精品解析：黑龙江省哈尔滨市松雷中学校2024-2025学年高一下学期7月期末数学试题

松雷中学2024-2025学年度下学期期末月考 高一数学试题 时间：120分钟 满分：150分 命题人：郑岩 校对人：杨兵兵 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算表示，结合复数的模长公式可得结果. 【详解】由题意得，， 所以. 故选：A. 2. 已知空间中不同平面，，，不同直线，，则下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中的线面、面面关系来这个判断即可． 【详解】对于A，若，，则，故A正确； 对于B，若，，则，故B正确； 对于C，若,，则，结合，则，故C正确； 对于D，若，，，则不一定成立，还可能相交，故D错误； 故选：D． 3. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可知是中点，再结合即投影向量的概念可得. 【详解】 ，是中点， 又，所以， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 4. 将直径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到折成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径，圆锥的高，由此能求出圆锥的外接球的表面积． 【详解】∵圆心角为，半径为3，∴扇形的弧长为， ∴折成一个圆锥，则这个圆锥的底面周长为，底面半径，圆锥的高， 易知圆锥外接球的球心在圆锥的高线上，设球的半径为， 则，解得． ∴外接球的表面积为． 故选：D 5. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则下列概率计算正确的是（ ） A. 该题被攻克的概率为 B. 该题未被攻克的概率为 C. 该题至少被一人攻克的概率为 D. 该题至多被一人攻克的概率为 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立事件同时发生的概率公式，结合选项，即可求解. 【详解】A.该题被攻克为至少有1人攻克该题的概率，故A错误； B.该题未被攻克的概率为，故B错误； C.由A可知，该题至少被1人攻克的概率为，故C错误； D.该题至多被1人攻克 概率为，故D正确. 故选：D 6. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5 B. 若一组样本数据4，6，7，8，9，的平均数为7，则 C. 用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D. 若的标准差为4，则的标准差是8 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由百分位数的定义即可判断；对于B，由平均数公式列方程即可判断；对于C，由分层抽样的性质即可判断；对于D，由标准差的性质即可判断. 【详解】对于A，因为5个数据从小到大排列为1，3，5，6，8，且，所以第60百分位数是，则A错误. 对于B，一组样本数据4，6，7，8，9，的平均数为7，可知，解得，B错误. 对于C，因为在分层抽样中，每一层的抽样比是相同的，都等于总的抽样比，所以C错误. 对于D，因为的标准差为4，所以它的方差为16， 而的方差为，所以它的标准差是8，故D正确. 故选：D. 7. 空中有一气球（近似看成一个点），其在地面的射影是点，在点的正西方A点测得它的仰角为，同时在点的南偏东的点，测得它的仰角为，若两点间的距离为100米，那么测量时气球到地面的距离是（ ）． A. 100米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】由线面垂直可得线线垂直，利用锐角三角函数以及余弦定理，建立方程，可得答案. 【详解】 由题意可得，，，平面， 因为平面，所以，在中，由，则， 因为平面，所以，在中，由，则， 在中，由余弦定理可得， 则，解得. 故选：C. 8. 如图，在△ABC中，，E为AD的中点，过点E的直线分别与边AB、AC交于P、Q两点，且，，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，根据三点共线向量性质可得，再结合均值不等式即可求出结果． 【详解】∵， ，∴， 又∵，， ∴， 又∵E，P，Q三点共线，∴， ， 当且仅当时取等号. 故选：A． 二、（多选题）（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B. 三棱锥的体积为4 C. 三棱锥的外接球表面积为 D. 一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用中位线的性质可证得，对边平行且不相等，可得到截面是梯形；对于B，利用等体积法可求得三棱锥的体积；对于C，三棱锥的外接球可以补形为长方体的外接球，先求半径再求表面积即可；对于D，分别求出将正方形沿着展在平面，及将沿着展开到与平面重合两种情况分别求解，即可比较大小. 【详解】对于A，由中位线可得，在正方体中，，所以， 所以四点共面，又因为，所以截面为梯形，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径， 所以表面积，故C正确； 对于D，记的中点为Q，如图所示， 若正方形沿着展在平面， 在直角中，可得， 若沿着展开到与平面重合， 在直角中，可得，综上，最短距离为，故D正确. 故选：ACD. 10. 佛山50公里徒步自2016年首次推出5条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加，到2025年，现场参与人数为45万人，这不仅是一场全民健身的狂欢，更是佛山城市品牌的一次璀璨展示.下面分别为2016年佛山50公里徒步参与人数的扇形统计图（图1）、2025年佛山50公里徒步参与人数的条形统计图（图2，单位：万人），已知2025年高明线的参与人数是2016年的2倍，则（ ） A. 2016年佛山50公里徒步总的参与人数是20万 B. 2025年顺德线的参与人数超过了2016年南海线与顺德线的参与人数总和 C. 五条线的参与人数2025年与2016年相比增加人数最少的是三水线 D. 五条线的参与人数2025年与2016年相比增长率最高的是南海线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据扇形图及条形图得出5条线路的各个数据，再结合选项分别判断即可. 【详解】因为2025年高明线的参与人数是2016年的2倍，则2016年的高明线的参与人数是万人， 对于A：根据扇形图得出万，所以2016年佛山50公里徒步总的参与人数是20万，A选项正确； 2016年佛山50公里徒步高明线，三水线，禅城线，顺德线，南海线参与人数分别为：万，万，万，万，万， 2025年佛山50公里徒步高明线，三水线，禅城线，顺德线，南海线参与人数分别为：万，万，万，万，万， 对于B：因为，2025年顺德线的参与人数超过了2016年南海线与顺德线的参与人数总和，B选项正确； 对于C：五条线的参与人数2025年与2016年相比增加人数最少的是高明线，C选项错误； 对于D：南海线的参与人数2025年与2016年相比增长率，顺德线的参与人数2025年与2016年相比增长率， 禅城线的参与人数2025年与2016年相比增长率，三水线的参与人数2025年与2016年相比增长率， 高明线的参与人数2025年与2016年相比增长率，所以五条线的参与人数2025年与2016年相比增长率最高的是南海线，D选项正确； 故选：ABD. 11. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法错误的是（ ） A. 与C是互斥事件，也是对立事件 B. 与D是互斥事件，也是对立事件 C. 与是互斥事件，但不是对立事件 D. A与是互斥事件，也是对立事件 【答案】ABC 【解析】 【详解】因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以与C也互斥，但是，所以不是对立事件，故A错误；因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以与D也互斥，但是，所以不是对立事件，故B错误；因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以与也互斥，又因为，所以是对立事件，故C错误；因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以A与也互斥，又因为，所以也是对立事件，故D正确． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量，的夹角为，，，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义先求出的值，将，，代入计算即可. 【详解】因为向量，的夹角为，，， 所以， 所以 . 故答案为：1 13. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为60%．现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为___________． 【答案】##0.1 【解析】 【分析】设该校有a名同学，根据已知条件，求出每天玩手机不超过的学生的人数及其中近视的人数，再利用频率估计概率即可得答案． 【详解】解：设该校有a名同学，则约有0.3a的学生近视，约有0.4a的学生每天玩手机超过， 且每天玩手机超过2的学生中近视的有的学生， 所以有0.6a的学生每天玩手机不超过2且其中有的学生近视， 所以从每天玩手机不超过2的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为． 故答案为：． 14. 如图，在平面四边形中，，则的最小值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据已知条件求出，再利用余弦定理及基本不等式求出的最小值. 【详解】在中，由，，，得， 在中，，由余弦定理， 得， 即，当且仅当时取等号， 解得， 所以当，取得最小值2. 故答案为：2 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量. （1）求的坐标； （2）求； （3）若，且，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算奇数求解； （2）应用模长公式计算求解； （3）先应用坐标运算得出再应用垂直的坐标公式计算求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 已知，因为， 即，所以. 16. 年，国家统计局海南调查总队为制定自贸港民生政策，从海南省某城乡区随机抽取户居民的单户收入作为样本数据，将这户居民的单户收入（，单位：万元）分成六段：、、、，并作出如图所示的频率分布直方图，其中. （1）求、的值； （2）若要对单户收入高于第百分位数的居民进行个税统计，则应对单户收入多少以上的居民进行统计？ （3）已知落在上的样本数据的平均数是，方差是，上的样本数据的平均数是，方差是.求这两组数据的总平均数和总方差. 参考公式：分层随机抽样抽取的两层的样本量为、，若这两层的平均数和方差分别为、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，则①；②. 【答案】（1）， （2）万元 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据所有直方图面积之和为，结合可得出、的值； （2）根据频率直方图结合百分位数的定义可求得百分位数，即可得解； （3）利用分层抽样的平均数和方差公式可求得、的值. 【小问1详解】 由题意知，， 所以，又，则，. 【小问2详解】 由直方图知，第组的频率为，第组的频率为， 故前组的频率之和为，前组的频率之和为， 故第百分位数在第组内， 则第百分位数为， 故应对单户收入万元以上的居民进行个税统计. 【小问3详解】 样本数据在区间的样本数为，在区间上的样本数为， 所以， . 17. 某蔬菜批发市场销售某种蔬菜.在一个销售周期内，每售出1吨该蔬菜获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100元.统计该蔬菜在过去的100个销售周期内的市场需求量所得频率分布直方图如下： （1）求图中a的值并求100个销售周期的平均市场需求量； （2）若经销商在下一个销售周期购入190吨该蔬菜，设为销售周期所得利润（单位：元），为该销售周期的市场需求量（单位：吨），求的函数关系式，并估计销售的利润不少于86000元的概率. 【答案】（1）， （2），， 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求出a，然后利用频率分布图中平均数求法公式求解即可； （2）建立并求解分段函数，利用互斥事件概率加法公式结合频率分布直方图求解概率. 【小问1详解】 根据频率分布直方图中频率之和为1得：， 解得， 由图知100个销售周期的平均市场需求量为 ； 【小问2详解】 由题意，当时，， 当时，， 所以，， 设销售的利润不少于86000元的事件为A，当时，， 当时，，所以，则， 所以. 18. 如图，已知是等边三角形，，，平面ABC点F为AD的中点． （1）求证：平面ABD； （2）求平面ACE与平面ADE夹角的余弦值． 【答案】（1） 取AB的中点O，连接OF，OC． 因为为等边三角形，所以． 又因为平面，平面，得平面平面， 平面平面，平面，所以平面． 又因为，点F为AD中点， 所以且，又，所以，，所以四边形是平行四边形． 所以，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直平面得出平面平面，再应用面面垂直性质定理得出线面垂直结合平行得证； （2）空间向量法求出平面ACE与平面ADE的法向量，再应用面面角余弦公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面ABD，平面ABD，所以． 又因为，，所以． 以O为坐标原点，分别以OA、OC、OF所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设正的边长为2，则，，，，， ，，， 设平面的法向量为． 则， 不妨令，则，，得平面的法向量为． 设平面的法向量， 则，不妨令，则，， 得平面的法向量为， 所以． 19. 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求证：； （2）若是锐角三角形，求的取值范围； （3）若的角平分线交BC于D，且，求． 【答案】（1）证明：因为，由正弦定理有：， 所以， 则， 则， 则， 因为、，所以， 又因为，所以，所以， 所以有或，即或（舍去）， 所以得证. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简得到，再根据角的范围即可证明； （2）根据三角形形状及交的关系确定角的范围，进而根据三角恒等变换化解可得，进而结合余弦函数的性质求解即可； （3）由题设可得，，，进而结合正弦定理及三角恒等变换求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是锐角三角形，，所以， 所以，解得， 所以 ， 由，则，则， 所以，则的取值范围为. 【小问3详解】 因为为的平分线，且， 所以，所以， 在中，，， 由正弦定理有：，即， 则， 则， 则，解得或， 又，则为锐角，即. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松雷中学2024-2025学年度下学期期末月考 高一数学试题 时间：120分钟 满分：150分 命题人：郑岩 校对人：杨兵兵 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间中不同平面，，，不同直线，，则下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 3. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 将直径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则下列概率计算正确的是（ ） A. 该题被攻克的概率为 B. 该题未被攻克的概率为 C. 该题至少被一人攻克的概率为 D. 该题至多被一人攻克的概率为 6. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5 B. 若一组样本数据4，6，7，8，9，的平均数为7，则 C. 用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D. 若的标准差为4，则的标准差是8 7. 空中有一气球（近似看成一个点），其在地面的射影是点，在点的正西方A点测得它的仰角为，同时在点的南偏东的点，测得它的仰角为，若两点间的距离为100米，那么测量时气球到地面的距离是（ ）． A. 100米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，在△ABC中，，E为AD的中点，过点E的直线分别与边AB、AC交于P、Q两点，且，，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、（多选题）（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B. 三棱锥的体积为4 C. 三棱锥的外接球表面积为 D. 一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为 10. 佛山50公里徒步自2016年首次推出5条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加，到2025年，现场参与人数为45万人，这不仅是一场全民健身的狂欢，更是佛山城市品牌的一次璀璨展示.下面分别为2016年佛山50公里徒步参与人数的扇形统计图（图1）、2025年佛山50公里徒步参与人数的条形统计图（图2，单位：万人），已知2025年高明线的参与人数是2016年的2倍，则（ ） A. 2016年佛山50公里徒步总的参与人数是20万 B. 2025年顺德线的参与人数超过了2016年南海线与顺德线的参与人数总和 C. 五条线的参与人数2025年与2016年相比增加人数最少的是三水线 D. 五条线的参与人数2025年与2016年相比增长率最高的是南海线 11. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法错误的是（ ） A. 与C是互斥事件，也是对立事件 B. 与D是互斥事件，也是对立事件 C. 与是互斥事件，但不是对立事件 D. A与是互斥事件，也是对立事件 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量，的夹角为，，，则______. 13. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为60%．现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为___________． 14. 如图，在平面四边形中，，则的最小值为_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量. （1）求的坐标； （2）求； （3）若，且，求实数的值. 16. 年，国家统计局海南调查总队为制定自贸港民生政策，从海南省某城乡区随机抽取户居民的单户收入作为样本数据，将这户居民的单户收入（，单位：万元）分成六段：、、、，并作出如图所示的频率分布直方图，其中. （1）求、的值； （2）若要对单户收入高于第百分位数的居民进行个税统计，则应对单户收入多少以上的居民进行统计？ （3）已知落在上的样本数据的平均数是，方差是，上的样本数据的平均数是，方差是.求这两组数据的总平均数和总方差. 参考公式：分层随机抽样抽取的两层的样本量为、，若这两层的平均数和方差分别为、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，则①；②. 17. 某蔬菜批发市场销售某种蔬菜.在一个销售周期内，每售出1吨该蔬菜获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100元.统计该蔬菜在过去的100个销售周期内的市场需求量所得频率分布直方图如下： （1）求图中a的值并求100个销售周期的平均市场需求量； （2）若经销商在下一个销售周期购入190吨该蔬菜，设为销售周期所得利润（单位：元），为该销售周期的市场需求量（单位：吨），求的函数关系式，并估计销售的利润不少于86000元的概率. 18. 如图，已知是等边三角形，，，平面ABC点F为AD的中点． （1）求证：平面ABD； （2）求平面ACE与平面ADE夹角的余弦值． 19. 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求证：； （2）若是锐角三角形，求的取值范围； （3）若的角平分线交BC于D，且，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $