三角函数的图象和性质 讲义-2026届高三数学一轮复习

三角函数的图象和性质 课前学习任务 一、必备知识 1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定义域 R R ____ 值域 ___ ___ R 周期性 ____ ____ ____ 奇偶性 ____ ____ 奇函数 单调递 增区间 ____ ____ ____ 单调递 减区间 ____ ____ 无 ____ ___ ____ ____ 无 注意： y＝tan x在其定义域内不单调． 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1) y＝Asin(ωx＋φ)表示一个振动量的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈R 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ (2) 函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤如下： 3．三角函数的对称性与周期T的关系 (1) 相邻的两条对称轴(或两个对称中心)之间的距离为； (2) 相邻的对称中心与对称轴之间的距离为； (3) 相邻的两个最低点(或最高点)之间的距离为T． 4．与三角函数奇偶性有关的结论 (1) 若函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)． (2) 若函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)． (3) 若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝(k∈Z)． 二、练基础 1．(人A必一P213习题T7改)函数y＝2tan的定义域是(　　) A． B． C． D． 2．(人A必一P214习题T12)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递减的是(　　) A．y＝|sinx| B．y＝cosx C．y＝tanx D．y＝cos 3．将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为(　　) A．y＝sinx B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 4．函数f(x)＝cos x－cos 2x是(　　) A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为 5．(人A 必一P241习题T4)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为____． 课堂核心考点 考点一 三角函数的周期性、对称性 例1　(1) 已知函数f(x)的一条对称轴为直线x＝2，一个周期为4，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝sinx B．f(x)＝cosx C．f(x)＝sinx D．f(x)＝cosx (2) (多选)已知函数f(x)＝sin 3x＋cos 3x＋，则下列结论正确的有(　　) A．f(x)的最小正周期为 B．f(x)关于点对称 C．f(x)关于直线x＝对称 D．f(x)在区间上单调递减 变式1　记函数f(x)＝sin＋b(ω＞0)的最小正周期为T，若＜T＜π，且函数y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　　) A．1 B． C． D．3 考点二 三角函数的单调性 视角1　求单调区间 例 2－1　 (1) 函数y＝sin x＋cos x的单调递增区间是____． (2) 函数y＝3tan的单调区间为 　__． (3) 函数f(x)＝的单调递减区间为____． 视角2　根据单调性求参数 例 2－2　(1) 已知函数f(x)＝sin(2x－φ)在上为增函数，则φ的取值范围为____． (2) 若函数f(x)＝2sin在上单调递增，则实数a的最大值是(　　) A． B． C． D． 变式 2－2　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间上单调，且满足f＝－1，f＝0，则ω＝____． 考点三 三角函数的最值 例3　(1) 函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是____． (2) 若函数f(x)＝sin2x＋2cos2x＋m在区间上的最大值为6，则实数m的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 变式3　已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)cos x－，若f(x)在区间上的值域为，则实数m的取值范围是____． 课后提升练 1．函数f(x)＝2sin的对称中心有(　　) A． B． C． D． 2．设函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)，已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且的最小值为，则ω＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．当x∈[0,2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 4．(多选)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象关于中心对称，则(　　) A．y＝f(x)在上单调递减 B．y＝f(x)在上有2个极值点 C．直线x＝是一条对称轴 D．直线y＝－x是一条切线 答案解析 课前学习任务 1. 且　[－1，1]　[－1，1]　2π　2π π　奇函数　偶函数　　[2kπ－π，2kπ] 　，　[2kπ，2kπ＋π] (kπ，0)　　x＝kπ＋　x＝kπ 1. D　【解析】 由3x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以函数的定义域是. 2. A　【解析】 y＝|sin x|的最小正周期为π，且在区间上单调递减，y＝cos x的最小正周期为2π，y＝tan x在区间上单调递增，y＝cos 的最小正周期为4π. 3. B　【解析】 将函数f(x)＝sin 的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝sin ＝sin (2x＋)的图象，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 的图象． 4. D　【解析】 由题意知定义域为R，且f(－x)＝cos (－x)－cos (－2x)＝cos x－cos 2x＝f(x)，所以该函数为偶函数．又f(x)＝cos x－cos 2x＝－2cos2x＋cosx＋1＝－2＋，所以当cos x＝时，f(x)取得最大值为. 5. y＝2sin 　【解析】 由题图知A＝2，＝＋＝，所以T＝π，所以ω＝2，所以三角函数的解析式是y＝2sin (2x＋φ).因为函数的图象过这一点，把点的坐标代入三角函数的解析式，得2＝2sin ，所以φ－＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z.因为0<φ<π，所以φ＝，所以三角函数的解析式是y＝2sin . 课堂核心考点 例1　(1) B　【解析】 A中，T＝＝4，B中，T＝＝4，C中，T＝＝8，D中，T＝＝8，排除C，D；对于A，当x＝2时，函数值为sin ＝0，故(2，0)是函数图象的一个对称中心，排除A；对于B，当x＝2时，函数值为cos ＝－1，故x＝2是函数图象的一条对称轴． (2) ACD　【解析】 f(x)＝sin 3x＋cos 3x＋＝2sin (3x＋)＋.对于A，f(x)的最小正周期为，故A正确；对于B，f＝2sin ＋＝，故B错误；对于C，f＝2sin ＋＝2＋，为函数最大值，故C正确；对于D，若x∈，则3x＋∈，故f(x)在区间上单调递减，故D正确． 变式1　A　【解析】 ω＝∈(2，3)，函数y＝f(x)的图象关于点中心对称，则有b＝2，且f＝2，所以sin (ω＋)＋2＝2，则ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝，k∈Z.由ω∈(2，3)得k＝4，ω＝，故f＝sin ＋2＝－1＋2＝1. 例2-1　(1) 　【解析】 因为y＝sin x＋cos x＝sin (x＋)，令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z).又x∈，所以所求函数的单调递增区间为. (2) ，k∈Z　【解析】 y＝3tan (－2x)＝－3tan ，由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z，得－＋＜x＜＋，k∈Z，所以y＝3tan 的单调递减区间为，k∈Z. (例2-1(3)) (3) ，k∈Z　【解析】 画出y＝cos (2x－)的图象，位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，如图所示，可观察得f(x)的单调递减区间． 例2-2　(1) 　【解析】 由x∈，可得2x－φ∈，又≤，则≤－φ≤，且f(x)在上为增函数，所以解得≤φ≤. (2) A　【解析】 由函数f(x)＝2sin 在上单调递增，则函数y＝sin 在上单调递增．由题意得a>0，令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f(x)在(k∈Z)上单调递增．易知k＝0，有－≤x≤，所以0<a≤，所以实数a的最大值为. 变式2-2　　【解析】 依题意，f(x)min＝f＝－1，而函数f(x)在上单调，则函数f(x)的最小正周期T≥2×＝.又f＝0，－＝<T，因此＝，解得T＝，所以ω＝＝. 例3　(1) 1　【解析】 f(x)＝1－cos2x＋cosx－＝－cos2x＋cosx＋＝－＋1，由x∈，可得cos x∈[0，1]，当cos x＝时，函数f(x)取得最大值1. (2) C　【解析】 f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m＝sin2x＋cos 2x＋m＋1＝2sin ＋m＋1，当0≤x≤时，≤2x＋≤，则函数f(x)的最大值为f＝2sin ＋m＋1＝m＋3＝6，解得m＝3. 变式3　　【解析】 f(x)＝sin x cos x＋cos 2x－＝sin 2x＋cos 2x＝sin ，当x∈时，2x＋∈，显然sin ＝sin ＝－，sin ＝1，且正弦函数y＝sin x在上单调递减．由f(x)在区间上的值域为，得≤2m＋≤，解得≤m≤，所以实数m的取值范围是. 课后提升练 1. C　【解析】 令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，故f(x)的对称中心为，k∈Z，经检验只有k＝0时，符合题意． 2. B　【解析】 由题意可知x1为f(x)的最小值点，x2为f(x)的最大值点，则|x1－x2|min＝＝，即T＝π，又ω>0，所以ω＝＝2. 3. C　【解析】 因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin 的最小正周期为T＝，在平面直角坐标系中结合五点法画出函数y＝sin x与y＝2sin 在[0，2π]上的图象如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点． (第3题) 4. AD　【解析】 由题得f＝sin ＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z.又0<φ<π，所以k＝2，φ＝，故f(x)＝sin .对于A，当x∈时，2x＋∈，由y＝sin u的图象知y＝f(x)单调递减，故A正确；对于B，当x∈时，2x＋∈，由y＝sin u的图象知y＝f(x)在上只有1个极值点，故B错误；对于C，当x＝时，2x＋＝3π，f＝0，则直线x＝不是对称轴，故C错误；对于D，由y′＝2cos ＝－1，得cos (2x＋)＝－，解得2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，从而x＝kπ或x＝＋kπ，k∈Z，所以函数y＝f(x)在点处的切线斜率为－1，切线方程为y－＝－(x－0)，即y＝－x，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$