第12讲 二元一次方程组及其解法（知识清单+7大题型+好题必刷）核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（沪科版2024）

第12讲 二元一次方程组及其解法（知识清单+7大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 二元一次方程的定义 题型二 代入消元法 题型三 加减消元法 题型四 已知二元一次方程组的解求参数 题型五 二元一次方程组的特殊解法 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型七 方程组相同解问题 知识清单 知识点1．二元一次方程的定义 （1）二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 知识点2．二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 知识点3．解二元一次方程 二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 知识点4．二元一次方程组的定义 （1）二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 知识点5．二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 知识点6．解二元一次方程组 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 题型练习 【题型一】二元一次方程的定义 【例1】（23-24七年级·安徽芜湖·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为（    ）． A．1或 B．1 C． D．0 【举一反三】 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．1 2．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）若是关于x、y的二元一次方程，则的值 ． 3．如果是关于x、y的二元一次方程，求m的值． 【题型二】代入消元法 【例2】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）已知方程，若用含的代数式表示，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）解方程组时， 把①代入②， 得（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）已知方程，用关于x的代数式表示y，则 ． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程组：． 【题型三】加减消元法 【例3】（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知那么的值是（        ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知有理数x，y，z满足方程组，则等于（    ） A． B．6 C． D．0.6 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（，为常数）．例如，当，且时，． （1）当，且时， ； （2）若， ； 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）解方程组： 【题型四】已知二元一次方程组的解求参数 【例4】 已知是二元一次方程的解，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．2 【举一反三】 1． 小亮求得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数△和■，请你帮他找回这两个数，△和■表示的数分别为（    ） A．9，2 B．，2 C．5，2 D．5，4 2． 方程组的解为则■+▲= ． 3．（2025七年级·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【题型五】二元一次方程组的特殊解法 【例5】 若关于、的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C．． D． 【举一反三】 1． 已知方程组，则 ． 2． 若x，y满足等式：，且，则的值等于 ． 3． 在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的、分别看作一个整体，通过换元：设、，可以将原方程组化为，解得，把代入、，得，解得，所以原方程组解为． (1)若方程组的解为，则方程组的解为_____； (2)若方程组的解为，其中为常数．求方程组的解． 【题型六】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例6】 已知实数，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．若关于，的方程组的解满足，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D．5 2．要使方程组有正整数解，则整数有 个． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求k的值． (2)无论实数k取何值，方程总有一个公共解，直接写出该公共解． 【题型七】方程组相同解问题 【例7】已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【举一反三】 1．已知关于、的方程组和方程组有相同的解，那么的值为 ． 2．（23-24七年级·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值． 3．已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m，n的值． 好题必刷 一、单选题 1．二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．用加减法解方程组，下列方法中比较简便的是（    ） A．①＋② B．①－② C．①×2＋② D．②×1＋① 3．用代入法解方程组有以下步骤：以下解法，造成错误的一步是（      ） （1）由①，得 ，（2）把③代入①，得 ；（3）整理得 ；（4）∴x可取一切有理数，原方程组有无数个解． A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 4．下列方程组中，有无数组解的是（   ） A． B． C． D． 5．二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 6．下面四组数值中，哪一个是二元一次方程组的解（   ） A． B． C． D． 7．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　） A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3 8．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程组x-3y=8的解，则k等于（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 9．已知关于x，y的方程组，以下结论：①当k=0时，方程组的解也是方程的解；②存在实数k，使得x+y=0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y=6则k=1．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①② 10．解关于x，y的二元一次方程组时，一学生把c看错而得到，而正确的解是，则a，b，c的值分别是（    ） A．，， B．，， C．a，b不能确定， D．a，b不能确定， 二、填空题 11．已知，用含的代数式表示，得 ． 12．已知 ，（请用含有的式子表示） 13．如果关于，y的方程是二元一次方程，那么 ． 14．将中x的系数化为2，则原方程变为 ． 15．已知方程，用关于的代数式表示，则 ． 16．若关于，的二元一次方程组，则 ． 17．当时，二元一次方程和关于、的方程有相同的解，则的值为 ． 18．对实数a，b，定义运算“◆”：，例如，因为，所以，若x，y满足方程组则 ． 三、解答题 19．解下列方程组： (1) (2) 20．解方程组： 21．解方程组 （1）            （2） 22．用加减法解下列方程组： (1) (2) 23．解方程组 (1) (2) 24．用适当的方法解方程组： (1) (2) 25．用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 26．解下列方程组 (1) (2) (3) (4) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 二元一次方程组及其解法（知识清单+7大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 二元一次方程的定义 题型二 代入消元法 题型三 加减消元法 题型四 已知二元一次方程组的解求参数 题型五 二元一次方程组的特殊解法 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型七 方程组相同解问题 知识清单 知识点1．二元一次方程的定义 （1）二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 知识点2．二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 知识点3．解二元一次方程 二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 知识点4．二元一次方程组的定义 （1）二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 知识点5．二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 知识点6．解二元一次方程组 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 题型练习 【题型一】二元一次方程的定义 【例1】（23-24七年级·安徽芜湖·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为（    ）． A．1或 B．1 C． D．0 【答案】A 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义得出，再求出即可． 【详解】解：方程是关于，的二元一次方程， 故选：A． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 直接根据二元一次方程的定义列方程求值即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴，解得：． 故选D． 2．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）若是关于x、y的二元一次方程，则的值 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数为1的整式方程，根据二元一次方程的定义求出a、b的值，再代入求出的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 3．如果是关于x、y的二元一次方程，求m的值． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含未知数的项的系数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴， ∴． 【题型二】代入消元法 【例2】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）已知方程，若用含的代数式表示，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查用一个未知数表示另一个未知数，把当成常数，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）解方程组时， 把①代入②， 得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】代入消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，解题的关键是利用了消元的思想．根据二元一次方程组解法中的代入消元法求解． 【详解】解：把①代入②得， 故选D． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）已知方程，用关于x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数，熟练掌握解二元一次方程的方法．把x看作已知数求出y即可． 【详解】解：， 移项得：， 解得：． 故答案为： 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程组：． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解： 由①，得③， 将③代入②，得，解得， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 【题型三】加减消元法 【例3】（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知那么的值是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，方程组两方程相减即可求解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解： 得：， ∴， 故选：． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知有理数x，y，z满足方程组，则等于（    ） A． B．6 C． D．0.6 【答案】A 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了代数式求值，解决本题的关键是用加减消元法消掉．用加减消元法消掉即可得出答案． 【详解】解：方程组， ①②，得 ， ． 故选：A 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（，为常数）．例如，当，且时，． （1）当，且时， ； （2）若， ； 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据新定义运算列式计算即可； （2）根据新定义运算和解二元一次方程组列式计算即可． 【详解】解：（1）当，且时， ， ， ， 故答案为：； （2）， ， 解得：， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）解方程组： 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． 方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 【题型四】已知二元一次方程组的解求参数 【例4】 已知是二元一次方程的解，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解题关键是熟练掌握二元一次方程的解是使二元一次方程两边相等的未知数的值． 将代入方程中得关于m的一元一次方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：将代入方程，得： ， 化简得：， 两边减7：得， 即：， 解得：， 因此，m的值为， 故选：A． 【举一反三】 1． 小亮求得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数△和■，请你帮他找回这两个数，△和■表示的数分别为（    ） A．9，2 B．，2 C．5，2 D．5，4 【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入到方程中求出y的值即可得到答案． 【详解】解；把代入到方程中得，解得， ∴， ∴△和■表示的数分别为9，2， 故选：A． 2． 方程组的解为则■+▲= ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将把代入，求出，将代入，即可得到答案． 【详解】解：把代入， 得：， ， 方程组的解为， 把代入得到 得：， 故答案为：6． 3．（2025七年级·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、方程组相同解问题 【分析】本题主要考查了同解方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般方法． （1）根据方程组和有相同的解，得出方程组的解即为它们的相同解，然后解方程组即可； （2）把（1）中所求的，分别代入和得：，解关于a、b的方程，求出a、b的值，代入得出答案即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 得：③， 得：， 把代入②得：， 方程组的解为：； （2）解：把（1）中所求的，分别代入和得：， 得：③， 得：， 把代入①得：， ． 【题型五】二元一次方程组的特殊解法 【例5】 若关于、的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C．． D． 【答案】C 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，解题关键是根据整体思想及方程组的解法进行求解． 根据方程组的特点可得方程组的解是，再利用加减消元法即可求出a，b． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴方程组的解是， 解， 得， 故选：C． 【举一反三】 1． 已知方程组，则 ． 【答案】2 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，把两个方程相加可得，进而即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得， ∴， ∴， 故答案为：． 2． 若x，y满足等式：，且，则的值等于 ． 【答案】18 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用换元法变形后，即可求出解即可． 【详解】设，， 则可变形为， 两个方程相减得，即， 把代入得， 解得， ∴， 故答案为：18． 3． 在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的、分别看作一个整体，通过换元：设、，可以将原方程组化为，解得，把代入、，得，解得，所以原方程组解为． (1)若方程组的解为，则方程组的解为_____； (2)若方程组的解为，其中为常数．求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查的是利用整体法解二元一次方程组； （1）设，，则方程组可化为，再进一步解方程组即可； （2）设，，则方程组可化为，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：的解为， 的解为， 设，， 则方程组可变为：， ，解得：． （2）解：设，， 则可变为：， 的解为， 的解为， 即， 解得： 【题型六】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例6】 已知实数，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解一元一次方程，方程组中两方程相加求出，然后根据列式求出的值即可．熟知方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ①②得：， ∵， ∴， ∴，即的值为． 故选：C． 【举一反三】 1．若关于，的方程组的解满足，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】A 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先解二元一次方程组，得出，，代入，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解： 得，， 将代入得 解得： ∵， ∴， 解得：， 故选：A． 2．要使方程组有正整数解，则整数有 个． 【答案】4 【知识点】代入消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】先解方程组，用含a的代数式表示出方程组的解，根据方程组有正整数解求出a的范围，再求出符合的整数a即可． 【详解】解：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， 即方程组的解是， ∵方程组有正整数解， ∴或2或4或8， 解得：或或或，即整数有4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于a的不等式组是解此题的关键． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求k的值． (2)无论实数k取何值，方程总有一个公共解，直接写出该公共解． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程及同解方程，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）根据题意，联立方程得，可求得x，y的值，再将x，y代入，即可求得k的值． （2）无论实数k取何值，方程总有一个公共解，即的取值与无关，求得，将所求x的值代入，可求得y的值，即为所求的公共解． 【详解】（1）解：联立与， 得      解得 把 代入方程中， 得 ， 解得 （2）∵无论实数k取何值，方程总有一个公共解， ∴的取值与无关， ∴，即方程化为，解得 无论实数k取何值，方程总有一个公共解，该公共解为. 【题型七】方程组相同解问题 【例7】已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】方程组相同解问题、加减消元法 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，、的方程组和有相同的解，列出方程组求出、的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 因为两方程有相同的解， 所以将代入， 得， 解得， 所以． 故选：B． 【举一反三】 1．已知关于、的方程组和方程组有相同的解，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】加减消元法、方程组相同解问题 【分析】本题考查了解二元一次方程组，乘方运算，将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，联立含有的两个方程，把的值代入，两方程相加可求得的值，再代入代数式中求解即可，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键． 【详解】解：把方程组中不含的两个方程联立得， ， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把方程组中含的两个方程联立得， ， 把代入得，， 得，， ∴， 把代入③，可得，解得 ∴， 故答案为：． 2．（23-24七年级·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值． 【答案】 【知识点】加减消元法、方程组相同解问题 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的定义和解法，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．解方程组求出、的值，把、的值代入含有、的方程，解方程组即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 将代入，得， 解得：． 3．已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m，n的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、方程组相同解问题、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，涉及解二元一次方程组，二元一次方程组的解等知识，理解二元一次方程组解的含义是解题的关键，也是本题的难点所在． （1）根据二元一次方程组的解的定义进行解答即可； （2）根据方程解的定义得到二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：因为关于x，y的方程组与方程组有相同的解， 所以这两个方程组的解也是方程组的解， 解得； （2）把分别代入方程与方程，得 解得 好题必刷 一、单选题 1．二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握其解的意义是解题的关键． 将各组解分别代入方程中判断是否成立即可． 【详解】解：，则A不符合题意； ，则B符合题意； ，则C不符合题意； ，则D不符合题意； 故选：B． 2．用加减法解方程组，下列方法中比较简便的是（    ） A．①＋② B．①－② C．①×2＋② D．②×1＋① 【答案】A 【分析】观察到方程组中两方程y的系数互为相反数，相加即可消元． 【详解】∵方程组中两方程y的系数互为相反数， ∴用加减消元法解方程组适合的方法是①＋②， 故选：A． 【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法是解答此题的关键． 3．用代入法解方程组有以下步骤：以下解法，造成错误的一步是（      ） （1）由①，得 ，（2）把③代入①，得 ；（3）整理得 ；（4）∴x可取一切有理数，原方程组有无数个解． A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】B 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用代入法求解二元一次方程的基本步骤是解题的关键． 根据解二元一次方程的基本步骤逐步判断即可． 【详解】解：（1）由方程①解得（正确）． （2）将③代入原方程①，（错误），应代入方程②． 因步骤（2）错误，后续推导无效． ∴造成错误的一步是（2） 故选：B． 4．下列方程组中，有无数组解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求解每一个选项的方程组的解，即可得出答案． 【详解】解：A、解得：，方程组有唯一一组解，故此选项不符合题意； B、解得方程组无解，故此选项不符合题意； C、， ①×2②，得0x0y=0，则x、y可取任何值，所以方程组有无数组解，故此选项符合题意； D、解得：，方程组有唯一一组解，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，注意二元一次方程组的解的三种情况：①方程组有唯一一组解，②方程组有无数组解，③方程组无解． 5．二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键． 先用加减消元法求出x的值，再代回第一个方程求出y的值即可． 【详解】解：， ①②，得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， 所以方程组的解为， 故选：D． 6．下面四组数值中，哪一个是二元一次方程组的解（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中每个方程都成立的未知数的值．利用加减消元法求出方程组的解，即可作出判断． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为． 故选：C． 7．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　） A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3 【答案】D 【分析】根据加减消元法逐项判断即可． 【详解】解：用加减消元法解二元一次方程组时， 消去x； 消去y； 消去x； 消去y， 则无法消元的是． 故选：D． 【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元，系数相反相加消元． 8．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程组x-3y=8的解，则k等于（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】先求得方程组的解，再代入方程计算即可． 【详解】因为， ①+②得，2x=7k， 解得x=； ①-②得，-2y=3k， 解得y=； 所以， 解得k=1， 故选A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确选择消元方法是解题的关键． 9．已知关于x，y的方程组，以下结论：①当k=0时，方程组的解也是方程的解；②存在实数k，使得x+y=0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y=6则k=1．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①② 【答案】A 【分析】直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案． 【详解】解：①当k＝0时，原方程组可整理得：， 解得： ， 把代入x﹣2y＝﹣4得： x﹣2y＝﹣2﹣2＝﹣4， 即①正确， ②解方程组，得： 若x+y＝0， 则（3k﹣2）+（1﹣k）＝0， 解得：k＝， 即存在实数k，使得x+y＝0， 即②正确， ③解方程组，，得： ， ∴x+3y＝3k﹣2+3（1﹣k）＝1， ∴不论k取什么实数，x+3y的值始终不变，故③正确； ④解方程组，，得： ， 若3x+2y＝6 ∴k＝，故④错误， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解的定义． 10．解关于x，y的二元一次方程组时，一学生把c看错而得到，而正确的解是，则a，b，c的值分别是（    ） A．，， B．，， C．a，b不能确定， D．a，b不能确定， 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能得出关于、的方程组和关于的方程是解此题的关键．先把代入①得出，求出③，把代入①得出，求出④，再由③和④组成一个二元一次方程，求出方程组的解，再把代入②得出，再求出即可． 【详解】解：， 把代入①，得， ③， 把代入①，得， ④， 由③和④组成一个二元一次方程组：， 解得：， 把代入②，得， 解得：， 即，，． 故选：A． 二、填空题 11．已知，用含的代数式表示，得 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．把x看作已知数求出y即可． 【详解】解：方程， 移项得：， y系数化为1得：． 故答案为： 12．已知 ，（请用含有的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查代入法解二元一次方程，利用等式的性质变形即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故答案为：． 13．如果关于，y的方程是二元一次方程，那么 ． 【答案】1 【分析】二元一次方程满足的条件是：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【详解】由题意得：， 解得：． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二元一次方程的概念，熟知二元一次方程的形式及特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 14．将中x的系数化为2，则原方程变为 ． 【答案】 【分析】等号两边同时乘以即可得结果． 【详解】解：将中x的系数化为2， 等号两边同时乘以得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的变形，是加减消元法解二元一次方程组的基础，需要熟练掌握． 15．已知方程，用关于的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】把含有的项移到方程的左边，其它的项移到方程的右边，再进一步把的系数化为． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了等式的性质、解一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意求出关于的方程的解． 16．若关于，的二元一次方程组，则 ． 【答案】． 【分析】利用加减法表示出，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：， ①②，得， ， ， ． 答案：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 17．当时，二元一次方程和关于、的方程有相同的解，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查已知二元一次方程组的解求参数，熟练掌握该知识点是解题关键．把代入不含参数的方程求出的值，再将和的值代入含有参数的方程求解即可． 【详解】解：将代入，得 ， 解得， 将，代入， 得到， 解得， 故答案为：． 18．对实数a，b，定义运算“◆”：，例如，因为，所以，若x，y满足方程组则 ． 【答案】 【分析】求出方程组的解得到x与y的值，再利用新定义求出即可． 【详解】解： 得：， 解得：， 把代入②得：， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元法的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 三、解答题 19．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解：方程组整理得：， ①-②得：4y=8， 解得：y=2， 把y=2代入①得：2x+6=12， 解得：x=3， 则方程组的解为； （2）方程组整理得：， ①×2-②得：10y=300， 解得：y=30， 把y=30代入①得：5x+210=350， 解得：x=28， 则方程组的解为． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 20．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解题的关键． 用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：，得，即， 把代入，得， 解得． 把代入，得． 故原方程组的解为． 21．解方程组 （1）            （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据二元一次方程组的代入消元法即可求解． （2）根据二元一次方程组的加减消元法即可求解． 【详解】（1）解： 把①代入②得： 把代入①得： ∴方程组的解是： （2）解： 由①得： 2x＋2y＝8 ③ 由③－②得： 把代入①得： ∴方程组的解是： 【点睛】本题考查了解二元一次方程组的方法，灵活运用消元的思路是解题的关键． 22．用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的一般方法，准确计算． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得：， 所以这个方程组的解是． （2）解： ，得， ，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：， 所以这个方程组的解是． 23．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可； （2）利用加减消元法进行运算即可． 【详解】（1）， 得： ， 解得， 将代入得， 则该方程组的解为； （2）原方程组可变形为， 得：， 解得， 将代入得. 则该方程组的解为. 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． 24．用适当的方法解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将原方程组整理为，再运用代入法求解即可； （2）将原方程组整理为，再运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：方程组整理为 把①代入②得， 解得，； 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：方程组整理为 ，得：， 解得，； 把代入①得，， 解得，， 所以，方程组的解为． 25．用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了用代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法的步骤（用一个未知数表示另一个未知数，代入另一个方程消元求解 ）是解题的关键． （1）两个方程都已用表示，根据代入消元法，将两个的表达式相等，消去求解，再回代求． （2）第二个方程用表示，把其代入第一个方程，消去，先求，再求． （3）由第一个方程变形，用表示（ ），代入第二个方程，消去求解，再求． （4）从第一个方程变形，用表示（ ），代入第二个方程，消去求解，再求． 【详解】（1）解： 把①代入②得： 把代入①得： 方程组的解为 （2）解： 把②代入①得： 把代入②得： 方程组的解为 （3）解： 由①得： ③ 把③代入②得： 把代入③得： 方程组的解为 （4）解： 由①得： ③ 把③代入②得： 把代入③得： 方程组的解为 26．解下列方程组 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）方程①+②得x=，把x=代入①得y=，即可得答案； （2）方程①×3+②×2可得x=4，把x=4代入①得y=3，即可得答案； （3）方程②-①×2得x=3，把x=代入①，得y=，即可得答案； （4）先将原方程组化简，然后①+②×5得y=6，把y=6代入①得x=6，即可得答案． 【详解】（1）解： ①+②得：3x=26， x=， 把x=代入①，得：y=10-， y=， ∴原方程组的解为：； （2） ①×3得：9x-6y=18④， ②×2得：4x+6y=34⑤， ④+⑤得：13x=52， x=4， 把x=4代入①，得：2y=3×4-6， y=3， ∴原方程组的解为：； （3） ①×2得：4x-6y=-4③， ②-③得：3x=9， x=3， 把x=3代入①，得：3y=2×3+2， y=， 原方程组的解为：； （4） 原方程组可化为： ②×5得：-5x+25y=120③， ①+③得：26y=156， y=6， 把y=6代入①，得：5x=36-6， x=6， 原方程组的解为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，代入法和加减法，解题的关键是如何选择合适的方法． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$