精品解析：内蒙古自治区包头市第六中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

内蒙古自治区包头市第六中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的四则运算结合模长公式即可求解； 【详解】由题意得，， 所以. 故选：D 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的交集运算即可求解. 【详解】由集合，则，故B正确. 故选：B. 3. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由已知求得，进而计算可求得的值. 【详解】由题意知，所以， 所以． 故选：D． 4. 的展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. 10 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为（）， 令，得，所以含项的系数为． 故选：D． 5. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 42 D. 84 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质先求出，再根据求和公式可求. 【详解】因为数列为等差数列，所以，所以. 所以. 故选：C 6. 过点作曲线的切线，则切线条数最多为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设切点为，根据条件，利用导数的几何意义，得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，利用零点存在性原理，可得只有一解，即可求解. 【详解】设切点为，则， 又，所以切线斜率为， 又切线过点，所以，整理并化简得， 令，则， 令，则， 易知时，，时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，又，， 所以存在唯一，使，所以切线只有一条， 故选：B. 7. 设为正实数，若，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得进而，则，解得，即可求解. 【详解】由，得， 由，且为正实数，所以， 于是，故， 所以，所以， 解得. 故选：A 8. 如图，直线与函数交点的横坐标分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】结合图象可知，，从而可解，进而求值. 【详解】由图象知图象的对称轴为直线， 即，可得， 又图象的对称中心为，即， 所以，可得， 解得，又，所以， 所以，则. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某快递公司2020－2024年快递业务量及其增长率如图所示，则（ ） A. 该公司2020－2024年快逆业务量逐年上升 B. 该公司2020－2024年快递业务量的极差为68.5 C. 该公司2020－2024年快递业务量的增长率的平均数为 D. 该公司2020－2024年快递业务量的增长率的中位数为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据图像和极差，中位数，平均数的计算公式依次判断每个选项即可 【详解】对A：由图可知：2020—2024年快递业务量逐年上升，故A正确； 对B：2020—2024年快递业务量的极差为：（亿件），故B正确； 对C：由，故C正确； 对D：将增长率从小到大排序，即，则中位数为，故D错误； 故选：ABC. 10. 如图，在正三棱柱中，，为棱的中点，点，分别在棱，上，当取得最小值时，下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与平面所成角的正切值为 C. 直线与所成的角为 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】通过展开图得到最小值时，的位置，再比较线段长和求异面直线角，通过平行线得到线面角的平面角，最后应用等体积法判断面积是否相等即可. 【详解】在正三棱柱中，其侧面展开图如图. 当取得最小值时，在侧面展开图中连接，分别交，于点，， 由相似，知点，分别为，的三等分点. 对于A，如图，过点作于点，由勾股定理，得，. 因为，，所以，故A正确； 对于B，因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角. 因为，所以为直线与平面所成的角. 又且为三等分点，所以，故B错误； 对于C，在正三棱柱中，平面.又平面，所以. 又且为的中点，所以. 因为，平面，平面，所以平面. 又平面，所以，所以直线与所成的角为，故C错误； 对于D，，，取的中点，连接，所以，，.因为平面，平面，所以平面，同理，平面， 由C的分析，知，，平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离为，点到平面的距离为. 因为，所以，即，故D正确. 故选：AD. 11. 封闭曲线是平面内与两个定点和的距离之积为2的点的轨迹，是上一点，为坐标原点，则下列说法正确的有（ ） A. 关于坐标原点对称 B. 位于直线和直线所围成的矩形框内（含边界） C. 的周长的最小值为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意得，取平方化简得（*），对于A，利用点关于坐标原点的对称点均满足（*）方程即得；对于B，利用可求得，再利用此范围回代求得即可；对于C，利用基本不等式易判断；对于D，利用（*）求出的范围即得. 【详解】依题意，知， 因为，，，所以， 两边平方，得， 即，也即（*）． 对于A，因为是上一点，所以， 令，则点也满足， 而点与关于坐标原点对称，故A正确； 对于B，由（*），得，即， 整理，得，即，因为，所以，即. 设，又，所以， 所以，即，解得， 所以位于直线和直线所围成的矩形框内（含边界），故B正确； 对于C，因为，所以， 当且仅当时取等号，此时的周长为， 即的周长的最小值为，故C错误； 对于D，由（*），得，由选项C，知， 所以.因为，所以，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及向量夹角公式计算得解. 【详解】由，得，， ． 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，以为圆心的圆经过原点，且与抛物线的准线相切，则该抛物线的焦点到其准线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知为等腰三角形，可得出，将点的坐标代入抛物线的方程，可求得的值. 【详解】由抛物线的定义结合已知条件可知，则为等腰三角形， 易知抛物线的焦点为，故，即点， 因为点在抛物线上，则，解得（负值舍去）， 所以抛物线的方程为， 所以该抛物线的焦点到其准线的距离为. 故答案为： 14. 已知函数，则______；若恰有三个不同的零点，，，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合分段函数解析式先求，再求， 【详解】因为， 所以， 所以， 设， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 当时，， 又， 所以函数为偶函数， 所以函数图象关于轴对称，故函数图象关于直线对称， 当时，， ， 令可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，， 当时，，当，且时，， 所以函数的图象如下： 设，由图象可得 当时，方程的根为， 当时，方程有两个根， 当时，方程有四个根， 当或时，方程没有根， 因为函数有个不同的零点， 所以方程有个不同的根， 所以方程有两个根或， 不妨设， 则的根为，， 方程的根为，，，， 所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于分析函数的性质，作出函数的图象，结合图象分析的解与的关系，由此将条件转化为方程的解为或，再结合图象求方程的根，由此可得结论. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知△中，是边上的点且，面积是面积的 倍. （1）求 的值； （2）若， ，求和的面积. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角平分线的性质定理，结合正弦定理可求的值. （2）设，并用结合余弦定理分别表示，，结合（1）中的结论，可求边，，进而求和的面积. 【小问1详解】 如图： 由题意，为的角平分线，根据三角形角平分线的性质可知：， 又，， 所以，即. 【小问2详解】 设， 在中，因为，，所以，所以. 在中，，，所以， 所以. 所以，又，所以，. 在中，，，，因为，所以角为直角， 所以， 所以. 16. 已知函数，． （1）若恒成立，求a的最小值； （2）若是的极小值点，求n的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）等价变形不等式，分离参数构造函数，求出函数的最大值即可. （2）利用极小值点可得，再分类讨论导数值正负确定极小值即可求出范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，不等式， 则，令，求导得， 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减， 于是，则， 所以a的最小值为. 【小问2详解】 依题意，， 求导得，由是的极小值点，得， 则，， 当时，由，得；由，得，是的极大值点，不符合题意； 当时，由，得；由，是或，是的极大值点，不符合题意； 当时，恒有成立，当且仅当时取等号，单调递减，无极值点，不符合题意； 对于时，由，得；由，是或，是的极小值点，符合题意， 所以n的取值范围是. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点在棱上，且直线与所成的角为． （1）证明：点为棱的中点； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系． 不妨设，则． 设，则， 可得， 由题意可得， 整理可得，解得， 所以点为棱的中点． （2） 【解析】 【分析】（1）建系标点，设，根据直线与的交点求得，即可得结果； （2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得：， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得． 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一点. （1）求椭圆的方程； （2）设直线不经过点交于，两点，且直线和直线的斜率之和为 ①证明：直线的斜率为定值，并求出这个定值； ②若求的面积. 【答案】（1） （2）①证明如下： 由题意可知直线的斜率存在，设直线，，， 联立方程组， 得， ， 则，，① 由题意知，， 则有， 即， 化简得， 由①可得，， 化简得， 当时，， 直线的方程为，此时直线过点，矛盾， 所以，所以直线的斜率为定值； ②. 【解析】 【分析】（1）设椭圆的半焦距为，由右焦点坐标可求，结合椭圆定义求，再根据，，的关系求，由此可得椭圆方程； （2）①设直线，利用设而不求法结合关系直线和直线的斜率之和为，列关系式可得，关系，由此证明结论； ②连接，由条件结合二倍角正切公式可求，再求点，的坐标，由此求的面积. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的右焦点为，所以，因为为椭圆上一点， 由椭圆定义得，， 所以，， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①略 ②连接，因为，，所以轴， 由直线和直线的斜率之和为，可得平分， 不妨设， 由已知，解得或舍， 所以直线的斜率为，直线的方程为，即， 所以点，关于原点对称， 所以点， 所以直线的方程为，即， 由①得，所以， 所以点，又， 所以， 所以的面积为 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 对一个给定的数列的相邻两项作差，得到一个新数列，，…，，…这个数列称为的一阶差数列．如果记该数列为，其中，再求的相邻两项之差，那么称所得数列，，…，，…为数列的二阶差数列．依此类推，对任意，可以定义数列的p阶差数列．如果的p阶差数列是一个非零常数列，那么称它为p阶等差数列．特别地，一阶等差数列就是我们常说的等差数列，二阶及二阶以上的等差数列统称为高阶等差数列． （1）若，证明：数列是二阶等差数列； （2）若，证明：数列的前n项和公式为； （3）设数列是一个三阶等差数列，其从前往后连续的若干项为1，2，8，22，47，86，…，求数列的通项公式． 【答案】（1） 设数列的一阶差数列为， 由，得， ，即， 因此数列的一阶差数列为，的一阶差数列是一个以为首项，2为公差的等差数列， 则，的二阶差数列是一个以2为首项的常数列， 根据二阶等差数列的定义，知数列是二阶等差数列. （2） ． 而， 因此， 所以． （3） 【解析】 【分析】（1）根据二阶等差数列的定义即可证得结果. （2）再分组求和，即可求得结果. （3）计算的各阶等差数列，得：1，6，14，25，39，…；：5，8，11，14，…；：3，3，3，…．再利用累加法即可求出数列，再用累加法计算得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 计算的各阶差数列，设的一阶差数列为，二阶差数列为，三阶差数列为， 得：1，6，14，25，39，…；：5，8，11，14，…；：3，3，3，…． 而是一个三阶等差数列，则是一个常数列，， 即，，2，…， 于是， ， 因此， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古自治区包头市第六中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 3 4. 的展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. 10 D. 5 5. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 42 D. 84 6. 过点作曲线的切线，则切线条数最多为（ ） A. B. C. D. 7. 设为正实数，若，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线与函数交点的横坐标分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某快递公司2020－2024年快递业务量及其增长率如图所示，则（ ） A. 该公司2020－2024年快逆业务量逐年上升 B. 该公司2020－2024年快递业务量的极差为68.5 C. 该公司2020－2024年快递业务量的增长率的平均数为 D. 该公司2020－2024年快递业务量的增长率的中位数为 10. 如图，在正三棱柱中，，为棱的中点，点，分别在棱，上，当取得最小值时，下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与平面所成角的正切值为 C. 直线与所成的角为 D. 11. 封闭曲线是平面内与两个定点和的距离之积为2的点的轨迹，是上一点，为坐标原点，则下列说法正确的有（ ） A. 关于坐标原点对称 B. 位于直线和直线所围成的矩形框内（含边界） C. 的周长的最小值为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，，则______． 13. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，以为圆心的圆经过原点，且与抛物线的准线相切，则该抛物线的焦点到其准线的距离为______． 14. 已知函数，则______；若恰有三个不同的零点，，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知△中，是边上的点且，面积是面积的 倍. （1）求 的值； （2）若， ，求和的面积. 16. 已知函数，． （1）若恒成立，求a的最小值； （2）若是的极小值点，求n的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点在棱上，且直线与所成的角为． （1）证明：点为棱的中点； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一点. （1）求椭圆的方程； （2）设直线不经过点交于，两点，且直线和直线的斜率之和为 ①证明：直线的斜率为定值，并求出这个定值； ②若求的面积. 19. 对一个给定的数列的相邻两项作差，得到一个新数列，，…，，…这个数列称为的一阶差数列．如果记该数列为，其中，再求的相邻两项之差，那么称所得数列，，…，，…为数列的二阶差数列．依此类推，对任意，可以定义数列的p阶差数列．如果的p阶差数列是一个非零常数列，那么称它为p阶等差数列．特别地，一阶等差数列就是我们常说的等差数列，二阶及二阶以上的等差数列统称为高阶等差数列． （1）若，证明：数列是二阶等差数列； （2）若，证明：数列的前n项和公式为； （3）设数列是一个三阶等差数列，其从前往后连续的若干项为1，2，8，22，47，86，…，求数列的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $