江苏省南京市第二十九中学2025-2026学年高三模拟综合检测数学试题

高三考前模拟综合检测试卷 2025.7 命题人：陈明 审题人：张胜冬 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的定义与单调性求解集合,然后求解交集. 【详解】由,则, 所以. 故选：D. 2．已知椭圆的左顶点为，上顶点为．若是的焦距的倍，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，列出方程求出离心率. 【详解】设椭圆的半焦距为c，而，又， 则，整理得，因此， 所以的离心率为. 故选：C 3．Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4，S3，S5成等差数列，则{an}的公比q的值为(　　) A． B．－2 C． D．2 【答案】B 【详解】由S4，S3，S5成等差数列，得2S3＝S5＋S4，即2(a1＋a2＋a3)＝2(a1＋a2＋a3＋a4)＋a5，整理得a5＝－2a4，所以＝－2，即q＝－2，故选B. 4. 已知角，满足，，则值等于（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由切化弦，结合两角和差的正弦公式即可求解. 【详解】因为， 所以，即， 又， 两式联立可得：， 所以， 故选：B 5．若对于任意的，都有，则实数m的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由，都有转化为，得到函数在上单调递减，求出函数的导数，得到在恒成立，求出的最小值. 【详解】由，都有, 转化为， 构造在上单调递减， 求导在上恒成立， 则，解得, 故，即的最小值为. 故选：A. 6．“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（    ）条件 A．充分不必要 B． 充要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据直线与圆位置关系，以及充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】如图所示： 设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即， 故“”是“圆上恰有2个点到直线 的距离为1”的必要不充分条件. 故选：C 7. 满足，的有序实数组可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数运算化简得，逐个选项分析即可判断. 【详解】记，则， 因为，所以，所以， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：B. 8．是定义在R上的偶函数，对，都有，且当时，.若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意分析函数的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函数在上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可. 【详解】由，可得：. 又因为是定义在R上的偶函数， 则，且函数图象关于轴对称. 所以，即的周期为4. 作出函数在上的图象，根据对称性及周期为4，可得出在上的图象. 令 若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根， 则函数与函数在上至少有2个不同的交点，至多有3个不同的交点. 所以，即，解得. 故答案为：D 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用，函数与方程的综合应用及数形结合思想.解题关键在于根据题意分析出分析函数的对称性及周期性，并作出和图象；将方程根的问题转化为函数图象交点问题，数形结合解答即可. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题是假命题的是（ ） A．命题“，”的否定是“，” B．函数最小值为 C．函数与是同一个函数 D．若不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据存在性命题的否定判断A，由不等式性质判断B，根据函数定义域判断C，由一元二次不等式、一元二次方程的关系求不等式的解集判断D. 【详解】对于A，，”的否定是，，故A为假命题； 对于B，因为，所以函数，所以最小值不为2 ，B选项为真命题； 对于C，函数定义域为R，函数定义域为， 定义域不同两函数不是同一个函数，C选项为假命题； 对于D，由题意，方程的解为，且， 由韦达定理可得，则，解得， 则不等式，即，由， 则不等式变为，解得或，故D错误； 故选：ACD 10．已知点F是抛物线C：的焦点，点A是抛物线C的准线与x轴的交点，过点A且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A．k的取值范围为 B． C．点M关于x轴的对称点在直线NF上 D．若，则或 【答案】ABC 【详解】抛物线C：的焦点，准线，点，直线， 对于A，由消去得：，依题意，， 解得且，因此k的取值范围为，A正确； 对于B，过作准线的垂线，垂足分别为，则， 因此，即，B正确； 对于C，直线的斜率，直线的斜率， ， 令点M关于x轴的对称点为，则直线的斜率， 而直线与直线有公共点，因此点在直线上，C正确. 对于D，由，得，设， 则，而，联立解得，D错误； 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：作出几何图形，利用平行线分线段成比例，结合抛物线定义是判断选项B的关键. 11. 已知棱长为1的正方体的所有顶点都在以为球心的球面上，点是棱的中点，点是棱上的动点.则下列说法正确的有（ ） A. 若是棱的中点，则平面 B. 棱上存在点，使得 C. 点到直线的距离的最小值为 D. 若是棱的三等分点，则过的平面截球所得的截面面积最小为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，设的中点为，通过证明四边形为平行四边形，可证得平面；对于B，通过建系设点，利用空间点到线的距离公式可求最小值；对于C，利用向量的坐标表示出夹角，计算出当时，，即可判断；对于D，由题意可求，再利用球的截面问题可直接求截面面积的最小值. 【详解】如图，设的中点为，连接， 是中点，，且， 对于A，若是中点，，且， ，且，所以四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面，故A正确； 根据题意，以为原点，以直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系， 设，，，， 对于B，，所以， 则，当时，，即， 所以棱上存在点，使得，故B正确； 所以点到直线的距离， 即点到直线的距离的最小值为，故C错误； 对于D，当是棱的三等分点时，点或，球心， 所以，又正方体外接球半径， 所以截面所得圆的最小半径，其面积为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的第三项为 ． 13. 已知角的正切，则__________． 【答案】 14. 2025年五四青年节，某高中学校为了表彰工作认真负责，业务能力强的优秀团员干部，学校给高中三个年级共分配9个优秀团员干部名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中分配的最少名额数，则的数学期望__________. 【答案】## 【解析】 【分析】问题化为9个球分成3份，且每份至少有一个球，即用2个隔板插入8个空，则有种分组，且并应用古典概型的概率求法求对应概率，进而求期望. 【详解】若三个年级人数分别为，则，又每个年级至少一个名额， 所以，相当于9个球分成3份，且每份至少有一个球，即用2个隔板插入8个空，则有种， 由题意，则，且各年级人数为， 其中的情况有一种情况，即， 的情况有、、、、、、、、九种情况，即， 所以， 综上，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（13分）已知数列的前n项和为，且满足，. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）利用与的关系先表示出，再代入原式变形，然后根据等差数列的定义证明即可； （2）先求出的解析式，再利用错位相减法求数列的前n项和即可. 【详解】（1）因为，又因为， 所以，即， 两边同时除以可得，， 即，所以. 因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）可知，所以. 所以， ， 所以 ， 所以. 16．（15分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设轴上方的点，分别在的左支与右支上，若，求四边形的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出渐近线方程，进而求出即得的方程. （2）设，利用向量关系表示出点坐标，再建立方程组求出点坐标即可求出面积. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，依题意，，半焦距， 而，解得， 所以的方程为. （2）设，而，由，得， 依题意，，解得，即， ，， 等腰底边上的高， 又四边形为梯形，则， 所以四边形的面积为. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，． （1）求证：平面平面； （2）若为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值； （3）若二面角大小为，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）. 【分析】（1）由题意先证明，由面面垂直的性质定理得平面，再运用面面垂直的判定定理证明 （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出直线与的向量表示，然后运用空间向量知识求出异面直线所成角的余弦值 （3）结合(2)中的空间直角坐标系，运用向量知识结合二面角为求出结果 【详解】（1）证明：为的中点， ∴四边形为平行四边形，    即 又平面平面，且平面平面，   ∴平面 ∵平面， ∴平面平面    （2）解：为 的中点，   ∵平面平面，且平面平面， ∴平面． 如图，以 为原点建立空间直角坐标系， 则 ， 是 的中点， 设异面直线与所成角为 ， 则 ∴异面直线与所成角的余弦值为． （3）解：由（2）知平面的法向量为 由 得 又， 设平面 法向量为， 由可取 ∵二面角为60°，， 【点睛】本题主要考查了面面垂直、异面直线所成角以及二面角问题，涉及平面与平面垂直的判定，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属于中档题． 18. （17分）已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上有且仅有一个极值点，求的取值范围； （3）当时，若，且，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求切线方程； （2），则在上有且仅有1变号零点，就、、分类讨论后可得的取值范围； （3）记，由结合三角变换公式可得，利用导数可证，从而得到 ，或者可以利用极值点偏移的方法来证明 . 【小问1详解】 当时，，， ，， 所以在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 ，令，则， ①若，当时，，单调递减， 所以，单调递减，不符合； ②若，当时，，单调递增， 所以，单调递增，不符合； ③若，则在有两个解，不妨设为，（）． 列表如下： － 0 ＋ 0 － 极小值 极大值 当时，，则在上没有零点． 要使在上有且仅有1个极值点， 则在上有且仅有一个变号零点， 则需要，即，解得． 又因为，所以． 当时，，， 由零点存在性定理知，存在唯一零点，使得， 当时，，为减函数； 当时，，为增函数，所以为的极小值点． 综上所述，的取值范围为． 【小问3详解】 法1：当时，，所以， 由可得， 即， 又，两边同时除以，得， 因此， 所以， 记，则， 因此 ， 令，，则， 所以在上减函数，故，即时，． 因为，， 所以，所以 当时，， 则，即． 法2：当时，，所以， 令，则，故在上单调递增． 又，， 根据零点存在性定理，存在唯一的，使得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以， 又，且， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 由于，且， 则，从而． 要证，只要证，只要证，即证． 因为，，所以即证，即证． 令，， 则， 所以在上单调递增，所以． 所以，即．故． 19. （17分）某实验室对某二进制数码串传输进行测试，初始二进制数码串是长度为的且全部由0组成的数码串.传输过程中，每位数码以概率传输记为0，以概率传输记为1，其中，每位数码的传输相互独立，并设事件为“传输结果各位数字之和为偶数”的事件. （1）当时，求； （2）证明：对任意的正整数，有； （3）在传输结果中任取一位数码，记“取到1”的事件为，问：是否存在最大值？若存在，求出使取到最大值的正整数；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由条件可知这3个0都传输为0，或传输为2个1和1个0，再按照独立重复概率公式，列式求解； （2）首先根据题意求和，再根据和根据二项式定理计算，联立方程求解，即可证明； （3）根据（2）的过程计算和，联立后计算，再代入条件概率公式求，从而构造，根据，讨论的取值，判断函数的单调性，从而确定最大值. 【小问1详解】 . 小问2详解】 传输结果各位数字之和为奇数的概率为， 传输结果的数码个数为偶数的概率为， 由， . 【小问3详解】 记， 则 ①当时，， ②当时，，，即单调递增，不存在最大值. ③当时，正负无法确定， 当为奇数时，，当为偶数时，， 要使取到最大值，应取偶数，记，， ， ， 单调递减，， 综上所述： 当时，不存在最大值： 当时，恒为常数； 当时，在时取到最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三考前模拟综合检测 数学 2025.7 命题人：高三数学教研组 审题人：高三数学备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2．已知椭圆的左顶点为，上顶点为．若是的焦距的倍，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4，S3，S5成等差数列，则{an}的公比q的值为(　　) A． B．－2 C． D．2 4. 已知角，满足，，则值等于（ ） A. B. 1 C. 0 D. 5．若对于任意的，都有，则实数m的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 6．“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（    ）条件 A．充分不必要 B． 充要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 7. 满足，的有序实数组可以是（ ） A. B. C. D. 8．是定义在R上的偶函数，对，都有，且当时，.若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题是假命题的是（ ） A．命题“，”的否定是“，” B．函数最小值为 C．函数与是同一个函数 D．若不等式的解集为，则不等式的解集为 10．已知点F是抛物线C：的焦点，点A是抛物线C的准线与x轴的交点，过点A且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A．k的取值范围为 B． C．点M关于x轴的对称点在直线NF上 D．若，则或 11. 已知棱长为1的正方体的所有顶点都在以为球心的球面上，点是棱的中点，点是棱上的动点.则下列说法正确的有（ ） A. 若是棱的中点，则平面 B. 棱上存在点，使得 C. 点到直线的距离的最小值为 D. 若是棱的三等分点，则过的平面截球所得的截面面积最小为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的第三项为 ． 13. 已知角的正切，则__________． 14. 2025年五四青年节，某高中学校为了表彰工作认真负责，业务能力强的优秀团员干部，学校给高中三个年级共分配9个优秀团员干部名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中分配的最少名额数，则的数学期望__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（13分）已知数列的前n项和为，且满足，. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和. 16．（15分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设轴上方的点，分别在的左支与右支上，若，求四边形的面积． 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，． （1）求证：平面平面； （2）若为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值； （3）若二面角大小为，求的长． 18. （17分）已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上有且仅有一个极值点，求的取值范围； （3）当时，若，且，求证：． 19. （17分）某实验室对某二进制数码串传输进行测试，初始二进制数码串是长度为的且全部由0组成的数码串.传输过程中，每位数码以概率传输记为0，以概率传输记为1，其中，每位数码的传输相互独立，并设事件为“传输结果各位数字之和为偶数”的事件. （1）当时，求； （2）证明：对任意的正整数，有； （3）在传输结果中任取一位数码，记“取到1”的事件为，问：是否存在最大值？若存在，求出使取到最大值的正整数；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$