安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位. 2.答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写.要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出、确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效. 4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 若复数满足，其中是虛数单位，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3i 2. 已知向量，则实数（ ） A. -2 B. 3 C. －1 D. 6 3. 某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（ ） A. 40人 B. 36人 C. 30人 D. 24人 4. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法面出的直观图，其中，，则原四边形的周长为（ ） A. B. 20 C. 12 D. 5. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如八月有立秋、处暑，九月有白露、秋分.现从立秋、处暑、白露、秋分这4个节气中任选2个节气，则这2个节气至少有一个在八月的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 在正方形ABCD中，已知是AB的中点，现以DE为折痕将折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，此时三棱锥外接球的体积为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内切圆圆心为，半径，且满足是内切圆上一动点，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件，“点数大于2”记为事件，“点数小于3”记为事件.下列说法正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 10. 已知中，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11. 如图，已知正方体的棱长为交平面于点H，则下列说法正确的是（ ） A. 点是的重心 B. C. 面截正方体外接球所得截面的面积为 D. 以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某次期中考试随机抽取了12名同学的数学成绩作为样本，分别是53，59，61，62，67，75，77，80，82，86，90，93.则这组数据的第75百分位数为___________. 13. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则此四棱台的侧面与下底面所成二面角的正弦值为___________. 14. 在圆内接四边形中，，若，则的面积最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知， ，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 16. 为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了100名学生，统计了他们某一周的综合体育活动时间（单位：时），并按照将样本数据分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数； （2）利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率． 17. 如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点. （Ⅰ）求证：平面平面 （Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值. 18. 在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． （1）求角B； （2）若，求面积的最大值； （3）求的取值范围． 19. 唐代诗人温庭筀的《新添声杨柳枝词二首》中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，表达了诗人的相思之情．为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”（如图所示）：棱长为1的水晶正八面体（八个面都是全等的正三角形），中间的球体部分是被挖空的（表面不被破坏），并嵌入了红豆． （1）当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积． （2）超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片．甲乙两人每人抽取一次（抽取结果互不影响），求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率． （3）若点P为（1）中球面上的任一点，设，，二面角的平面角为，求证：为定值． 安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位. 2.答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写.要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出、确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效. 4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】84 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）图象： 中位数为6.4，平均数为6.2. （2）0.51． 【17题答案】 【答案】（Ⅰ）证明：以点为坐标原点，以直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，. ∴，，， ∴，， ∴，， 又，平面，平面， ∴平面，∵平面， ∴平面平面 （Ⅱ）． 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 证明：过点P做交AB（或其延长线）于点M， 过点P做交AD（或其延长线）于点N． 则，， 为二面角的平面角． 在中，；① 在中，．② 由①②得， 从而， 所以，即． 所以为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $