精品解析：山东省滨州市2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题

试卷类型：A 高二数学试题 2024.7 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．在考试结束后将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合则图中阴影部分表示的集合为（ ） A B. C D. 2. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 3. 若，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若幂函数的图象过点，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，等腰梯形ABCD 的上底CD=1，下底AB=3，高为1．记等腰梯形ABCD 位于直线x=t(0≤t≤3)左侧的图形的面积为 f(t)，则f(t)随t变化时的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 若正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 2 7. 已知 ，小明在设置银行卡的数字密码时，打算将 的前6位数字1，4，1，4，2，1进行某种排列得到密码．如果排列时要求三个1不相邻，两个4也不相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 12 8. 已知表示不超过实数的最大整数，例如：，，若函数其中，则的值域为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数则下列结论正确的是（ ） A. 在区间上为增函数 B. 为偶函数 C. 的值域为 D. 不等式 的解集为 10. 已知在 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（ ） A. n=6 B. 展开式中含的项的系数是 C. 展开式的各二项式系数和为64 D. 展开式的各项系数和为729 11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是周期为 4 的周期函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 若 则ab=________． 13. 在班级数学兴趣小组活动中，老师准备了2道导数题和6道建模题，某小组8位同学从中不放回的每人随机抽取一题作答，记表示第位同学抽到导数题，，则________ 14. 设函数 若关于的方程有5个不相等的实数根，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某景点在2024年2月10日至24日(正月初一至正月十五)期间，为吸引游客，共举行了15场精彩的烟花秀节目．前9场的观众人数(单位：万)与场次的统计数据如下表所示： 场次编号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 观众人数y(单位：万) 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07 经计算可得：， ，． （1）通过作散点图发现x与y之间具有较强的线性相关关系，试用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程(结果中的数值用分数表示)； （2）若该烟花秀节目分A、B 两个等次的票价，该节目组织者随机调查了某场烟花秀节目100位观众购买A、B 两个等次票的情况，其中 60位男性观众中有 15 位观众购买了 B 等票；40位女性观众中有5位观众购买了 B 等票．请根据以上数据，将2×2列联表补充完整，并根据小概率值α=0.050的独立性检验，能否认为观众的性别与购票情况有关联？ 性别 购买情况 合计 购买 A 等票 购买 B 等票 男性观众 60 女性观众 40 合计 100 附： ①对于一组数据((x₁，y₁)，(x₂，y₂)，…，(xₙ，yₙ)，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，； ② 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16 已知函数，其中． （1）若时，有极小值，求的值； （2）若在区间存在单调递减区间，求的取值范围． 17. 某环保机器制造商为响应“2030年前碳排放达峰行动”的号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后3年内的延保维修方案： 方案一：交纳延保金3000元，在延保的3年内可免费维修1次，超过1次每次收取维修费1000元； 方案二：交纳延保金4000元，在延保的3年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费 t 元； 制造商为制定t元的收取标准，为此搜集并整理了100台这种机器超过保修期后3年内维修的次数，统计得到下表： 维修次数 0 1 2 机器台数 10 40 50 以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记 X 表示 2 台机器超过保修期后 3年内共需维修的次数． （1）求 X 的分布列； （2）以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，求使客户选择方案二更合算时t 的取值范围． 18. 已知函数 且曲线在处切线也是曲线的切线． （1）求的值； （2）求证：； （3）若直线与曲线有两个公共点，，与曲线有两个公共点，，求证： 19. 在数字通信中，信号是由0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为p和；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为q和．假设发送信号0和1是等可能的． （1）若发送信号一次，求接收为正确信号的概率； （2）若随机变量M的分布列为 记事件发生后给我们的信息量为，则称X 的均值为M 的信息熵，记为 ①设发送信号两次，接收为正确信号的次数为，若 求 的信息熵的值； ②设发送信号一次，接收为正确信号的次数为，求的信息熵取得最大值时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 高二数学试题 2024.7 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．在考试结束后将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图可知，图中阴影部分表示的集合为，再由集合的运算求解即可. 【详解】由图可知，图中阴影部分表示的集合为，或， 所以. 故答案为：C 2. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】D 【解析】 【分析】由对称性先得出，进而得出. 【详解】因为，所以，所以. 故选：D 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件必要条件的定义即可. 【详解】由得， 因为若，则，反之不成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 即“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 若幂函数的图象过点，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数定义域的求法即可得解. 【详解】设，依题意可得，解得，所以， 所以的定义域为， 对于，有，解得， 即函数定义域是. 故选：B 5. 如图，等腰梯形ABCD 的上底CD=1，下底AB=3，高为1．记等腰梯形ABCD 位于直线x=t(0≤t≤3)左侧的图形的面积为 f(t)，则f(t)随t变化时的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据面积公式得出每段的函数解析式，进而得出答案. 【详解】当时，，是过原点，且开口向上的抛物线的一部分，故排除D； 当时，，为单调递增的一次函数的一部分，故排除BC； 当时，，是开口向下的抛物线的一部分； 故选：A 6. 若正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法，令，结合基本不等式得出答案. 【详解】令，则，， 当且仅当，即时，取等号. 故选：C 7. 已知 ，小明在设置银行卡的数字密码时，打算将 的前6位数字1，4，1，4，2，1进行某种排列得到密码．如果排列时要求三个1不相邻，两个4也不相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】讨论2与两个4的位置，结合组合公式得出答案. 【详解】当2在两个4的左边时，两个4中间必有一个1，另外两个1可以插空，共有种； 由对称性可得，当2在两个4的右边时，共有3种； 当2在两个4的中间时，形成4个空，将3个1插入其中，共有种； 综上，共有10种； 故选：C 8. 已知表示不超过实数的最大整数，例如：，，若函数其中，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求函数的的值域，再根据的定义，即可求解. 【详解】，， ，，所以， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 所以的值域为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解函数的新定义. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数则下列结论正确的是（ ） A. 在区间上为增函数 B. 为偶函数 C. 的值域为 D. 不等式 的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由定义判断B；由单调性以及偶函数的性质逐一判断ACD. 【详解】函数的定义域为，，所以为偶函数，故B正确； 当时，易知，函数在上单调递减， 由对称轴可知，函数在上单调递增，，且， 则的值域为，故A错误，C正确； 不等式 等价为，则，解得， 即不等式 的解集为，故D正确； 故选：BCD 10. 已知在 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（ ） A. n=6 B. 展开式中含的项的系数是 C. 展开式的各二项式系数和为64 D. 展开式的各项系数和为729 【答案】AC 【解析】 【分析】由展开式共有7项判断A；由通项公式利用赋值法判断B；由性质判断C；由得出展开式的各项系数和. 【详解】展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式共有7项，则，故A正确； 展开式通项为， 令，则展开式中含的项的系数是，故B错误； 展开式的各二项式系数和为，故C正确； 令，则展开式的各项系数和为，故D错误； 故选：AC 11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是周期为 4 的周期函数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由奇偶性结合对称性判断AC；由对称性结合周期函数的定义判断B；由周期的性质结合判断D. 【详解】因为为奇函数，所以， 即，则的图象关于点对称，且， 令，则，故A正确，C错误； 又为偶函数，所以，则的图象关于直线对称， 因为， 所以函数是周期为 4 的周期函数，故B正确； 由对称性可知，所以， 则，故D正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数基本性质的综合应用，关键是理解奇偶函数的性质的外延，还要掌握一些常见的结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 若 则ab=________． 【答案】2 【解析】 【分析】由指对互化，结合换底公式求解即可. 【详解】因为所以， 所以. 故答案为：2 13. 在班级数学兴趣小组活动中，老师准备了2道导数题和6道建模题，某小组的8位同学从中不放回的每人随机抽取一题作答，记表示第位同学抽到导数题，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】利用条件概率公式，结合样本空间，即可求解. 【详解】。 故答案为： 14. 设函数 若关于的方程有5个不相等的实数根，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】令，代入方程解得或，则和共有5个不同的实数根.作出的图象，观察图象即可求出的取值范围. 【详解】令，则，即，即，解得或，则和共有5个不同的实数根.作出的图象，如图： 由图可知，，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某景点在2024年2月10日至24日(正月初一至正月十五)期间，为吸引游客，共举行了15场精彩的烟花秀节目．前9场的观众人数(单位：万)与场次的统计数据如下表所示： 场次编号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 观众人数y(单位：万) 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07 经计算可得：， ，． （1）通过作散点图发现x与y之间具有较强的线性相关关系，试用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程(结果中的数值用分数表示)； （2）若该烟花秀节目分A、B 两个等次的票价，该节目组织者随机调查了某场烟花秀节目100位观众购买A、B 两个等次票的情况，其中 60位男性观众中有 15 位观众购买了 B 等票；40位女性观众中有5位观众购买了 B 等票．请根据以上数据，将2×2列联表补充完整，并根据小概率值α=0.050的独立性检验，能否认为观众的性别与购票情况有关联？ 性别 购买情况 合计 购买 A 等票 购买 B 等票 男性观众 60 女性观众 40 合计 100 附： ①对于一组数据((x₁，y₁)，(x₂，y₂)，…，(xₙ，yₙ)，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，； ② 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）认为观众的性别与购票情况无关 【解析】 【分析】（1）由表格中数据，求得，结合参考数据和公式，求得，得到，即可求解； （2）根据题意，得到的列联表，求得，结合附表，即可得到结论. 【小问1详解】 解：由表格中的数据可得， 因为， ，， 所以，则， 所以关于的线性回归方程为. 【小问2详解】 解：根据题意，得到的列联表，如下表所示： 性别 购买情况 合计 购买A等票 购买B等票 男性观众 45 15 60 女性观众 35 5 40 合计 80 20 100 零假设为：观众的性别与购票情况无关， 根据列联表中的数据，经计算可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以认为成立，即认为观众的性别与购票情况无关. 16. 已知函数，其中． （1）若时，有极小值，求的值； （2）若在区间存在单调递减区间，求的取值范围． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）由极值点得导数等于0，解出或，进而利用导数检验时，有极小值； （2）分类讨论三种情况，结合导数得出其单调性，再由在区间存在单调递减区间，进一步确定的取值范围． 【小问1详解】 由，可得， 因为函数在处取极小值，所以，解得或. 当时，， 所以当时， 函数在和上单调递增； 当时，， 函数在上单调递减； 所以时，有极小值，所以满足题意. 当时，， 所以当时，， 函数在区间和上单调递增； 当时，，函数在区间上单调递减， 所以时，有极大值,所以不满足题意. 综上所述，所求的值为2. 【小问2详解】 因为， 当时，由，解得，所以函数的减区间为. 在区间存在单调递减区间，所以， 当时，，所以函数在单调递增，不存在减区间， 所以不符合题意. 当时，由，解得，所以函数单调递减区间为. 所以在区间不存在单调递减区间，所以不符合题意. 综上所述，的取值范围为. 17. 某环保机器制造商为响应“2030年前碳排放达峰行动”的号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后3年内的延保维修方案： 方案一：交纳延保金3000元，在延保的3年内可免费维修1次，超过1次每次收取维修费1000元； 方案二：交纳延保金4000元，在延保的3年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费 t 元； 制造商为制定t元的收取标准，为此搜集并整理了100台这种机器超过保修期后3年内维修的次数，统计得到下表： 维修次数 0 1 2 机器台数 10 40 50 以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记 X 表示 2 台机器超过保修期后 3年内共需维修的次数． （1）求 X 的分布列； （2）以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，求使客户选择方案二更合算时t 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由概率公式计算取值为的概率，进而列出分布列； （2）分别计算出两种方案的分布列，进而得出期望，并通过期望的大小关系得出t 的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得的取值为. 所以的分布列为： 【小问2详解】记选择方案一所需费用为元 则当时， 当时， 当时， 当时， 则的分布列为 记选择方案二所需费用为元. 则时， ； 时，； 时， 则的分布列为 因为，所以， 解得，所以的取值范围为. 18. 已知函数 且曲线在处切线也是曲线的切线． （1）求的值； （2）求证：； （3）若直线与曲线有两个公共点，，与曲线有两个公共点，，求证： 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先利用导数的几何意义求切线方程，再联立切线方程与函数，利用，即可求解； （2）由切线方程转化为证明和，即可证明不等式； （3）由二次函数的对称性，转化为证明，再根据的范围，构造函数，利用导数判断函数的单调性与最值，再结合函数，即可证明不等式. 【小问1详解】 ，， 所以在处切线方程为， 联立，得， ，得； 【小问2详解】 设，， 设，，单调递减，且， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，取得最大值0，所以，当时等号成立，即， ，当时等号成立， 即， 综上可知，，即. 【小问3详解】 ，对称轴方程为，由对称性可知，， 所以要证明，只需证明， ，，得， 当时，，单调递增，时，，单调递减， 当时，取得最大值， 当时，，当时，，，， 所以与的图象有两个公共点，，设， 则，， 设， ， ， 当时，，则，， 即时，，单调递增，, 所以当时，，即， ，所以，由， 即，在上单调递减， 所以，即， 综上可知，. 【点睛】关键点点睛：本题第2问的关键是函数，与比较大小，即可证明；第3问的关键判断函数在区间的单调性，即可证明不等式. 19. 在数字通信中，信号是由0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为p和；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为q和．假设发送信号0和1是等可能的． （1）若发送信号一次，求接收为正确信号的概率； （2）若随机变量M的分布列为 记事件发生后给我们的信息量为，则称X 的均值为M 的信息熵，记为 ①设发送信号两次，接收为正确信号次数为，若 求 的信息熵的值； ②设发送信号一次，接收为正确信号的次数为，求的信息熵取得最大值时的值． 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）发送信号事件，接收为正确信号为事件，根据题设条件得出，最后由全概率公式得出； （2）①由发送信号一次，接收都为，可知，再由二项分布概率公式结合题设公式得出； ②先求出发送信号一次，接收为正确信号的次数的分布列，进而由题设公式得出，构造函数，利用导数得出最值. 【小问1详解】 解：记发送信号为事件. 接收为正确信号为事件. 则 所以. 【小问2详解】 ①发送信号两次，接收为正确信号的次数为. 由（1）知发送信号一次，接收为正确信号的概率, 所以，所以 所以. ②发送信号一次，接收为正确信号的次数的分布列为 所以 令，令 所以，由解得， 所以当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增. 所以当时，取最小值， 又，所以取得最大时，. 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题在新环境下研究”旧”性质主要是将新性质应用在“旧“性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是离散型随机变量的知识. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $