精品解析：山东省淄博市张店区张店七中教育集团2024-2025学年下学期月考数学试卷 （6月五四制）

山东省淄博市张店区张店七中教育集团2024-2025学年下学期月考数学试卷（6月五四制） 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 若，则下列条件一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．根据不等式的性质以及有理数的加减法和乘除法法则，逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故选项A不符合题意； ∵， ∴，故选项B不符合题意； ，当时，，故选项C不符合题意； ∵， ∴，故选项D符合题意． 故选：D． 2. |3x﹣y﹣4|+|4x+y﹣3|＝0，那么x与y的值分别为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用绝对值的意义列出二元一次方程组，求解方程组的解即可得出结果． 【详解】解：∵|3x﹣y﹣4|+|4x+y﹣3|＝0， ∴|3x﹣y﹣4|＝0，|4x+y﹣3|＝0， 即得：， 解得：． 故选：D． 【点睛】此题考查非负数的性质：利用绝对值列二元一次方程组求解方程组． 3. 如图所示，在中，平分，平分，且，交于点，若，则等于（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可得和是等腰三角形，可得，从而可得，然后再利用角平分线的定义以及平角定义可得，从而在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：平分平分， 在中， 故选：C． 4. 如图，在中，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题中条件可得，即，可由与、的差表示，进而求解即可． 【详解】∵， ∴， 在和中 ∴（SAS）， ∴， ， ∵． ∴， ∴． 故选B． 【点睛】考查了全等三角形的判定及性质，解题关键是熟记其判定和性质，并灵活运用解题问题． 5. 如图，在中，，，，垂直平分，点为形线上一动点，则周长的最小值是（　　） A. 8.5 B. 9 C. 12 D. 12.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，设交于点，连接，根据垂直平分线的性质得出 ，当点与点重合时，的周长最小，据此即可求解，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，设交于点，连接， ∵垂直平分， 的周长为： ， 当点与点重合时，的周长最小， ∵，， ∴的周长最小值为： 故选B． 6. 如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论为（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键．利用证明，得，从而说明是等腰直角三角形，可知①正确；过点作于，利用证明，得，，可说明②正确；设，则，，，得，可知③正确；由，知，而点并不是的中点，可说明④错误． 【详解】解：①， ， ， ∴, ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，故①正确； ②由①知，， 过点作于， 则， ， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ，故②正确； ③由，， 设，则，，， ，故③正确； ④， ， 由①知，，， ， ， 由①知，， ， ， ， ， ， ， ，故④错误， 正确的有①②③ 故选：B 7. 如图，已知一次函数的图像经过点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一次函数的图象经过点可知，一次函数的图象向左平移一个单位经过点，然后根据图象即可得到不等式的解集． 【详解】解：一次函数的图象经过点， 一次函数的图象经过点， 由图象可知，关于的不等式的解集为． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握用数形结合的方法解题． 8. 在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到方程组的解与直线交点坐标的关系即可． 【详解】解：由题意得：方程组的方程与直线与的表达式相同， 直线的交点坐标即为方程组的解， 将带入中， 解得：， 方程组的解为：． 故选：C 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟悉两者之间的关系并进行灵活转化是解题关键． 9. 若不等式组无解，则m的值可能（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，由不等式组无解得出是解题的关键．解不等式组可得，，由不等式组无解可得，求出m的范围即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组无解， ， ， 故选：． 10. 如图，函数经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数图象平移规律可得函数y=kx+b图像向左平移1个单位得到平移后的解析式为y=k(x+1)+b，即可得出点A平移后的对应点，根据图象找出一次函数y=k(x+1)+b的值小于2的自变量x的取值范围，据此即可得答案． 【详解】∵函数y=kx+b图像向左平移1个单位得到平移后的解析式为y=k(x+1)+b， ∴A(−3，2)向左平移1个单位得到对应点为(−4，2)， 由图象可知，y随x的增大而减小， ∴关于的不等式的解集为， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数图象的平移及一次函数与不等式，正确理解函数的性质、会观察图象，熟练掌握平移规律是解题的关键. 二、填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11. 如图，利用函数图象可知关于x，y的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点与二元一次方程组解的关系，先求出函数，的交点坐标为，运用数形结合思想作答即可．掌握一次函数的交点与二元一次方程组解的关系是解题的关键． 【详解】解：由整理得， 依题意，把代入，解得， 即函数，的交点坐标为， 再结合图象得出的解为， 即关于x，y的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 12. 如图，在中，平分交于点，于点，若，，，则的面积为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线，三角形的内角和，解题的关键是过点作交于点，根据角平分线的性质，则，，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一边，求出，根据，三角形内角和，求出，根据三角形内角和，求出，根据等角对等边，三角形的面积公式，即可． 【详解】过点作交于点， ∵平分交于点，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，是的平分线，延长至点，使，连接，若，的面积为，则的面积是 ___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形角平分线定理，相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，利用相似比求面积是解答本题的关键． 依题意知，是的平分线，利用角平分线定理得到，，再利用相似三角形的性质，得到，从而得到． 【详解】解：是的平分线，, 由角平分线定理知， , 又， ， ， ， 是的平分线， ， ， 故答案为． 14. 在四边形中，与的角平分线交于点，，过点作交于点，，，连接，，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据∠DEC的度数以及角平分线的定义算出∠A+∠ABC=230°，再结合AD∥BF，得出∠CBF=50°，利用算出∠BFC=90°，最后根据和算出结果. 【详解】解：∵， ∴∠EDC+∠ECD=180°-115°=65°， 又∵与的角平分线交于点， ∴∠ADC+∠BCD=65°×2=130°， ∴∠A+∠ABC=360°-130°=230°， ∵AD∥BF， ∴∠A+∠ABF=180°， ∴∠CBF=230°-180°=50°， ∵， ∴∠BCE=40°， ∴∠BFC=90°， ∵，BF＞0， ∴， 解得：x=2， 即CE=2×2=4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查了多边形的内角和，平行线的性质，三角形的面积，角平分线的定义，有一定难度，解答本题的关键是通过角的运算得到∠BFC=90°. 15. 如图，，的内角的角平分线与的外角平分线交于点，的外角的角平分线与的反向延长线交于点，以下结论： ①；②；③；④平分；⑤．其中正确的结论有_____．（填序号） 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可得，从而得到，再由三角形外角的性质可得，从而得到，故①正确；再由平分，平分，可得，因此②正确；由是的平分线，是的平分线，结合三角形外角的性质可得到，再由等腰三角形的性质可得，从而得到，因此③正确；由，，可得与不一定相等，因此④不正确；根据和 ，可得，因此⑤正确，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，交的延长线于点，于，过点作于， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ， 是的平分线， 即， ， ，， ， ， 因此①正确； 平分，平分，， ， 即， 因此②正确； 是的平分线， ， 是的平分线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 因此③正确； ，而， 与不一定相等， 因此④不正确； ， ， ， ， ， 因此⑤正确； 综上所述，正确的结论有：①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的定义和性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质，角平分线的定义和性质、三角形内角和定理是正确解答的前提． 三、解答题（共8小题，满分90分） 16. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】（1）根据加减消元法计算即可； （2）先进行化简，再利用加减消元法计算即可； 【详解】（1）， 得：， 解得：， 代入①可得：， ∴方程组的解集为； （2）， 整理得：， 得：， 解得：， 代入①得：， ∴方程组的解集为． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确计算是解题的关键． 17. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： （1）； （2） 【答案】（1）， 在数轴上表示解集如图： （2）， 在数轴上表示解集如图： 【解析】 【分析】本题考查求不等式（组）的解集，用数轴表示不等式的解集： （1）去括号，移项，合并，系数化1，进行求解后，在数轴上表示出解集即可； （2）求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，然后在数轴上表示出解集即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ∴； 【小问2详解】 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 18. 如图，点B、F、C、E在同一直线上，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，AC、DF相交于点G，且，．求证：． 【答案】 证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】首先证明借助HL证明，由全等三角形的性质可知，然后由“等角对等边”即可证明． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关性质和判定是解题关键． 19. 如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点． （1）求的值； （2）求的面积； （3）若点在直线上，且使得是直角三角形，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征，将点代入求解即可； （2）先确定，根据两点间的距离得，，，继而得到，推出，再利用三角形的面积公式即可得出结论； （2）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴的值为； 【小问2详解】 ∵直线与轴交于点， 当时，得：，解得：， ∴， 由（1）知：， ∴，，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 【小问3详解】 ①当时， 由（2）知：， 此时点与点重合， ∴点的坐标为， ②当时，即，此时点的横坐标为，如图， ∵直线， 当时，得：， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查函数图象点的坐标特征，勾股定理的逆定理，两点间的距离，直角三角形的定义等知识点．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 20. 某商店购进甲、乙两种手写笔进行销售，若售出2支甲种手写笔和1支乙种手写笔共收入354元，若售出3支甲种手写笔和2支乙种手写笔共收入600元． （1）求甲、乙两种手写笔每支的售价是多少元？ （2）每支甲种手写笔的成本83元，每支乙种手写笔的成本103元．商店购进甲、乙两种手写笔共20支，其中乙种手写笔的数量不超过甲种手写笔数量的3倍，那么当购进甲、乙两种手写笔分别是多少支时，该商店销售完后获得利润最大？最大获利多少元？ 【答案】（1）甲、乙两种手写笔每支的售价分别是元和元 （2）购进甲5支，乙15支，获利最大，最大获利为650元 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种手写笔每支的售价分别是元和元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购进甲种手写笔支，总利润为，求出关于的函数表示式，根据乙种手写笔的数量不超过甲种手写笔数量的3倍，求出的取值范围，再根据一次函数的性质，求出最值即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种手写笔每支的售价分别是元和元，由题意，得： ，解得：， ∴甲、乙两种手写笔每支的售价分别是元和元； 【小问2详解】 解：设购进甲种手写笔支，则购进乙种手写笔支， 由题意，得：，解得：， 设总利润为， 则：， 整理，得：， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，该商店销售完后获得利润最大，为元． 即：购进甲手写笔支，乙手写笔支时，商店获得利润最大，为元． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一次函数的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组和一次函数表达式，是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，点，点均在坐标轴上，点是轴负半轴上的一动点，连接，． （1）若的面积为，在线段上存在点； ①如图1，填空：的面积为______，点的坐标为______； ②如图2，点在轴负半轴上．连接，，若，求点坐标； （2）如图3，若，在第四象限内有一动点，连接，，，且．求证． 【答案】（1）①； ；② （2） 证明如下： ∵ ∴， 又∵， ∴ ∴是等边三角形， 如图所示，在上取点，， ∵， 则是等边三角形， ∴， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ 【解析】 【分析】（1）①根据三角形的面积公式得出，继而根据三角形的面积公式，得出的面积，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，得出，进而得出点的坐标； ②过点作轴，交轴于点，过点作于点，证明，根据全等三角形的性质即可得出 （2）先证明是等边三角形，在上取点，，根据则是等边三角形，证明，即可得出，即可得证． 【小问1详解】 解：∵点，点均在坐标轴上， ∴，则 ∵的面积为， ∴，则 ∴， 如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ， ∵ ∴ 又， ∴ ∴ ∵点，点 ∴， 故答案为：； ； ②如图所示，过点作轴，交轴于点，过点作于点， ∵点； ∴ 又 ∴， ∴ ∴， ∴ 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. （1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点D在的延长线上，连接，求证：． （2）类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，D点在边的延长线上，连接．请判断： ①的度数为_________． ②线段之间的数量关系是_________． （3）问题解决：在（2）中，如果，，求线段的长． 【答案】 （1）证明：∵和均为等边三角形， ∴，，且， ∴，即． ∴， ∴； （2）①；②； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，从而可得，则可根据“”判断，即得出； （2）①根据等腰直角三角形的性质得到，即可证，根据全等三角形的性质得到；②根据全等的性质还可得到，等量代换即可得到结论； （3）先证明是直角三角形，再计算，从而可得，再运用勾股定理可得的长． 【详解】（1）略 （2）类比探究：①∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即． ∴， ∴． 故答案为：； ②∵， ∴， ∴． 故答案为：； （3）问题解决：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．利用等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质，找出使三角形全等的条件是解题关键． 23. 某数学兴趣小组在自主合作学习的过程中，发现了这样一个问题：两个具有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形，在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．在合作学习的过程中，该小组进行了如下操作： 【观察猜想】 （1）如图1，在等腰中，点D，E分别在边上，以为边，在的右侧作等腰，且，，，连接当点D与点A重合时，则有______．判定这两个三角形全等的依据是______用字母表示，线段和的数量关系是______； 【类比探究】 （2）如图2，在等边中、点D，E分别在边上，以DE为边，在DE的右侧作等边，连接当点D与点A重合时，求的度数； 【解决问题】 （3）如图3，在（2）的条件下，当点D与点A不重合时，猜想线段三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），；相等； （2）； （3），理由如下： 如图：过点D作交于点H，则为等边三角形， ∴， ∵等边， ∴， ∴，即， 由（1）同理可得：， ， ∴ 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）用证明，再运用全等三角形的性质即可解答； （2）由（1）知，再运用全等三角形的性质即可解答； （3）过点D作交于点H，则为等边三角形，进而得到，由（1）同理可证可得，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：， ∴， ， ，， ， ； 故答案为：，；相等． （2）由（1）知，， ； （3） 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省淄博市张店区张店七中教育集团2024-2025学年下学期月考数学试卷（6月五四制） 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 若，则下列条件一定成立的是（　　） A. B. C. D. 2. |3x﹣y﹣4|+|4x+y﹣3|＝0，那么x与y的值分别为（　　） A. B. C. D. 3. 如图所示，在中，平分，平分，且，交于点，若，则等于（） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，垂直平分，点为形线上一动点，则周长的最小值是（　　） A. 8.5 B. 9 C. 12 D. 12.5 6. 如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论为（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 7. 如图，已知一次函数的图像经过点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 9. 若不等式组无解，则m的值可能（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 10. 如图，函数经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11. 如图，利用函数图象可知关于x，y的二元一次方程组的解为______． 12. 如图，在中，平分交于点，于点，若，，，则的面积为 _____． 13. 如图，在中，是的平分线，延长至点，使，连接，若，的面积为，则的面积是 ___． 14. 在四边形中，与的角平分线交于点，，过点作交于点，，，连接，，则__________． 15. 如图，，的内角的角平分线与的外角平分线交于点，的外角的角平分线与的反向延长线交于点，以下结论： ①；②；③；④平分；⑤．其中正确的结论有_____．（填序号） 三、解答题（共8小题，满分90分） 16. 解方程组： （1）； （2）． 17. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： （1）； （2） 18. 如图，点B、F、C、E在同一直线上，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，AC、DF相交于点G，且，．求证：． 19. 如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点． （1）求的值； （2）求的面积； （3）若点在直线上，且使得是直角三角形，直接写出点的坐标． 20. 某商店购进甲、乙两种手写笔进行销售，若售出2支甲种手写笔和1支乙种手写笔共收入354元，若售出3支甲种手写笔和2支乙种手写笔共收入600元． （1）求甲、乙两种手写笔每支的售价是多少元？ （2）每支甲种手写笔的成本83元，每支乙种手写笔的成本103元．商店购进甲、乙两种手写笔共20支，其中乙种手写笔的数量不超过甲种手写笔数量的3倍，那么当购进甲、乙两种手写笔分别是多少支时，该商店销售完后获得利润最大？最大获利多少元？ 21. 在平面直角坐标系中，点，点均在坐标轴上，点是轴负半轴上的一动点，连接，． （1）若的面积为，在线段上存在点； ①如图1，填空：的面积为______，点的坐标为______； ②如图2，点在轴负半轴上．连接，，若，求点坐标； （2）如图3，若，在第四象限内有一动点，连接，，，且．求证． 22. （1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点D在的延长线上，连接，求证：． （2）类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，D点在边的延长线上，连接．请判断： ①的度数为_________． ②线段之间的数量关系是_________． （3）问题解决：在（2）中，如果，，求线段的长． 23. 某数学兴趣小组在自主合作学习的过程中，发现了这样一个问题：两个具有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形，在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．在合作学习的过程中，该小组进行了如下操作： 【观察猜想】 （1）如图1，在等腰中，点D，E分别在边上，以为边，在的右侧作等腰，且，，，连接当点D与点A重合时，则有______．判定这两个三角形全等的依据是______用字母表示，线段和的数量关系是______； 【类比探究】 （2）如图2，在等边中、点D，E分别在边上，以DE为边，在DE的右侧作等边，连接当点D与点A重合时，求的度数； 【解决问题】 （3）如图3，在（2）的条件下，当点D与点A不重合时，猜想线段三者之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $