福建省福州第三中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

福州三中 2024-2025 学年第二学期期末考试 高二数学试卷 命题人：高二数学集备组 审卷人：高二数学集备组 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔书写作答．若在试题卷上作答，答 案无效． 第 I 卷 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. 已知集合    1,2,3,4,8 ,A B x x A= =  ，则 A B = A． 1 B． 1,2 C． 1,4 D． 1,2,4 【答案】C 【解析】由 x A 可知  1,4,9,16,64B = ，所以 A B =  1,4 ，故选 C． 2. “ 2a  ”是“关于 x 的不等式 2 2 0x x a− +  有实数解”的 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为关于 x 的不等式 2 2 0x x a− +  有实数解，所以 4 4 0a = −  ，所以 1a  ， 又由于   | 1 | 2a a a a  ，所以“ 2a  ”是“关于 x 的不等式 2 2 0x x a− +  有实数解”的必要 不充分条件，故选 B． 3. 10( 1)x − 的展开式的第 6 项的系数是 A． 610C B． 6 10C− C． 5 10C D． 5 10C− 【答案】D 【解析】 10( 1)x − 的展开式的第 6 项为 5 5 56 10C ( 1)T x= − ，所以系数为 5 10C− ． 4. 已知随机变量 X ~ ( )22,N  ，若 ( )3 0.1P X  = ，则 ( )1 2P X  = A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1 【答案】B 【解析】根据正态分布的对称性可知 (1 3) 1 2 ( 3) 0.8P x P x  = −  = ，所以 ( )1 2P X  =0.4 . 5. 已知 ,  都是锐角， 3 3 cos ,cos( ) 5 5   = + = − ，则cos 的值为 A． 24 25 B． 24 25 − C． 7 25 D． 7 25 − 【答案】C 【解析】因为 ,  都是锐角，所以 0 π  +  ，则 4 sin 5  = ， 4 sin( ) 5  + = ． 所以   3 3 4 4 7 cos cos ( ) cos( )cos sin( )sin 5 5 5 5 25             = + − = + + + = −  +  =    ． 6. 已知定义在R上的奇函数 ( )f x 的图象关于直线 1x = 对称．当  )1,0x − 时， ( ) 2 2f x x= + ， 则 3 2 f   =    A． 3− B． 1− C．1 D．3 【答案】B 【解析】因为函数 ( )f x 的图象关于直线 1x = 对称，所以 3 1 2 2 f f     =        ，又因为函数 ( )f x 是奇函数，所以 1 1 1 2 2 f f     = − − = −        ． 7. 已知函数 2 1( ) 3sin cos cos ( 0) 2 f x x x x   = + +  在区间  0,π 上只有一个零点和两个极大值 点，则的取值范围是 A． 7 5 6 3      ， B． 2 5 3 3      ， C． 2 11 , 3 12      D． 7 17 , 6 12      【答案】A 【解析】由 2 1 3 1 cos 2 1 ( ) 3 sin cos cos sin 2 2 2 2 2 x f x x x x x      + = + + = + + π sin(2 ) 1 6 x= + + ， 设 π 2 6 z x= + ，由 [0,π]x 可得 π π [ , 2 π ] 6 6 z  + ， 如图作出函数 sin 1y z= + 在 π π [ , 2 π ] 6 6 z  + 上的图象． 由图，要使函数 ( )f x 在  0,π 上只有一个零点和两个最大值点， 需使 5π 7π 2 π 2 6 2 π  +  ，解得 7 5 6 3   ． 故选 A． 8. 已知 ABC△ 是锐角三角形，内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c．若 2 2a b bc− = ， 则 a b c+ 的取值范围是 A． 3 2 , 3 2        B． 3 3 , 3 2        C． 6 3 , 3 2        D． 6 6 , 3 2        【答案】A 【解析】方法一：因为 2 2a b bc− = ，得 2 2a b bc= + ． 由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ， 所以 2 2 2 2 cosb bc b c bc A+ = + − ，即 2 cosb c b A= − ． 由正弦定理得 sin sin 2sin cosB C B A= − ， 因为 π ( )C A B= − + ，则 sin sin( ) sin cos cos sinC A B A B A B= + = + ， 所以 sin sin cos cos sinB A B A B= − ，即sin sin( )B A B= − ． 因为 ABC 是锐角三角形，所以 π 0 2 A  ， π 0 2 B  ，所以 π π 2 2 A B−  −  ． 又 siny x= 在 π π , 2 2   −    上单调递增，所以B A B= − ，则 2A B= ． 因为 ABC 是锐角三角形，所以 π 0 2 B  ， π 0 2 2 A B =  ， 2 0 3 π πC B = − ， 所以 π 6 π 4 B  ， 由正弦定理得 sin sin 2 sin 2 sin sin sin sin(π 3 ) sin sin 3 a A B B b c B C B B B B = = = + + + − + 2 2 sin 2 2sin cos sin sin 2 cos cos 2 sin sin 2sin cos cos 2 sin 1 2cos 2 cos 1 2cosB B B B B B B B B B B B B B B B = = = + + + + + + − 2 1 4cos 2cos 2cos B B B = = 因为 π 6 π 4 B  ，所以 2 3 cos , 2 2 B        ， 故 1 3 2 , 2cos 3 2 a b c B   =   +   故选：A． 方法二：因为 2 2a b bc− = ，所以 2 2a b bc= + ， 因为 ABC 是锐角三角形，所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a a c b a b c  +   +   +  ① ② ③ ，又因为 2 2a b bc= + ， 所以由①得 2 2 2b c b bc+  + ，即 2c bc ，即 c b ，所以0 1 b c   ， 由②得 2 2 2b bc c b+ +  ，即 0b c+  ，恒成立， 由③得 2 2 2b bc b c+ +  ，即 2 22 0b bc c+ −  ，即 2 2 1 0 b b c c     + −         ，解得 ( ) 1 0 2 b b c c  或 舍去 ， 所以 1 1 2 b c   ． 由于 2 2 2 2 22 2 2 22 2 1 b b a a b bc c c b c b bc c b bc c b c     +   +     = = =  + + + + +    +    ， 令 1 1 2 b t t c   =      ，则 ( ) 2 2 2 1 1 1 , 11 3 21 1 a t t t b c tt t +    = = =     + +   + + ， 所以 3 2 , 3 2 a b c     +   ． 故选：A． 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项 是符合题目要求的，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 设 ,A B为一次随机试验中的两个事件．若 ( ) ( ) ( )| 4 1 1 1 , 3 8 P PB AA BP A= = =， ，则 A． ( ) 3 4 P A = B． ( ) 1 | 2 P B A = C． ( ) 1 4 P AB = D． ( ) 7 8 P A B = 【答案】ABC 【解析】因为 ( ) 1 4 P A = ，所以 ( ) 3 4 P A = ，故 A 正确； 因为 ( ) 1 8 P AB = ，所以 ( ) ( ) ( ) 1 | 2 P AB P B A P A = = ，故 B 正确； 因为 ( ) 1 | 2 P B A = ，根据乘法公式得， ( ) ( ) ( ) 2 1 1 | 3 2 3 P AB P A P B A= =  = ，故 C 正确； 由全概率公式可得， ( ) ( ) ( ) 3 1 1 4 4 2 P AB P A P AB= − = − = ，故 D 错误， 故选 ABC ． 10. 如图，点 ,A B是函数 ( ) ( )sin ( 0,0 2π)f x x   = +    的图象与直线 3 2 y = 相邻两个交点， 且 5π π , 0 12 12 AB f   = − =    ，则 A． 4ω B． 5π 3  = C．函数 ( )f x 在 π π , 3 2       上单调递减 D．若将函数 ( )f x 的图象沿 x 轴平移个单位，得到一个偶函数的图象，则  的最小值 为 π 24 【答案】ACD 【解析】令 ( ) ( ) 3 sin 2 f x x = + = 得， π 2 π 3 x k + = + 或 2π 2 π 3 x k + = + ， Zk ， 由图可知： 2π 2 π 3 Ax k + = + ， π 2 π+2π 3 Bx k + = + ， 所以 1 5π 3 B AAB x x  = − =  ， 所以 1 5π 5π 3 12  = ，所以 4ω ，故 A 选项正确， 所以 ( ) ( )sin 4f x x = + ，由 π 0 12 f   − =    且 π 12 x = − 处在减区间，得 π sin 0 3    − + =    ， 所以 π π 2 π 3 k− + = + ， Zk ， 所以 4π 2 π 3 k= + ， Zk ， 因为 0 2π  ，所以 2π 3  = − ，故 B 错误. 当 π π , 3 2 x       时， π 5π π 4 ,2π 3 3 3 x   +  +    ， 因为 siny t= − 在 5π π , 2π 3 3 t    +    为减函数，故 ( )f x 在 π π , 3 2       上单调递减，故 C 正确； 将函数 ( )f x 的图象沿 x 轴平移 个单位得 ( ) π sin 4 4 3 g x x    = − + +    ，（ 0  时向右平移， 0  时向左平移）， ( )g x 为偶函数得 π π 4 π 3 2 k + = + ， Zk ， 所以 π π 24 4 k  = + ， Zk ，则  的最小值为 π 24 ，故 D 正确. 故选：ACD. 11. 已知曲线 2 : sin 1 2 y C x+ = ，则下列说法正确的有 A．当 [ 8,8]x − 时，曲线C 与 x 轴恰有 4个交点 B．曲线C 图象关于 π 2 x = 对称 C．当 π 0, 2 x        时，曲线C 上的点 P到原点距离的最小值大于1 D．当 π ,0 2 x    −    时，曲线C 上的点 P到原点距离的最大值为 2 【答案】BC 【详解】对于 A，令 0y = ，由 2 sin 1 2 y x+ = 得 sin 1x = ，解得 ( ) π 2 π 2 x k k= + Z ， 因此由 ( ) π 8 2 π 8 2 k k−  +  Z 解得 ( ) 4 1 4 1 π 4 π 4 k k− −   − Z ，所以 k 可以取 1− , 0 ,1， 因此当 [ 8,8]x − 时，曲线C 与 x 轴有3个交点，故 A 错误； 对于 B，在曲线C 上任取一点 ( )0 0,M x y ，则 2 0 0sin 1 2 y x+ = ， 因为点 ( )0 0,M x y 关于直线 π 2 x = 的对称点是 ( )0 0π ,M x y − ， 而 ( ) 2 2 0 0 0 0sin sin 1 2 2 y y x x+ − = + = ，所以点 ( )0 0π ,M x y − 在曲线C 上， 因此曲线C 关于直线 π 2 x = 对称，故 B 正确； 设 ( ) π π , 2 2 P x y x   −      ，因为点 P是曲线C 上一点，所以 2 sin 1 2 y x+ = ， 因此当 π π , 2 2 x    −    时，曲线C 上的一点 P到原点距离 2 2 2 π π2 2sin 2 2 d x y x x x   = + = − + −      ， 令 ( ) 2 π π2 2sin 2 2 f x x x x   = − + −      ，则 ( ) ( ) ( ) π π 2 cos 2 cos 2 2 f x x x x x x   = − − = −   −    ， ∴ ( ) ( )2 1 sin 0f x x= +  ，∴ ( )f x 在 π π , 2 2   −    上递增， 且 π π 3 2 0 6 6 2 f    = −          ， π π 2 2 0 4 4 2 f    = −          ， 因此存在 0 π π , 6 4 x       ，当 π 2 − 0x x  时， ( ) 0f x  ；当 0 π 2 x x  时， ( ) 0f x  ， 所以函数 ( )f x 在 0 π , 2 x   −    上单调递减，在 0 π , 2 x       上单调递增，且 0 0cosx x= ， 0 1 2 sin , 2 2 x        ， 函数 ( )f x 在区间 π 0, 2       上的最小值为 ( ) 20 0 0sin 2sin 3f x x x= − − + ， 令 0 1 2 sin , , 2 2 t x t   =      ，则 ( ) 2 2 3f t t t= − − + ，因为函数 ( )f t 在区间 1 2 , 2 2        上单调递减， 所以 ( ) min 1 5 2 3 2 1 2 2 f t  − − + = −  ， 所以当 π 0, 2        x 时，曲线C 上的一点 P到原点距离的最小值大于1，故 C 正确. 对于 D，函数 ( )f x 在区间 π ,0 2   −    上的最大值为 ( ) 2 max π π 4 2 2 f x f     = − = +        ， ∴ max 2d  ，故 D 错误； 故选：BC 第 II 卷 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分 12. 已知实数 ,x y 满足 2 24 3 1 0x y xy+ − − = ，则 xy的最大值为 ． 【答案】1 【解析】由题意，在 2 24 3 1 0x y xy+ − − = 中， 2 20 4 3 1 4 3 1x y xy xy xy= + − −  − − ， 当且仅当 2 2x y= =  时取等号， 即 1xy  . 13. 在平面直角坐标系 xOy中，角 与角 均以Ox 为始边，它们的终边关于 x 轴对称．若 tan 2 = ，则 ( )sin 3 + = . 【答案】 4 5 【解析】角 与角 均以Ox 为始边，它们的终边关于 x 轴对称，所以 2 πk = − + ， 所以 ( ) 2 2 2 2sin cos 2tan 4 sin 3 sin 2 2sin cos 5sin cos 1 tan            + = = = = = + + ． 14. 已知甲袋中有 1 个白球和 2 个黑球，乙袋中有 2 个白球，这 5 个球除颜色外无其他差 异．现从甲、乙两袋中各取出 1 个球，交换后再放入甲、乙两袋中（即甲袋中取出的球 放入乙袋，乙袋中取出的球放入甲袋）．如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作 X， 则 ( )E X = ． 【答案】 16 9 【解析】由题意可知：X 所有可能取值为 1，2，3， 可得 ( ) 1 1 2 2 1 1 1 3 3 3 3 2 3 P X = =  +   = ， ( ) 2 1 1 1 3 3 3 2 9 P X = =   = ， ( ) ( ) ( ) 5 2 1 1 3 9 P X P X P X= = − = − = = ， 所以 ( ) 1 5 1 16 1 2 3 3 9 9 9 E X =  +  +  = . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分 13 分）已知数列 na 的前 n项和为 nS ， nS n       是首项和公差均为 1 的等差数 列. （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 1 1 n n n b a a + = （ *nN ），求数列 nb 的前 n 项和 nT ． 解：（1）由 n S n       是首项和公差为 1 的等差数列，得 1 1n S n n n = + − = ，则 2nS n= ， 当 1n = 时， 1 1a = 当 2n  时， 2 21 ( 1) 2 1n n na S S n n n−= − = − − = − ， 因为 1 1a = 满足上式， 所以数列 na 的通项公式 2 1na n= − . （2）因为 ( )( )1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 n n n b a a n n n n+   = = = −  − + − +  ， 所以 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1 n n T n n n n          = − + − + + − = − =        − + + +         ． 16. （本小题满分 15 分）已知 ABC△ 的内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，且 ( )sin 3 cosc A b a C= − ． （1）求 A； （2）若 6BC = ， AD为 ABC△ 的角平分线，且 1AD = ，求 ABC△ 的面积． 解：（1）由正弦定理得， sin sin 3sin 3sin cosC A B A C= − ， 因为 sin sin( ) sin cos sin cosB A C A C C A= + = + ， 所以 sin sin 3sin cosC A C A= ， 因为 ( )0,πC ，所以 sin 0C  ， 所以 sin 3cosA A= ，即 tan 3A = ， 又因为 ( )0,πA ，所以 π 3 A = ． （2）因为 AD为 BAC 的平分线，则 π 6 BAD CAD = = ， 因为 ABC BAD CADS S S= +△ △ △ ， 则 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 AB AC BAC AB AD BAD AD AC CAD   =    +    ， 即 1 3 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 bc c b =   +    ，化简得 3b c bc+ = ， 在 BAC△ 中，由余弦定理可得 ( ) 22 2 2 2 cos 2 2 cosa b c bc BAC b c bc bc BAC= + −  = + − −  ， 即 ( ) 2 6 3 2bc bc bc= − − ，整理可得 ( ) 2 2 0bc bc− − = ，解得 2bc = ， 所以 ABC△ 的面积 1 1 3 3 sin 2 2 2 2 2 ABCS bc BAC=   =   =△ . 17. （本小题满分 15 分）“英才计划”最早开始于 2013 年，由中国科协、教育部共同组织实 施，到 2023 年已经培养了 6000 多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某 高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动． （1）若参加数学学科夏令营的 7 名中学生中恰有 3 人来自 A 中学，从这 7 名中学生中 选取 3 名中学生，求选取的中学生中来自Ａ中学的人数 X 的分布列和数学期望； （2）在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一 组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于 3，则取得本轮胜利．已 知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为 1p , 2p ．假设甲、乙两人每次 答题相互独立，且互不影响． （i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率 P； （ii）当 1 2 4 3 p p+ = 时，求 P 的最大值. 解：（1）由题意知，X 的可能取值有 0，1，2，3， ( ) 3 4 3 7 C 4 0 C 35 P X = = = ， ( ) 2 1 4 3 3 7 C C 18 1 C 35 P X = = = ， ( ) 1 2 4 3 3 7 C C 12 2 C 35 P X = = = ， ( ) 3 3 3 7 C 1 3 C 35 P X = = = ， 所以的分布列为： X 0 1 2 3 P 4 35 18 35 12 35 1 35 ( ) 4 18 12 1 9 0 1 2 3 35 35 35 35 7 E X =  +  +  +  = . （2）（i）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为 ，则 ( )12,B P ， 设乙答对题数为，则 ( )22,B P ， 设“ A =甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”, 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 2 2P A P P P P P P     = = = + = = + = = ( ) ( )1 2 2 2 2 1 2 2 2 22 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2=C 1 C C C 1 C CP P P P P P P P− + − + ( ) ( )2 2 2 21 1 2 2 2 1 1 22 1 2 1P P P P P P P P= − + − + 2 2 2 2 1 2 1 2 1 23 2 2P P PP P P= − + + （ii）因为 1 2 4 3 p p+ = ，所以 2 2 1 2 1 2 8 ( ) 3 3 P A P P PP= − + 由 1 20 1,0 1P P    ，又 1 2 4 3 p p+ = ，所以 1 1 1 3 P  ， 则 2 1 2 1 1 1 1 4 4 3 3 PP P P P P   = − = −    ，又 1 1 1 3 P  ，所以 1 2 1 4 , 3 9 PP       ， 设 1 2t PP= ，所以 ( ) 2 8 1 43 , , 3 3 9 P A t t t   = − +     ，由二次函数可知当 4 9 t = 时取最大值 16 27 ， 所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为 16 27 . 解法 2：（1）随机变量 X 服从超几何分布，其中 N = 7，M = 3，n = 3， 所以 ( ) 3 3 4 3 7 C C , 0,1,2,3 C k k P X k k − = = = ， 所以 ( ) 9 7 M E X n N = = （2）（i）因为甲、乙两人每次答题相互独立， 设甲答对题数为 ，则 ( )12,B P ，乙答对题数为，则 ( )22,B P ， 设“ A =甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”， 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 2 2P A P P P P P P     = = = + = = + = = ， ( ) ( )1 2 2 2 2 1 2 2 2 22 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2=C 1 C C C 1 C CP P P P P P P P− + − + ( ) ( )2 2 2 21 1 2 2 2 1 1 22 1 2 1P P P P P P P P= − + − + 2 2 2 2 1 2 1 2 1 23 2 2P P PP P P= − + + （ii）因为 1 2 4 3 p p+ = ，所以 2 2 1 2 1 2 8 ( ) 3 3 P A P P PP= − + 由 1 20 1,0 1P P    ，又 1 2 4 3 p p+ = ，所以 21 2 1 2 4 0 ( ) 2 9 P P PP +   = ， 当且仅当 1 2 2 3 p p= = 时取等号 设 1 2t PP= ，所以 ( ) 2 2 8 4 16 3 3( ) 3 9 27 P A t t t= − + = − − + ， 所当 4 9 t = 时，有最大值 16 27 ， 所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为 16 27 . 18. （本小题满分 17 分）已知双曲线C 的一条渐近线为 y x= ，且过点 ( )2, 2 ． （1）求 C 的方程； （2）已知O为坐标原点，过C 的右焦点 F 作直线 l 与C 的右支交于 ,M N 两点． （i）若 MFO△ 和 NFO△ 的面积的比值为 2，求直线 l 的方程； （ii）若M 关于O的对称点为 P ，试判断直线 NP与圆 2 2 2x y a+ = 的位置关系，并说明 理由． 解：（1）设双曲线方程为 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b − =   ，则 ( ) 2 2 2 2 1, 22 1, b a a b  =    − =  解得， 2, 2, a b =  = 所以 C 的方程为 2 2 1 2 2 x y − = ． （2）C 的右焦点为 ( )2,0 ，设直线 l 的方程为 2x ty= + ， 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ， 与方程 2 2 1 2 2 x y − = 联立可得： ( )2 21 4 2 0t y ty− + + = , 则由 2 2 1 2 2 1 2 2 1 0, 8 8 0, 4 , 1 2 0, 1 t t t y y t y y t  −    = +   −  + =  −   =  − 得 2 1t  ． 因为 MFO△ 和 NFO△ 的面积的比值为 2，所以 1 2 2, y y = − 所以 1 2 2y y y+ = − ，所以 2 2 4 1 t y t = − ， 1 2 8 1 t y t − = − ， 所以 ( ) 2 1 2 2 2 2 32 2 11 t y y tt = − = −− ， 解得 2 1 17 t = ，满足 2 1t  ，所以 1 17 t =  ， 所以直线 l 的方程为： 17 2 17 0x y− − = 或 17 2 17 0x y+ − = ． （3）依题意得 1 1( , )P x y− − ，则直线 NP的斜率 2 1 2 1 2 1 2 1( ) 4 y y y y k t x x t y y + + = = = + + + ， 直线 NP的方程为 ( )1 1y y t x x+ = + ，即 1 1 0tx y tx y− + − = ． 圆心O到直线 NP的距离为 1 1 2 1 tx y d t − = + ， 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 t x tx y y d t − + = + 因为 2 21 1 1 12, 2x y x ty− = = + ， 所以 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 ( 2) 2 ( 2) (1 ) 4 2 1 1 t y ty ty y t y ty t d t t + − + + − − + = = + + ， 又因为 ( )2 21 11 4 2 0t y ty− + + = ，所以 2 2 2 2 2 2 1 t d t + = = + ， 所以直线 NP与圆 2 2 2x y a+ = 相切． 19. （本小题满分 17 分）已知函数 ( ) lnf x x ax b= + − ，其中 , Ra b . （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）若函数 ( ) ( )g x xf x= . （i）证明：曲线 ( )y g x= 图象上任意两个不同点处的切线均不重合. （ii）当 1b = 时，若存在 ( )1,x − + ，使得 1 sin ( 1) 2 x g x + 成立，求实数 a 的取值范围. 解：（1） ( )f x 的定义域为 ( )0,+ ， 由 ( ) lnf x x ax b= + − ，得 ( ) 1 1 ax f x a x x  + = + = ， ①当 0a  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 ( )0,+ 上单调递增； ②当 0a  时，则当 1 0,x a    −    时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增； 则当 1 ,x a  − +       时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减； 综上，当 0a  时 ( )f x 在 ( )0,+ 上单调递增； 当 0a  时， ( )f x 在 1 0, a   −    单调递增，在 1 , a    − +    单调递减； （2）（i）由 ( ) ( ) 2lng x xf x x x ax bx= = + − ，得 ( ) 2 ln 1g x ax x b = + − + ， 设点 ( )( )1 1,A x g x 和点 ( )( )2 2,B x g x ，不妨设 1 20 x x  ， 则曲线 ( )y g x= 在点A 处的切线 1l 方程为 ( ) ( )( )1 1 1y g x g x x x− = − ， 即 ( ) ( ) ( )1 1 1 1y g x x g x x g x= − + ； 同理曲线 ( )y g x= 在点 B处的切线 2l 方程为 ( ) ( ) ( )2 2 2 2y g x x g x x g x= − + ； 假设 1l 与 2l 重合，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2 2 2 g x g x g x x g x g x x g x     =  − + = −  + ， 化简得， ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 ln ln 2 0 1 x x a x x a x x  − + − =  + = − . 两式消去 a，得 1 2 1 2 1 2 ln ln 2 0 x x x x x x − − − = + ，则 1 1 2 12 2 1 ln 2 0 1 x x x xx x − − = + ， 令 ( ) 1 2 0 1 x t t x =   ， 1 ln 2 1 t h t t t ，由 ( ) 0h t  ， 所以 ( )h t 在 ( )0,1 上单调递增，所以 ( ) ( )1 0h t h = ，即 ( ) 0h t = 无解， 所以 1l 与 2l 不重合，即对于曲线 ( )y g x= 在任意两个不同点处的切线均不重合. （ii）当 1b = 时，先解决对于 ( )1,x  − + ，不等式 ( )1 2sin 0g x x+ −  恒成立， 令 1x t ， ( ) ( ) 2 ln 2sin 1m t at t t t t= + − − − ，则 ( ) 0m t  在 ( )0, + 上恒成立， 由 ( )1 0m  ，解得 1a  . 下面证明当 1a  时， ( ) 0m t  在 ( )0, + 上恒成立. 则当 1a  时， ( ) ( )2 ln 2sin 1m t t t t t t + − − − ，令 ( ) ( )2 ln 2sin 1p t t t t t t= + − − − ， 则 ( ) ( )2 ln 2cos 1p t t t t= + − − ， 则当  )1,t + 时，由 2 2t  ， ( )2cos 1 2t −  − ，则 ( ) 0p t  ， 则 ( )p t 在 ( )1,+ 上单调递增，所以 ( ) ( )1 0p t p = ； 当 ( )0,1t 时，令 ( ) ( ) ( )2 ln 2cos 1t p t t t t = = + − − ， 则 ( ) ( ) 1 2 2sin 1 0t t t  = + + −  ，则 ( )t 在 ( )0,1 上单调递增， 所以 ( ) ( ) ( )1 0t p t p  =  = ，所以 ( )p t 在 ( )0,1 上单调递减， 所以 ( ) ( )1 0p t p = 成立， 所以对于 ( )1,x  − + ，不等式 ( )1 2sin 0g x x+ −  恒成立时，实数 a 的取值范围为 )1,+ . 所以 ( )1,x  − + ，使得 ( )1 2sin 0g x x+ −  成立时， a 的取值范围为 ( ),1− . 福州三中2024-2025学年第二学期期末考试 高二数学试卷 命超人：高二数学集备如 审卷人：高二数学集备恒 注意事项： 1。答慧前。考生务必将自已的班龈、准者证号、址名填写在答题卡上， 2.第卷毒小题选出答家后，用B铅笔把答题卡上对应题目的答爱标号涂黑：如需改动，用橡成擦 千净后，再速涂其他答童标号。第Ⅱ鬼必颜用05是来黑色签字笔书写作答，若在试题喜上作答，答 聚无数 第I卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.已知集合A=在23,4剧，B-{小：e小，则4nB= A. B.L2到 C.(1) D.{L2,4 2.“a<2是“关于x的不等式2-2x+a<0有实数解的 A.充要条件 B必要不充分条件 C.充分不必要条件 D。既不充分也不必要条件 3.(红-)的展开式的第6项的系数是 A.Cl B.-C C.cio D.-C。 4.已知随机变量X~N(2o2).若P(X>3)-01,则P1sX≤2)= A.0.8 B.0.4 C.02 D.0.1 三已知4B都是领角，a号a+=-子则oB的值为 3 A若 B若 c子 D 6.已知定义在R上的奇函数f()的图象关于直线x=1对称.当x≤-1,0)时，f(闭=2红+2， 则側 A.-3 B.-1 C.I D.3 高二数学试卷第1页/供4页 7.已知函数f倒-√5 X CO+cogr+ (@>0)在区间，x]上只有一个零点和两个极大值 2 点，则®的取值范围是 A别 B.開剧 c.間 。居 8.已知△MBC是锐角三角形，内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若d2-=be, 则什。的取值范围是 ) 59。 9。.(9 二、选择题：本大题共3小题，年小愿6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设么B为一次随机试验中的两个事件.若P(个-子PB创4列=行P(4)=,则 AP(闪- B.P叫8剧-月 C.P() D.Pa-号 10.如围，点4B是函数f儿)=m(r+j(o>0,0<p<2树的图象与直线y=5相邻的两个交 点，且w网音}=0，则 A.0=4 B=号 C.函数/冈在（作上单调递减 D.若将函数f(x)的图象沿x轴平移日个单位，得到一个偶函数的图象，则间的最小值 为品 1山。已知曲线C:亏+mx1,则下列说油正确的有 A.当x[8,8剧时，曲线C与x轴恰有4个交点 B.曲线C图象关于x=对称 C。当x[0时，曲线c上的点P到厦点距离的量小值大于 D.当x0]时，曲线C上的点P到原点距离的最大值为2 高二数学试卷第2页共4页 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知实数xy满足4x2+y2-3-1=0,则罗的最大值为一 13,在平面直角坐标系xO中，角口与角B均以0x为始边，它们的终边关于x轴对称.若 tna=2,则si如(B+3a)=一 14.已知甲袋中有1个白球和2个黑球，乙袋中有2个白球，这5个球除颜色外无其他差 异，现从甲、乙两袋中各取出1个球，交换后再放入甲、乙两袋中（即甲袋中取出的球 放入乙袋，乙袋中取出的球放入甲袋).如此交换两次后，甲袋中的白球个数记：卡X, 则E(X)=一· 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（13分)已知数列a,)的前m项和为8，侣}是首项和公差均为1的等差数列 (1)求数列{a,}的通项公式： 2②)设久寸(eN),求数列他}的前项和工。 16.(15分)已知△MBC的内角A,B,C所对的边分别为a,i,c,且cimA=3(b-acosC). (1)求A: (2)若BC=√后，D为△MBC的角平分线，且AD=1,求△4BC的面积. 高二数学试卷第3页/共4页 17.(15分)“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023 年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假 期间从中学挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动， (1)若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自A中学，从这7名中学生中 选取3名，求选取的中学生中来自A中学的人数X的分布列和数学期望： (2)在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人 组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对思数不小于3，则取得本轮胜利。已 知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道愿的概率分别为A,乃，假设甲、乙两人每 次答题相互独立，且互不影响 ()求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率P: ()当A+A-号时，求P的最大值 18（17分)已知双曲线c:号卡-1(a>06>0)的-一条新近线为y=,且过点2同。 (1)求C的方程： (2)已知O为坐标原点，过C的右焦点F作直线1与C的右支交于M,N两点， ()若△F0和△NF0的面积的比值为2，求直线1的方程： (i)若M关于O的对称点为P,试判断直线P与圆x2+y=a的位置关系，并说明 理由 19.(17分)已知函数f()=lmr+ar-b,其中a,beR (1)讨论f()的单调性： (2)若函数g()=对（国. ()证明：曲线y=g(x)图象上任意两个不同点处的切线均不重合 （(i)当b=1时，若存在xe(-1+),使得血x>8x+)成立，求实数a的取值范围. 高二数学试卷第4页共4页