精品解析：宁夏盐池县2025届高三第一次模拟考试数学试题

2025届高三第一次模拟考试 数学 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 从6名侦查员中抽调5人调查两个问题，每人只参与一个问题的调查，每个问题至少要2人参与调查，则不同的抽调方法有（ ） A. 120种 B. 180种 C. 240种 D. 360种 4. 已知等比数列的公比为，甲：数列是递增数列，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5. 已知过点作与轴不垂直的直线与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，直线为的图象的一条对称轴，则函数的一个单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥的底面是正三角形，平面，，，，四点都在以为球心的球面上，，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设向量，满足，，则（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 与的夹角为钝角 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. 函数存在极大值 C. 当时， D. 函数有2个零点 11. 已知抛物线的焦点为，若点满足，为坐标原点，是的中点，过作与轴不垂直的直线，与交于，两点，直线，直线与直线分别交于点，，则（ ） A. B. 存在点，使四边形是平行四边形 C. 点在上 D. 线段的长为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______________． 13. 设，是椭圆的左顶点和上顶点，直线与直线交于点，若是的中点，则椭圆的离心率为______________． 14. 有7个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，从中不放回地随机抽取2次，每次取1个球．记为第一次取出的球上的数字，为取出的两个球上数字的平均值，则与差的绝对值不超过的概率是______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求； （2）若是的中点，，求的面积． 16. 已知函数． （1）求证：函数有极小值；并求的极小值为0时的值； （2）若，求的取值范围． 17. 如图，直四棱柱的底面为正方形，点在棱上（包含端点）． （1）证明：平面平面； （2）已知，求平面与平面所成二面角的正弦值的取值范围． 18. 已知双曲线的一条渐近线过点，是的左焦点，，过点的直线交双曲线于点，． （1）求的方程； （2）若，求直线的方程； （3）若点在直线上，直线，直线都与轴平行，且直线与直线交于点，问点是否在定直线上？若在，求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 19. 若数列满足，其中，则称数列为“差增数列”． （1）在数列中，已知，试判断数列是否为“差增数列”； （2）若数列是“差增数列”，设，且，求证：； （3）若是正整数，且，数列的通项公式为，在中任取三个不同的数，，，当时，，，为“差增数列”的概率为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三第一次模拟考试 数学 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解． 【详解】由题得，， 故选：A． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后化简即可得到答案. 【详解】 故选：C． 3. 从6名侦查员中抽调5人调查两个问题，每人只参与一个问题的调查，每个问题至少要2人参与调查，则不同的抽调方法有（ ） A. 120种 B. 180种 C. 240种 D. 360种 【答案】A 【解析】 【分析】应用排列组合计算分组分配问题计算求解. 【详解】从6名侦查员中先抽2人，再在余下4人抽3人，分成两组，这两组人员分别调查两个问题，抽调方法有种． 故选：A． 4. 已知等比数列的公比为，甲：数列是递增数列，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】应用等比数列定义结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】如时，等比数列是递增数列，公比，由甲不能推出乙； 当时，如，时，，不是递增数列， 乙不能推出甲，所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件， 故选：D． 5. 已知过点作与轴不垂直的直线与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据半径、圆心距、半弦长的关系求出直线斜率，由倾斜角及弦长即可得解 【详解】可设直线的方程为，即， 圆心到的距离，又， 所以，解得， 记直线的倾斜角为，，，． 故选：B． 6. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，直线为的图象的一条对称轴，则函数的一个单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再利用对称轴求出，令求出的单调递增区间，再赋值即可. 【详解】由题意可得，， 因为的图象关于直线对称， 所以， 则，即， 又，所以，则， 令，则， 则的单调递增区间为， 当时，的一个单调递增区间是，故D选项正确； 当时，的一个单调递增区间是， 由于和之间无其他整数，故A，B，C选项错误. 故选：D． 7. 已知三棱锥的底面是正三角形，平面，，，，四点都在以为球心的球面上，，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设是中点，是中点，是正三角形的重心，作，过作，从而确定是与平面所成的角或其补角．进而可求解. 【详解】 设是中点，是中点，是正三角形的重心，则是的三等分点，， 由是边长为的正三角形知，， 在平面中，作，作的垂直平分线交于点， 因为平面，，易知四边形是矩形，，． 设与交于点，过作，垂足为， 因为平面，在平面内， 所以，又，为平面内两条相交直线， 所以平面，在平面内， 所以，又为平面内两条相交直线， 所以平面， 所以是与平面所成的角或其补角． 过作直线平行于，交于点，交于点，则，， 把，，，，，， 代入求得，， 在中，，， 在中，， 所以． 故选：C． 8. 若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数是偶函数及函数单调性，分类讨论计算求解不等式即可. 【详解】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且，则， 则；； 当即时，，，成立； 当时，，，； 当时，，，； 当即时，， 所以的取值范围是． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设向量，满足，，则（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 与的夹角为钝角 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算，垂直的坐标表示，向量夹角的坐标公式即可判断． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，， 所以，与不垂直，故B错误； 对于C，，，，， ，所以与夹角为，故C正确； 对于D，，与的夹角不为钝角，故D错误； 故选：AC． 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. 函数存在极大值 C. 当时， D. 函数有2个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】求得，得到，，结合导数的几何意义，可判定A正确；求得函数的单调区间，结合极值点的定义，可判定B正确；根据函数的单调性，得到，可得判定C错误；根据函数的单调性，结合零点的存在性定理，可得判定D正确. 【详解】由函数，其中定义域为，且， 对于A中，由，，切线方程为，所以A正确； 对于B中，令时，可得；令时，可得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为， 当时，的极大值为，没有极小值，所以B正确； 对于C中，由函数在上单调递增，在上单调递减， 所以时，， 因为，可得，所以，所以C错误； 对于D中，由函数与单调区间相同， 且，，，所以有2个零点，所以D正确． 故选：ABD． 11. 已知抛物线的焦点为，若点满足，为坐标原点，是的中点，过作与轴不垂直的直线，与交于，两点，直线，直线与直线分别交于点，，则（ ） A. B. 存在点，使四边形是平行四边形 C. 点在上 D. 线段的长为定值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据两点间距离计算判断A，应用点在抛物线上判断B，C，应用弦长公式计算求解判断D. 【详解】因为，则，，，A错误； 点的坐标适合的方程，点在上，正确； ，的中点为，将向左平移1个单位得，适合的方程，点在上，且与轴不垂直，B正确； 设的方程为，代入方程得，令，，则，， 的方程为，，同样可得， ，的长随变化而变化，不是定值，D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据同角三角函数关系得出正弦及余弦值，再结合两角差的正弦公式计算求解. 【详解】由，， 所以，，所以． 故答案为：. 13. 设，是椭圆的左顶点和上顶点，直线与直线交于点，若是的中点，则椭圆的离心率为______________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意求出点坐标，将其代入直线的方程中得出的值，进而求出，即可求出离心率. 【详解】由题意可知，，，， 由是的中点知， 又在直线上，所以，所以， 则，，， 则，故离心率为． 故答案为：. 14. 有7个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，从中不放回地随机抽取2次，每次取1个球．记为第一次取出的球上的数字，为取出的两个球上数字的平均值，则与差的绝对值不超过的概率是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据排列数计算结合列举法应用古典概型计算求解. 【详解】从7个不同的球中不放回地抽取2次，共种， 设第二次取出的球号码为，则，故， 若，则为，，共有3种； 若，则为，，，共有4种； 当，则为，，，，共有5种； 当，则为，，，，，共有6种； 当，则为，，，，共有5种； 当，则为，，，共有4种； 当，则为，，共有3种； 故与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为30， 故所求概率为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求； （2）若是的中点，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理及余弦定理求解即可； （2）在中，由余弦定理可得，，再结合三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 由及余弦定理得，，所以，由正弦定理得， 所以. 【小问2详解】 是的中点，在中，，， 由余弦定理得，， 所以，则， 所以的面积为. 16. 已知函数． （1）求证：函数有极小值；并求的极小值为0时的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）证明：由题意，，所以， 因为，都是增函数，且由题意知，所以是增函数， 又因为，所以时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值； ； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导函数的单调性，结合特殊点导数值分析函数的单调性，从而求出极小值，再解出极小值为0时的值即可； （2）利用导函数分析函数的单调性，求出函数的最小值，根据题设得到关于的对数不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 证明略. 因有极小值， 由，得. 【小问2详解】 由题意知，所以是增函数，由得， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由对任意实数成立，得，所以，即的取值范围是. 17. 如图，直四棱柱的底面为正方形，点在棱上（包含端点）． （1）证明：平面平面； （2）已知，求平面与平面所成二面角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明：由四边形是正方形，得， 因为在直棱柱中平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设及线面垂直的性质得、，再应用线面垂直的判定和面面垂直的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，并标注出相关点的坐标，求出平面与平面的法向量，再应用向量法求二面角的余弦值范围，进而得到正弦值的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，，, 设，则，故，，, 设平面的一个法向量为,则，取得, 设平面的一个法向量为,则，取得, 所以, 因为，所以，，, 所以，所以, 即平面与平面所成二面角的正弦值的取值范围是. 18. 已知双曲线的一条渐近线过点，是的左焦点，，过点的直线交双曲线于点，． （1）求的方程； （2）若，求直线的方程； （3）若点在直线上，直线，直线都与轴平行，且直线与直线交于点，问点是否在定直线上？若在，求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点在定直线上 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，求得，，再由，列出方程，求得，得到，即可求得双曲线的方程； （2）设，，由，得到，，根据，在双曲线上，联立求得，，进而求得的方程； （3）设的方程为，联立方程组得到，，得到，，结合轴，轴，求得的坐标，求得直线和的方程，联立方程组，得到，即可求解. 【小问1详解】 由双曲线的一条渐近线过点，可得， 因为，可得，， 又因为，可得，解得， 所以，所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，设，， 则，， 因为，所以，且， 所以，， 因为，在双曲线上，所以且， 两式联立方程组，解得，， 直线的斜率，所以直线的方程为. 【小问3详解】 设直线的方程为，且，， 联立方程组，整理得， 则，且，， 所以，， 因为轴，轴，且在直线上，则，， 所以直线的斜率为， 则直线的方程为， 同理可得，直线的方程为， 联立直线与的方程，消去得， 所以，即点在定直线上． 19. 若数列满足，其中，则称数列为“差增数列”． （1）在数列中，已知，试判断数列是否为“差增数列”； （2）若数列是“差增数列”，设，且，求证：； （3）若是正整数，且，数列的通项公式为，在中任取三个不同的数，，，当时，，，为“差增数列”的概率为，求证：． 【答案】（1）数列是“差增数列” （2） 因为， ， 又，且，所以，其中， 又数列是“差增数列”，则是递增数列，所以， 所以，，，， 所以，即. （3） 令， 记的前项和为，则， ， 上面两式相减得 ， 则， ， 所以当时，；当时，， 所以是“差增数列”，其中， 所以是“差增数列”，这样的数列有个，记为第一组； ①当时，，的前5项为“差增数列”，显然，， ，，这3个数列都是“差增数列”， 所以； ②当时，，，显然，，；，，；，，；，，这4个数列都是“差增数列”， 所以； ③当时， ，所以， 所以，，是“差增数列”，这样的数列有个， 其中，，与第一组中的一个重复， ，对及成立，， 即，，是“差增数列”，这样的数列有个， 其中，，与第一组的一个重复， ， 对及成立， 所以，所以，，是“差增数列”，这样的数列有个， 其中，，与第一组中的一个重复， 以上四组共个， 又，所以，，也是“差增数列”， 所以 令， 则 ， 所以递减， 因为是正整数，且，所以，所以成立． 【解析】 【分析】（1）先求出，再判断即可； （2）先求出和，再利用是递增数列得出即可证明； （3）先计算，再计算数列的前项和，进而得出是“差增数列”，再分三种情况分别求，其中时，再分；；，，；，，四种情况来研究“差增数列”的个数，进而得出，最后求证数列的增减性即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以，所以数列是“差增数列”． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $