湖南省长沙市望城区第六中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

望城区六中2027届高三10月月考 数学 一、单选题 1.C【解析】由得. 故. . 由此可得. 故选：C. 2.D【解析】由，得，结合，得. 两边平方整理得，故. 故选：D. 3.D【解析】因为，所以. 4.D【解析】由得， 代入，得， 整理得， 故. 故选：D. 5.B【解析】由三角形面积公式得，解得. 由余弦定理得，代入，得，整理得. 由完全平方公式得，故. 故选：B. 6.C【解析】由，展开得，移项整理得，从而. 分子分母同除以，代入得，解得. 由正切二倍角公式得. 故选：C. 7.B【解析】令，原方程化为，直线与最多有个不同交点. 要原方程有六个不相等的实数根，等价于有两个不同实根，且. 设， 由二次方程根的分布可得：， 解该不等式组， 化简得. 故选：B. 8.D【解析】考虑函数，其中，将其表示为指数形式便于分析， 即，定义，研究该函数的最小值即可确定的最小值. 对求导得，令，解得. 分析导数符号变化，当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 因此在处取得极小值，也是最小值. 计算最小值为， 从而， 所以函数在区间上的最小值为. 故选：D. 二、多选题 9.AB【解析】对于A，当a＝0，b＝0，c<0时，满足b2－4ac≤0，但此时ax2＋bx＋c≥0不成立，故A错误．对于B，若a，b，c∈R，a>c且b＝0时，推不出“ab2>cb2”，故B错误；对于C，若方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根，则Δ＝1－4a>0，且x1x2＝a<0，则a<0，又“a<1”是“a<0”的必要不充分条件，故C正确；对于D，a>1⇒<1，但是<1⇒/　a>1，故D正确． 10.AC【解析】对于选项A， 由，得最小正周期， 故A正确. 对于选项B，令，， 解得，，不属于该解集， 故B错误. 对于选项C，令，， 解得，，取得， 故是的一个零点，C正确. 对于选项D， 由，得， 即的值域为， 故D错误. 故选：AC. 11.ABD【解析】，求导得. 令， 解得，，或时，单调递增，时，单调递减， 故是的一个极小值点，A正确. 计算， 化简得， 由此可得的对称中心为，B正确. 设过点的切线切点为，切线斜率为， 由切线过点得， 整理得， 解得唯一根， 故过点仅能作一条切线与相切，C错误. 令，则等价于，解方程得三个根，，，满足， 结合的极值与单调性，有个不同实根，和各有个不同实根， 故共有个零点，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12.【解析】设，求导得. 代入得，. 由点斜式得处切线方程为， 整理得. 故答案为：. 13. 【解析】已知函数，要解，需分情况讨论： 当（即）时：此时， 由，解不等式：，移项得； 结合，得. 当（即）时：此时， 由，解得； 但与无交集，故此情况无解. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 14.【解析】由，得， 整理得. 代入目标式得， 化简得， 由基本不等式得. 当且仅当， 即，时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 解：(1)由正弦定理得， 由两角和正弦公式得右边为， 因为， 所以， 化简得. 整理得，又， 故. (2)由得三角形面积， 解得. 由余弦定理得， 代入得. 结合周长为，得， 代入整理得， 解得. 16. 解：(1)由得，，，整理得，. 当时，，解得，故数列是以为首项，为公比的等比数列，得. (2)由得，计算得. 当时，，故；当时，，故. 当时，，故，因此，由此可得数列的最大值为. 17. (1)证明：连接交于点，连接，得是的中点， 因为为的中点， 所以为的中位线， 故. 又平面，平面， 所以平面. (2)解：设的中点为，连接并延长交于点， 由得， 故. 因为为直三棱柱， 所以平面平面，结合平面平面，得平面. 侧面为矩形， 故，以为原点，分别以直线，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. 设，得，，， 由此得，. 设平面的法向量为， 由，得，令，得. 取平面的一个法向量， 由二面角的大小为，得. 代入得， 解得，负值舍去， 由此得，，. 设直线与平面所成的角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 解：(1)由得，代入得，，从而曲线在点处的切线方程为. 联立切线与得，整理得，由两曲线恰有一个公共点，得方程判别式，化简得. (2)，定义域为，求导得，由得的符号由决定. 当时，对任意，都有，故，在上单调递增；当时，时，，时，，故在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. (3)至少存在一个零点等价于在上至少有一个实根，即在上有解. 设，，令，，则，对求导得，在上单调递增，在上单调递减，故的最大值为. 对求导得，在上单调递增，在上单调递减，故的最大值为， 结合单调性一致，得在上单调递增，在上单调递减，故的最大值为，因此，即的取值范围为. 19. (1)解：由, 得为以、为焦点,长轴长为4的椭圆. 设的方程为, 由得, 又, 故, 因此的方程为. (2)①证明：由,得的斜率； 因为, 故、、的斜率成等差数列. ②解：在中令,得, 故； 同理. 的中垂线为； 的中点为,的中垂线为. 联立两中垂线方程,解得. 由,, 因, 故, 即, 化简得, 故. 由, 代入， 得, 解得, 故. 、 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 望城区六中2027届高三10月月考 数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（5分）已知集合，则（） A. B. C. D. 2.（5分）设复数，且，则（） A. B. C. D. 3.（5分）已知，则下列结论正确的是（      ）  A. B. C. D. 4.（5分），，，则（） A. B. C. D. 5.（5分）在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且，若的面积为，则的值为（） A.6 B.8 C. D. 6.（5分）已知，则（） A.-4 B. C. D. 7.（5分）已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 8.（5分）我们解不等式时，可以采用如下方法：等价于，即.根据以上思路求解：函数的最小值为（） A.0 B.1 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题意的。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.（6分）下列叙述中不正确的是(　　) A. 若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是“b2－4ac≤0” B. 若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c” C. “a<1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D. “a>1”是“<1”的充分不必要条件 10.（6分）设函数，则下列结论正确的是（） A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称 C.的一个零点为 D.的值域为 11.（6分）已知函数，则下列说法正确的是（） A.是函数的一个极小值点 B.函数的对称中心为 C.过点能作两条不同直线与相切 D.函数有个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（5分）曲线在处的切线方程为                   ． 13.（5分）已知函数若，则m的取值范围是                  ． 14.（5分）已知，则的最小值是                   ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知在中，内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若的周长为，面积为，求． 16.（15分）设为数列的前项和，且， (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的最大值． 17.（15分）如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，，二面角的大小为． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18.（17分）已知函数为自然对数的底数). (1)若在处的切线与恰有一个公共点，求的值； (2)若，讨论函数的单调性； (3)若函数至少存在一个零点，求的取值范围. 19.（17分）已知点，动点满足，动点的轨迹记为. (1)求的方程； (2)直线与轴交于点为上的动点，过作的两条切线，分别交轴于点. ①证明：直线的斜率成等差数列； ②经过三点，是否存在点，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $