精品解析：2025年山东省聊城市莘县、东阿县多校联考中考数学三模试卷

2025年山东省初中毕业数学中考模拟试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了数轴与绝对值，有理数的运算，弄清数轴上点的位置是解本题的关键．根据数轴上点的位置判断，且，再进一步分析即可． 【详解】解：由数轴上的点位置得：，且， ∴，，，， 故选：B． 2. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义．寻找对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合．‌根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，将一个正方体在一角处截去它的后，得到一个新的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从正面看的图形即可得到答案． 【详解】解：从左边看，看到的图形是一个正方形，在这个正方形的右上角有一个小正方形（不在大正方形的边长上的边是虚线），即看到的图形如下： 故选：A． 4. 某AI语言模型的参数总量为个，每个参数占用的字节数为，序列化后需要将所有参数存储到硬盘中，则序列化后的总字节数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．计算出序列化后的总字节数用科学记数法表示即可． 【详解】解：， 故选：D 5. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握公式是解题的关键． 根据整式的加减，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方计算判断即可． 【详解】解：A．不能合并，A选项错误； B．，B选项正确； C．，C选项错误； D．，D选项错误； 故选：B． 6. “燃动青春，跃享未来”2025春季体育节火热来袭！某班需从以下4个项目中随机选择2个参赛，①极限跳绳挑战赛；②力量拔河争霸赛；③欢乐趣味接力跑；④炫酷篮球技巧赛．则恰好选中极限跳绳挑战赛（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，列表如下： ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ 由列表可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选中极限跳绳挑战赛的结果数有6种， ∴恰好选中极限跳绳挑战赛的概率是， 故选：D． 7. 为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】表示出第二批面粉的采购量，根据“每千克面粉价格提高了0.4元”这一等量关系即可列方程． 【详解】设第一批面粉采购量为x千克，则设第二批面粉采购量为千克，根据题意，得 故选：A 【点睛】本题考查列方程解决实际问题，找出题中的等量关系列出方程是解题的关键． 8. 如图，内接于，为直径，过点A的切线交射线于点D，． 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，由此可解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 是的切线， ， ， 故选C． 9. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，点E在边上，且，连接并延长与的延长线相交于点F，则的长为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质．取的中点，连接，证得是的中位线，求得，，再求得，推出，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， ∵四边形是平行四边形，对角线，相交于点O， ∴， ∴是的中位线， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，，，与y轴交点C的纵坐标在之间，根据图象判断以下结论：①；②；③；④，（的实数）． 其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，与轴交于负半轴，得出，，，即可判断①；求出抛物线的对称轴为直线，得出，求出，结合，即可判断②；由函数图象即可判断③；根据当时，函数有最小值，为即可判断④；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，与轴交于负半轴， ∴，，， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴交于A、B两点，，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 当时，，即， 当时，， ∴， ∵抛物线与y轴交点C的纵坐标在之间， ∴， ∴，即，故②正确； 由图象可得，当时，，故③正确； 当时，函数有最小值，为， 故，即，（的实数），故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共个， 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是因式分解，掌握用提公因式法和平方差公式因式分解是解决此题的关键，先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： = = 故答案为：． 12. 若不等式组有3个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】可求不等式组的解集为，从而可求整数解为、、，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 不等式组有整数解， ， 有个整数解， 整数解为、、， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了由一元一次不等式组的整数解个数求参数取值范围，掌握求法是解题的关键． 13. 若a、b分别是关于x的方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，解题关键是掌握若方程的两个实数根分别为、，则，．根据方程的根得到，，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：a、b分别是关于x的方程的两个实数根， ，， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在半径为4的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的所在的圆恰好与相切，A，B为切点，则阴影部分的面积等于__________． 【答案】​ 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，三角形面积的计算，翻折变换，正方形的判定与性质，解决本题的关键是掌握扇形面积的相关计算． 作O点关于的对称点，连接，可得四边形为菱形，再根据圆的切线的性质可得四边形为正方形，则，最后由阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：如图，作O点关于的对称点，连接， ∵， ∴四边形为菱形， ∵折叠后的与相切， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线l是的图象，点在x轴正半轴上，．作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点，作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点，作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点．…按此作法进行下去，则点的横坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意求出点的坐标，进而找到点的坐标，逐个解答便可发现规律，进而求得点的坐标． 【详解】解：由已知得，点坐标为，且点在直线上，可知点坐标为， 由题意可知，故点坐标为， 同理可求的点坐标为， 故点坐标为， 按照这种方法逐个求解便可发现规律，点坐标为， 故点的坐标为即． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）已知，求代数式 的值． 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值和实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂和绝对值的意义计算即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：（1） ； （2）    由，得到 ∴原式． 17. （某市体育中考分必考项目和自选项目．其中必考项目是长跑和跳绳；自选项目有足球、篮球和排球．每个考生除必考项目外，任选一项自选项目．考生嘉嘉和琪琪的体育中考各项成绩如下表： 考生 自选项目 长跑 跳绳 嘉嘉 90分 95分 95分 琪琪 95分 92分 93分 （1）嘉嘉同学三项成绩的众数为_____分，琪琪同学三项成绩的中位数为_____分； （2）如果体育中考按自选项目占30%、长跑占50%、跳绳占20%计算中考体育综合成绩，通过计算说明嘉嘉和琪琪体育综合成绩谁的更高； （3）补全树状图，并求出考生嘉嘉和琪琪自选项目不同的概率． 【答案】（1） （2）嘉嘉的成绩更高一些 （3） 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、加权平均数以及树状图： （1）根据众数和中位数的定义作答即可； （2）根据加权平均数的定义列式计算即可； （3）先画树状图，再用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：观察表格，嘉嘉同学的成绩出现最多的数是，故众数为 琪琪同学的成绩按顺序排列，居于中间位置的数是，故中位数是 故答案为： 【小问2详解】 嘉嘉的成绩：（分） 琪琪的成绩：（分） 嘉嘉的成绩更高一些 【小问3详解】 共有种等可能的结果，其中，嘉嘉和琪琪自选项目不同的共有种结果 所以， 18. 数学活动课上，小慧同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图1，已知四边形是平行四边形，①连接，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q；②作直线，分别交、、于点E、O、F，连接、． 若，平分，，求四边形的面积． 同桌小明同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图2，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点P，Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边于点E，分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接，交于点G． 若，求的值． 【答案】四边形的面积为；的值为 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、作图—基本作图、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，证明为等边三角形，得出，，由作图可得，垂直平分，证明，得出，推出四边形为菱形，求出，，再由菱形的面积公式计算即可得解；由平行四边形的性质可得，，，则，由作图可得，平分，垂直平分，得出，由等角对等边可得，从而可得，，证明，由相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 由作图可得，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为； ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， 由作图可得，平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 综合与实践：小刚结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处（标注出点B的位置），入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水；（直线为法线，为入射光线，为折射光线，交于点G，且．） 第三步：在的延长线取一点P，在P处发出一束光线，移动点P的位置，使得入射光线，折射光线恰好经过点B． 【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，M，N，G，P，Q在同一平面内，测得，，，，折射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的度数． （2）求点B，D之间的距离．（结果精确到） （3）求的长．（结果精确到） （参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，三角函数的比值关系，平行四边形的判定与性质，熟悉掌握三角函数的比值关系是解题的关键． （1）根据两直线平行，同位角相等得到的值，然后根据角的和差解答即可； （2）利用正切的定义求出和长，然后根据线段的和差解题； （3）设直线交于点H，得到四边形和是平行四边形，即可得到对边相等，然后求出，在中利用正切的定义求出即可解题． 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 在中，， ， 故点B，D之间的距离约为． 【小问3详解】 解：设直线交于点H． ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在中，， ，， ∴四边形是平行四边形， ． 20. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点P在线段的延长线上． （1）如图1，过点P作y轴的平行线l，l与的图象交于点B，与x轴交于点C，当线段时，求反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）在（1）的条件下，如图2，连接并延长，与x轴交于点D，点Q为x轴上一点，且满足，求点Q的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的综合应用． （1）待定系数法求出反比例函数解析式；设点B的坐标为，则，，根据线段列出方程求出m值即可得到点B的坐标； （2）根据条件可推出，再证明，利用相似三角形性质列出，即，求出即可得到线段长，继而得到点Q的坐标． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴，， ∴反比例函数的解析式为； 设点B的坐标为，则，， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， ∴或（不符合题意舍去）， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点P在直线图象上，轴，由（1）可知， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为． 21. 如图，已知是的直径．点P在的延长线上，点D是上一点，过点B作垂直于点C，连接并延长，交的延长线于点E，且 （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是圆的半径， ∴是的切线； （2）6 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，平行线的判定和解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系、切线的判定方法是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质和平行线的判定得出，进而得到，即可得证； （2）在直角三角形中根据锐角三角函数以及勾股定理构建方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴， 在直角三角形中，，即， 故设， 则， ∴， 解得， ∴，即圆的半径是6. 22. 综合与探究 【问题情境】 如图1，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点分别作的垂线，分别与所在直线交于点． （1）求证：； 【问题解决】 （2）如图．2，将“正方形”改为“矩形”，其它条件不变．若，，求的值； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，当点为的三等分点时，求的长． 【答案】 （1）四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出，，证出，由“”可证； （2）证明，由相似三角形的性质得出，求出，则可得出答案； （3）由（2）进行分类讨论，第一种是；第二种是，分别结合，由相似三角形的性质证出，由锐角三角函数的定义得出，求出的长， 【详解】解：（1）略 （2）四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； （3）当，即点在的靠点的三等分点时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵， ∴在中， ∴， ∵， ∴； 当，即点在的靠点的三等分点时，过点作于，于点，如图所示： ∴四边形是矩形，， 同理，，则， ∵， ∴设， 在中，， ∴， 解得，或（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质． 23. 已知抛物线． （1）若，求抛物线与轴的两个交点之间的距离． （2）已知点和点是抛物线上的两点． ①直接写出的值； ②若对于任意的，直线与抛物线有两个交点和，且当时，总有．结合图象，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，以及函数图象交点与一元二次方程的关系，数形结合是解答本题的关键． （1）把代入，然后令求解即可； （2）①由顶点坐标可知，即可求出的值；②画出函数图象，结合图象求出h的临界值即可． 【小问1详解】 解：把代入，得 ， 当时，， 解得， ∴， ∴物线与轴的两个交点之间的距离为； 【小问2详解】 解：①∵， ∴抛物线顶点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴； ②∵抛物线顶点坐标为， ∴顶点在直线上移动． 如图1，当与抛物线的交点在对称轴的右侧时，当时，不总有，故不符合题意； 如图2，当与抛物线的交点在对称轴上及对称轴的左侧，与抛物线相切时，当时，总有， 把代入，得 ， 解得，即． 由，得 ， ∵与抛物线相切， ∴， 解得， ∴当时，总有，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年山东省初中毕业数学中考模拟试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将一个正方体在一角处截去它的后，得到一个新的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 某AI语言模型的参数总量为个，每个参数占用的字节数为，序列化后需要将所有参数存储到硬盘中，则序列化后的总字节数为（ ）． A. B. C. D. 5. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. “燃动青春，跃享未来”2025春季体育节火热来袭！某班需从以下4个项目中随机选择2个参赛，①极限跳绳挑战赛；②力量拔河争霸赛；③欢乐趣味接力跑；④炫酷篮球技巧赛．则恰好选中极限跳绳挑战赛（　　） A. B. C. D. 7. 为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，内接于，为直径，过点A的切线交射线于点D，． 则 （ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，点E在边上，且，连接并延长与的延长线相交于点F，则的长为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，，，与y轴交点C的纵坐标在之间，根据图象判断以下结论：①；②；③；④，（的实数）． 其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：______． 12. 若不等式组有3个整数解，则a的取值范围是______． 13. 若a、b分别是关于x的方程的两个实数根，则的值是______． 14. 如图，在半径为4的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的所在的圆恰好与相切，A，B为切点，则阴影部分的面积等于__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线l是的图象，点在x轴正半轴上，．作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点，作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点，作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点．…按此作法进行下去，则点的横坐标为____________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）已知，求代数式 的值． 17. （某市体育中考分必考项目和自选项目．其中必考项目是长跑和跳绳；自选项目有足球、篮球和排球．每个考生除必考项目外，任选一项自选项目．考生嘉嘉和琪琪的体育中考各项成绩如下表： 考生 自选项目 长跑 跳绳 嘉嘉 90分 95分 95分 琪琪 95分 92分 93分 （1）嘉嘉同学三项成绩的众数为_____分，琪琪同学三项成绩的中位数为_____分； （2）如果体育中考按自选项目占30%、长跑占50%、跳绳占20%计算中考体育综合成绩，通过计算说明嘉嘉和琪琪体育综合成绩谁的更高； （3）补全树状图，并求出考生嘉嘉和琪琪自选项目不同的概率． 18. 数学活动课上，小慧同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图1，已知四边形是平行四边形，①连接，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q；②作直线，分别交、、于点E、O、F，连接、． 若，平分，，求四边形的面积． 同桌小明同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图2，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点P，Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边于点E，分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接，交于点G． 若，求的值． 19. 综合与实践：小刚结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处（标注出点B的位置），入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水；（直线为法线，为入射光线，为折射光线，交于点G，且．） 第三步：在的延长线取一点P，在P处发出一束光线，移动点P的位置，使得入射光线，折射光线恰好经过点B． 【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，M，N，G，P，Q在同一平面内，测得，，，，折射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的度数． （2）求点B，D之间的距离．（结果精确到） （3）求的长．（结果精确到） （参考数据：，，，，，） 20. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点P在线段的延长线上． （1）如图1，过点P作y轴的平行线l，l与的图象交于点B，与x轴交于点C，当线段时，求反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）在（1）的条件下，如图2，连接并延长，与x轴交于点D，点Q为x轴上一点，且满足，求点Q的坐标． 21. 如图，已知是的直径．点P在的延长线上，点D是上一点，过点B作垂直于点C，连接并延长，交的延长线于点E，且 （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径的长． 22. 综合与探究 【问题情境】 如图1，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点分别作的垂线，分别与所在直线交于点． （1）求证：； 【问题解决】 （2）如图．2，将“正方形”改为“矩形”，其它条件不变．若，，求的值； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，当点为的三等分点时，求的长． 23. 已知抛物线． （1）若，求抛物线与轴的两个交点之间的距离． （2）已知点和点是抛物线上的两点． ①直接写出的值； ②若对于任意的，直线与抛物线有两个交点和，且当时，总有．结合图象，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $