专题01 一元二次方程重难点题型专训（3个知识点+10大题型+4大拓展训练+自我检测）重难点专题提升讲练-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

专题01 一元二次方程重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 一元二次方程的概念 题型二 化成一元二次方程的一般式 题型三 由一元二次方程的定义求参数 题型四 判断是否是一元二次方程的解 题型五 由一元二次方程的解求参数 题型六 一元二次方程的解的估算 题型七 根据一元二次方程的解代入求值 题型八 根据一元二次方程的解降次求值 题型九 由实际问题抽象出一元二次方程 题型十 根据一元二次方程的解求另一方程的解 拓展训练一 根据一元二次方程的定义求参综合 拓展训练二 根据一元二次方程的解求参综合 拓展训练三 两个一元二次方程解的关联性综合 拓展训练四 一元二次方程的新定义问题 知识点一、一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）方程①；②；③；④中，一元二次方程个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若是一元二次方程，则的值为（    ） A． B． C． D． 知识点二、一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”； 2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数； 3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 【即时训练】 3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 知识点三、一元二次方程的根 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解） ①可能有两个不相等的实数根； ②可能有两个相等的实数根； ③可能没有实数根. 2.关于一元二次方程根的结论： ①若，则必有一个根，反之也成立； ②若，则必有一个根，反之也成立； ③若一元二次方程有一个根，则，反之也成立. 【即时训练】 5．（24-25八年级下·江苏南京·期末）若是方程的一个根，则的值为 ． 6．（2025九年级上·江苏·专题练习）若关于x的一元二次方程有一个根为，则 ． 【经典例题一 一元二次方程的概念】 【例1】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）下列方程①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一定是一元二次方程的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25九年级上·广东江门·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级·江苏·假期作业）判定下列方程是不是一元二次方程： (1)； (2)． 4．（24-25九年级上·全国·课前预习）判断下列方程是否为一元二次方程？ （1）3x＋2＝5y－3 （2） （3） （4） 【经典例题二 化成一元二次方程的一般式】 【例2】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 1．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（   ） A．3、5 B．、5 C．3、 D．、 2．（24-25八年级下·广西贺州·期中）方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）一元二次方程的一般形式是 ． 4．（24-25九年级上·广东江门·期中）把一元二次方程：，化成一般式是 ． 【经典例题三 由一元二次方程的定义求参数】 【例3】（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（    ） A． B． C．2 D．不能确定 1．（24-25八年级下·广西百色·期中）若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 2．（24-25九年级上·安徽·期末）若是关于的一元二次方程，则 ． 3．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 4．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，求的值． 【经典例题四 判断是否是一元二次方程的解】 【例4】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 1．（24-25九年级下·福建福州·开学考试）若，则下列x的值一定是关于x的方程的根的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期中）关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（   ） A．1 B． C．0 D．2 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 4．（2025·广东潮州·二模）已知． (1)化简P； (2)若a为方程的一个解，求P的值． 【经典例题五 由一元二次方程的解求参数】 【例5】（24-25八年级下·北京通州·期末）如果是一元二次方程的一个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·全国·期中）已知m是方程的一个根，则的值为（    ） A． B．4 C．1 D． 2．（24-25九年级上·青海西宁·期中）若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．1或 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如果关于x的一元二次方程有一个根为2000；那么方程必有一个根为 ． 4．（25-26九年级上·全国·阶段练习）已知m是方程的一个根． (1)的值为______． (2)求的值． 【经典例题六 一元二次方程的解的估算】 【例6】（24-25九年级上·山西运城·期中）已知关于x的二次三项式的部分对应值如下表： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 0.36 0.75 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·广东梅州·期中）小颖在探索一元二次方程的近似解时作了如下列表计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东佛山·期中）小亮在进行一元二次方程估算根的过程中，列了如下表格，根据表格信息，该根的十分位上的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25九年级上·福建漳州·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【经典例题七 根据一元二次方程的解代入求值】 【例7】（24-25八年级下·浙江温州·期中）若是关于的方程的一个根，则的值是（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知下面三个关于的一元二次方程恰好有一个相同的实数根，则的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．不确定 2．（2025·福建漳州·模拟预测）若m是方程的一个实数根，则的值是（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 3．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）若是方程的一个根，则的值为 ． 4．（24-25九年级上·新疆昌吉·期中）已知a是方程的解，求代数式的值． 【经典例题八 根据一元二次方程的解降次求值】 【例8】（2025·广东珠海·一模）设是方程的一个实根，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 1．（2024·云南昆明·一模）若是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南·期末）已知是一元二次方程的根，则的值为 ． 3．（2025九年级下·四川资阳·学业考试）已知m为方程的根，那么的值为 ． 4．（24-25八年级下·重庆·期末）若a是方程的一个根，则的值为 【经典例题九 由实际问题抽象出一元二次方程】 【例9】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是，求的面积． 1．（24-25九年级上·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程x2−(m+1)x+m+6=0的其中一个根为3． （1）求m的值及方程的另一个根； （2）若该方程的两根的值为一直角三角形的两边长，求此直角三角形的第三边长． 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）是关于x的方程的根，其中a，b，c分别为三边的长，则的是 三角形． 3．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知1是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，则三角形的周长为 ． 4．（24-25九年级上·广西来宾·期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．如果x=-1是方程的根，则△ABC是 三角形． 【经典例题十 根据一元二次方程的解求另一方程的解】 【例10】（23-24九年级上·全国·阶段练习）若关于的一元二次方程有一根为，则方程必有一根为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）已知关于x的方程中满足，则方程有一根为 ． 4．（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）. （1）若a+b+c=0，则此方程必有一根为 ； （2）若a-b+c=0，则此方程必有一根为 ； （3）若4a-2b+c=0，则此方程必有一根为 ． 【拓展训练一 根据一元二次方程的定义求参综合】 1、（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 2．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 3．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【拓展训练二 根据一元二次方程的解求参综合】 1．（25-26九年级上·全国·阶段练习）关于x的方程的解是． （1）关于x的方程的根是 ． （2）关于x的方程的根是 ． 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）若a是方程的一个根，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）已知a是方程的一个根，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【拓展训练三 两个一元二次方程解的关联性综合】 1．（24-25九年级下·全国·假期作业）若关于的方程，，均为常数，的解是，，求方程的解． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则关于y的一元二次方程必有一根为（    ） A．2025 B． C． D． 3．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 【拓展训练四 一元二次方程的新定义问题】 1．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． (1)判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； (2)已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 2．（24-25九年级上·全国·阶段练习）定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程． (1)【概念感知】的“友好”方程是______； (2)【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由． 3．（25-26九年级上·全国·阶段练习）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 1．（24-25九年级上·山东青岛·期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西钦州·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（   ） A． B． C． D．2，10 3．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 4．（24-25九年级下·河北邢台·期中）若一元二次方程化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是（   ） A．3 B． C．5 D． 5．（24-25八年级下·福建泉州·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，2，6 B．1，，6 C．1，， D．1，2， 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·全国·阶段练习）若是关于x的一元二次方程的根，则的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 8．（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 9．（辽宁省大连市高新园区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷）已知关于x的一元二次方程：的一个根是2，则k的值是 ． 10．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知为方程的一个根，则的值为 ． 11．（24-25九年级上·广东惠州·期中）若是关于的一元二次方程，则 ． 12．（24-25九年级下·全国·假期作业）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是 ． 13．（2025·吉林长春·三模）若a是方程的一个根，则的值为 ． 14．（2025·云南临沧·模拟预测）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为 ． 15．（2024八年级上·上海·专题练习）判断下列方程是否为一元二次方程： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． 16．（24-25八年级上·上海·阶段练习）把下列方程化成一般式，并写出二次项、一次项和常数项． (1)； (2)． 17．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知是关于x的一元二次方程，求m的值． 18．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 19．（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）已知为一元二次方程的根，求的值． 20．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 一元二次方程的概念 题型二 化成一元二次方程的一般式 题型三 由一元二次方程的定义求参数 题型四 判断是否是一元二次方程的解 题型五 由一元二次方程的解求参数 题型六 一元二次方程的解的估算 题型七 根据一元二次方程的解代入求值 题型八 根据一元二次方程的解降次求值 题型九 由实际问题抽象出一元二次方程 题型十 根据一元二次方程的解求另一方程的解 拓展训练一 根据一元二次方程的定义求参综合 拓展训练二 根据一元二次方程的解求参综合 拓展训练三 两个一元二次方程解的关联性综合 拓展训练四 一元二次方程的新定义问题 知识点一、一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）方程①；②；③；④中，一元二次方程个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．据此判断即可． 【详解】解：①，不是整式方程，不是一元二次方程； ②，含有2个未知数，不是一元二次方程； ③，是一元二次方程； ④，是一元二次方程, 综上，符合条件的方程有③和④，共2个， 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若是一元二次方程，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义可得且，解之即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴且， 解得， 故选：． 知识点二、一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”； 2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数； 3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 【即时训练】 3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中a，b，c是常数，且，分别方程的是二次项系数，一次项系数和常数项；把方程化为一元二次方程的一般形式，据此即可求解． 【详解】解：方程化为一元二次方程的一般形式为：，则二次项系数，一次项系数和常数项分别是； 故选：B． 4．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如的式子叫做一元二次方程是解题的关键． 先将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】解：将方程化成一般形式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 故答案为：． 知识点三、一元二次方程的根 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解） ①可能有两个不相等的实数根； ②可能有两个相等的实数根； ③可能没有实数根. 2.关于一元二次方程根的结论： ①若，则必有一个根，反之也成立； ②若，则必有一个根，反之也成立； ③若一元二次方程有一个根，则，反之也成立. 【即时训练】 5．（24-25八年级下·江苏南京·期末）若是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了整体代入的方法．先利用一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：． 6．（2025九年级上·江苏·专题练习）若关于x的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将x代入到方程中求出关于a、b的等式． 根据题意，把代入求解即可． 【详解】解：把代入，得 ∴ 故答案为：2025． 【经典例题一 一元二次方程的概念】 【例1】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．直接根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：A、，是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、，是一元二次方程，故本选项符合题意； C、，含有两个未知数，故本选项不符合题意； D、，是分式方程，故本选项不符合题意． 故选：B． 1．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）下列方程①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一定是一元二次方程的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】①，时，不是一元二次方程； ②，整理得，是一元二次方程； ③，不是一元二次方程； ④，不是一元二次方程； ⑤，不是一元二次方程； ⑥，是一元二次方程； ⑦，整理得，不是一元二次方程； ∴一元二次方程有②⑥，共2个． 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东江门·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，未知数最高次数为2，且为整式方程）逐一分析选项即可． 【详解】解：A、方程含分母，属于分式方程，不符合整式方程的要求，故该选项不符合题意； B、方程含根号，属于无理方程，不符合整式方程的要求，故该选项不符合题意； C、 ，整理方程得，方程为一元二次方程，故该选项符合题意； D、，方程中未知数最高次数为3，属于三次方程，故该选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25九年级·江苏·假期作业）判定下列方程是不是一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)是 (2)不是 【分析】（1）先利用等式的性质对等式进行变形，再进行判断． （2）先利用等式的性质对等式进行变形，再进行判断． 【详解】（1）整理原方程，得 ， 所以． 其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程． （2）整理原方程，得 ， 所以． 整理后不含二次项，即二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程． 【点睛】本题考查了等式的性质和一元二次方程的定义，识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2．不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可． 4．（24-25九年级上·全国·课前预习）判断下列方程是否为一元二次方程？ （1）3x＋2＝5y－3 （2） （3） （4） 【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）不是 【经典例题二 化成一元二次方程的一般式】 【例2】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程整理成一元二次方程的一般形式，即可确定、、的值，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴，，， 故选：B． 1．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（   ） A．3、5 B．、5 C．3、 D．、 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a为二次项系数；叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项，熟练掌握知识点是解题的关键．先将原方程化为一般形式，再求解即可． 【详解】解：将化为一般式为， ∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选：D． 2．（24-25八年级下·广西贺州·期中）方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，首先利用单项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为，再化简即可．解题的关键是掌握：任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ，即， ∴， ∴方程化为一元二次方程的一般形式是． 故选：A． 3．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而合并同类项求出即可． 【详解】解： ， 整理得： 故答案为： 4．（24-25九年级上·广东江门·期中）把一元二次方程：，化成一般式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般式为：，经过移项、整理后将一元二次方程化成一般式即可． 【详解】解：， 移项，得， 整理后，得， 即把一元二次方程化成一般式是：， 故答案为：． 【经典例题三 由一元二次方程的定义求参数】 【例3】（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（    ） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程定义，根据一元二次方程的定义，方程的最高次数为2，且二次项系数不为0，列方程求解即可得到答案，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得或；且， ， 故选：C． 1．（24-25八年级下·广西百色·期中）若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解不等式和方程得到满足条件的k的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·安徽·期末）若是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一般地，形如（a、b、c是常数，且）的方程叫做一元二次方程．由此可解． 【详解】解：由题意知， 解得， ， 故答案为：1． 3．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为1的整式方程是一元一次方程． （1）根据题意得到，或，进而求解即可； （2）根据题意得到，，进而求解即可； 【详解】（1）解：根据题意得，，或， ∴或； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程），解题的关键是要注意一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是．据此解答即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 【经典例题四 判断是否是一元二次方程的解】 【例4】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解决此题的关键是正确的理解方程解的定义． 由方程可以转化为，从表格中我们可以找到当或时，的值为6，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ 由表格可知，当或时，的值为6， ∴或， 故选：D 1．（24-25九年级下·福建福州·开学考试）若，则下列x的值一定是关于x的方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由题意可将原一元二次方程化为，再逐项分析即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴原方程可化为：， 、当时，，故不符合题意； 、当时，，故不符合题意； C、当时，，故不符合题意； D、当时，，故符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期中）关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据方程的解的定义进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴方程必有一根为； 故选B． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】此题考查了方程解的定义，把方程变为，进而根据方程解的定义可得或，解之即可求解，理解方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：方程可变为， ∵方程的解是，， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 4．（2025·广东潮州·二模）已知． (1)化简P； (2)若a为方程的一个解，求P的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式得化简求值、方程的解，正确化简分式P是解答的关键． （1）根据分式的加减混合运算法则和运算顺序化简分式P即可； （2）根据方程的解满足方程得到，代入化简式子中求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵若a为方程的一个解， ∴，即， ∴． 【经典例题五 由一元二次方程的解求参数】 【例5】（24-25八年级下·北京通州·期末）如果是一元二次方程的一个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把的值代入方程即可得到一个关于的方程，解一元一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得． 故选：A． 1．（24-25八年级上·全国·期中）已知m是方程的一个根，则的值为（    ） A． B．4 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，多项式乘以多项式化解求值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ∴ ∴ ． 故选：C． 2．（24-25九年级上·青海西宁·期中）若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，将代入方程求解m的值，并结合一元二次方程的定义排除不符合条件的解即可． 【详解】解：将代入方程， 得：，即， 解得， 方程为一元二次方程， 二次项系数，即， ， 故选A． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如果关于x的一元二次方程有一个根为2000；那么方程必有一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，正确计算是解题的关键．对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为． 【详解】解∶对于一元二次方程，设， ∴， 而关于的一元二次方程有一根为， ∴有一个根为， 则， 解得， ∴一元二次方程有一根为． 故答案为∶ 4．（25-26九年级上·全国·阶段练习）已知m是方程的一个根． (1)的值为______． (2)求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键： （1）把m代入方程，得到，进而得到，整体代入法求出代数式的值； （2）把m代入方程，得到，两边同时除以即可得出结果． 【详解】（1）解：把m代入方程，得：， ∴， ∴； 故答案为：； （2）是方程的一个根， ，且． 将等式两边同时除以m，得 ． 【经典例题六 一元二次方程的解的估算】 【例6】（24-25九年级上·山西运城·期中）已知关于x的二次三项式的部分对应值如下表： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 0.36 0.75 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格数据得到时，，时，进行求解，即可解题． 【详解】解：时，， 时，， 关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为， 故选：C． 1．（24-25九年级上·广东梅州·期中）小颖在探索一元二次方程的近似解时作了如下列表计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，用列举法估算一元二次方程的近似解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据表格可知，当时，；当时，， ∴ 当时，一个解的范围是， ∴方程的其中一个解的整数部分是， 故选：． 2．（24-25九年级上·广东佛山·期中）小亮在进行一元二次方程估算根的过程中，列了如下表格，根据表格信息，该根的十分位上的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，中数据得到时，；时，，则可判断方程的一个根在和之间． 【详解】解：时，；时，， 方程的一个根在和之间，则该根的十分位上的数字是 故选：A． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 【答案】 【分析】结合表格可知：当时，；当时，；所以方程的一个解x的范围为：． 【详解】解：由表格可知： 当时，； 当时，； ∴方程的一个解x的范围为：． 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当时，；当时，． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 【经典例题七 根据一元二次方程的解代入求值】 【例7】（24-25八年级下·浙江温州·期中）若是关于的方程的一个根，则的值是（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，解题的关键是利用根的定义得到关于的等式，再对所求式子进行变形求值． 因为是方程的根，所以将代入方程可得，变形得到，再将其代入所求式子进行计算． 【详解】已知是方程的一个根，把代入方程中， 根据方程根的定义，方程左右两边相等，可得： ，移项得到， 对于式子，可变形为， 把代入变形后的式子： 所以的值是2025， 故选：C． 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知下面三个关于的一元二次方程恰好有一个相同的实数根，则的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．把代入3个方程得出，3个方程相加即可得出，即可求出答案． 【详解】解：把代入得： ，，， 相加得：， ， ， ∵， ∴， 故选：A． 2．（2025·福建漳州·模拟预测）若m是方程的一个实数根，则的值是（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，完全平方公式的应用，利用方程根的性质得到，然后变形得到，然后平方求解即可． 【详解】∵是方程的实数根， ∴， ∴将方程两边除以（），得，即． 平方得， 展开后为， ∴． 故选：C． 3．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）若是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解代数式的值，一元二次方程的解的含义，由方程的解可得，再代入求值即可. 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 4．（24-25九年级上·新疆昌吉·期中）已知a是方程的解，求代数式的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了代数式求值，方程的解，整式乘法运算，解题的关键是熟练掌握整体代入法的应用．先化简得出，然后根据是方程的解，得出， 最后整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴ ． 【经典例题八 根据一元二次方程的解降次求值】 【例8】（2025·广东珠海·一模）设是方程的一个实根，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，，再把，代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个实根， ∴， ∴，， ∴ ， 故选：B． 1．（2024·云南昆明·一模）若是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解，代数式求值是解题的关键． 由题意得，，即，根据，代值求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级下·云南·期末）已知是一元二次方程的根，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解成为解题的关键． 利用一元二次方程的解的定义得到，即，然后对变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∴． 故答案为：0． 3．（2025九年级下·四川资阳·学业考试）已知m为方程的根，那么的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程两边相等的未知数的值，则，进而可得，，进一步可得，再把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵m为方程的根， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：0． 4．（24-25八年级下·重庆·期末）若a是方程的一个根，则的值为 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到，然后根据等式的性质易得，代入原式即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：11． 【经典例题九 由实际问题抽象出一元二次方程】 【例9】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是，求的面积． 【答案】1 【分析】利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积． 【详解】当时，有，即 ∵，即 ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义及应用；勾股定理的证明． 1．（24-25九年级上·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程x2−(m+1)x+m+6=0的其中一个根为3． （1）求m的值及方程的另一个根； （2）若该方程的两根的值为一直角三角形的两边长，求此直角三角形的第三边长． 【答案】（1）m=6，方程的另一根为4；（2）此直角三角形的第三边长为5或． 【分析】（1）把x=3代入方程可求得m的值，再解方程可求得另一根； （2）分两种情况讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）把x=3代入方程可得9-3（m+1）+m+6=0， 解得m=6， 当m=6时，原方程为x2-7x+12=0， 解得x1=3，x2=4， 即方程的另一根为4； （2）设此直角三角形的第三边长为a， 当4是直角边时， ∴a=； 当4是斜边时， a=； 故此直角三角形的第三边长为5或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解及勾股定理，将方程的解代入原方程求出m的值是解题的关键． 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）是关于x的方程的根，其中a，b，c分别为三边的长，则的是 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，一元二次方程的解的含义，把代入再整理即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的方程的根， ∴， ∴， ∴的是等腰三角形； 故答案为：等腰 3．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知1是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，则三角形的周长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，将代入方程找出关于m的一元一次方程，解一元一次方程即可得出m的值，将m的值代入原方程解方程找出方程的解，再根据等腰三角形的性质结合三角形的三边关系即可得出三角形的三条边，根据三角形的周长公式即可得出结论，根据三角形的三边关系找出三角形的三条边长是解题的关键． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：． 当时，原方程为， 解得：， ∵， ∴此等腰三角形的三边为5、5、1， ∴此等腰三角形的周长为：． 故答案为：11． 4．（24-25九年级上·广西来宾·期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．如果x=-1是方程的根，则△ABC是 三角形． 【答案】等腰 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=﹣1代入方程得到a+c﹣2b+a﹣c=0，然后整理得到a=b，然后根据等腰三角形的判定方法进行判断即可得. 【详解】把x=﹣1代入（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0 得：a+c﹣2b+a﹣c=0， 所以a=b， 所以△ABC为等腰三角形， 故答案为：等腰． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟知能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 【经典例题十 根据一元二次方程的解求另一方程的解】 【例10】（23-24九年级上·全国·阶段练习）若关于的一元二次方程有一根为，则方程必有一根为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得到，设，得到，所以，即可得到进而得到答案． 【详解】解：由得到， 对于一元二次方程， 设， ， 而关于的一元二次方程有一根为， 有一个根为， 则， ， 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解答本题的关键． 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】D 【分析】把化为： 再结合题意可得从而可得方程的解. 【详解】解：可化为： 关于的一元二次方程有一个根为， 把看作是整体未知数，则 即有一根为 故选D 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键. 2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为． 【详解】解：∵， ∴， 设， ∴， 而关于的一元二次方程有一根为， ∴有一个根为， 则， 解得， ∴一元二次方程必有一根为． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）已知关于x的方程中满足，则方程有一根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解成为解题的关键． 由可得，再根据一元二次方程的解的定义即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵当关于x的方程可化为， ∴方程有一根为． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）. （1）若a+b+c=0，则此方程必有一根为 ； （2）若a-b+c=0，则此方程必有一根为 ； （3）若4a-2b+c=0，则此方程必有一根为 ． 【答案】（1）1  （2）-1  （3）-2 【分析】由ax2+bx+c=0，可得：当x=1时，有a+b+c=0；当x=-1时，有a-b+c=0，当x=-2时，有4a-2b+c=0故问题可求． 【详解】解：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）， （1）当a+b+c=0时，x=1； （2）当a-b-c=0时，x=-1； （3）当4a-2b+c=0时，x=-2. 故答案是：（1）1  （2）-1  （3）-2 【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值． 【拓展训练一 根据一元二次方程的定义求参综合】 1、（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为，则，即、，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为， ∵方程是“贺岁”方程， ∴，即、， ∴ ． 故选C． 2．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【答案】(1)是“凤凰方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； （2）是关于的“凤凰方程”，，，， ， 解得：． 3．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 【拓展训练二 根据一元二次方程的解求参综合】 1．（25-26九年级上·全国·阶段练习）关于x的方程的解是． （1）关于x的方程的根是 ． （2）关于x的方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解为方程成立的未知数的值以及整体思想成为解题的关键． （1）由方程的解可得或，然后求解即可； （2）由方程的解可得或，然后求解即可； 【详解】解：（1）方程的解是， 在方程中，或，解得：． ∴方程的根为． 故答案为：． （2）方程的解是， 在方程中，或，解得． ∴方程的根为． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）若a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，根据题意，得到，进而得到，利用整体代入法，进行计算即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：2024 3．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）已知a是方程的一个根，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，分式的化简求值，根据方程的解的定义得出，然后变形为，代入要求的式子计算即可，熟练掌握正确的化简技巧进行计算是解决此题的关键． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ，即， ， 故选：． 【拓展训练三 两个一元二次方程解的关联性综合】 1．（24-25九年级下·全国·假期作业）若关于的方程，，均为常数，的解是，，求方程的解． 【答案】， 【分析】本题考查了方程的解，解含参数的一元二次方程，利用直接开平方法得方程的解，则，，再解方程得，即可求解．理解方程的解，能熟练解含参数的一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， 解得：， 关于的方程的解是，， ，， 方程的解为， ， ，． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则关于y的一元二次方程必有一根为（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，代入一元二次方程，得，两边同时除以可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， 两边除以，得， ∴， ∴是一元二次方程的一根． 故选：C． 3．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程．熟练掌握倒方程的定义，一元二次方程根的概念，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的性质进一步解答即可． 【详解】（1）解：方程的倒方程是；； 故答案为：； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程， 得， ∴ （3）解：由题意得：方程的倒方程为， ∵m是方程的一个实数根， ∴， ∴． 故答案为：2025． 【拓展训练四 一元二次方程的新定义问题】 1．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． (1)判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； (2)已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 【答案】(1)该方程是“联合方程”，见解析 (2)的值为，的值为6 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，正确理解一元二次方程的解得概念是解题的关键． （1）根据“联合方程”的定义进行计算即可； （2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可． 【详解】（1）解：该方程是“联合方程”，理由如下： 在一元二次方程中，，，， ， 一元二次方程是“联合方程”； （2）解：是关于的“联合方程”， ， 是此“联合方程”的一个根， ， 即， 解得， 的值为，的值为6． 2．（24-25九年级上·全国·阶段练习）定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程． (1)【概念感知】的“友好”方程是______； (2)【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解，新定义运算． （1）根据“友好”方程的定义求解； （2）先把代入方程得到，再写出关于的一元二次方程的“友好”方程为，再把代入得，然后根据一元二次方程解的定义可判断是方程的一个解． 【详解】（1）解：的“友好”方程是； 故答案为：； （2）解：是．理由如下： 把代入方程得， 即， 关于的一元二次方程的“友好”方程为， 把代入得， 所以是方程的一个解， 即为的“友好”方程的一个解． 3．（25-26九年级上·全国·阶段练习）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 【答案】(1)3 (2)是， (3)，0；过程见解析 【分析】（1）根据直接代入求值即可； （2）根据新定义，将方程化简，进而解一元二次方程即可； （3）方法同（2）解一元二次方程，进而判断方程的根即可 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意，得． 整理，得， 是一元二次方程，化成一般形式为． （3）解：由题意，得． 整理，得． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，，0是方程的根． 【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 1．（24-25九年级上·山东青岛·期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、最高次数为2）逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：，含两个未知数x和y，不符合“一元”条件，排除； 选项B：，未明确，若则方程变为一次方程，无法确定是否为二次方程，排除； 选项C：，展开为，整理得，满足整式、一元且最高次数为2，符合定义； 选项D：，含分式，非整式方程，排除； 故选：C． 2．（24-25九年级上·广西钦州·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（   ） A． B． C． D．2，10 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a、b、c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．先移项，再根据一元二次方程的定义作答即可． 【详解】解：原方程为， 移项得：，此时二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， 故选：A． 3．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．将已知根代入方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意，将代入方程得： 化简得： 解得， 故选：B． 4．（24-25九年级下·河北邢台·期中）若一元二次方程化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先将方程化为一般形式，然后写出一次项系数解答即可． 将方程整理为一般形式，确定一次项系数。 【详解】解：原方程化为一般式为 此时二次项系数为2，一次项系数为， 故选：B． 5．（24-25八年级下·福建泉州·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，2，6 B．1，，6 C．1，， D．1，2， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数，且）． 先将一元二次方程化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为， 二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选：C． 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义（形如，等号两边都是整式，只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程）是解题的关键．根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，由此建立不等式即可求解． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得：． 故选：D． 7．（25-26九年级上·全国·阶段练习）若是关于x的一元二次方程的根，则的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【详解】把代入，得，， 【点睛】考察了根据一元二次方程的根求参数，注意代数式的正确变形是关键 8．（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 9．（辽宁省大连市高新园区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷）已知关于x的一元二次方程：的一个根是2，则k的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值，掌握此概念是解题的关键；由题意，把一元二次方程的根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程：的一个根是2， ∴， 解得：； 故答案为：2． 10．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知为方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，利用整体代入的思想解决问题即可． 【详解】解：∵m为方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：0． 11．（24-25九年级上·广东惠州·期中）若是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据定义可得且，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 12．（24-25九年级下·全国·假期作业）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据表格数据解答即可求解，看懂表格数据是解题的关键． 【详解】解：由表可知，时，；当时，， ∴当时，必有一个解， ∴的取值范围是， 故答案为：． 13．（2025·吉林长春·三模）若a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义可得，，然后代入计算，即可求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：2024． 14．（2025·云南临沧·模拟预测）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为 ． 【答案】（答案唯一）． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解三元一次方程，理解“和谐”方程和“美好”方程的定义是解题关键．根据题意得到关于一元二次方程系数的方程组，求出系数之间的关系，再写出满足条件的方程即可． 【详解】解：由题意，一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程， ， ， 一元二次方程为， ， 可取， 这个一元二次方程为（答案唯一）． 故答案为：（答案唯一）． 15．（2024八年级上·上海·专题练习）判断下列方程是否为一元二次方程： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． 【答案】①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义逐个判定即可求解．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 【详解】解：①是一元二次方程； ②中有2个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④中未知数在分母上，是分式方程，不是一元二次方程； ⑤，即不是一元二次方程； ⑥是一元二次方程； 综上，①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是． 16．（24-25八年级上·上海·阶段练习）把下列方程化成一般式，并写出二次项、一次项和常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)，二次项为，一次项为，常数项 (2)，二次项为，一次项为，常数项 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． （1）根据一元二次方程的一般形式的定义即可解答； （2）根据一元二次方程的一般形式的定义即可解答． 【详解】（1）解：由， 得：， 化为一般式得：， 二次项为，一次项为，常数项； （2）解：由， 得：， 化为一般式得：， 二次项为，一次项为，常数项． 17．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知是关于x的一元二次方程，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要查了一元二次方程的定义．根据“含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程式是一元二次方程”，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得：． 18．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【答案】(1)是“凤凰方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； （2）是关于的“凤凰方程”，，，， ， 解得：． 19．（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）已知为一元二次方程的根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据已知可得，再将代数式因式分解，然后整体代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵为一元二次方程 的根，    2023． ∴原式 ． 20．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，由方程的解可得，可得，，再代入计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ． ∴，． ． 学科网（北京）股份有限公司 $$