精品解析：江苏省扬州市江都区邵樊片2024-2025学年八年级下学期第二次月考数学试卷

八年级数学试卷 （试卷满分150分，时间120分钟） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分．每题只有一个选项正确） 1. 中国“二十四节气”已被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“大雪”、“芒种”、“立春”、“白露”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 从装有红球、白球、黑球的不透明袋子中任意摸出一个球，该球是白球，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 3. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（     ） A. 高铁站对入站乘客进行安检 B. 调查某班学生的体育锻炼情况 C. 调查一批灯泡的使用寿命 D. 调查游乐园中一辆过山车上个座位的稳固情况 4. 下列分式变形从左到右一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知四边形是平行四边形，，相交于点O，下列结论错误的是（ ） A. ， B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当且时，四边形是正方形 6. 将分式中的x、y都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大3倍 C. 缩小3倍 D. 扩大9倍 7. 已知，函数与在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，，，，是平面内的一个动点，且，连接，点是的中点，连接，则的最大值与最小值的差为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．） 9. 若分式没有意义，则x的值是__________． 10. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是_____． 11. 已知点是反比例函数图象上的两点，则_______．（填“>”，“=”或“<”） 12. 如图，菱形的两条对角线相交于点O，若，，则菱形的面积是_________． 13. 如图，在中，对角线相交于点，过点作于点，连接．若，则的长为______． 14. 若，则分式________． 15. 设函数与的图像的交点坐标为，则的值为_______． 16. 如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是8和6，则图中阴影部分的面积是______． 17. 若关于的不等式组有且只有四个整数解，且关于的分式方程的解为负数，则符合条件的所有整数的和为_______． 18. 如图，在矩形中，，，若点分别是线段上的两个动点，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 先化简，再从，0，1四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 22. 某校随机抽取八年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，从八年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，整理数据后，将减压方式分为五类：A交流谈心；B体育活动；C享受美食；D听音乐；E其他，并绘制了如图所示两个不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有________人； （2）请将条形统计图补充完整； （3）扇形统计图中，减压方式：“D听音乐”所对应的扇形圆心角的度数为______； （4）若该校八年级有800名学生，估计八年级学生中通过交流谈心作为减压方式的人数． 23. 在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 （1）表中________；________； （2）请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近________（精确到）； （3）估计袋子中有白球________个； （4）若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球________个． 24. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC． (1)求证：四边形BECD是平行四边形； (2)当∠A＝50°，∠BOD＝100°时，判断四边形BECD的形状，并说明理由． 25. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、 （1）求这两个函数的表达式 （2）请结合图像直接写出不等式的解集 （3）若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标 26. 为提升游客在景区内参观游览的便利性，某景区计划购进两种型号的观光车．已知型观光车的单价是型观光车单价的1.5倍，用45万元购进型观光车的数量比用40万元购进型观光车的数量少5辆． （1）A型和B型观光车的单价各是多少万元？ （2）该景区决定用不多于130万元的资金购进A型和B型观光车共50辆，最多可以购买多少辆A型观光车？ 27. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．平行四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线，每个任务的画线不超过四条． （1）在图①中，作出的中点M； （2）在图②中，过点A作于点H； （3）在图③中，点E为上一点，且点E为非格点，在上作点F，使； （4）在图④中，点E为上一点，且点E为非格点，在上作点G，使得． 28. 如图，在矩形中，，，点是边上的点且，反比例函数的图像经过点，交边于点，作直线． （1）直接写出点 、 的坐标：（____，____），（____，____），直接写出反比例函数的解析式：________．连接， 直接写出的面积：_______． （2）在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标； （3）若点在反比例函数的图像上，点在轴上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷 （试卷满分150分，时间120分钟） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分．每题只有一个选项正确） 1. 中国“二十四节气”已被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“大雪”、“芒种”、“立春”、“白露”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查中心对称图形的识别，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，故选项A符合题意． B、不是中心对称图形，故选项B不符合题意． C、不是中心对称图形，故选项C不符合题意． D、不是中心对称图形，故选项D不符合题意． 故选：A． 2. 从装有红球、白球、黑球的不透明袋子中任意摸出一个球，该球是白球，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，熟知必然事件、不可能事件、随机事件的概念：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此判断即可． 【详解】解：从装有红球、白球、黑球的不透明袋子中任意摸出一个球，该球是白球，这个事件是随机事件， 故选：B． 3. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（     ） A. 高铁站对入站乘客进行安检 B. 调查某班学生的体育锻炼情况 C. 调查一批灯泡的使用寿命 D. 调查游乐园中一辆过山车上个座位的稳固情况 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查，抽样调查适用于总体数量大、具有破坏性或无法进行全面调查的情况，据此逐一分析即可判断求解，掌握全面调查和抽样调查的特点是解题的关键． 【详解】解： 高铁安检需确保每位乘客安全，必须全面检查； 某班学生人数有限，适宜全面调查更准确； 灯泡寿命测试具有破坏性（测试后灯泡报废），适宜采用抽样调查； 过山车座位安全至关重要，必须逐一检查，不可抽样； 故选：． 4. 下列分式变形从左到右一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，解答即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、当时才成立，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 5. 已知四边形是平行四边形，，相交于点O，下列结论错误的是（ ） A. ， B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当且时，四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，菱形，矩形，正方形的判定逐一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，故A正确， 四边形是平行四边形，， 不能推出四边形是菱形，故错误， 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，故C正确， 四边形是平行四边形，，， 四边形是正方形．故D正确． 故选B． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形，菱形，正方形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 6. 将分式中的x、y都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大3倍 C. 缩小3倍 D. 扩大9倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质．根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：． ∴分式的值扩大3倍； 故选：B． 7. 已知，函数与在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数与y轴的正半轴相交，即可排除C、D两项，再根据一次函数和反比例函数中的系数k的符号即可作答． 【详解】当时，， 即一次函数与y轴的正半轴相交，交点为：，故C、D两项错误，不符合题意， A项，由一次函数的图象经过一、二、三象限可知，由反比例的图象经过一、三象限可知，故A项正确，符合题意； B项，由一次函数的图象经过一、二、四象限可知，由反比例的图象经过一、三象限可知，二者矛盾，故B项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握反比例函数和一次函数的图象所经过的象限与各项系数的关系是解决此题的关键． 8. 如图，已知，，，，是平面内的一个动点，且，连接，点是的中点，连接，则的最大值与最小值的差为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及圆的相关知识，通过构造辅助三角形，结合圆的性质，利用中位线的性质求解的长度，再由点E的位置求解最值问题是解决本题的关键． 先由勾股定理可求解的长度，由距离不变确定点D的运动轨迹，再通过连接辅助线构造三角形，分别求解三角形的两边长度，再由三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：连接，取的中点记作点F，连接，， 因为，，， 所以， 因为点F为的中点， 由直角三角形斜边中线定理可知，， 因为点是的中点，点F为的中点，， 所以在中，由中位线的性质可知， 因为是平面内的一个动点，且， 所以点D的运动轨迹是以C为圆心，3为半径的圆， 所以当点B，E，F三点共线，且点E在线段的延长线上时，取得最大值， 即， 当点B，E，F三点共线，且点E在线段上时，取得最小值， 即， 所以的最大值与最小值的差为． 故选：C． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．） 9. 若分式没有意义，则x的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分式无意义的条件，解此类问题，只要令分式中分母等于0，求得字母的值即可． 要使分式无意义，分式的分母为0，即，求出x的值即可． 【详解】解：∵分式没有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得k-3＜0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得k-3＜0， 解得k＜3． 故答案是：k＜3． 【点睛】考查了反比例函数的性质，反比例函数的性质：反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 11. 已知点是反比例函数图象上的两点，则_______．（填“>”，“=”或“<”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据各点横坐标的值判断出各点所在的象限，进而可得出结论． 【详解】解：反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小． ∵， ∴点A在第三象限、B在第一象限， ∴， 故答案为：． 12. 如图，菱形的两条对角线相交于点O，若，，则菱形的面积是_________． 【答案】120 【解析】 【分析】此题考查菱形的性质，解题关键在于利用对角线求面积的方法，在求菱形的面积中用得较多，需要熟练掌握．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答． 【详解】解：菱形的两条对角线相交于点O，，， 菱形的面积是, 故答案为：120． 13. 如图，在中，对角线相交于点，过点作于点，连接．若，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质．根据平行四边形的性质，可得，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：5 14. 若，则分式________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的性．质是解决本题的关键．先由变形得，再整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 15. 设函数与的图像的交点坐标为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】把交点坐标代入2个函数解析式后，得到ab=-2，b-a=3，再利用整体代入法求的值即可． 【详解】解：∵函数与的图象的交点坐标为（a，b）， ∴与， ∴ab=-2，b-a=3， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，主要考查反比例函数与一次函数图象上点的特征，分式的化简求值，解题的关键是求出ab与b-a的值，然后将所求代数式化为ab与b-a的形式，采用整体代入的思想解决问题． 16. 如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是8和6，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，正方形的性质，掌握关于中心对称图形的性质是解题的关键．连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于两个正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长为8和正方形的边长为6， ∴正方形的面积为64，正方形的面积为36， ∵正方形和正方形的对称中心都是点， ∴． 故答案为：7． 17. 若关于的不等式组有且只有四个整数解，且关于的分式方程的解为负数，则符合条件的所有整数的和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组和解分式方程，根据不等式组的解的情况和分式方程的解的情况确定出的范围是解题的关键． 先求出不等式组和分式方程的解，再根据解的情况确定的范围，即可求解． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有四个整数解， ∴，即， 解得， ∵解为负数， 且， 解得：且， 综上，且， ∴符合条件的整数有， ∴符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，，，若点分别是线段上的两个动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，则的最小值为的最小值，当交于点，交于点，交于点，即当与重合，当与重合，如图，则，此时的最小值为的值，由轴对称性质可得，垂直平分，故有，，，由矩形性质可得，，，，从而得出四边形是矩形，设，则，由勾股定理得，即，解得，最后通过求出即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，则的最小值为的最小值， 当交于点，交于点，交于点，即当与重合，当与重合，如图，此时的最小值为的值，则， 由轴对称性质可得，垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴，解得：， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要是利用轴对称求最短路线，三角形的面积，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算和分式的乘除运算，解题的关键是掌握分式运算的基本法则． （1）先将分母化为相同，再进行分子的加减，最后约分． （2）先将分子分母因式分解，再约分计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后要检验。 （1）先找到方程中两个分式的最简公分母，然后方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，解整式方程后进行检验； （2）先找到方程中两个分式的最简公分母，然后方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，解整式方程后进行检验，注意增根的情况。 【小问1详解】 解 ： 方程两边同乘，得， 解这个整式方程，得， 经检验，是原分式方程的解； 【小问2详解】 解： 方程两边同乘，得， 解这个整式方程，得． 检验：当时，． 所以，是原分式方程的增根． 所以，原分式方程无解． 21. 先化简，再从，0，1四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 【答案】；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先将分式化简，再代入求值即可，熟练掌握计算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ； 根据分式有意义的条件，x不能为，0， 当时，原式． 22. 某校随机抽取八年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，从八年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，整理数据后，将减压方式分为五类：A交流谈心；B体育活动；C享受美食；D听音乐；E其他，并绘制了如图所示两个不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有________人； （2）请将条形统计图补充完整； （3）扇形统计图中，减压方式：“D听音乐”所对应的扇形圆心角的度数为______； （4）若该校八年级有800名学生，估计八年级学生中通过交流谈心作为减压方式的人数． 【答案】（1）50 （2） 补全条形统计图如图： （3） （4）64 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）用“享受美食”的人数除以其占被调查人数的百分比即可得总人数； （2）用总人数分别减去四类人数可得体育活动人数，进而补全图形； （3）用“D听音乐”所占的比例乘以360度求解即可． （4）用样本中“交流谈心”人数占被调查人数的比例乘以总人数800即可得． 【小问1详解】 解：（名， 所以这次抽样调查，一共抽查了50人， 故答案为：50． 【小问2详解】 解：选择“体育活动”的人数为：（人 【小问3详解】 解： 答：减压方式：“D听音乐”所对应的扇形圆心角的度数为． 【小问4详解】 解：根据题意得：（名， 答：九年级学生中通过交流谈心作为减压方式的人数是64人． 23. 在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 （1）表中________；________； （2）请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近________（精确到）； （3）估计袋子中有白球________个； （4）若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球________个． 【答案】（1），； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，分式方程的应用，解题的关键是正确理解大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （）根据，即可求解； （）根据表格分析即可求解； （）由摸到黑球的频率将会接近，则有摸到黑球的概率为，故摸到黑球的概率为，则袋子中有白球， （）设增加相同的白球个，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当很大时，摸到黑球的频率将会接近， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵摸到黑球的频率将会接近， ∴摸到黑球的概率为， ∴摸到黑球的概率为， ∴袋子中有白球（个）， 故答案为：； 【小问4详解】 解：设增加相同的白球个， 根据题意得，， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合实际， 故答案为：． 24. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC． (1)求证：四边形BECD是平行四边形； (2)当∠A＝50°，∠BOD＝100°时，判断四边形BECD的形状，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝CD， ∴∠OEB＝∠ODC， 又∵O为BC的中点， ∴BO＝CO， 在△BOE和△COD中， ， ∴△BOE≌△COD(AAS)； ∴OE＝OD， ∴四边形BECD是平行四边形； （2）四边形BECD是矩形． 理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD＝∠A＝50°， ∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC， ∴∠ODC＝100°﹣50°＝50°＝∠BCD， ∴OC＝OD， ∵BO＝CO，OD＝OE， ∴DE＝BC， ∵四边形BECD是平行四边形， ∴四边形BECD是矩形； 【解析】 【分析】(1)由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE＝OD，即可得出结论； (2)结论：四边形BECD是矩形．由平行四边形的性质得出∠BCD＝∠A＝50°，由三角形的外角性质求出∠ODC＝∠BCD，得出OC＝OD，证出DE＝BC，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2） 【点睛】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 25. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、 （1）求这两个函数的表达式 （2）请结合图像直接写出不等式的解集 （3）若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标 【答案】（1）反比例函数：y=；一次函数：y=-x+5；（2）0＜x≤1或x≥4；（3）（1，0）或（9，0）． 【解析】 【分析】（1）将点A（1，4）代入y=可得m的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求得点B坐标，再由A、B两点的坐标可得一次函数的解析式； （2）根据图象得出不等式kx+b≤的解集即可； （3）利用面积的和差关系可求解． 【详解】解：（1）把A（1，4）代入y=，得：m=4， ∴反比例函数的解析式为y=， 把B（4，n）代入y=， 得：n=1， ∴B（4，1）， 把A（1，4）、（4，1）代入y=kx+b， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）根据图象得：当或时，； ∴不等式的解集为或； （3）如图，设直线与轴交于点， ∵直线与轴交于点， ∴点坐标为， 的面积为6， ∴ ， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键 26. 为提升游客在景区内参观游览的便利性，某景区计划购进两种型号的观光车．已知型观光车的单价是型观光车单价的1.5倍，用45万元购进型观光车的数量比用40万元购进型观光车的数量少5辆． （1）A型和B型观光车的单价各是多少万元？ （2）该景区决定用不多于130万元的资金购进A型和B型观光车共50辆，最多可以购买多少辆A型观光车？ 【答案】（1）A型观光车的单价为3万元，B型观光车的单价为2万元 （2）最多可以购买30辆A型观光车 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式． （1）设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元，由题意列出分式方程，解方程即可； （2）设购买辆型汽车辆，则购买辆型汽车，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可； 【小问1详解】 设型观光车的单价为万元，则型观光车的单价为万元． 根据题意得 解得 经检验，是所列方程的根． （万元） 答：A型观光车的单价为3万元，B型观光车的单价为2万元． 【小问2详解】 设购买型观光车辆，则购买型观光车辆． 根据题意得． 解得． 最多可以购买30辆A型观光车． 27. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．平行四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线，每个任务的画线不超过四条． （1）在图①中，作出的中点M； （2）在图②中，过点A作于点H； （3）在图③中，点E为上一点，且点E为非格点，在上作点F，使； （4）在图④中，点E为上一点，且点E为非格点，在上作点G，使得． 【答案】（1） 如图所示，与格线的交点即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，点即为所求； （4） 点即为所求； 【解析】 【分析】（1）与格线的交点即为所求； （2）取格点，连接交于，则即为所求； （3）设与格线交于，连接并延长交于，点即为所求； （4）取格点、，连接交于，连接并延长交于，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取格点，连接交于，则即为所求； 根据作图可知， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图所示，设与格线交于，连接并延长交于，点即为所求； 根据作图可知， ∴， ∵， 则， 则， 故， ∴； 【小问4详解】 解：取格点、，连接交于，连接并延长交于，点即为所求； ∵，点是中点， ∴垂直平分，且平分， 则， 则， ∴； 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理和逆定理，垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质与判定，画三角形的高，等腰三角形的性质与判定等知识点，熟知相关知识是解题的关键． 28. 如图，在矩形中，，，点是边上的点且，反比例函数的图像经过点，交边于点，作直线． （1）直接写出点 、 的坐标：（____，____），（____，____），直接写出反比例函数的解析式：________．连接， 直接写出的面积：_______． （2）在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标； （3）若点在反比例函数的图像上，点在轴上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；；；；； （2） （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质及可得点的坐标，从而得出反比例函数的解析式，再把代入可得点的坐标，然后利用矩形的面积公式和三角形的面积公式可得的面积； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的周长最小，求出直线的解析式，再令可求出点的坐标； （3）分类讨论：①当，为对角线时，②当，为对角线时，③当，为对角线时，利用中点坐标公式建立方程组求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，， ∵在矩形中，，， ∴轴，轴，，， ∵点是边上的点且， ∴， ∴， ∵反比例函数的图像经过点，交边于点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴，，反比例函数的解析式为，的面积， 故答案为：；；；；；； 【小问2详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 由（1）知：， ∴，， ∴，当点、、共线时取“”， 此时取得最小值，即的周长取得最小值，最小值为， 设直线的解析式为，过点，， ∴，  解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得， ∴； 【小问3详解】 设，， ∵，， ①当，为对角线时，得： ，解得：， ∴； ②当，为对角线时，得： ，解得：， ∴； ③当，为对角线时，得： ，解得：， ∴（不符合题意，舍去）； 综上所述，存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数、一次函数及矩形的综合应用，考查坐标与图形，待定系数法确定函数解析式，矩形的性质，轴对称最短路线问题，平行四边形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $