精品解析：2025年山东省济南市长清区九年级数学中考三模试题

九年级中考仿真模拟数学试题 一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 如下列各图片所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图一样的是（不考虑瓷器花纹等因素）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图即可判定． 【详解】解：A选项的几何体的主视图和左视图是一样的，故符合题意； B、C、D选项的几何体的主视图和左视图是不一样的，故都不符合题意， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键． 3. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是．将数21500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的形式，满足，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】∵ ， ∴ 将用科学记数法表示为． 4. 若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和公式， 利用n边形的内角和可以表示成，结合方程即可求出答案，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：根据多边形的内角和可得： ， 解得：， ∴该多边形的边数为5， 故选：B． 5. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角形的内角和定理求出，利用全等三角形的性质即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． 6. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘运算法则计算并判定A；根据积的乘方计算并判定B；根据去括号法则计算并判定C；根据合并同类项法则判定D． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，计算正确，故此选项符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、没有同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题老查同底数幂相乘，积的乘方，去括号，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系： ①当时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当时，方程有两个相等的两个实数根； ③当时，方程无实数根． 判断出判别式的值，可得结论． 【详解】解：对于一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 8. 从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名去参加“红心向党”演讲比赛，则恰好抽到甲、丁两位同学的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽到甲、丁两位同学的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到甲、丁两位同学的结果数为2， 所以恰好抽到甲、丁两位同学的概率． 故选：A． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率． 9. 如图，在中，，，，点D为边上一点，且，以点D为圆心，以为半径作弧，交于点E，连接，再分别以B、E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M、N，作直线交于点F，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作线段，作垂直平分线，解直角三角形，等腰三角形的性质． 由作图可知，是的垂直平分线，在中，解直角三角形得到，，．过点D作于点H，设与的交点为G，在中，，由等腰三角形的性质得到，从而，在中，解直角三角形即可． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ∵，，， ∴在中，， ， ． 过点D作于点H，设与的交点为G， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∵， ∴在中，． 故选：C 10. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（　　） A. B. C. 平行四边形的周长为44 D. 当时，的面积为20 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点函数图象、平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是准确从图象中获取信息，应用相关知识求解即可． 【详解】解：当点P运动到点B处时，，即，当点P运动到点D处时，，所以，故A正确，不符合题意； 当点P运动到点D处时，，即，故B正确，不符合题意； ∴平行四边形的周长为，故C正确，不符合题意； 当时，点P在中点处，如图， 此时的面积是面积的一半， 作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为，故D错误，符合题意． 故选：D． 二．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 若分式的值为0，则x的值为____． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意根据分式值为0的条件即分子为0且分母不为0进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴x-1=0， ∴x=1. 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，注意掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 12. 下图是由9个小正方形组成的图案，从图中随机取一点，这点在阴影部分的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据几何概率求解即可． 【详解】解：图中共有9个小正方形，其中阴影部分共有5个小正方形， ∴从图中随机取一点，这点在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何概率求解，理解并掌握几何概率是解题关键． 13. 如图所示，直线，直角三角形的顶点A在直线n上，若，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】延长交m于点D．由得．由，得，故，即．那么可求得的度数． 【详解】解：如图，延长交m于点D． ∵， ∴， ∵与是对顶角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键． 14. 小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段、分别反映了小王和小张骑行所走的路程 S（千米）关于小张所用时间 t（分钟）的函数关系．根据图象提供的信息，小张比小王早到乙地的时间是_______分钟． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟悉掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．根据图象所给信息，利用待定系数法即可求出小王和小张路程的函数解析式，再把路程8代入即可求出小王和小张行走8千米的时间，作差即可． 【详解】解：由图象可知： 设的解析式为：， ∵经过点， ∴，得， ∴函数解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴小张到达乙地所用时间为48（分钟）； 设的解析式为：， ∴， 解得：， ∴的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴小张比小王早到乙地的时间是（分钟）． 故答案为：12． 15. 如图，已知正方形的对角线，交于，是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，EF=1，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，且交于点，证明四边形为平行四边形，得出，由正方形的性质得出，则可得出，由勾股定理求出的长，则可得出答案． 【详解】解∶ 正方形 取的中点，连接，且交于点 为的中点 ， 四边形为平行四边形 四边形是正方形 关于对称 ，即与重合时，最小，最小值为的长 的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、三角形中位线以及勾股定理，能够将两线段和的最小值用一条线段的长来表示是解题的关键． 三．解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了含特殊锐角三角函数值的实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先分别利用零指数幂、二次根式、绝对值、负整数指数幂的性质，及特殊锐角三角函数值进行计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 17. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，不等式组的整数解为0，1，2，3 【解析】 【分析】本题考查解不等式组，及求其整数解，先按照解不等式组的方法求解集，再根据解集写出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 该不等式组的解集为， 该不等式组的整数解为0，1，2，3． 18. 如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质．根据矩形的性质得到，，再推出，利用证明，即可得到． 【详解】略 19. 根据以下材料，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 图1是地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，长． 材料2 为了便于管理，物业在图这个车库出入口处安装车牌识别设备，如图中设像头点位于点正上方，，，，三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭． 材料3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速． （1）如图1，求斜坡的坡度； （2）如图2，当时，求的长，并判断此时车辆以最高限速行驶到达点时，问门是否已经打开，请通过计算说明．（参考数据：，） 【答案】（1）； （2） 闸门B没有打开， 如下图所示，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ，， ， 解得：， ， 车辆以最高限速行驶到达点所用时间为： 秒， ， 闸门没有打开． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，再根据直角三角形中边、角关系解答即可． 根据、的长度即可求出斜坡的坡度； 过点作于点，设，则，利用勾股定理可以得到，根据，可得，解方程求出的值，即可得到：，如果车辆以的速度行驶即可通过，而识别系统需要，所以车辆以最高限速行驶到达点时，门没有打开． 【小问1详解】 解：， ， ，， ， 斜坡的坡度为； 【小问2详解】 略 20. 在中，，延长至点D，以为直径的交的延长线于点E，过点E作的切线交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵， ∴， 又， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，等边对等角，垂径定理，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握切线的判定与性质是解答本题的关键． （1）连接，根据，可得，由得，由切线的性质和垂直的定义可得，，故可得，从而可证明； （2）连接，，由勾股定理得出，证明，求出，得；设，即，在和中，有，，即，解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，，如图， ∵是直径， ∴， ∵ ∴，， 由勾股定理得，, ∵， ∴， ∴，即, ∴， ∴， 设，即， 在中，有， 在中，有， ∴ 即， 解得：， ∴． 21. 某市教育行政部门为了解初三学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初三学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）.请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）该校初三学生总数为 人； （2）分别求出活动时间为5天、7天的学生人数为 、 ，并补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中“活动时间为5天”的扇形所对圆心角的度数是 ； （4）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是 、 ； （5）如果该市共有初三学生96000人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人？ 【答案】（1）200； （2）50，10； 频数直方图，如图所示： （3）； （4）4天，4天； （5）（人） 【解析】 【分析】（1）活动时间为2天的人数除以百分比，即可求解； （2）抽取的人数乘以活动时间为5天和7天的百分比，即可求解； （3）360°乘以活动时间为5天的百分比，即可求解； （4）根据众数，中位数的定义，即可求解； （5）96000乘以活动时间为5天，6天，7天的百分比之和，即可求解． 【详解】（1）20÷0.1=200（人）， 答：该校初三学生总数为200人． 故答案是：200； （2）200×0.05=10（人），200×（1-0.15-0.05-0.1-0.15-0.3）=50（人）， 答：活动时间为5天、7天的学生人数分别为：50人，10人． 故答案是：50，10； （3）360°×0.25=90°， 答：扇形统计图中“活动时间为5天”的扇形所对圆心角的度数是90°． 故答案是：90°； （4）∵活动时间为4天的人数最多， ∴众数是：4天， ∵总人数为200人，按活动时间从小到大排序，第100，101人的活动天数都是4天， ∴中位数是：4天． 故答案是：4天，4天； （5）96000×（0.05+0.15+0.25）=（人）， 答：估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人． 【点睛】本题主要考查扇形统计图和频数直方图，通过观察，找出有用的数据信息，是解题的关键． 22. 2024年3月28日小米发布了自己的首款新能源汽车小米，上市首日27分钟内大定突破5万台，上市24小时大定88898台，为提高产能工厂决定招聘一些无经验的新工人和有过相关工作经验的熟练工，经过调研发现2名熟练工和3名新工人每月可安装12辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装13辆电动汽车． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）工厂计划招聘400名员工，计划一个月至少生产安装1000台汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发6200元的工资，给每名新工人每月发5600元的工资，为按时完工工厂应招聘多少名新工人，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少？ 【答案】（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装3辆和2辆汽车 （2）200名 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的应用，找出数量关系列出方程组和函数解析式是解答本题的关键． （1）设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x辆和y辆汽车，列出方程组求解即可； （2）设为按时完工工厂应招聘m名新工人，根据一个月至少生产安装1000台汽车求出m的取值范围，然后列出函数解析式，利用一次函数的增减性求解． 【小问1详解】 解：设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x辆和y辆汽车， 根据题意得：， 解得： 答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装3辆和2辆汽车． 【小问2详解】 设为按时完工工厂应招聘m名新工人， 根据题意得：， 解得 ． ． ∴当时，W取最小值，最小值为2360000． 答：为按时完工工厂应招聘200名新工人，此时工厂每月支出的工资总额最少． 23. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． （1）求k，m的值； （2）已知点P为直线在第一象限上的一个动点，且点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，当时，求a的值； （3）观察图象，直接写出当时，a的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式， （1）将点坐标代入求出m，将坐标代入反比例函数解析式求出k值即可； （2）由（1）可知，反比例函数解析式为，设点P坐标为，则，列出关于a的方程解答即可； （3）数形结合得到时，a的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴． 【小问2详解】 由（1）可知，反比例函数解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或或（舍去）， ∴或， 【小问3详解】 由图象可知，当时，或． 24. 如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． （1）求抛物线M的表达式和点A的坐标； （2）点F是线段上一动点，求周长的最小值； （3）平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）， （2）最小值为 （3）P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出表达式然后求出点A的坐标即可； （2）首先得到直线的表达式为：，作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点，勾股定理求出，，进而求解即可； （3）抛物线N由抛物线M平移得到，求出抛物线N的表达式为，得到顶点P的坐标为，，作于H，则，在中，，得到，进而列方程求解即可． 【小问1详解】 ∵顶点D的坐标为， 设二次函数表达式为 将点代入得 ∴抛物线M的表达式为： 当时，或1， ∵点A在点B左侧， ∴点A的坐标为； 【小问2详解】 当时，， ∴点C的坐标为 ∴设直线的表达式为： 故解得 ∴， ， ， ， 作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点 ， ∴所在直线垂直于y轴， 关于的对称点， ∴点的坐标为， ∴点G的横坐标为 将代入得， ∴点G的坐标为， ∵，， ∴， ∴ 即周长的最小值为； 【小问3详解】 ∵抛物线N由抛物线M平移得到，设抛物线N的表达式为 将点代入得：， ∴抛物线N的表达式为 ∴顶点P的坐标为， 将代入，， ∴， 作于H，则， ∵ ∴点H为点P和点Q的中点， ∴ ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴， ∴ 或 ∴解第一个方程可得（舍）， 解第二个方程可得（舍）， 将代入P点坐标， P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及到的知识点有二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，并灵活运用分类讨论及数形结合的思想分析解决问题是解题的关键． 25. 某校数学兴趣学习小组的同学学习了图形的相似后，对三角形相似进行了深入研究． 【合作探究】（1）如图1，在中，点为上一点，，求证：． 【内化迁移】（2）如图2，在中，点为边上一点，点为延长线上一点，．若，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在菱形中，，，点是延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作交的延长线于点，若，求的长． 【综合拓展】 （4）如图4，在四边形中，，点在射线上，，且，过点作于点．当时，请直接写出的最大值_____． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴；证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）； （4）的最大值为． 【解析】 【分析】（1）证明，列出比例式即可得出结论； （2）平行四边形的性质，得到，证明，得到，求出的值即可； （3）连接交于点，延长与的延长线交于点，证明四边形为平行四边形，得到，，旋转，得到，证明，得到，求出，过点作，三角函数求出的长，勾股定理求出的长，再根据，进行求解即可． （4）作和交于点，作于点，连接、，利用平行线的性质和三角形面积公式可，得到；作的外接圆，记圆心为O，连接，利用外接圆的性质得到圆O的半径为1，进而得到；作于点，于点，设设，，则，利用勾股定理和三角函数的知识得到，令，则，整理方程得，再利用一元二次方程的判别式和一元二次不等式求出t的范围即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）连接交于点，延长与的延长线交于点， ∵菱形，， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作于H，则：，， 在中，， ∴． （4）的最大值为． 如图，作和交于点，作于点，连接、， ， ， ， ， ∵，， ，，， ， 作的外接圆，记圆心为，连接、OD、， 则， ， ， 设圆与交于，则， 是等边三角形， ， ，是等边三角形， ，O，G三点共线，即是圆的直径， ， 圆的半径为1， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， 作于点，于点，则， 则， ， ， 四边形是矩形， ，， 设，，则， ，， 在中，， ， 令，则， 则， 整理得：， ， 整理得， 令， 则，， 的解集为， ∴t的最大值为， 即的最大值为． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握相关知识点，构造三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级中考仿真模拟数学试题 一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 如下列各图片所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图一样的是（不考虑瓷器花纹等因素）（ ） A. B. C. D. 3. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是．将数21500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名去参加“红心向党”演讲比赛，则恰好抽到甲、丁两位同学的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，点D为边上一点，且，以点D为圆心，以为半径作弧，交于点E，连接，再分别以B、E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M、N，作直线交于点F，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（　　） A. B. C. 平行四边形的周长为44 D. 当时，的面积为20 二．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 若分式的值为0，则x的值为____． 12. 下图是由9个小正方形组成的图案，从图中随机取一点，这点在阴影部分的概率是________． 13. 如图所示，直线，直角三角形的顶点A在直线n上，若，则的度数为________． 14. 小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段、分别反映了小王和小张骑行所走的路程 S（千米）关于小张所用时间 t（分钟）的函数关系．根据图象提供的信息，小张比小王早到乙地的时间是_______分钟． 15. 如图，已知正方形的对角线，交于，是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，EF=1，则的最小值是___________． 三．解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 18. 如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 19. 根据以下材料，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 图1是地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，长． 材料2 为了便于管理，物业在图这个车库出入口处安装车牌识别设备，如图中设像头点位于点正上方，，，，三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭． 材料3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速． （1）如图1，求斜坡的坡度； （2）如图2，当时，求的长，并判断此时车辆以最高限速行驶到达点时，问门是否已经打开，请通过计算说明．（参考数据：，） 20. 在中，，延长至点D，以为直径的交的延长线于点E，过点E作的切线交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 某市教育行政部门为了解初三学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初三学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）.请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）该校初三学生总数为 人； （2）分别求出活动时间为5天、7天的学生人数为 、 ，并补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中“活动时间为5天”的扇形所对圆心角的度数是 ； （4）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是 、 ； （5）如果该市共有初三学生96000人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人？ 22. 2024年3月28日小米发布了自己的首款新能源汽车小米，上市首日27分钟内大定突破5万台，上市24小时大定88898台，为提高产能工厂决定招聘一些无经验的新工人和有过相关工作经验的熟练工，经过调研发现2名熟练工和3名新工人每月可安装12辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装13辆电动汽车． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）工厂计划招聘400名员工，计划一个月至少生产安装1000台汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发6200元的工资，给每名新工人每月发5600元的工资，为按时完工工厂应招聘多少名新工人，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． （1）求k，m的值； （2）已知点P为直线在第一象限上的一个动点，且点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，当时，求a的值； （3）观察图象，直接写出当时，a的取值范围． 24. 如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． （1）求抛物线M的表达式和点A的坐标； （2）点F是线段上一动点，求周长的最小值； （3）平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 25. 某校数学兴趣学习小组的同学学习了图形的相似后，对三角形相似进行了深入研究． 【合作探究】（1）如图1，在中，点为上一点，，求证：． 【内化迁移】（2）如图2，在中，点为边上一点，点为延长线上一点，．若，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在菱形中，，，点是延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作交的延长线于点，若，求的长． 【综合拓展】 （4）如图4，在四边形中，，点在射线上，，且，过点作于点．当时，请直接写出的最大值_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $