D,E分别是AB,A1B1的中点. (1)证明：平面BCE∥平面ADC: (2)若三棱柱ABC-A,B1C1为直三棱柱，且棱长均为2，求异面直线 AD与BC1所成角的正弦值： 17.(本小题满分15分) 某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有 100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组[50,60)，第二组[60,70)，第三组[70， 80),第四组[80,90)，第五组[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图， (1)根据频率分布直方图，求α的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值 作代表)； (2)根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的40%分位数： 4颜率 红电 (3)从参赛成绩在[50,60)和[90,100]的歌手中，采用分层随0.00 机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机 抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在[50,60)和[90， 100们内各1人的概率. 0.015 0.010 0.005 o 5060708090100分数 【高一数学第3页（共4页）】 25-T-866A 18.(本小题满分17分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(b一a)(b+a)=c(b一c). (1)求角A的大小： (2②)若6=2.c=3,点D是边BC上的一点，且B肥-号，求AD的长： (3)若△ABC是锐角三角形，b=1,点E为AB的中点，求CE的取值范围. 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,AB=BC=AP=2, AD=4. (1)证明：CD⊥平面PAC: (2)求二面角B-PC-D的大小： (3)点T是棱PC上的动点（不包括端点），求直线TD与平面 ABCD所成角的正切值的取值范围. 【高一数学第4页（共4页）】 25-T-866A高一数学 参考答案、提示及评分细则 1.A(2+3i)(4-i)=11+10i故选A. 2C因为a1b,所以a·6=-1+号m=0,所以m=2所以b=厅，放选C 3.D我国中学生人数很多，采取全面调查比较困难，应采用抽样调查，A正确：由频率的性质可知，随着试验次数 的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故B正确：抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法， 故C正确：某种疾病的治愈率为10%，是指一位病人被治愈的概率为10%，不是说每10名患者就一定有1人 被治愈，故D错误.放选D 4.B由题意知原四边形OABC如图所示，又OA=2,BC=4,OC=4√2，所以原四 边形OABC的面积为2+4)X4E=122.故选B 2 5.C若a⊥B,m⊥a,m∥n,则n∥B或nC3,故A错误；当m∥B,n∥3，mCa,nCa, 若t,n不相交，则推不出a∥3，故B错误；若m∥a,mC3,a∩3=u,则m∥n,故C 正确：若mLa,LB,a⊥3，则m⊥，故D错误.故选C 6A由题意知，样本中男生30人，女生20人，样本的平均数为20”30×12+ 0平×162=168，样本的方差为器×[9+(172-163]+器×[14+(162-168]=点放选N 7.B数据1,23,4,0<<5)的平均数为+2士3+4+=2+号∈(2,3)，易得该组数据的中位数为，即 5 2+若=x,解得x=号，从这5个数中任取2个，结果有(1,2)，4,3)，1,4).(1，号)，(2,3)，2.4)， (2,号)，(3,4)，(3，号)，(4，号)，共10种情况，这2个数字之积小于5的结果有1,2)，(1,3)，(1,4)， (1,受)，共4种情况，故所求概率为清=号故选B &C如图1，取CD的中点E,连接BE,过点A作AHLBE,垂足为H,由AB=2,知BE=厅，BH=2,HE -号所以AH=√2-(T-25又AP=2所以HP-√(2）-(2)=号>HE,所以点 P在以H为圆心，号为半径的圆上如图2，由BH=29,HF=号，∠FBH=吾，得（②）'+BF-2BF× 2华×号=（号）》'，解得BF=号（结合图形BF=音舍去）.所以四边形BGHF是菱形，∠GHF=子·所以 3 点P的轨迹的长度为弩放选C 图1 图2 9.ABD由题意知众数为65，故A正确：极差为69一62=7，故B正确：平均数x= 62+63+65+65+65+6+67+67+68+69=65.7,放C错误：80%×10=8，所以80%分位数为7牛68- 10 2 67.5,故D正确.故选ABD 10.AB若事件A,B,C两两互斥，则AUB与C互斥，所以P(AUBUC)=P(AUB)+P(C)=P(A)+P(B) +P(C),所以A正确：若事件A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B),又P(A)=1一P(A),P(B)=1 P(B),则P(AB)=1一P(AUB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)=[1-P(A)][1-P(B)]=P(A)P(B),所以 【高一数学参考答案第1页（共4页）】 25-T-866A B正确：若A,B相互独立，则P(A∩B)=P(A)P(B):若A,B互斥，则P(A∩B)=0,而P(A)>0,P(B)>0, 所以事件A,B相互独立与A,B互斥不可能同时成立，故C错误；设样本空间2={，b,c,d)含有4个等可 能的样本点，且A=ab,B=a,cd,C={a,d,则PA)=P(B)=PC)=之，P(AB)=PAC)=PBC) =},所以P(AB)=P(A)P(B),P(AC=P(A)P(C),P(BC=P(BP(C,即A,B,C两两独立，但是 PABC)=寻≠P(A)P(BP(O=名，所以A,B,C两两独立时，PABC)=P(AP(BP(C不一定成立， 故D错误.故选AB 11.ACD 由题意知正方体ABCD-A:BCD,的外接球的半径R=②+2+2 D 2 =√3，所以正方体ABCD-A1BCD1的外接球的表面积S=4xR=12π，故AA 正确：过点D作直线CE的垂线，垂足为O,连接DO,如图所示，易得∠DOD 为二面角D,-BC-D的平面角，又sin∠D0O-光=sm∠CEB-是. ，所以D0 -罡·DC=5,所以am∠DOD=咒-专所以二面角D-EC-B的正 「CE 切值为-气，放B错误：记点C关于平面ABB,A的对称点为C,所以PD,十 PC=PD十PC≥DC=√2+2+4=2√6，当且仅当P,D,C三点共线时等号成立，所以△PDC的周 长的最小值为26+22，故C正确：取AB的中点H,BB的中点G,连接GH,CH,CG,易得CH∥ CE,又CH￠平面DCE,CEC平面DCE,所以CH∥平面DCE,又易得HG∥DC,HG平面DCE, DCC平面DCE,所以HG∥平面DCE,又HG∩CH=H,HG,CHC平面CHG,所以平面CHG∥平 面DCE,所以点P在线段GH上，所以点P的轨迹长度GH=√P十1下=√2，故D正确.故选ACD. 12.7x设圆台上底面的半径为r=1,下底面的半径为R=2,高为h=B,则圆台的体积V= 3 3h(P+R+R)=号xX×①+2+1X2)-7 3 13.85甲少记20分，乙多记20分，则总分不变，由此知平均分不发生变化.设其余38名学生的成绩分别为 …,则6（一70）2+（一702+…+(-70）2+(50-70)2+(80-70)]=95，所以更正后 方差2=0[a-70)2+(-70)2+…十(x-70)2+(70-70)2+(60-70)]=95-0[(50-70y +(80-70)2]+0(70-702+(60-70)]=85. 14.2(2分)3(3分) 由正弦定理得店品A2,所议62血B,c2如C所卫 in b+c sin Bsin C- 2sB士s血CP=2:取AB的中点D,连接OD,所以OD⊥AB,所以Aò·A店= sin B+sin C (Ai+D)·A市=2A+D,AB=号A亦=号c2,同理可得Aò.心=之A衣=号，所以Aò· (A市+AC)=号(8+2)，由余弦定理得a=+c-2 bcos A,即3=+c2-c,所以+2=3+c≤ 3+公，所以+2≤6，当且仅当b=c时等号成立，所以A0.(AB+AC)=号(6+2)≤3，即A0: 2 (AB+AC)的最大值为3. 15.解：(1)若双方需要进行第三局比赛，则前两局比赛中双方各胜一局，因为前两局比赛中，双方各先手一次， 所以概率P=号×号+×号-是 …5分 (2)记第i局甲获胜为事件A,(i=1,2,3),甲赢得比赛为事件B,则B包含的事件有(AA2),(AAA), (A1A2A), …6分 PAA)=号×号= …7分 【高一数学参考答案第2页（共4页）】 25-T-866A PAA)=号×号×号=清 31 …9分 pAA)=是×号×号-= 11分 所以P(=PAA:)+PA石A)+P不AA)=吉+壳+先-器 13分 16.(1)证明：因为D.E分别是AB,AB1的中点，所以AE=DB,AE∥DB 所以四边形ADBE是平行四边形，所以AD∥BE, 又ADC平面ADC,BE对平面ADC,所以BE∥平面ADC, …3分 连接DE,由棱柱的性质，易得DE∥CC1,DE-CC, 所以四边形DECC是平行四边形，所以EC∥DC, 又DCC平面A1DC,EC亡平面ADC,所以EC1∥平面A1DC,…6分 因为BE门EC=E,BE,ECC平面BCE,所以平面BCE∥平面ADC.…7分 (2)解：由(1)知AD∥BE,所以异面直线AD与BC,所成角为∠EBC(或其补角)，…9分 因为三棱柱ABC-A,BC1为直三棱柱，所以BB⊥平面ABC, 因为BE,BCC平面ABC,所以BB⊥BE,BB⊥BC, 所以BE=√2+1=5，BC=22,EC1=3,… 11分 所以BE十EC明=BC明，即BE⊥EC1,…13分 所以在R△BEC中，sim∠EBC=E 即异面直线AD与BC,所成角的正弦值为. 15分 17.解：(1)第一至第五组对应的频率分别为0.010×0=0.1：0.015×10=0.15： 0.040X10=0.4:aX10=10a;0.005X10=0.05,…2分 所以0.1+0.15十0.4+10a十0.05=1，解得a=0.030,… 3分 所以参赛歌手的平均成绩为0.1×55十0.15×65十0.4×75十0.3×85十0.05×95=75.5分.…5分 (2)由0.1+0.15=0.25<0.4,0.1十0.15+0.4=0.65>0.4，…6分 得参赛歌手成绩的40%分位数为70十0.4025X10=73.75分. 9分 0.4 (3)由01：005=2：1，得这6人中参赛成绩在[50,60)的人数为6×号=4人，分别记为a,b,d:在[90， 100]的人数为6一4=2人，分别记为x,火.…11分 在这6个人中抽取2个人，共(a,b),(a,c),(a,d),(a,x),(a,y),(b,c),(b,d),(b,x),(b,y),(c,d),(c,x), (C,y),(d,江x),(d,y),(x,y),15个基本事件，……13分 这2名歌手比赛成绩在[50,60)和[90,100]内各1人，共(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),(d,x), (d,小y),8个基本事件，…14分 故这2名歌手比赛成绩在[50,60)和[90,10]内各1人的概*为号 …” 15分 18解：少因为(b一a)b叶a)=c(一c),所以+一心=c,由余弦定理得c0sA三分十￠=乐=之， 26 …3分 又A∈(0，x),所以A=子 …5分 (2)由余弦定理得a2=2+2-2 bccos A=22+3-2×2×3cos牙=7，即a=7, …7分 所以osB=2+2-E=)+32-22近 …8分 2ac 2×7×3 又点D是BC上的一点，且肥=号，所以BD-3 5 在△ABD中，由余弦定理得AD°=BA+BD-2BA·BDcos B=-罗+(3)'-2X3×3×29=1 -251 即AD-63 11分 (3)设A3=m,AC=m,则成=n-m,m=c,n=b=1,所以m·n=之c, 【高一数学参考答案第3页（共4页）】 25-T-866A AiB=m·(n-m=号c-<0, 又△ABC是锐角三角形，所以 13分 AC.C-n(n-m)=1->0, 解得<c<2… 14分 所以C成=m一n,所以C=子m-m·n+㎡=子2-之c+1=子(c-1)+子，又号<c<2,所以是 C正<1，即<CE<1,即CE的取值范围是[，1） …17分 19.(1)i证明：AD∥BC,AB⊥AD,AB=BC=2,所以∠BAC=∠BCA=∠CAD=于，AC=2/2, 所以在△ACD中，由余弦定理得CD=√AC+AD-2AC·AD·os吾=√8+16-42X4X号 22,… …2分 所以AC+CD=AD,所以CD⊥AC. 3分 因为PA⊥底面ABCD,CDC平面ABCD,所以CD⊥PA. 又PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,所以CD⊥平面PAC.…4分 (2)解：取BP的中点E,过点D作DF⊥平面PBC,DF交平面PBC于点F,连接CF 因为PA⊥平面ABCD,PAC平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABCD. 因为平面PAB∩平面ABCD=AB,BC⊥AB,所以BC⊥平面PAB.…5分 因为AEC平面PAB,所以AE⊥BC. 因为AB=AP=2,PE=BE,所以AE⊥BP,AE=E, 又BP,BCC平面PBC,PB∩BC=B,所以AE⊥平面PBC 6分 因为AD∥BC,BCC平面PBC,AD达平面PBC,所以AD∥平面PBC,…7分 所以点A到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离，所以DF=√瓦. 由(1)知CD⊥平面PAC,因为PCC平面PAC,所以CDLPC 因为DF⊥平面PBC,PC汇平面PBC,所以DF⊥PC.…8分 又DF,CDC平面CDF,DF∩CD=D,所以PC⊥平面CDF 因为CF℃平面CDF,所以PC⊥CF,…9分 由PC⊥CF,CD⊥PC,平面PBC∩平面PCD=PC,知∠FCD是二面角B-PC-D的平面角的补角. 由DF=E.CD=2E,DFLCF,得∠FCD=吾 所以二面角B-PC-D的大小为爱， … 11分 (3)解：过点T作TG平行于PA,交AC于点G,连接GD. 因为PA⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD 因为TG∥PA,所以TG⊥AB,TG⊥AD. 因为AB∩AD=A,AB,ADC平面ABCD,所以TG⊥平面ABCD, 所以TD与底面ABCD所成的角为∠TDG.… 13分 设G=0<<2).所以骆-器.即号=后所以7G=,6D 2 2/2 /x2+8. 15分 所以tan∠TDG= TG 2 GD 由函数y 单调递增，得0<an∠TDG<, V2(1+ 所以直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为(O,2). 17分 【高一数学参考答案第4页（共4页）】 25-T-866A