精品解析：2025年河南省周口市项城市项城市一中、二中等校九年级中招模拟考试三模数学试题

2025年河南省中考仿真模拟考试（二） 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．写在试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1. 在下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：A．是整数，属于有理数，故不符合题意； B．0是整数，属于有理数，故不符合题意； C．是无理数，故符合题意； D．是分数，属于有理数，故不符合题意． 故选：C． 2. 如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的前提．根据简单组合体的三视图的画法画出它的左视图即可． 【详解】解：这个组合体的左视图的底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形． 故选：A． 3. 年政府工作报告提到：年，高技术制造业、装备制造业增加值分别增长、，新能源汽车年产量突破万辆．其中数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值较大的数，解题关键是熟练掌握科学记数法的表示方法． 根据科学记数法的表示方法即可得解． 【详解】解：根据科学记数法可得：万． 故答案为：． 4. 为贯彻落实全国教育大会以及《教育强国建设规划纲要》精神，切实保障学生每天综合体育活动时间不低于2小时，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的知识，众数是数据中出现次数最多的数，中位数是将数据从小到大排列后位于中间的数．根据众数和中位数的概念求解． 【详解】解：将数据从小到大排列：，，，，． 众数：数据中出现次数最多的数是（出现2次）． 中位数：数据个数为5（奇数），中位数为第3个数，即． 因此，众数为，中位数为， 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方运算，合并同类项，完全平方公式及平方差公式的概念，熟练掌握运算和公式是解决本题的关键． 根据幂的乘方运算，需分别对系数和字母部分乘方判断A选项，根据合并同类项判断B选项，根据完全平方公式判断C选项，根据平方差公式判断D选项． 【详解】选项A：，但选项A结果为，错误； 选项B：与为不同类项，无法合并为，错误； 选项C：展开时，完全平方公式应为，选项C为，错误； 选项D：应用平方差公式，其中，， 则，与选项D一致，正确． 故选：D． 6. 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设共有x人，物品的价格为y钱，根据“每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱”列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，可得． 故选：C． 7. 如图，是的直径，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，进一步计算即可解答． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：A． 8. 如图是抛物线的部分图象，直线是抛物线的对称轴，下列结论不正确的是（ ）． A. B. C. 函数的最大值为 D. 关于x的方程没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，图象法确定一元二次方程的根个数，从函数图象中获取信息，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴；当时，函数有最大值为：；故A，C选项正确，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴和的函数值相等，均为， 由图象可知：，故B选项正确，不符合题意； 由图象可知，抛物线和直线有2个交点， ∴关于x的方程有2个实数根；故D选项错误，符合题意； 故选D． 9. 将一个含角的直角三角尺和直尺如图放置，当时，，，，四个角中与互余的角的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角板中角度的计算，平行线的性质，根据平角的定义，余角的定义和平行线的性质进行判断即可． 【详解】解：由图可知，， ∴与互余， ∵直尺的对边平行， ∴， ∴， ∴与互余，与互余； 故与互余的角的个数是3个； 故选C． 10. 如图，在中，是的中点．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；④作直线，交于点．则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图、平行线的判定和性质、三角形的中位线，理解题意并灵活运用所学知识是解题的关键． 由作图过程可知，则，可得，再根据是的中点可推出是的中点，即可求解． 【详解】解：A：由作图过程可知，该选项正确，故该选项不符合题意； B：∵，∴，，该选项正确，故该选项不符合题意； C：∵是的中点，，∴，∴，该选项正确，故该选项不符合题意； D：根据已知条件不能得出，故该选项符合题意．   故选：D ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知为整数，且，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 利用完全平方数即可估算解答． 【详解】解：，为整数， ， 故答案为：． 12. 分式方程的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】解方程后解答即可． 本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得， 经检验，是原方程的根， 故答案为：． 13. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式．根据概率公式直接得出答案． 【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个， 则抽到的节气在夏季的概率为， 故答案为：． 14. 如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了________度． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，熟练掌握弧长公式并理解题意是解题的关键．先根据题意得出点旋转的弧长为，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：由题意得滑轮上某一点运动的路程为， 即点旋转的弧长为， 设点旋转的角度为度， 则， 解得：， 故答案为：36． 15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x，y轴的两直线a，b相交于点A(3，4)．连接OA，若在直线a上存在点P，使△AOP是等腰三角形，那么所有满足条件的点P的坐标是___． 【答案】(8，4)或(－2，4)或(－3，4)或(－，4) 【解析】 【分析】根据题意可得OA=5，再分两种情况讨论：OA为等腰三角形一条腰；OA为底边．再计算求解． 【详解】∵A（3，4）， ∴OB=3，AB=4， ∴OA==5， 若AP=OA，则点P的坐标为：（8，4）或（－2，4）， 若AP=OP，设点P的坐标为：（x，4）， 则（x－3）2=x2+42， 解得：x=－， ∴点P的坐标为（－，4）； ③若OA=OP，设P的坐标为（x，4）， 则x2+42=52， 解得：x=±3， ∴点P的坐标为：（－3，4）； ∴所有满足条件的点P的坐标是：（8，4）或（－2，4）或（－，4）或（－3，4）． 故答案是：（8，4）或（－2，4）或（－，4）或（－3，4）． 【点睛】考查了等腰三角形的性质以及两点间的距离公式．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算 （1）； （2）解不等式组： 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和解一元一次不等式组，涉及到特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值、二次根式的加减等知识，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值等，再加减运算即可求解； （2）先求得每个不等式的解，再求得它们的公共部分即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 由 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解为． 17. 第十二届世界运动会，即2025成都世界运动会将于8月7日至8月17日在中国四川成都举行，这是中国大陆第一次举办世界运动会，以“运动无限，气象万千”为主题，共设置了35个大项，包括轮滑、台球、飞盘、武术等项目．某校为打造全民身边的“世运空间”氛围，随机调查了部分学生对A（轮滑）、B（台球）、C（飞盘）、D（武术）四类项目的喜爱情况，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图表信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有_____人，B项目对应的人数为_____，补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求A项目对应的圆心角度数； （3）若该校共有2400名学生，请你估计该校学生喜欢台球的人数． 【答案】（1）80；24人； 补全条形统计图如下： （2） （3）估计全校喜欢台球的人数为720名 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）利用D项目的人数除以其所占的百分比即可得本次调查的学生总人数，利用本次调查的学生总人数减去其他三个项目的人数即可得B组对应的人数；最后补全条形统计图即可． （2）利用乘以A项目的人数所占的百分比即可得； （3）利用该校师生的总人数乘以喜欢台球的人数所占的百分比即可得． 【小问1详解】 解：本次调查的学生总人数为（人）， 则B项目对应的人数为（人）， 图略； 故答案为：80，24人． 【小问2详解】 解：， 答：A项目对应的圆心角度数为． 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计全校喜欢台球的人数为720名． 18. 如图，已知是的直径，弦于F，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，与的交点为G，，． （1）求的半径； （2）求的长． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设，则，在中利用勾股定理解答即可求解； （2）过点作交的延长线于点，证明，可得，，即得，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：连接， 设，则， ∵， ∴，， ∴， 即， 解得：， ∴的半径为； 【小问2详解】 解：过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 19. 如图，将高度为的长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽上边沿处投射到底部处．向水槽注水，水面上升到的中点处时停止注水，光线射到水面处后发生折射落到底部处．已知，直线为法线，，求，两点之间的距离．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】，两点之间的距离约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．易得、为等腰直角三角形，四边形为矩形，分别求得及的长度，进而求得的长度，由即可得到B，D两点之间的距离． 【详解】解：是的中点，为， ， 由题意可知，在中，，， ， ， 由题意可知，在中，，， ， ， 由题可知，，， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， 答：，两点之间的距离约为． 20. 2025年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的5倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少3小时． （1）分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：TB/小时）； （2）现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用9小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 【答案】（1）甲数据中心的数据迁移速度为，乙数据中心的数据迁移速度为 （2）甲数据中心至少需要工作 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程和不等式的应用，解题的关键是根据不等关系列出不等式，根据等量关系列出方程． （1）设乙数据中心的数据迁移速度为，甲数据中心的数据迁移速度为，根据甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少，列出方程，解方程即可； （2）设甲数据中心需要工作，则乙数据中心工作，根据共用至少完成的数据迁移，列出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设乙数据中心的数据迁移速度为，甲数据中心的数据迁移速度为，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴， 答：甲数据中心的数据迁移速度为，乙数据中心的数据迁移速度为； 【小问2详解】 解：设甲数据中心需要工作，则乙数据中心工作，根据题意得： ， 解得：， 答：甲数据中心至少需要工作． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B，与y轴交于点C，点A的纵坐标为3． （1）求k的值； （2）连接，点D为y轴上一点，连接，若与位似且位似中心为点C，求点D的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求解析式，三位似三角形性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）把代入，可求出点A的坐标，再把点A的坐标代入，即可求解； （2）先求出点B的坐标为，可得到，过点A作交y轴于点D，，此时与位似且位似中心为点C，符合题意，求出，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得： ，解得：， ∴点A的坐标为， 把点代入得：； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点C的坐标为， ∴由（1）得：反比例函数解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， 如图，过点A作交y轴于点D， ∴， 此时与位似且位似中心为点C，符合题意， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴负半轴交于点C．连接，． （1）求抛物线的表达式． （2）设点D在直线下方的抛物线上． ①连接，，，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点D的坐标； ②如图2，设所在直线绕点A逆时针旋转后与射线相交于点E，与抛物线交于另一点F，当时，直接写出点F的横坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据抛物线交点式，得到A、B两点坐标，再根据正切值求出点C坐标，代入抛物线解析式求出a的值即可； （2）①设点，分别用m表示出，进而得出，再利用二次函数的最值求解即可；②设点，求出直线和的解析式，可得到点E的横坐标为，再根据，可得关于n的方程，从而得到点F的坐标，过点F作于点K，过点K作直线轴，分别过点A，F作，垂足分别为M，N，证明，可得，设点，根据全等三角形的性质可得点，进而得到直线的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于A，B两点， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 把点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①如图，设点，其中， ∵， ， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为12， 此时点D的坐标为； ②设点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 联立得：，解得：， 即点E的横坐标为， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴点F的坐标为， 如图，过点F作于点K，过点K作直线轴，分别过点A，F作，垂足分别为M，N， 由旋转的性质得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点， ∴， ∴， 解得：， ∴点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴点D的横坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的最值问题，解直角三角形的应用，一次函数的与二次函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，坐标与图形等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 23. 在中，，，P是边上一动点（不与点B重合），在射线上取点D，使，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接． 【初步感知】 （1）如图1，当点D和点P重合时，求的长． 【深入探究】 （2）如图2，当点E落在的延长线上时，求的长． 【拓展延伸】 （3）已知存在点P，使点D到直线的距离是点E到直线的距离的两倍．请直接求出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】本题考查的知识点是等边对等角、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、一元一次方程的实际应用等，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据等边对等角推出后可证，由相似三角形的性质可得，代入，即可得解； （2）过点A作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，由三线合一定理可得，再结合勾股定理求出，即可得，推得，再由等腰直角三角形的性质推得，列出方程后求出、，最后结合勾股定理即可得解； （3）过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设交于点，设，分两种情况讨论：①点，在异侧时；②点，在同侧时． 【详解】解：（1）如图，当点和点重合时， 根据题意得， ， ， ， ， 又， ， ， ， ； （2）如图，当点落在的延长线上时，过点A作，垂足为点， 过点作，垂足为点， 设， ， ， 在中， 在中， 在中， ， 根据题意得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中； （3）过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 过点作，垂足为点，设交于点， 设， 分两种情况讨论： ①如备用图，点，在异侧时，若， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中， 在中， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 在中； ②如备用图，点，在同侧时，若， ，， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， 在中， 在中， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 在中， 综上所述，存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的倍，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省中考仿真模拟考试（二） 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．写在试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1. 在下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 年政府工作报告提到：年，高技术制造业、装备制造业增加值分别增长、，新能源汽车年产量突破万辆．其中数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 为贯彻落实全国教育大会以及《教育强国建设规划纲要》精神，切实保障学生每天综合体育活动时间不低于2小时，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图是抛物线的部分图象，直线是抛物线的对称轴，下列结论不正确的是（ ）． A. B. C. 函数的最大值为 D. 关于x的方程没有实数根 9. 将一个含角的直角三角尺和直尺如图放置，当时，，，，四个角中与互余的角的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在中，是的中点．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；④作直线，交于点．则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知为整数，且，则的值为_____． 12. 分式方程的解是__________． 13. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为______． 14. 如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了________度． 15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x，y轴的两直线a，b相交于点A(3，4)．连接OA，若在直线a上存在点P，使△AOP是等腰三角形，那么所有满足条件的点P的坐标是___． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算 （1）； （2）解不等式组： 17. 第十二届世界运动会，即2025成都世界运动会将于8月7日至8月17日在中国四川成都举行，这是中国大陆第一次举办世界运动会，以“运动无限，气象万千”为主题，共设置了35个大项，包括轮滑、台球、飞盘、武术等项目．某校为打造全民身边的“世运空间”氛围，随机调查了部分学生对A（轮滑）、B（台球）、C（飞盘）、D（武术）四类项目的喜爱情况，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图表信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有_____人，B项目对应的人数为_____，补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求A项目对应的圆心角度数； （3）若该校共有2400名学生，请你估计该校学生喜欢台球的人数． 18. 如图，已知是的直径，弦于F，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，与的交点为G，，． （1）求的半径； （2）求的长． 19. 如图，将高度为的长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽上边沿处投射到底部处．向水槽注水，水面上升到的中点处时停止注水，光线射到水面处后发生折射落到底部处．已知，直线为法线，，求，两点之间的距离．（结果精确到；参考数据：，，） 20. 2025年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的5倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少3小时． （1）分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：TB/小时）； （2）现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用9小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B，与y轴交于点C，点A的纵坐标为3． （1）求k的值； （2）连接，点D为y轴上一点，连接，若与位似且位似中心为点C，求点D的坐标． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴负半轴交于点C．连接，． （1）求抛物线的表达式． （2）设点D在直线下方的抛物线上． ①连接，，，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点D的坐标； ②如图2，设所在直线绕点A逆时针旋转后与射线相交于点E，与抛物线交于另一点F，当时，直接写出点F的横坐标． 23. 在中，，，P是边上一动点（不与点B重合），在射线上取点D，使，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接． 【初步感知】 （1）如图1，当点D和点P重合时，求的长． 【深入探究】 （2）如图2，当点E落在的延长线上时，求的长． 【拓展延伸】 （3）已知存在点P，使点D到直线的距离是点E到直线的距离的两倍．请直接求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $