精品解析：湖南省地质中学2024-2025学年高二下学期7月期末数学试题

高二期末数学试卷 一、单选题 1. 设是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于（ ） A. B. C. D. 2. 若，，，则实数，，之间的大小关系为 A. B. C. D. 3. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极小值为 B. 的极大值为 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 5. 已知函数，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平面四边形中，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若存在实数、，使得，且，则的最大值为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 5 8. 在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线左､右两支于两点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数（ ） A. 若在上单调递增，则实数的取值范围是 B. 若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 C. 当在区间上不单调，则实数的取值范围是 D. 若的单调递减区间为，则. 11. 曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线在点处的曲率，其中是的导函数．下面说法正确的是（    ） A. 若函数，则曲线在点与点处的弯曲程度相同 B. 若是二次函数，则曲线的曲率在顶点处取得最小值 C. 若函数，则函数的值域为 D. 若函数，则曲线上任意一点的曲率的最大值为 三、填空题 12. 若存在直线与曲线，都相切，则的范围是__________. 13. 已知是函数的两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在恰有2个极值点，则实数取值范围为_____________. 14. 设抛物线，点是抛物线的焦点，点在轴正半轴上（异于点），动点在抛物线上，若是锐角，则的范围为__________． 四、解答题 15. 如图，在长方体中，，，与交于点，的中点为. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 16. 设函数 （1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围； （2）设，若当时，函数的两个极值点，满足，求证：. 17. 已知函数，其中. （1）求函数的最小值； （2）若有两个极值点，求实数的取值范围，并证明： 18. 定义在R上的连续函数对任意实数x，y，恒有，且当时，，又. （1）求证：为奇函数； （2）求函数在上的最大值与最小值 19. 已知函数． （1）求函数在区间上的最大值； （2）求函数零点的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二期末数学试卷 一、单选题 1. 设是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的模的平方结合单位向量的定义可得，由此即可得解. 【详解】由题意是两个单位向量，且， 所以，解得， 由，所以. 故选：C. 2. 若，，，则实数，，之间的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断三个数a、b、c与0，1的大小，即可得到结果． 【详解】∵，∴a=20.3＞20=1， ∵, ∴b=， 又，即0<c<1， 所以． 故选B． 【点睛】本题考查指对幂函数的单调性的应用及指对互化的运算，属于基础题． 3. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为，根据已知可得，由同角三角函数关系化简得，结合角的范围求. 【详解】设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为， 故，故，即，解得或. 因为，则，故. 故选：A 4. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极小值为 B. 的极大值为 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调区间，进而求出函数的极值. 【详解】因为，所以， 令，得或；令，得； 所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减， 所以在处有极大值，极大值为； 在处有极小值，极小值为. 故选：B. 5. 已知函数，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意构造函数，得到，表示出，再借助导数求出的最小值即可. 【详解】∵，， ∴， 令， ∴在上单调递增， ∴，即， ∴， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ∴， ∴的最小值为， 故选：B. 6. 如图，平面四边形中，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在中，计算半径即可. 【详解】 ，又，则平面 将三棱锥补形为如图所示的直三棱柱，则它们的外接球相同， 由直三棱柱性质易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上， 记的外心为，由为等边三角形，即为等边三角形， 由，则由正弦定理有，即．又， 故在中，， 此即为外接球半径，从而外接球表面积为． 故选：A 7. 已知函数，若存在实数、，使得，且，则的最大值为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题首先可根据正弦函数性质得出、，然后根据得出，根据得出，最后根据得出，即可得出结果. 【详解】因为，， 所以，， ，即，， ，即，， 则， 因为，所以，， 因为，所以的最大值为， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据正弦函数性质求参数，能否根据求出、是解决本题的关键，考查计算能力，是难题. 8. 在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意，得到点的轨迹，然后利用向量计算即可. 【详解】因为 得，即 所以点在的角平分线上，设的中点为 因为，所以点在线段上， 不妨设， 所以 易知 所以 因为 所以 因为 所以 故选：B 【点睛】关键点点睛：表示了两个向量的角平分线. 二、多选题 9. 已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线左､右两支于两点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质，结合双曲线的定义，建立的等量关系式求解. 【详解】 如果为直角，设，则， 又，，所以， 由，则，得， 在中，，即， 即， 化简得，所以； 如果为直角，设， 则，，，， 因为， 所以，故， 在中，由余弦定理可知， 整理得，即，所以，故B正确； 如果为直角，则，， 则，又， 所以，，， 在等腰直角中，， 即， 化简得，所以，故C正确. 故选：BC. 【点睛】关键点睛：求解离心率的关键是结合题中的已知关系，找出之间的数量关系. 10. 已知函数（ ） A. 若在上单调递增，则实数的取值范围是 B. 若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 C. 当在区间上不单调，则实数的取值范围是 D. 若的单调递减区间为，则. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于选项A，由在上单调递增，可得在上恒成立，分离出参数，根据二次函数的单调性可求出实数的范围；对于选项B：因为由在上存在单调递减区间，可得在上有解，分离出参数，根据二次函数的单调性可求出实数的范围；对于选项C，当时，得出，根据在区间上不单调，列出关于的不等式组 ，求出实数的范围；对于选项D，由的单调递减区间为，可知是的一个根，即可求出. 【详解】由函数可知：函数的定义域为，导数. 对于选项A：因为在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 分离出参数，可得在上恒成立. 又因为二次函数在上单调递增， 所以在上， 所以，故选项A正确. 对于选项B：因为在上存在单调递减区间， 所以在上有解，即在上有解， 分离出参数，可得在上有解. 又因为二次函数在上单调递增， 所以在上， 所以，故选项B错误. 对于选项C：当时，. 令，解得. 因为在区间上不单调， 所以导数在区间上有极值点， 则，解得：，故选项C错误. 对于选项D：因为的单调递减区间为， 所以是的一个根，即， 解得：，故选项D正确. 故选：AD. 11. 曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线在点处的曲率，其中是的导函数．下面说法正确的是（    ） A. 若函数，则曲线在点与点处的弯曲程度相同 B. 若是二次函数，则曲线的曲率在顶点处取得最小值 C. 若函数，则函数的值域为 D. 若函数，则曲线上任意一点的曲率的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据曲率的定义求出曲率，由曲率函数为偶函数判断A，计算二次函数曲率，可知时有最大值判断B，求出函数的曲率函数，换元后求值域即可判断C，求出的曲率利用均值不等式求最大值判断D. 【详解】对于A，，，则， 又，所以为偶函数，曲线在两点的弯曲长度相同，故A正确； 对于B，设，， 则，当且仅当， 即时，曲率取得最大值，故B错误； 对于C，， ，令，则， 当时，；当时，单调递增且，单调递减 且，单调递增且， 根据复合函数的单调性知在时单调递减， 所以可知在时单调递增， 所以的最大值为，所以，即，故C正确； 对于D，， ， 当且仅当时，等号成立，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12. 若存在直线与曲线，都相切，则的范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设直线与相切于点，，结合导数的几何意义可求得切线方程；根据该方程的唯一性可得方程组，整理得到；令，利用导数可求得的值域，由此可得的范围. 【详解】设该直线与相切于点， ，， 该切线方程为：，即； 设该直线与相切于点， ，， 该切线方程为：，即， ，则； 令，； 当时，；当时，； 在，上单调递减；在，上单调递增； 又，，，的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查曲线公切线相关问题的求解，求解曲线公切线的基本思路是假设切点坐标，利用导数的几何意义分别求得两曲线的切线方程，根据切线方程的唯一性构造方程组来进行求解. 13. 已知是函数的两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在恰有2个极值点，则实数取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数零点的最小距离可得，再利用平移规则和函数奇偶性可求得，根据函数在内恰有2个极值点可限定出，即可解得实数的取值范围. 【详解】由，即， 可得或， 根据正弦函数图象性质可知，解得， 则； 将函数的图象向左平移个单位可得， 又为偶函数， 则，又，可得，因此； 当时，可知， 若函数在内恰有个极值点，可知， 解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦函数图象性质根据两零点的最小距离求得，再由平移后的函数为偶函数求得，得出函数的解析式后问题便迎刃而解. 14. 设抛物线，点是抛物线的焦点，点在轴正半轴上（异于点），动点在抛物线上，若是锐角，则的范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 设，由是锐角得到对任意恒成立.令，则对任意恒成立,再通过分类讨论求出m的取值范围. 【详解】设，可知，且， 所以，， 因为是锐角，所以， 即， 整理得， 等价于对任意恒成立； 令，则对任意恒成立； 因为的对称轴为，故分类讨论如下： （1），即时， ， 所以； （2），即时， 应有， 得； 综上所述：. 【点睛】本题主要考查抛物线中的范围问题，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 四、解答题 15. 如图，在长方体中，，，与交于点，的中点为. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 如图，以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，，与交于点，的中点为， 所以，，，，，， 所以，，， 所以，， 所以，即，又，平面，所以平面； （2）直线与平面所成角的正弦值为； （3）平面与平面夹角的余弦值为. 【解析】 【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量方法证明，结合线面垂直判定定理证明平面； (2)求直线的方向向量和平面的法向量，利用向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面的法向量，利用向量夹角公式求平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)，，所以，，， 设平面的法向量为，则，， 所以，，取，可得， 所以向量为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 由(1)，，，设平面的法向量为， 则，，所以，，取，则，所以为平面的一个法向量， 又向量为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16. 设函数 （1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围； （2）设，若当时，函数的两个极值点，满足，求证：. 【答案】（1）； （2）证明：因为， ∴， 由的两根为，，故可得， 因为，所以， 又，所以，解得， ∴， ∴，， 设，， 则， 当，，是增函数； 所以； 因此. 【解析】 【分析】（1）先由题中条件，得出函数定义域，由题意，得到在上有两个零点，即在上有两个不等实根，设，，得到函数与直线在上有两个不同交点，对函数求导，判定其单调性，得出最值，进而可得出结果； （2）对函数求导，根据题中条件，由韦达定理，得到，求出得到，，设，对其求导，用导数的方法求出最值，即可得出结果. 【详解】（1）由已知，可知函数的定义域为， 在上有两个零点， 即方程在上有两个不等实根， 设，， 因此函数与直线在上有两个不同交点， 又， 由得；由得； 则函数在上单调递增，在上单调递减； 则； 又当时，，当时，； 为使函数与直线在上有两个不同交点， 只需，解得， 即实数的取值范围是. （2）略 【点睛】本题主要考查由函数极值点个数求参数，考查由导数的方法证明不等式，属于常考题型. 17. 已知函数，其中. （1）求函数的最小值； （2）若有两个极值点，求实数的取值范围，并证明： 【答案】（1） （2） ， 求导可得， 因为函数有两个极值点， 所以导函数有两个正的零点，且在零点左右附近导数值异号， 所以二次函数必有两个正的零点， 故，解得，即实数的取值范围是. 又，代入中可得 ， 设，则， 所以，即. 又由（1）中可知（在取等号）， 所以当时，，再结合， 可得， 所以. 综上，成立. 【解析】 【分析】（1）先求函数的导函数，求函数单调性最后求出最值即得； （2）先根据极值点求极值点的和差，再构造函数再求导函数根据单调性证明不等式即可. 【小问1详解】 对求导可得， 令，得， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以函数的最小值为； 【小问2详解】 略 18. 定义在R上的连续函数对任意实数x，y，恒有，且当时，，又. （1）求证：为奇函数； （2）求函数在上的最大值与最小值 【答案】 （1）令，得 令，，得， ∴ ∴，即 ∴为奇函数 （2）最大值2，最小值-4. 【解析】 【分析】（1）令得到，再令，，利用奇偶性的定义证明. （2）设，，由主条件得到，再判断其正负,然后利用单调性求最值. 【详解】（1）略 （2）设，， 则，即 ， ， ∴在R上是减函数 ， ，，， ∵在R上是减函数 . 19. 已知函数． （1）求函数在区间上的最大值； （2）求函数零点的个数． 【答案】（1） （2）有2个零点 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，判断函数在上的单调性，即可求得答案； （2）分区间讨论，结合函数的导数，判断函数的单调性，结合零点存在定理以及函数值的正负情况，即可判断出答案. 【小问1详解】 ∵， ∴， 令，则， ∵，∴，∴在上单调递增， 又，， 故存在唯一，使得， 则时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 故为在上的极小值， 又，，则， 故函数在区间上的最大值为. 【小问2详解】 函数的定义域是，， ①当时，∵，， ∴，∴在上单调递减， 又，∴，故此时的零点为； ②当时，由（1）知，，，， 且在上单调递减，在上单调递增， 故函数在区间有唯一零点，也即在上有唯一零点； ③当时，令，， 则， ∴在上单调递增， ∴， 又，故对任意，都有， ∴函数在区间上没有零点， 综上，函数有且仅有2个零点． 【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，涉及函数的单调性、极值以及零点问题，解答的难点在于零点个数的判断，解答时要能结合导数判断函数的单调性以及函数值情况进行判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $