第12讲 用一元一次方程解决问题（知识清单+13大题型+好题必刷）核心知识点与常见题型通关讲解练 【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（苏科版2024）

第12讲 用一元一次方程解决问题（知识清单+13大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 配套问题(一元一次方程的应用) 题型二 工程问题(一元一次方程的应用) 题型三 销售盈亏(一元一次方程的应用) 题型四 比赛积分(一元一次方程的应用) 题型五 方案选择(一元一次方程的应用) 题型六 数字问题(一元一次方程的应用) 题型七 几何问题(一元一次方程的应用) 题型八 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 题型九 行程问题(一元一次方程的应用) 题型十 比例分配(一元一次方程的应用) 题型十一 日历问题(一元一次方程的应用) 题型十二 古代问题(一元一次方程的应用) 题型十三 其他问题(一元一次方程的应用) 知识清单 知识点1．由实际问题抽象出一元一次方程 审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程． （1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程． （2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程． 知识点2．一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 题型练习 【题型一】配套问题(一元一次方程的应用) 【例1】（22-23七年级上·江苏·单元测试）我校开设了4间大教室和5间小教室同时进行公开课活动，其中一间大教室和2间小教室可容纳168人；2间大教室和一间小教室可容纳228人，设一间小教室可容纳x人，则下列方程正确的为（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设小和尚有x人，依题意列方程得（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）2024卡塔尔亚洲杯已于多哈当地时间1月12日下午5点（北京时间2024年1月12日22点）开幕。同学们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而成，其中黑色皮子共有 块． 3．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）一张桌子有一张桌面和四条桌腿，做一张桌面需用木料，做一条桌腿需用木料．用木材可做多少张这样的桌子（不计木材加工时的损耗）？ 【题型二】工程问题(一元一次方程的应用) 【例2】（23-24七年级上·江苏泰州·开学考试）6个人用35天完成某项工程的，如果再增加工作效率相同的8个人，那么完成这项工程共需要（    ） A．60天 B．65天 C．55天 D．50天 【举一反三】 1．（23-24七年级上·江苏南通·期末）甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表所示．若乙单独完成这项工作，则需（    ） 天数 第3天 第7天 工作进度 A．35天 B．30天 C．15天 D．10天 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）某排水管道工程由甲、乙两个工程队单独铺设分别需要18天、12天完成．现在先由两队从两端同时施工6天，然后由甲队单独施工完成，甲队还需要 天． 3．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件．且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用80元、付乙厂每天费用120元． (1)求这批校服共有多少件？ (2)为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度也提高25%，乙工厂单独完成剩余部分．且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天？ 【题型三】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【例3】（24-25七年级上·江苏南通·期末）某商品先按进价提高标价，后又降价元后销售，此时的售价为元，则该商品的进价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）小华开店，某次卖出两件商品，一件赚了，另一件赔了，售价都是135元/件，在这次买卖中小华是（    ） A．不赔不赚 B．赚18元 C．赔18元 D．无法判断 2．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）一件羽绒服，商家先是在进价的基础上提高标价，然后以8折的价格售出，可获利96元．设进价为x元，可列方程为 ． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）泗洲商场经销甲、乙两种商品，平时甲种商品每件售价80元，每件的利润为30元；乙种商品每件进价40元，售价60元．在“元旦”期间，同时对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：①购物总金额不超过300元的商品不优惠；②购物总金额超过300元，但不超过500元的商品打九折；③购物总金额超过500元的商品打八折． (1)甲种商品每件的进价为______元，若活动期间一次性购物总金额是400元，实际应付______元； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，总进价用去2600元，求商场在平时可以盈利多少元？ (3)按“元旦”期间优惠条件，小明一次性购买了乙种商品，实际付款是432元，求商场实际利润是多少元？ 【题型四】比赛积分(一元一次方程的应用) 【例4】（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）某初中学校七年级举行“数学知识应用能力竞技”活动，测试卷由20道题组成，答对一题得5分，不答或答错一题扣1分，某考生的成绩为82分，则他答对了 道题． 【举一反三】 1．（七年级上·江苏盐城·期末）某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 A 18 14 4 32 B 18 11 7 29 C 18 9 9 27 根据表格提供的信息，可知胜一场积 分． 2．（2023七年级上·全国·专题练习）某次知识竞赛共20道题，每答对一题得5分，答错或不答要扣1分．某选手在这次竞赛中共得70分，那么他答对几道题？ 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）某校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 (1)观察表格数据并填空，参赛者答对1道题得______分，答错1道题得______分； (2)参赛者小明得80分，他答对了几道题？ 【题型五】方案选择(一元一次方程的应用) 【例5】（七年级上·江苏宿迁·期末）某小组有m人，计划做n个“中国结”，若每人做5个，则可比计划多做9个；若每人做4个，则将比计划少做15个． ①5m+9＝4m﹣15；②＝；③＝；④5m﹣9＝4m+15．其中正确的是（　　） A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 【举一反三】 1．（七年级上·全国·专题练习）大丰新华书店推出售书优惠方案，如果李明同学一次性购书付款162元，那么李明同学所购书的原价可能是（　　） ①一次性购书不超过100元，不享受优惠 ②一次性购书超过100元但不超过200元，一律打九折 ③一次性购书超过200元，一律打八折 A．180元 B．202.5元 C．180元或202.5元 D．180元或200元 2．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）某学校组织秋游，原计划用40座的客车若干辆，则10人没有座位；如果用同样数量的50座客车，则多出2辆，且其余全部坐满．参加秋游的学生一共有 名． 3．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）学校组织趣味运动会，需要购买一批跳绳，已知甲、乙两商店每根跳绳规格一样，且标价相同．商家现推出如下促销方案： 甲商店促销方案：每根跳绳标价打八五折后，在总价的基础上再优惠12元； 乙商店促销方案：买四送一． 学校打算在其中一家商店购买20根跳绳． (1)若在乙商店买，则实际需要支付______根跳绳的费用； (2)小明发现同样是购买20根这种跳绳，按照各自促销方案，在乙商店购买比在甲商店购买便宜8元．求每根跳绳的标价． 【题型六】数字问题(一元一次方程的应用) 【例6】（23-24七年级上·江苏常州·期中）如图，将正整数1至1000按一定规律排列，整体平移表中带阴影的三个方框，平移后被方框遮住的三个数的和可能是（    ）    A．1002 B．1004 C．1006 D．1008 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）据记载，幻方起源于我国古代的洛书．如图是一个三阶幻方，要求每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等．已知都是正整数，，且满足，则其中的值为（   ） a c m d b A．6 B．7 C．8 D．9 2．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）有一个五位正整数，在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个五位数相减，得数是，则这个五位数是 ． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）数学综合与实践课上，王老师和同学们一起利用循环小数的循环规律，根据设计了“”的图案（教材第70页）．我们知道分数可以写成小数，反过来，无限循环小数可以写成分数，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．我们以无限循环小数为例进行探究：设…，两边同乘以10得：，即，解得， ∴．请仿照这一方法解决以下问题： (1)无限循环小数写成分数为 ． (2)大小比较： 　　1．（选填“＞”“＝”或“＜”） (3)请把无限循环小数写成分数． 【题型七】几何问题(一元一次方程的应用) 【例7】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）一块矩形草坪的长比宽多10米，它的周长是132米，求宽所列的方程是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形，其中．长方形的面积是(   ) A．120 B．130 C．140 D．150 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，点P的运动路径是，运动速度为．则点P的运动时间为 时，的面积是面积的一半． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）列方程解应用题：对联是中华传统文化的瑰宝：对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，一般情况下，天头长和地头长的比为，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．若某副对联长为，宽为，装裱后的周长与装裱前的周长比为．求天头长． 【题型八】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【例8】（24-25七年级上·江苏南京·期末）甲队有工人96人，乙队有工人72人，如果要求乙队的人数是甲队人数的，设应从乙队调x人到甲队，则列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）为迎接新年到来，光明中学开展制作“中国结”活动，七（1）班有m人，打算制作n个“中国结”，若每人做4个，则可比计划多做2个；若每人做2个，则将比计划少做58个，现有下列四个方程：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．（24-25七年级上·江苏南通·期末）小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是116岁的老寿星了，哈哈！”则小明的爷爷现在 岁． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）在国家“双减”政策出台后，同学们的课余活动更加丰富了，为迎接元旦活动，七（1）班美术兴趣小组要完成学校布置的剪纸作品任务，如果每人剪10个，则剩余6张彩纸未剪；如果每人剪12个，则缺6张彩纸，这个小组的学生共有多少人？一共剪多少张彩纸？ 【题型九】行程问题(一元一次方程的应用) 【例9】（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）A，B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）一道来自课本的习题的变式：甲地到乙地全程，先是一段上坡后是一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走那么从甲地到乙地需，甲地到乙地上坡路和平路各是多少？如果设甲地到乙地上坡路是，下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）一书，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”译文是：“跑得快的马每天走240 里，跑得慢的马每天走150 里．慢马先走12 天，快马几天可以追上慢马？”若慢马和快马从同一地点出发，设快马x 天可以追上慢马，则可以列方程为 ． 3．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）一天，小颖从学校出发步行回家，与此同时她的爸爸恰好从家出发步行到学校，小时后两人在路上相遇．已知小颖的家距离学校，小颖比她爸爸的步行速度每小时快，请利用方程求小颖的步行速度． 【题型十】比例分配(一元一次方程的应用) 【例10】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）元旦联欢会上，班长买了一些糖果分给全班同学．若每人分3颗，则余25颗；若每人分4颗，则少20颗．则班长共买了（       ）颗糖果 A．180 B．45 C．160 D．135 【举一反三】 1．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）比例的两个内项分别为2和5，两个外项分别为x和2.5，则x的值为 ． 2．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）有m辆客车n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①；②；③；④，其中正确的是 ． 3．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）某洗衣机厂生产三种型号的洗衣机共1500台，已知三种型号的洗衣机的数量比是，则三种型号的洗衣机各生产多少台？ 【题型十一】日历问题(一元一次方程的应用) 【例11】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）小慧在月历上圈出四个数，并计算出它们的和为36，这四个数所在位置可能是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）日历中蕴藏着有趣的数学规律，图1是2024年11月的日历，用笔在日历中任意框出两组呈斜对角线交叉的5个数．若在日历中用笔框中的五个数分别表示为a，b，c，d，m（如图2），且，则m的值为（   ） A．12 B．13 C．15 D．19 2．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）小丽在日历表上圈出数列三个数，她算出这三个数的和27，那么最小的日期是 号． 3．（24-25七年级上·江苏·假期作业）（1）吉姆同学在某月的日历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么第一个数是 ； （2）玛丽也在上面的日历上圈出个数，斜框内的四个数的和是，则它们分别是 ； （3）莉莉也在日历上圈出个数，呈十字框形，它们的和是，则中间的数是 ； （4）某月有个星期日的和是，则这个月中最后一个星期日是 号； （5）若干个偶数按每行个数排成下图： ①图中方框内的个数的和与中间的数有什么关系 ； ②汤姆所画的斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ； ③托马斯也画了一个斜框，斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ． 【题型十二】古代问题(一元一次方程的应用) 【例12】（24-25七年级上·江苏南通·期末）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？甲、乙两人所列方程如下，下列选项判断正确的是（   ） 甲：设竿子长为x尺，根据题意可列方程为； 乙：设绳索长为x尺，根据题意可列方程为 A．甲对乙错 B．甲错乙 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）我国古代的“九宫图”是由的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行，每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算x的值是（    ） 2025 x 1 3 A．2019 B． C．2020 D． 2．（24-25七年级上·江苏南通·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，称为“结绳记数”，如图，某农户在从右到左依次排列的绳子上打结，满7进1，来记录所采的野果数．若采集到的野果有个，则在第2根绳子上的打结数是 个． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）“鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ (1)补全表格：若设兔有x只． 项目 只数 足数 鸡 ______ 兔 x ______ 合计 35 94 (2)请你完整的解决“鸡兔同笼”问题．（可重设未知数） 【题型十三】其他问题(一元一次方程的应用) 【例13】 （24-25七年级上·江苏扬州·期中）把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则还缺25本．设这个班有学生人，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）春节即将来临，某兴趣小组计划做一批“中国结”，如果每人做10个，那么可比计划多做6个；如果每人做9个，那么将比计划少做7个，该兴趣小组计划做多少个“中国结”？若设该兴趣小组计划做x个“中国结”，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）规定，若，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）用一元一次方程解决问题：小丽和爸爸一起玩投篮球游戏．两人商定规则为：小丽投中1个得3分，爸爸投中1个得1分．结果两人一共投中了20个，得分刚好相等．小丽投中几个？ 好题必刷 一、单选题 1．甲乙两人给一片花园浇水，甲单独做需要4小时完成浇水任务，乙单独做需要6小时完成浇水任务．现由甲、乙两人合作，完成浇水任务需要（    ） A．1.5小时 B．2小时 C．2.4小时 D．3.2小时 2．两年期定期储蓄的年利率为2．25%，按照国家规定，所得利息要缴纳20%的利息税，王大爷于2017年6月存入银行一笔钱，两年到期时，共得税后利息540元，则王大爷2017年6月的存款额为（    ） A．20000元 B．18000元 C．15000元 D．12800元 3．已知一根铁丝长，用这根铁丝围成一个长方形，其中长是宽的2倍，则这个长方形的长为（   ） A．9 B．10 C．15 D．16 4．小明在某月的日历中圈出相邻的四个数，算出这4个数的和是42，那么这4个数在日历上的位置可能是（    ） A． B． C． D． 5．有一位工人师傅从直径为的圆柱形钢材中截取一段，用来铸造一个直径为，高为的圆柱形毛坯，则应截取圆柱形钢材的高度为（　　） A． B． C． D． 6．一项工程，甲队单独完成需要天，乙队单独完成需要天．若先由甲队单独做天，剩下部分由甲、乙两队合作完成，则还需要的天数是（    ） A． B． C． D． 7．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人现调人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，问应调往甲、乙两处各多少人？设应调往甲处人，则所列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 8．把一些图书分给七（2）班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．这个班有多少名学生？设这个班有x名学生，根据题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 9．某书店推出如下优惠方案：（1）一次性购书不超过100元不享受优惠；（2）一次性购书超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购书超过300元一律八折．某同学两次购书分别付款80元、252元，如果他将这两次所购书籍一次性购买，则应付款（    ） A．288 B．360 C．288或316 D．360或395 10．如图，甲､乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环形，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2019次相遇在哪条边上?（    ） A．AD B．DC C．BC D．AB 二、填空题 11．某班级有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少，若设女生人数为，则由题意可列方程为 ． 12．某种商品的进价为20元，标价为x元，由于该商品积压，商店准备按标价的8折销售，可保证利润率达到20%，则标价为 元． 13．某县由种玉米改为种优质杂粮后，今年农民人均收入比去年提高了，今年农民人均收入比去年的1.5倍少1200元．问这个县去年农民人均收入多少元？若设这个县去年农民人均收入为x元．则今年农民人均收入既可以表示为 ，又可以表示为 ，因此可列方程 ． 14．若一个角比它的余角大，则这个角等于 15．文化体验 合并同类项的来源 公元820年左右，中亚细亚数学家阿尔一花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》．顾名思义，就是将方程中各项成对消除的意思．相当于现代解方程中的“合并同类项”．在我国也有相同的著作，明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问：顶层几盏灯？”（倍加增指从塔的顶层到底层加倍递增）．请你算出塔的顶层有 盏灯． 16．若数轴经过折叠，﹣5表示的点与3表示的点重合，则10表示的点与数 表示的点重合． 17．运一堆煤，已经运了，如果再运50吨，则剩下的煤比原来的还多10吨，这堆煤原来有多少吨？设这堆煤原来有吨，可列方程为 ． 18．请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”诗句中谈到的鸦为 只，树为 棵． 三、解答题 19．某县准备用灯饰美化广场，需用A､B两种不同类型的灯笼共200个，且B种灯笼的个数是A种灯笼的，求A，B两种灯笼各需多少个． 20．如图，天平的两个盘内分别盛有102g和96g的糖，问应从盘A中拿出多少糖放到盘B中，才能使两者所盛糖的质量相等？ 21．小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：的解为，而；的解为，而；于是，小东将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x＝b﹣a，则称之为“奇异方程”．请和小东一起进行以下探究： （1）方程是“奇异方程”吗？如果是，请说明理由；如果不是，也请说明理由． （2）若a＝﹣1，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由． （3）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）为奇异方程，解关于y的方程：． 22．为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过，A，B两类物质排放量之和不超过．已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为．经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为．判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由． 23．桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度． 24．某商家在“618购物节”活动中将某种服装按成本价加价40%作为标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件服装仍可获利15元，这件服装的实际售价是多少元？ 25．某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共只，购进只节能灯的进货款恰好为元，达两种节能灯的进价、预售价如下表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 (1)求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ (2)在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只． 26．育才学校组织七、八年级老师到省内参加研讨会，需要租用大巴车接送老师往返学校和参会地，现租赁公司有25座和45座两种型号的大巴车可供选择． (1)已知25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车的租金便宜80元，学校第一天租用2辆45座和5辆25座大巴车，共付租金1140元，则学校租用25座和45座大巴车每辆每天的租金各是多少元？ (2)因为第二天学习内容主要针对七年级的老师，所以八年级的老师不用参加，因此要重新确定租车方案．现有如下两种选择： 方案一：全部租用25座的大巴车，则有一辆车空出15个座位； 方案二：全部租用45座的大巴车，刚好坐满且比只租用25座的大巴车少租3辆． 请分别计算出使用两种方案所需要的租金，并说明哪种方案更省钱. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 用一元一次方程解决问题（知识清单+13大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 配套问题(一元一次方程的应用) 题型二 工程问题(一元一次方程的应用) 题型三 销售盈亏(一元一次方程的应用) 题型四 比赛积分(一元一次方程的应用) 题型五 方案选择(一元一次方程的应用) 题型六 数字问题(一元一次方程的应用) 题型七 几何问题(一元一次方程的应用) 题型八 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 题型九 行程问题(一元一次方程的应用) 题型十 比例分配(一元一次方程的应用) 题型十一 日历问题(一元一次方程的应用) 题型十二 古代问题(一元一次方程的应用) 题型十三 其他问题(一元一次方程的应用) 知识清单 知识点1．由实际问题抽象出一元一次方程 审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程． （1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程． （2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程． 知识点2．一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 题型练习 【题型一】配套问题(一元一次方程的应用) 【例1】（22-23七年级上·江苏·单元测试）我校开设了4间大教室和5间小教室同时进行公开课活动，其中一间大教室和2间小教室可容纳168人；2间大教室和一间小教室可容纳228人，设一间小教室可容纳x人，则下列方程正确的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】设1间小教室可同时容纳x人，则1间大教室可同时容纳人，根据“2间大教室和1间小教室可同时容纳228人”列出方程． 【详解】解：设1间小教室可同时容纳x人，则1间大教室可同时容纳人， 根据题意，得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了由实际问抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设小和尚有x人，依题意列方程得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程．设小和尚有x人，则大和尚有人，根据题意可得，小和尚每人分个馒头，大和尚1人分3个，列出方程即可． 【详解】解：设小和尚有x人，则大和尚有人， 依题意列方程得， 故选：A． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）2024卡塔尔亚洲杯已于多哈当地时间1月12日下午5点（北京时间2024年1月12日22点）开幕。同学们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而成，其中黑色皮子共有 块． 【答案】12 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到白皮的边数为黑皮的2倍是解题的关键．设足球上黑色皮子有x块，则白色皮子为块，可得五边形的边数共有条，六边形边数有条．由图可得，一块白色皮子（六边形）中，有三边与黑皮子（五边形）相连，可得白色皮子边数是黑皮子边数的2倍，由此列出方程，即可求解． 【详解】解：设足球上黑色皮子有x块，则白色皮子为块， ∴五边形的边数共有条，六边形边数有条． 由图形关系得：每个正六边形白色皮子的周围有3个黑色皮子边， ∴白色皮子的边数为黑色皮子的2倍， ∴， 解得：， 答：黑色皮子共有12块． 故答案为：12． 3．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）一张桌子有一张桌面和四条桌腿，做一张桌面需用木料，做一条桌腿需用木料．用木材可做多少张这样的桌子（不计木材加工时的损耗）？ 【答案】用木材可做100张桌子 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，设共做了张桌子，则需要的桌面的材料为m3，桌腿需要木材为m3．根据总木材为3.8m3建立方程求出其解即可． 【详解】设可做张桌子，则需要的桌面的材料为，桌腿需要木材为． 由题意，得：， 解得：． 答：用木材可做100张桌子． 【题型二】工程问题(一元一次方程的应用) 【例2】（23-24七年级上·江苏泰州·开学考试）6个人用35天完成某项工程的，如果再增加工作效率相同的8个人，那么完成这项工程共需要（    ） A．60天 B．65天 C．55天 D．50天 【答案】B 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，解答此题的关键是根据已知找出等量关系，其等量关系是后面的工作量是前面的工作量的2倍． 【详解】解：设再增加工作效率相同的8个人完成剩余的工程需要x天， ∴ 解方程得天， 故完成这项工程共需要天， 故选：B． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·江苏南通·期末）甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表所示．若乙单独完成这项工作，则需（    ） 天数 第3天 第7天 工作进度 A．35天 B．30天 C．15天 D．10天 【答案】B 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题是一元一次方程的应用的工程问题，需要特别注意的是把问题分段分析，分清每段的情况即可．首先求出甲的工作效率为，然后设乙的工作效率为x，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：甲自己做需天， ∴甲的工作效率为 设乙的工作效率为x， 根据题意得，， 解得 ∴乙的工作效率为， ∴若乙单独完成这项工作，则需30天． 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）某排水管道工程由甲、乙两个工程队单独铺设分别需要18天、12天完成．现在先由两队从两端同时施工6天，然后由甲队单独施工完成，甲队还需要 天． 【答案】3 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、列出方程是解题的关键． 设甲队还需要x天完成，然后根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设甲队还需要x天完成， 由题意可得：，解得：． 所以甲队还需要3天． 故答案为：3． 3．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件．且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用80元、付乙厂每天费用120元． (1)求这批校服共有多少件？ (2)为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度也提高25%，乙工厂单独完成剩余部分．且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天？ 【答案】(1)这批校服共有960件 (2)乙工厂共加工28天 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）设这批校服共有件，由单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天得：，即可解得答案； （2）设甲工厂加工天，则乙工厂共加工天，根据题意可得方程，即可解得答案． 【详解】（1）解：设这批校服共有件， 由题意得：， 解得：， 答：这批校服共有960件； （2）解：设甲工厂加工天，则乙工厂共加工天，根据题意得： ， 解得， （天， 答：乙工厂共加工28天． 【题型三】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【例3】（24-25七年级上·江苏南通·期末）某商品先按进价提高标价，后又降价元后销售，此时的售价为元，则该商品的进价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了实际问题与一元一次方程，理解题意正确列出相应的一元一次方程是解题的关键． 根据题意可以列出相应的一元一次方程，即可得解． 【详解】解：设该商品的进价为元， 可列方程：， ， ， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）小华开店，某次卖出两件商品，一件赚了，另一件赔了，售价都是135元/件，在这次买卖中小华是（    ） A．不赔不赚 B．赚18元 C．赔18元 D．无法判断 【答案】C 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．设赚了的商品进价为a元，赔了的商品进价为b元，根据卖价都是135元分别列方程求出进价，即可得到答案． 【详解】解：设赚了的商品进价为a元， 则， 解得：； 设赔了的商品进价为b元， 则， 解得：， ， 即这次买卖过程中，小华赔了18元， 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）一件羽绒服，商家先是在进价的基础上提高标价，然后以8折的价格售出，可获利96元．设进价为x元，可列方程为 ． 【答案】 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．利用利润进价×折扣率-进价，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）泗洲商场经销甲、乙两种商品，平时甲种商品每件售价80元，每件的利润为30元；乙种商品每件进价40元，售价60元．在“元旦”期间，同时对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：①购物总金额不超过300元的商品不优惠；②购物总金额超过300元，但不超过500元的商品打九折；③购物总金额超过500元的商品打八折． (1)甲种商品每件的进价为______元，若活动期间一次性购物总金额是400元，实际应付______元； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，总进价用去2600元，求商场在平时可以盈利多少元？ (3)按“元旦”期间优惠条件，小明一次性购买了乙种商品，实际付款是432元，求商场实际利润是多少元？ 【答案】(1)50，360； (2)商场在平时可以盈利1400元； (3)商场实际利润是72或112元． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用甲种商品每件的进价=甲种商品每件的售价-每件的利润，可求出甲种商品每件的进价，由，利用实际付款金额=一次性购物总金额，即可求出实际付款金额； （2）设该商场购进x件甲种商品，则购进件乙种商品，利用进货总价=进货单价购买数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论； （3）设小明一次性购买了y件乙种商品，根据实际付款是432元，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：甲种商品每件的进价为元， ， 活动期间一次性购物总金额是400元，实际应付元 故答案为：50；360． （2）解：设该商场购进x件甲种商品，则购进件乙种商品， 根据题意得：， 解得：， 元 答：商场在平时可以盈利1400元． （3）解：设小明一次性购买了件乙种商品， 根据题意得：或， 解得：或， 当时，元 当时，元 答：商场实际利润是72或112元． 【题型四】比赛积分(一元一次方程的应用) 【例4】（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）某初中学校七年级举行“数学知识应用能力竞技”活动，测试卷由20道题组成，答对一题得5分，不答或答错一题扣1分，某考生的成绩为82分，则他答对了 道题． 【答案】17 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】设答对道题，则不答或答错题，由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设答对道题，则不答或答错题， 由题意得，， 解得，， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【举一反三】 1．（七年级上·江苏盐城·期末）某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 A 18 14 4 32 B 18 11 7 29 C 18 9 9 27 根据表格提供的信息，可知胜一场积 分． 【答案】2 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】根据C队情况确定胜一场和负一场共积3分，然后设胜一场积x分，则负一场积（3﹣x）分，根据A队情况列出一元一次方程并求解即可． 【详解】解：观察C队情况，可知胜一场和负一场的积分之和为27÷9=3分． 设胜一场积x分，则负一场积（3﹣x）分． 根据A队情况得14x+4（3﹣x）＝32． 解得x＝2． ∴胜一场积2分． 故答案为：2． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键． 2．（2023七年级上·全国·专题练习）某次知识竞赛共20道题，每答对一题得5分，答错或不答要扣1分．某选手在这次竞赛中共得70分，那么他答对几道题？ 【答案】15道 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】设答对x道题，则答错或不答道题，根据答题对得分减答错或不答题扣分等于共得70分列方程，解答即得． 【详解】设答对x道题，则答错或不答道题， 根据题意得：， 解得：． 答：他答对15道题． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用——积分问题．解决问题的关键是熟练掌握总题数与答对题数和答错或不答题数的关系，总得分与答对题得分和答错或不答题得分的关系． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）某校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 (1)观察表格数据并填空，参赛者答对1道题得______分，答错1道题得______分； (2)参赛者小明得80分，他答对了几道题？ 【答案】(1)6，； (2)小明答对了15道题． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用答对道题得分参赛者的得分参赛者答对题目数，可求出答对道题得分；利用答错道题得分参赛者的得分答对道题得分参赛者答对题目数，即可求出答错道题得分； （2）设小明答对了道题，则答错道题，利用小明的得分答对题目数答错题目数，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：参赛者答对道题得分 答错道题得分 故答案为：6，； （2）设小明答对了道题，则答错道题， 根据题意得：， 解得： 答：小明答对了道题． 【题型五】方案选择(一元一次方程的应用) 【例5】（七年级上·江苏宿迁·期末）某小组有m人，计划做n个“中国结”，若每人做5个，则可比计划多做9个；若每人做4个，则将比计划少做15个． ①5m+9＝4m﹣15；②＝；③＝；④5m﹣9＝4m+15．其中正确的是（　　） A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 【答案】D 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】根据题意可以列出相应的方程，然后变形即可判断哪个小题中的方程正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 5m=n+9①，4m=n-15②， 由①得，，n=5m-9，由②得，， n=4m+15， ∴，5m-9=4m+15． 故③④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 【举一反三】 1．（七年级上·全国·专题练习）大丰新华书店推出售书优惠方案，如果李明同学一次性购书付款162元，那么李明同学所购书的原价可能是（　　） ①一次性购书不超过100元，不享受优惠 ②一次性购书超过100元但不超过200元，一律打九折 ③一次性购书超过200元，一律打八折 A．180元 B．202.5元 C．180元或202.5元 D．180元或200元 【答案】C 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】不享受优惠即原价，打九折即原价，打八折即原价，分别得出等式求出答案． 【详解】解：∵，，， ∴一次性购书付款162元，可能有两种情况． 当购买的书款9折销售时，设原价为x元，根据题意可得： ， 解得：， 当购买的书款8折销售时，设原价为y元，根据题意可得： ， 解得：， 故李明所购书的原价一定为180元或202.5元． 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次方程的运用，解题的关键是理解售书的三种方案． 2．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）某学校组织秋游，原计划用40座的客车若干辆，则10人没有座位；如果用同样数量的50座客车，则多出2辆，且其余全部坐满．参加秋游的学生一共有 名． 【答案】 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】设原计划用车辆，根据题意参加秋游的学生人数可列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设原计划用车辆，依题意有 ， 解得， ． 故参加秋游的学生一共有名． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答． 3．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）学校组织趣味运动会，需要购买一批跳绳，已知甲、乙两商店每根跳绳规格一样，且标价相同．商家现推出如下促销方案： 甲商店促销方案：每根跳绳标价打八五折后，在总价的基础上再优惠12元； 乙商店促销方案：买四送一． 学校打算在其中一家商店购买20根跳绳． (1)若在乙商店买，则实际需要支付______根跳绳的费用； (2)小明发现同样是购买20根这种跳绳，按照各自促销方案，在乙商店购买比在甲商店购买便宜8元．求每根跳绳的标价． 【答案】(1)16 (2)20元 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据买四送一，买16根送4根．故实际需要支付16根跳绳的费用即可； （2）设每根跳绳的标价为元．根据题意，得．解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据买四送一，买16根送4根．故实际需要支付16根跳绳的费用即可， 故答案为：16． （2）解：设每根跳绳的标价为元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 答：每根跳绳的标价为20元． 【题型六】数字问题(一元一次方程的应用) 【例6】（23-24七年级上·江苏常州·期中）如图，将正整数1至1000按一定规律排列，整体平移表中带阴影的三个方框，平移后被方框遮住的三个数的和可能是（    ）    A．1002 B．1004 C．1006 D．1008 【答案】C 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设第一个数为，则第二个数为，第三个数为，三个数的和为，分别让三个数的和，等于选项中的各数，求出的值为正整数，即可．解题的关键是正确的表示出三个数． 【详解】解：设第一个数为，则第二个数为，第三个数为， ∴三个数的和为， 当时，；不符合题意； 当时，；不符合题意； 当时，；符合题意； 当时，；不符合题意； 故选C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）据记载，幻方起源于我国古代的洛书．如图是一个三阶幻方，要求每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等．已知都是正整数，，且满足，则其中的值为（   ） a c m d b A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据每行和对角线上的数字之和相等，即可得出关于m的一元一次方程，求解即可得出结论． 【详解】已知都是正整数，， ∵， ∴， ∴第一行第3个方格中的数为， ∵第2行及对角线上的三个数之和相等， ∴， 即， 解得， 故选：B． 2．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）有一个五位正整数，在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个五位数相减，得数是，则这个五位数是 ． 【答案】20121 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据原数是一个五位整数，在它的某位数字前加上一个小数点，再和这个五位数相减，得数是，小数点后面有两位小数，得出一定是在百位和十位之间加的小数点．也就是所得的数的小数点向左移动了两位，即缩小了100倍．设这个五位数是x，则在它的某位数字前面加上一个小数点，得出的数为，根据这两个数的差为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个五位数是x，则在它的某位数字前面加上一个小数点，得出的数为，根据题意得： ， 解得：， 故答案为：20121． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）数学综合与实践课上，王老师和同学们一起利用循环小数的循环规律，根据设计了“”的图案（教材第70页）．我们知道分数可以写成小数，反过来，无限循环小数可以写成分数，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．我们以无限循环小数为例进行探究：设…，两边同乘以10得：，即，解得， ∴．请仿照这一方法解决以下问题： (1)无限循环小数写成分数为 ． (2)大小比较： 　　1．（选填“＞”“＝”或“＜”） (3)请把无限循环小数写成分数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题干转化思想是解题关键． （1）设，两边同乘以10，得到，求出的值； （2）设，两边同乘以10，得到，求出，即可得到答案； （3）设，两边同乘以100得到，解得：，再根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 两边同乘以10得：，即， 解得：，即无限循环小数写成分数为， 故答案为； （2）解：设， 两边同乘以10得：，即， 解得：，即无限循环小数写成， 即， 故答案为：； （3）解：设， 两边同乘以100得，，即， 解得：，即无限循环小数写成分数为， 则． 【题型七】几何问题(一元一次方程的应用) 【例7】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）一块矩形草坪的长比宽多10米，它的周长是132米，求宽所列的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． 【详解】解：依题意得：． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形，其中．长方形的面积是(   ) A．120 B．130 C．140 D．150 【答案】C 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；设． 根据正方形的性质和线段的和差关系即可得出和．求出长方形的长和宽，再用长宽即可得出长方形的面积． 【详解】设，则，， ， ， ， 长方形的长为：， 宽为：． 所以长方形的面积为：． 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，点P的运动路径是，运动速度为．则点P的运动时间为 时，的面积是面积的一半． 【答案】4或11 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了三角形的面积公式，一元一次方程的应用．分两种情况：点P在上和P在上，然后利用三角形面积公式列出方程解决问题． 【详解】解：设点P的运动时间为x秒时，的面积是面积的一半． 当P在上时， ∵在中，，，，点P是边上的一个动点，点P的运动路径是，运动速度为， ∴， ∴， ∴； 当P在上时，，，， ∵的面积是面积的一半， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4或11． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）列方程解应用题：对联是中华传统文化的瑰宝：对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，一般情况下，天头长和地头长的比为，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．若某副对联长为，宽为，装裱后的周长与装裱前的周长比为．求天头长． 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，依题意，设天头长为，则地头长为，再列式，解出，即可作答． 【详解】解：依题意，设天头长为，则地头长为， ∵左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的． 则 ∴边宽为． ∴ ∴ ∴． 答：天头长为． 【题型八】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【例8】（24-25七年级上·江苏南京·期末）甲队有工人96人，乙队有工人72人，如果要求乙队的人数是甲队人数的，设应从乙队调x人到甲队，则列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 根据等量关系：乙队调动后的人数甲队调动后的人数，列出一元一次方程即可． 【详解】解：设应从乙队调x人到甲队， 此时甲队有人，乙队有（）人， 根据题意可得：． 故选：C． 【举一反三】 1．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）为迎接新年到来，光明中学开展制作“中国结”活动，七（1）班有m人，打算制作n个“中国结”，若每人做4个，则可比计划多做2个；若每人做2个，则将比计划少做58个，现有下列四个方程：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得， ， ， 故①③正确， 故选A． 2．（24-25七年级上·江苏南通·期末）小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是116岁的老寿星了，哈哈！”则小明的爷爷现在 岁． 【答案】64 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设小明的年龄为x岁，则小明爷爷比小明大岁，小明爷爷的年龄为岁，根据“小明到爷爷的年龄时，爷爷已经116岁了”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，进一步计算即可求出结论． 【详解】解：设小明的年龄为x岁，则小明爷爷比小明大岁，小明爷爷的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴（岁）， ∴小明爷爷的年龄为64岁． 故答案为：64． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）在国家“双减”政策出台后，同学们的课余活动更加丰富了，为迎接元旦活动，七（1）班美术兴趣小组要完成学校布置的剪纸作品任务，如果每人剪10个，则剩余6张彩纸未剪；如果每人剪12个，则缺6张彩纸，这个小组的学生共有多少人？一共剪多少张彩纸？ 【答案】这个小组共有6名学生．一共剪66张彩纸 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设这个小组有x名学生，根据彩纸数量列方程即可解得答案． 【详解】解：设这个小组有x名学生，则彩纸共有张， 根据题意得：， 解得：， （张）， 答：这个小组共有6名学生，一共剪66张彩纸． 【题型九】行程问题(一元一次方程的应用) 【例9】（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）A，B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设两车相距时，行驶的时间为小时，相距要从相遇前和相遇后； 追及前和追及后，快车已到终点几个方面考虑，共计种情况，经计算检验数据是否符合题意． 【详解】解：设两车相距时，行驶的时间为小时，依题意得： 当快车从地开往地，慢车从地开往地，两车相距时， 则有：，解得； ②当快车继续开往地，慢车继续开往地，相遇后背离而行，两车相距时，，解得 ； ③快车从地到地全程需要(小时)，此时慢车从地到地行驶， ， ∴快车又从地返回地是追慢车，则有：， 解得 ； ④快车追上慢车后并超过慢车相距时，则有，解得 ； ⑤快车返回地终点所需时间是小时，此刻慢车行驶了 ，距终点还需行驶，则有：，解得 ； 综上所述，两车恰好相距的次数为次． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）一道来自课本的习题的变式：甲地到乙地全程，先是一段上坡后是一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走那么从甲地到乙地需，甲地到乙地上坡路和平路各是多少？如果设甲地到乙地上坡路是，下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一元一次方程，设甲地到乙地上坡路是，则平路是，根据从甲地到乙地需为等量关系，列出一元一次方程即可． 【详解】解：设甲地到乙地上坡路是，则平路是， 根据题意可知：， 故选：C 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）一书，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”译文是：“跑得快的马每天走240 里，跑得慢的马每天走150 里．慢马先走12 天，快马几天可以追上慢马？”若慢马和快马从同一地点出发，设快马x 天可以追上慢马，则可以列方程为 ． 【答案】 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元一次方程是解题的关键．设快马x天可以追上慢马，根据慢马先行的路程快慢马速度之差快马行走天数，即可列出关于x的一元一次方程． 【详解】解：设快马x天可以追上慢马， 由题意，得， 故答案为： 3．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）一天，小颖从学校出发步行回家，与此同时她的爸爸恰好从家出发步行到学校，小时后两人在路上相遇．已知小颖的家距离学校，小颖比她爸爸的步行速度每小时快，请利用方程求小颖的步行速度． 【答案】5． 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了用一元一次方程解决行程问题，根据题意设小颖的速度为，进而也可以用x表示出爸爸的速度，根据公式得到方程即可； 【详解】解：设小颖的步行速度为，则小颖爸爸的步行速度为，由题意可列出方程： ， 解得：， 答：小颖的步行速度为5． 【题型十】比例分配(一元一次方程的应用) 【例10】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）元旦联欢会上，班长买了一些糖果分给全班同学．若每人分3颗，则余25颗；若每人分4颗，则少20颗．则班长共买了（       ）颗糖果 A．180 B．45 C．160 D．135 【答案】C 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设班长共买了颗糖果，根据等量关系列出方程并解方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设班长共买了颗糖果，依题意得： ， 解得：． ∴班长共买了160颗糖果． 故选：C. 【举一反三】 1．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）比例的两个内项分别为2和5，两个外项分别为x和2.5，则x的值为 ． 【答案】4 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积，列方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查比例的基本性质：内项之积等于外项之积． 2．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）有m辆客车n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【答案】②③ 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，考查列方程解应用题的能力，寻找相等关系是关键．根据总的人数不变及总的客车数量，分别列方程，然后逐一判断即可． 【详解】解：根据人数相等列方程为：； 根据车数相等列方程为：， 即正确的是②③， 故答案为：②③． 3．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）某洗衣机厂生产三种型号的洗衣机共1500台，已知三种型号的洗衣机的数量比是，则三种型号的洗衣机各生产多少台？ 【答案】 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】设三种型号三种洗衣机分别生产台，由于洗衣机厂今年计划生产洗衣机1500台，由此即可列出方程，解方程即可求出结果． 【详解】解：设三种型号三种洗衣机分别生产台， 依题意得：， 解得：， ∴， ， 答：三种型号三种洗衣机分别生产． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，此题首先根据三种洗衣机的数量比为设未知数，然后根据今年计划生产洗衣机的总台数列出方程，由此即可解决问题． 【题型十一】日历问题(一元一次方程的应用) 【例11】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）小慧在月历上圈出四个数，并计算出它们的和为36，这四个数所在位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程在日历问题中的应用，明确日历中上下行及左右相邻数之间的关系是解题的关键．日历中的每个数都是整数且上下相邻是，左右相邻差，根据题意列方程可解． 【详解】解；A．设最小的数是x，则， 解得，不是正整数，故本选项不符合题意； B．设最小的数是x，则， 解得，不是正整数，故本选项不符合题意； C．设最小的数是x，则， 解得，故本选项符合题意； D．设最小的数是x，则， 解得：，不是正整数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）日历中蕴藏着有趣的数学规律，图1是2024年11月的日历，用笔在日历中任意框出两组呈斜对角线交叉的5个数．若在日历中用笔框中的五个数分别表示为a，b，c，d，m（如图2），且，则m的值为（   ） A．12 B．13 C．15 D．19 【答案】D 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类．根据日历中的数据，可用含m的代数式表示出a，b，c，d的值，结合，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 解得：． 故选：D． 2．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）小丽在日历表上圈出数列三个数，她算出这三个数的和27，那么最小的日期是 号． 【答案】2 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设最小的日期是x号，则二列的日期为：号，第三列的日期为：号，根据题意，列出关系x的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：设最小的日期是x号，则二列的日期为：号，第三列的日期为：号 根据题意：， 即： 解得：， 故答案为：2． 3．（24-25七年级上·江苏·假期作业）（1）吉姆同学在某月的日历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么第一个数是 ； （2）玛丽也在上面的日历上圈出个数，斜框内的四个数的和是，则它们分别是 ； （3）莉莉也在日历上圈出个数，呈十字框形，它们的和是，则中间的数是 ； （4）某月有个星期日的和是，则这个月中最后一个星期日是 号； （5）若干个偶数按每行个数排成下图： ①图中方框内的个数的和与中间的数有什么关系 ； ②汤姆所画的斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ； ③托马斯也画了一个斜框，斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ． 【答案】（1）；（2），，，；（3）；（4）；（5）①和是中间的数的9倍；②；③ 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，掌握日历或数表上的相邻数间的关键是解题的关键． （1）设第一个数是，则其他的数为，，，列式求解即可； （2）设第一个数是，则其他的数为，，，列式求解即可； （3）设中间的数是，其他的数为，，，，列式求解即可； （4）设最后一个星期日是，，，，，列式求解即可； （5）①先根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，求和可得和是中间的数的9倍； ②利用和是中间的数的9倍列式求解即可； ③利用和是中间的数的9倍列式求解即可． 【详解】解：（1）设第一个数是， 则其他的数为，，， 则， 解得：， 故答案为：； （2）设第一个数是， 则其他的数为，，， 则， 解得：， ，， 故答案：，，，； （3）设中间的数是， 则其他的数为，，，， 则， 解得：， 故答案为：； （4）设最后一个星期日是，，，，， 则， 解得：， 故答案为：； （5）①设中间的数是，其他的数为，，，，，，，， 则和为， 故答案为：和是中间的数的9倍； ②根据规律可知，和是中间的数的9倍， 设中间的数是， 则， 解得：， 故答案为：； ③设中间的数是， 则， 解得：， 故答案为：． 【题型十二】古代问题(一元一次方程的应用) 【例12】（24-25七年级上·江苏南通·期末）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？甲、乙两人所列方程如下，下列选项判断正确的是（   ） 甲：设竿子长为x尺，根据题意可列方程为； 乙：设绳索长为x尺，根据题意可列方程为 A．甲对乙错 B．甲错乙 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】C 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键．设竿子长为x尺，根据题意可列方程；再设绳索长为x尺，根据题意可列方程，进行比较判断即可． 【详解】设竿子长为x尺，则绳子长，根据“将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺”可列方程为； 设绳索长为x尺，则杆子长为，根据“将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺”可列方程为； 故甲，乙两人所列方程都对， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）我国古代的“九宫图”是由的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行，每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算x的值是（    ） 2025 x 1 3 A．2019 B． C．2020 D． 【答案】B 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设左上角的数字为m，最中间的数为n，根据题意可得方程，，解方程即可得到答案． 【详解】解：设左上角的数字为m，最中间的数为n， 由题意得，， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏南通·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，称为“结绳记数”，如图，某农户在从右到左依次排列的绳子上打结，满7进1，来记录所采的野果数．若采集到的野果有个，则在第2根绳子上的打结数是 个． 【答案】4 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练运用类比的方法． 设在第2根绳子上的打结数是，根据满满7进1列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是， 根据题意得：， 解得，， 在第2根绳子上的打结数是个 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）“鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ (1)补全表格：若设兔有x只． 项目 只数 足数 鸡 ______ 兔 x ______ 合计 35 94 (2)请你完整的解决“鸡兔同笼”问题．（可重设未知数） 【答案】(1)见解析 (2)兔有只，鸡有只 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题主要考查了用一元一次方程解决实际问题，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程，难度一般． （1）根据上有三十五头，得出鸡和兔共有35只，设兔有x只，则鸡有只，分别根据一只鸡有2足，一只兔子有4足，表示出鸡和兔子的总足数即可； （2）根据解析中得出的结果，结合鸡、兔共94足列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵上有三十五头， ∴鸡和兔共有35只， 设兔有x只，则鸡有只，兔的足数为，鸡的足数为． 项目 只数 足数 鸡 兔 x 合计 35 94 （2）解：设兔有x只，则鸡有只，根据题意得： ， 解得：， 则（只）， 答：兔有只，鸡有只． 【题型十三】其他问题(一元一次方程的应用) 【例13】 （24-25七年级上·江苏扬州·期中）把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则还缺25本．设这个班有学生人，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是设这个班有学生x人，等量关系为图书的数量是定值，据此列方程． 【详解】解：设这个班有学生人，列方程是：， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）春节即将来临，某兴趣小组计划做一批“中国结”，如果每人做10个，那么可比计划多做6个；如果每人做9个，那么将比计划少做7个，该兴趣小组计划做多少个“中国结”？若设该兴趣小组计划做x个“中国结”，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设计划做x个“中国结”，根据如果每人做10个，那么可比计划多做了6个，如果每人做9个，那么将比计划少做7个，列出方程即可． 【详解】解：解：设计划做x个“中国结”，根据题意，得 ． 故选：A． 2．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）规定，若，则的值为 ． 【答案】20 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解新运算的定义是解题关键．先根据新运算的定义建立方程，解方程求出的值，再根据新运算的定义计算即可得． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， 解得， ∴ ， 故答案为：20． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）用一元一次方程解决问题：小丽和爸爸一起玩投篮球游戏．两人商定规则为：小丽投中1个得3分，爸爸投中1个得1分．结果两人一共投中了20个，得分刚好相等．小丽投中几个？ 【答案】5个 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意找准等量关系是解题的关系．设小丽投中个球，则爸爸投中个球，再根据两人等分相等即可列出方程． 【详解】解：设小丽投中个 由题意得： 解得： 答：小丽投中5个． 好题必刷 一、单选题 1．甲乙两人给一片花园浇水，甲单独做需要4小时完成浇水任务，乙单独做需要6小时完成浇水任务．现由甲、乙两人合作，完成浇水任务需要（    ） A．1.5小时 B．2小时 C．2.4小时 D．3.2小时 【答案】C 【分析】根据题意设完成浇水任务需要x小时，依据等量关系甲完成的工作量+乙完成的工作量=1，进而列出方程计算即可求解． 【详解】解：设完成浇水任务需要x小时，由题意可得： 解得：x=2.4． 故完成浇水任务需要2.4小时． 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程． 2．两年期定期储蓄的年利率为2．25%，按照国家规定，所得利息要缴纳20%的利息税，王大爷于2017年6月存入银行一笔钱，两年到期时，共得税后利息540元，则王大爷2017年6月的存款额为（    ） A．20000元 B．18000元 C．15000元 D．12800元 【答案】C 【分析】根据本金×利率×时间×（1-税率）=税后利息，设王大爷2017年6月的存款额为x元，列方程求解即可． 【详解】解：根据本金×利率×时间×（1-税率）=税后利息， 设王大爷2017年6月的存款额为x元， 由题意，得， 解得 故选C． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题中的等量关系，列出方程． 3．已知一根铁丝长，用这根铁丝围成一个长方形，其中长是宽的2倍，则这个长方形的长为（   ） A．9 B．10 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，这个长方形的长为，则宽是，再根据长方形周长计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：这个长方形的长为，则宽是， 由题意得，， 解得， ∴这个长方形的长是， 故选：B． 4．小明在某月的日历中圈出相邻的四个数，算出这4个数的和是42，那么这4个数在日历上的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可设第一个数为x，根据四个数字的和为42列出方程，即可求解． 【详解】解：设第一个数为x，根据已知： A、由题意得x+x+7+x+6+x+8=42，则x=5.25不是整数，故本选项不合题意． B、由题意得x+x+1+x+2+x+8=42，则x=7.75不是整数，故本选项不合题意． C、由题意得x+x+1+x+7+x+8=42，则x=6.5是整数，故本选项符合题意． D、由题意得x+x+1+x+6+x+7=42，则x=7是正整数，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，关键是根据题意对每个选项列出方程求解论证． 5．有一位工人师傅从直径为的圆柱形钢材中截取一段，用来铸造一个直径为，高为的圆柱形毛坯，则应截取圆柱形钢材的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，圆柱体体积相等构造一元一次方程解题是解题的关键． 【详解】设截取圆柱形钢材的高度为， 根据题意，得， 解得， 所以应截取圆柱形钢材的高度为， 故选D． 6．一项工程，甲队单独完成需要天，乙队单独完成需要天．若先由甲队单独做天，剩下部分由甲、乙两队合作完成，则还需要的天数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设甲、乙两队合作完成还需的天数为天，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间，列出方程，即可． 【详解】设甲、乙两队合作完成还需的天数为天， ∵甲队单独完成需要天，乙队单独完成需要天 ∴甲队的工作效率为：，乙队的工作效率为：，甲、乙两队合作的工作效率为：， ∴ 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握一元一次方程的实际运用． 7．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人现调人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，问应调往甲、乙两处各多少人？设应调往甲处人，则所列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应调往甲处人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应调往甲处人， 由题意可得，， 故选：． 8．把一些图书分给七（2）班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．这个班有多少名学生？设这个班有x名学生，根据题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据两种分法书的本数不变可列方程为：，进而可得答案． 【详解】解：设这个班有x名学生，根据题意得： ； 故选B． 9．某书店推出如下优惠方案：（1）一次性购书不超过100元不享受优惠；（2）一次性购书超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购书超过300元一律八折．某同学两次购书分别付款80元、252元，如果他将这两次所购书籍一次性购买，则应付款（    ） A．288 B．360 C．288或316 D．360或395 【答案】C 【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100，即是80元，第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过300元一律9折；一种是购物超过300元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数． 【详解】解：（1）第一次购物显然没有超过100， 即在第一次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元； （2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： 第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的， 设第二次实质购物价值为x元，那么依题意有0.9x=252，解得：x=280； 第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的， 设第二次实质购物价值为y元，那么依题意有0.8x=252，解得：x=315， 即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元， 综上所述，他两次购物的实质价值为80+280=360（元）或80+315=395（元），均超过了300元，因此可以按照8折付款： 360×0.8=288元或395×0.8=316元，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题考查方程的应用问题，解题关键是第二次购物的252元可能有两种情况，需要讨论清楚，本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种． 10．如图，甲､乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环形，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2019次相遇在哪条边上?（    ） A．AD B．DC C．BC D．AB 【答案】C 【分析】设出正方形的边长，甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，第二次相遇地点，第三次相遇地点，第四册相遇地点，找出规律，发现四次一循环即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为a，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知： ①第一次相遇甲乙行的路程和为2a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AD边的中点相遇； ②第二次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在CD边的中点相遇； ③第三次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在BC边的中点相遇； ④第四次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AB边的中点相遇； ⑤第五次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AD边的中点相遇； …… 四次一个循环，因为，所以它们第2019次相遇在边BC中点上． 故选择C． 【点睛】本题主要考查图形行程中的相遇问题应用题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题． 二、填空题 11．某班级有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少，若设女生人数为，则由题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据题意，列出方程，即可． 【详解】解：设女生人数为 ∵班级有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少， ∴方程为：． 故答案为：． 12．某种商品的进价为20元，标价为x元，由于该商品积压，商店准备按标价的8折销售，可保证利润率达到20%，则标价为 元． 【答案】30 【分析】设标价为x元，根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设标价为x元， 依题意，得：0.8x﹣20＝20×20%， 解得：x＝30． 故答案为：30． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的实际应用，弄清题意，找出题目中的等量关系式是解此题的关键. 13．某县由种玉米改为种优质杂粮后，今年农民人均收入比去年提高了，今年农民人均收入比去年的1.5倍少1200元．问这个县去年农民人均收入多少元？若设这个县去年农民人均收入为x元．则今年农民人均收入既可以表示为 ，又可以表示为 ，因此可列方程 ． 【答案】 元 元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，本题中有两个已知信息，①今年农民人均收入比去年提高了，②今年农民人均收入比去年的1.5倍少1200元，因为今年农民人均收入不变，所以本题中等量关系为；因此若设去年农民人均收入为元，则可以根据①②分别表示出今年农民人均收入，根据等量关系即可列出方程． 【详解】解：设这个县去年农民人均收入为元， 则今年农民人均收入既可以表示为元，又可以表示为元， 因此可列方程． 故答案为：元；元；． 14．若一个角比它的余角大，则这个角等于 【答案】/60度 【分析】设这个角等于，则它的余角等于，再根据余角的定义建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设这个角等于，则它的余角等于， 由题意得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了余角、一元一次方程的应用，熟记和为的两个角互为余角是解题关键． 15．文化体验 合并同类项的来源 公元820年左右，中亚细亚数学家阿尔一花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》．顾名思义，就是将方程中各项成对消除的意思．相当于现代解方程中的“合并同类项”．在我国也有相同的著作，明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问：顶层几盏灯？”（倍加增指从塔的顶层到底层加倍递增）．请你算出塔的顶层有 盏灯． 【答案】3 【分析】要求塔的顶层有几盏灯，就要先设出求知数，再根据倍加增求出各层的灯数，然后根据共灯三百八十一的等量关系列出方程求解． 【详解】解：设顶层有盏灯． 根据题意得：， 解得：． 因此塔的顶层有3盏灯． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 16．若数轴经过折叠，﹣5表示的点与3表示的点重合，则10表示的点与数 表示的点重合． 【答案】−12 【分析】根据题意找出折叠处的数字，再找到与10重合的点即可． 【详解】﹣5表示的点与3表示的点重合，可见−5和3重合时，折叠处数字为−1，设10与x重合，则，x=−12， 故答案为：−12． 【点睛】本题考查了数轴及数轴上两点间的中点，熟记中点数的求法是解题的关键，如果用、表示数轴上的任意两点，那么两点之间的中点所表示的数为． 17．运一堆煤，已经运了，如果再运50吨，则剩下的煤比原来的还多10吨，这堆煤原来有多少吨？设这堆煤原来有吨，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系．设这堆煤原来有吨，根据已经运了，则还剩下吨，再根据剩下的煤比原来的还多10吨，列出方程即可． 【详解】解：设这堆煤原来有吨，则：， 故答案为：． 18．请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”诗句中谈到的鸦为 只，树为 棵． 【答案】 20 5 【分析】认真阅读题目，仔细分析题意， 找出题目中鸦数的等量关系：3×树的棵数+5=5×（树的棵数-1），列出方程，把相关数值代入可得树的棵数，解这个方程，求出树的棵数，据此解答. 【详解】设有x棵树，根据题意得 3x+5=5(x-1)， 解得：x=5， 3x+5=35+5=20 故答案为20；5 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解. 三、解答题 19．某县准备用灯饰美化广场，需用A､B两种不同类型的灯笼共200个，且B种灯笼的个数是A种灯笼的，求A，B两种灯笼各需多少个． 【答案】A､B两种灯笼分别需要120个，80个 【分析】首先设A种灯笼需x个，则B种灯笼个数＝A种灯笼个数× ，根据关键语句“需采用A、B两种不同类型的灯笼200个”可列出一元一次方程，再解即可. 【详解】解：设A种灯笼需x个，则B种灯笼需个， 根据题意，得， 解这个方程，得， 则． 即A､B两种灯笼分别需要120个，80个． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，抓住题目中的关键语句，找出等量关系，列出方程． 20．如图，天平的两个盘内分别盛有102g和96g的糖，问应从盘A中拿出多少糖放到盘B中，才能使两者所盛糖的质量相等？ 【答案】从盘A中拿出糖放到盘B中，才能使两者所盛糖的质量相等 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设从盘A中拿出糖放到盘B中，根据两者所盛糖的质量相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设从盘A中拿出糖放到盘B中，由题意，得： ， 解得：； 答：从盘A中拿出糖放到盘B中，才能使两者所盛糖的质量相等． 21．小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：的解为，而；的解为，而；于是，小东将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x＝b﹣a，则称之为“奇异方程”．请和小东一起进行以下探究： （1）方程是“奇异方程”吗？如果是，请说明理由；如果不是，也请说明理由． （2）若a＝﹣1，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由． （3）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）为奇异方程，解关于y的方程：． 【答案】（1）是，理由见详解；（2）不存在，理由见详解；（3） 【分析】（1）根据题中所给“奇异方程”的定义进行求解即可； （2）假设-x+b=0是“奇异方程”，则满足x=b+1，然后代入方程求解即可； （3）由题意易得，则有，然后代入关于y的方程中进行求解即可． 【详解】解：（1）由可得：， ∵， ∴方程是“奇异方程”； （2）由a＝﹣1可知-x+b=0，假设该方程是“奇异方程”， ∴x=b+1=， ∴该方程无解， ∴不存在这样的一个方程； （3）∵关于x的方程ax+b＝0（a≠0）为奇异方程， ∴，即， ∴原方程变为， 解得：． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 22．为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过，A，B两类物质排放量之和不超过．已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为．经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为．判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由． 【答案】符合“标准”，理由见解析． 【详解】解：这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”，理由如下： 设技术改进前该汽车的A类物质排放量为，则该汽车的B类物质排放量为， 根据题意得， 解得， ∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量为， ∵“标准”要求A类物质排放量不超过， ∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”． 23．桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度． 【答案】火车的长度是300m，车速是30m/s 【分析】设火车车身长为xm，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设火车车身长为xm，根据题意，得： ， 解得：x＝300， 所以． 答：火车的长度是300m，车速是30m/s． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 24．某商家在“618购物节”活动中将某种服装按成本价加价40%作为标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件服装仍可获利15元，这件服装的实际售价是多少元？ 【答案】140元． 【分析】设衣服的成本价为x元，根据售价−成本价＝利润列出方程求解即可． 【详解】解：设这件服装的成本价为x元， 根据题意列方程得：x（1＋40%）×80%−x＝15， 解得x＝125， 经检验x＝125是方程的解， ∴实际售价为：125×（1＋40%）×80%＝140（元）， 答：这件服装的实际售价是140元． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，根据售价−成本价＝利润列出方程是解题的关键． 25．某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共只，购进只节能灯的进货款恰好为元，达两种节能灯的进价、预售价如下表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 (1)求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ (2)在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只． 【答案】(1)购进甲种型号的节能灯只，购进乙种型号的节能灯只 (2)乙型节能灯按预售价售出的数量是只 【分析】（1）设该商店购进甲种型号的节能灯x只，则可以购进乙种型号的节能灯只，根据“购进只节能灯的进货款恰好为元”列方程，解方程即可求解； （2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只，由两种节能灯共获利元列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设该商店购进甲种型号的节能灯x只，则可以购进乙种型号的节能灯只， 由题意可得：， 解得：，（只）， 答：该商店购进甲种型号的节能灯只，购进乙种型号的节能灯只； （2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只， 由题意得， 解得：， 答：乙型节能灯按预售价售出的数量是只． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 26．育才学校组织七、八年级老师到省内参加研讨会，需要租用大巴车接送老师往返学校和参会地，现租赁公司有25座和45座两种型号的大巴车可供选择． (1)已知25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车的租金便宜80元，学校第一天租用2辆45座和5辆25座大巴车，共付租金1140元，则学校租用25座和45座大巴车每辆每天的租金各是多少元？ (2)因为第二天学习内容主要针对七年级的老师，所以八年级的老师不用参加，因此要重新确定租车方案．现有如下两种选择： 方案一：全部租用25座的大巴车，则有一辆车空出15个座位； 方案二：全部租用45座的大巴车，刚好坐满且比只租用25座的大巴车少租3辆． 请分别计算出使用两种方案所需要的租金，并说明哪种方案更省钱． 【答案】(1)25座的客车每辆每天的租金为140元，45座的客车每辆每天的租金为220元 (2)方案一840元，方案二660元，方案二更省钱 【分析】（1）设25座的客车每辆每天的租金为元，则45座的客车每辆每天的租金为元，根据“租用2辆45座和5辆25座大巴车，共付租金1140元”列方程求解即可得到答案； （2）设这个学校七年级老师共有名，根据等量关系列出方程，可得的值，然后再根据老师的人数分别计算方案一和方案二的费用，再进行比较． 【详解】（1）解：设25座的客车每辆每天的租金为元，则45座的客车每辆每天的租金为元， 则：， 解得：， ， 答：25座的客车每辆每天的租金为140元，45座的客车每辆每天的租金为220元； （2）解：设这个学校七年级老师共有名， 则， 解得：， 租45座客车数量： 方案一的费用：（元）， 方案二的费用：（元）， ， 答：方案二更省钱． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的等量关系是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$