【第二十二章 二次函数 01-1讲 二次函数的图像和性质】【六大知识点+13大题型+巩固练习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版专用）

第二十二章 二次函数 01-1讲 二次函数的图像和性质 题型归纳 【题型1. 二次函数的辨别】…………………………………………………………… 6 【题型2. 列二次函数】………………………………………………………………… 7 【题型3. 根据二次函数的定义求参数】……………………………………………… 8 【题型4. 二次函数的图像和性质】…………………………………………… 9 【题型5. 的图像和性质】………………………………………………… 11 【题型6. 的图像和性质】…………………………………………… 11 【题型7. 的图像和性质】……………………………………… 13 【题型8. 二次函数图像的平移】……………………………………………………… 15 【题型9. 把化成顶点式】…………………………………………… 16 【题型10. 的图像和性质】…………………………………………… 17 【题型11. 二次函数的图像与各项系数符号】………………………………………… 19 【题型12. 一次函数与二次函数图像综合判断】……………………………………… 20 【题型13. 已知抛物线上对称的两点求对称轴】……………………………………… 22 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 24 知识清单 知识点1 二次函数 1.定义：一般地，形如的函数，叫作二次函数. 其中，是自变量，分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项. 2.二次函数的一般式：任何一个二次函数的解析式，都可以化成的形式，因此，把叫作二次函数的一般式. 知识点2 二次函数的图像和性质 【提示】 ① 抛物线是一个轴对称图形，开口方向、对称轴、顶点通常被称为抛物线的三要素； ② ||越大，开口越小；反之，||越小，开口越大； ③ 由于抛物线关于轴对称，所以若点A在抛物线的图像上，则点A’也在抛物线的图像上. 知识点3 二次函数的图像和性质 2.二次函数与的图像之间的平移： 向上平移个单位 （1）当时， 向下平移个单位 （2）当时， 知识点4 二次函数的图像和性质 2.二次函数与的图像之间的平移：向右平移个单位 （1）当时， 向左平移个单位 （2）当时， 知识点5 二次函数的图像和性质 2.抛物线平移到抛物线的方法： 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到（，）处，具体平移方法如下： 向右（）或向左（）平移||个单位长度 向右（）或向左（）平移||个单位长度 向上（）或向下（）平移||个单位长度 向上（）或向下（）平移||个单位长度 向右（）或向左（）平移||个单位长度 向上（）或向下（）平移||个单位长度 知识点6 二次函数的图像和性质 1.一般式化为顶点式： ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 2.二次函数的图像和性质： 3.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系： 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 题型专练 题型1. 二次函数的辨别 【例1】（24-25九年级上·河南濮阳·期中）下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·广东江门·期中）下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·重庆永川·期中）下列函数表达式中，是二次函数的是（） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·广西南宁·期中）在圆的面积公式中，与的关系是（   ） A．一次函数关系 B．正比例函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 题型2. 列二次函数 【例1】（24-25九年级上·广东江门·期中）两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·天津河西·期末）一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 题型3. 根据二次函数的定义求参数 【例1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）关于x的函数是二次函数，则a应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·重庆合川·期中）若是关于的二次函数，则的值为 ． 【例3】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数，求的值． 【变式1】（2024·安徽安庆·二模）若是关于x的二次函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则 ． 【变式3】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知是关于的二次函数，求的值． 【变式4】（24-25九年级上·湖北宜昌·阶段练习）若是二次函数，求这个函数解析式． 题型4. 二次函数的图像和性质 【例1】（2025·黑龙江大庆·一模）小明利用右图探究函数的性质，下列说法错误的是（   ） A．自变量x的取值范围是 B．函数值y的取值范围是 C．函数的图象关于y轴对称 D．函数值y随x的增大而减小 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）下列函数中，y随x增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； （2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． 【变式1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知是二次函数，且函数图象有最高点，求的值（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东潮州·一模）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·陕西延安·阶段练习）已知是关于x的二次函数． (1)若函数图象有最低点，求k的值； (2)判断点是否在（1）中的函数图象上． 【变式4】（2024九年级下·江苏·专题练习）函数 与直线交于点 (1)求a，b的值. (2)x取何值时，y随x的增大而增大? 题型5. 的图像和性质 【例1】（2025·安徽淮南·一模）下列函数中，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·福建莆田·期中）抛物线的顶点坐标为 ． 【变式1】（2025·河南驻马店·二模）点 是抛物线 上的点，且 ，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（2025·河南洛阳·一模）点是抛物线上的点，且，则与大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式3】（24-25九年级上·福建福州·期中）若抛物线的开口向上，则的取值范围是 ． 【变式4】（2025·河南平顶山·模拟预测）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“当时，函数值y随自变量x的增大而增大”；乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数表达式： ． 题型6. 的图像和性质 【例1】（2025·辽宁阜新·二模）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【例2】（24-25九年级上·广东江门·期中）点；点，点都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·全国·课后作业）在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． x … 0 1 2 3 4 … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 【变式1】（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）下列抛物线中，对称轴为直线的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24九年级下·全国·单元测试）已知函数 是关于x的二次函数． 求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 题型7. 的图像和性质 【例1】（24-25八年级下·重庆渝中·期末）二次函数的图像大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【例2】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知抛物线，下列结论中错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y取最大值3 D．当时，y随x的增大而增大 【例3】（24-25九年级上·河南漯河·期中）已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴； (2)完成下表： x … 1 3 5 … y … ______ ______ ______ ______ ______ … (3)在平面直角坐标系中描点画出抛物线的图象． 【变式1】（24-25九年级上·广东湛江·期中）抛物线过三点，则大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数． (1)求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； (2)当取什么范围时，随的增大而增大？ 题型8. 二次函数图像的平移 【例1】（2025·山西吕梁·三模）将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）将函数的图像向右平移3个单位，所得的二次函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·四川广元·三模）已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）抛物线的函数表达式为，若将抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，则平移后该抛物线的函数表达式为（　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）把二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）把抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线为 ． 【变式4】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）二次函数的图象向上平移3个单位得到新的二次函数图象的顶点坐标是 ． 题型9. 把化成顶点式 【例1】（2025·河南信阳·三模）已知抛物线 与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，则抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）二次函数可变形为（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·甘肃武威·二模）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为 ． 【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）二次函数图象的顶点坐标为(    ) A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）已知，设y的最大值为M，则M的最小值为（   ） A． B．7 C． D．9 【变式3】（2025·宁夏银川·二模）二次函数的顶点坐标是 ． 【变式4】（24-25八年级下·重庆北碚·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 题型10. 的图像和性质 【例1】（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图是二次函数的图象，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）下列抛物线中，对称轴是直线的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（2025·新疆·二模）（1）解方程：． （2）已知一个二次函数的图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示 … 0 1 … … 0 0 … ①求这个二次函数的解析式； ②在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； ③若对于方程总有两个不相等的实数根，结合图象直接写出的取值范围． 【变式1】（24-25九年级上·广西钦州·期中）若在函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，函数（为常数）图象的顶点坐标是． (1)判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． (2)求证：． 【变式3】（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线过点，设抛物线的对称轴为， (1)求的值； (2)如果点，，是抛物线上的点，且总有，求的取值范围． 题型11. 二次函数的图像与各项系数符号 【例1】（2025·湖北咸宁·模拟预测）二次函数的图象经过点，，与轴的交点在轴的下方．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．二次函数的最小值为 【例2】（2025·四川绵阳·三模）如图是二次函数，，是常数，图象的一部分， 经过点，且与y轴的交点在点与之间，函数图象的对称轴为直线．下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，那么点在第 象限． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南南阳·模拟预测）若抛物线的图象不经过第一象限，则以下正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·广东湛江·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有 ．（填写序号） 题型12. 一次函数与二次函数图像综合判断 【例1】（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图是二次函数图象，则下列图象可能是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（2025·江苏南京·二模）函数的图像如图所示．类似的，函数的图像是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东云浮·一模）二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽淮南·三模）已知二次函数与正比例函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·安徽合肥·二模）已知一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 题型13. 已知抛物线上对称的两点求对称轴 【例1】（2025·四川乐山·模拟预测）已知二次函数的图象上有两点，若，当函数值取得最大值时，对应的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知二次函数的图象过点，若点也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·上海松江·二模）已知、是抛物线上不同的两点，如果，那么 ． 【变式1】（2025·山东滨州·二模）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： 0 1 2 3 3 0 m 3 ①抛物线开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③m的值为；④图象经过一、二、四象限；⑤抛物线在y轴左侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（    ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【变式2】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）抛物线经过点和，则它的对称轴为 ． 【变式3】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点M、N皆在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，，，，则的长度是 ． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）将抛物线先沿着轴方向向左平移2个单位长度，再沿轴方向向下平移3个单位长度，所得的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆合川·期中）已知二次函数的图象上有，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·期中）如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 4．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象的顶点坐标在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2025·四川成都·模拟预测）关于x的二次函数，下列说法错误的是（   ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 6．（2025·河南驻马店·三模）下面是某数学小组利用软件绘制的函数的部分图象，根据学习函数的经验判断正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山东聊城·三模）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有（   ） ①；②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是；③若点和在该抛物线上，则；④对任意实数n，不等式总成立． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 8．（2025·辽宁沈阳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知点，在二次函数的图象上，点是函数图象的顶点，那么以下判断正确的是（   ） A．当时，的取值范围时 B．当时，的取值范围是 C．当时，的取值范围是 D．当时，的取值范围是 10．（24-25八年级下·广西南宁·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③方程的两根和为1；④若，则，⑤点，在抛物线上，且当时，；其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 13．（2025九年级上·全国·专题练习）抛物线经过的象限是 ． 14．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线． （1）a的值为 ． （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，则平移后图 象所对应的二次函数的解析式为 ． 15．（24-25九年级下·浙江衢州·自主招生）如图，是抛物线上两点，点为的中点，过作轴的垂线，交抛物线于点，．设两点的横坐标分别为．则的值为 ． 16．（2025·河南周口·三模）若实数，满足，则的最大值为 ． 17．（2025·江苏宿迁·三模）定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为6，则a的值为 ． 18．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论①；②；③；④；其中所有正确的结论是 ． 19．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则当的值最小时，点的坐标为 ． 20．（24-25八年级下·重庆渝中·期末）若点、、在二次函数的图像上，则、、的大小关系为 ．（用“”符号连接） 21．（2025·江苏南京·模拟预测）在平面直角系中．将抛物线向右平移2个单位得到抛物线，点在抛物线上．点在抛物线上．当，时，总有，，则a的取值范围是 ． 22．（24-25九年级下·上海·阶段练习）将抛物线的图像向左平移2个单位后，发现新的抛物线的图像经过原点，则新抛物线的对称轴为直线 . 23．（2025·湖北武汉·模拟预测）为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： 0 0.5 1 1.5 下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②该函数图象关于轴对称； ③该函数图象有两个最低点； ④若该函数图象与直线恰好有两个公共点，则； ⑤当时，则该函数图象上横、纵坐标均为整数的点共有5个． 其中正确的结论是 （填写序号）． 三、解答题 24．（22-23八年级下·天津·期中）五点法画出函数的图象． (1)根据给出的自变量求其对应函数值，填入表格中； x 0 1 2 3 y (2)在直角坐标系中，画出上表中各对数值所对应的点，然后用平滑曲线连接这些点，画出函数图像． 25．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知二次函数，解决以下问题： (1)将其化成的形式：______； (2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图； 0 1 2 3 6 (3)增减性：当______时，随增大而增大；当______时，随增大而减小． 26．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且）． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)已知，和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围． 27．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知 是二次函数． (1)当时，随的增大而减小，求的值． (2)若有最大值，求该函数的表达式． 28．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知是关于x的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点：求出这个最低点（写坐标），这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 29．（2025·河南周口·三模）（1）写出下列二次函数的顶点坐标： ①的顶点坐标为________； ②的顶点坐标为________； ③的顶点坐标为________． （2）新定义：在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”．像上面①②③的函数均为“数轴函数”，请分别判断与是不是“数轴函数”，并说明理由． （3）与轴平行的直线交“数轴函数”于两点（点在点的左侧），，是直线上方抛物线上一点，且点到对称轴的距离大于2，请直接写出点横坐标的取值范围． 30．（2025·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为，其中． (1)若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式； (2)若为此二次函数图象上不同的两个点，当时，，求m的值； (3)若点在此二次函数图象上，当时，y随x的增大而增大，求t的取值范围． 31．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段 相交于点，求四边形面积的最大值. 32．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 33．（2025·浙江·模拟预测）二次函数的图象经过点． (1)求的值． (2)当时，该函数的最大值减去最小值的差为，当时，该函数的最大值减去最小值的差为． ①若，求的取值范围； ②是否存在？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 34．（2025·浙江杭州·三模）已知二次函数的顶点横坐标比二次函数（a为常数）的顶点横坐标大1． (1)求a的值； (2)二次函数（a为常数）的图象是否可以由平移得到？如果可以，请说出平移方案；如果不可以，请说明理由． (3)设点在抛物线上，点在抛物线上．若，且，，求n的值； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数 01-1讲 二次函数的图像和性质 题型归纳 【题型1. 二次函数的辨别】…………………………………………………………… 6 【题型2. 列二次函数】………………………………………………………………… 8 【题型3. 根据二次函数的定义求参数】……………………………………………… 10 【题型4. 二次函数的图像和性质】…………………………………………… 13 【题型5. 的图像和性质】………………………………………………… 17 【题型6. 的图像和性质】…………………………………………… 20 【题型7. 的图像和性质】……………………………………… 25 【题型8. 二次函数图像的平移】……………………………………………………… 29 【题型9. 把化成顶点式】…………………………………………… 32 【题型10. 的图像和性质】…………………………………………… 35 【题型11. 二次函数的图像与各项系数符号】………………………………………… 41 【题型12. 一次函数与二次函数图像综合判断】……………………………………… 46 【题型13. 已知抛物线上对称的两点求对称轴】……………………………………… 51 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 55 知识清单 知识点1 二次函数 1.定义：一般地，形如的函数，叫作二次函数. 其中，是自变量，分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项. 2.二次函数的一般式：任何一个二次函数的解析式，都可以化成的形式，因此，把叫作二次函数的一般式. 知识点2 二次函数的图像和性质 【提示】 ① 抛物线是一个轴对称图形，开口方向、对称轴、顶点通常被称为抛物线的三要素； ② ||越大，开口越小；反之，||越小，开口越大； ③ 由于抛物线关于轴对称，所以若点A在抛物线的图像上，则点A’也在抛物线的图像上. 知识点3 二次函数的图像和性质 2.二次函数与的图像之间的平移： 向上平移个单位 （1）当时， 向下平移个单位 （2）当时， 知识点4 二次函数的图像和性质 2.二次函数与的图像之间的平移：向右平移个单位 （1）当时， 向左平移个单位 （2）当时， 知识点5 二次函数的图像和性质 2.抛物线平移到抛物线的方法： 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到（，）处，具体平移方法如下： 向右（）或向左（）平移||个单位长度 向右（）或向左（）平移||个单位长度 向上（）或向下（）平移||个单位长度 向上（）或向下（）平移||个单位长度 向右（）或向左（）平移||个单位长度 向上（）或向下（）平移||个单位长度 知识点6 二次函数的图像和性质 1.一般式化为顶点式： ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 2.二次函数的图像和性质： 3.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系： 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 题型专练 题型1. 二次函数的辨别 【例1】（24-25九年级上·河南濮阳·期中）下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，逐一验证各选项即可． 【详解】A．，分母含，是分式函数而非整式，不符合二次函数定义； B．，若，则变为一次函数，不一定是二次函数； C．展开得，为一次函数； D．展开得，符合（），是二次函数． 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·广东江门·期中）下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数的的识别，根据二次函数的定义（形如，），逐一判断各选项是否为二次函数即可． 【详解】A．，符合的形式（），是二次函数； B．，展开后为，最高次项为，系数为2，是二次函数； C．，符合的形式（），是二次函数． D．，展开后为，化简后为一次函数，不是二次函数． 故选D． 【变式2】（24-25九年级上·重庆永川·期中）下列函数表达式中，是二次函数的是（） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 根据二次函数的定义判断，形如的函数为二次函数即可判定． 【详解】解：A．是分式函数，分母含，属于反比例函数，不符合二次函数定义，故该选项不符合题意； B．是形如一次函数，次数为1，不是二次函数，故该选项不符合题意； C．符合的形式，是二次函数，故该选项符合题意； D．化简后为，属于一次函数，次数为1，不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·广西南宁·期中）在圆的面积公式中，与的关系是（   ） A．一次函数关系 B．正比例函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可判断，解题的关键是正确理解：一般地形如（是常数，）的函数叫做二次函数． 【详解】解：圆的面积公式中，与的关系是二次函数关系， 故选：． 题型2. 列二次函数 【例1】（24-25九年级上·广东江门·期中）两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了求二次函数关系式，求出另一个正方形的边长为，再由正方形面积公式计算即可得解，求出另一个正方形的边长为是解此题的关键． 【详解】解：∵其中一个正方形的边长为， ∴其中一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的边长为， ∵第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为， ∴面积之和为， 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】本题考查了二次函数的一般式，根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为，即可求解． 【详解】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为， ∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为，故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·天津河西·期末）一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用问题．根据题意列出y与x的关系式可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 题型3. 根据二次函数的定义求参数 【例1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）关于x的函数是二次函数，则a应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，是解题的关键．根据二次函数的定义：形如，进行求解即可． 【详解】解：根据二次函数的定义，得：． 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·重庆合川·期中）若是关于的二次函数，则的值为 ． 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（    其中a、b、c为常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 【例3】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数，求的值． 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数． 【详解】解：由题意可知：， 解得， 又∵，即， 综上所述： 【变式1】（2024·安徽安庆·二模）若是关于x的二次函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（2025·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则 ． 【分析】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系．根据题意得出关于的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，， 整理得，，有两个相等的根， ，且， 整理得，且， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知是关于的二次函数，求的值． 【分析】本题主要考查二次函数的概念，因式分解求一元二次方程的解，根据题意可得，，，因式分解求值即可． 【详解】解：已知是关于的二次函数， ∴，， 解得：，， ∴． 【变式4】（24-25九年级上·湖北宜昌·阶段练习）若是二次函数，求这个函数解析式． 【分析】本题考查二次函数的定义．一般地，我们把形如（其中，，是常数，的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义得：且，由此即可求出的值即可得答案． 【详解】解：根据二次函数的定义得：且， 由解得：，由解得：， ． 这个函数解析式是． 题型4. 二次函数的图像和性质 【例1】（2025·黑龙江大庆·一模）小明利用右图探究函数的性质，下列说法错误的是（   ） A．自变量x的取值范围是 B．函数值y的取值范围是 C．函数的图象关于y轴对称 D．函数值y随x的增大而减小 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 即自变量x的取值范围是，函数值y的取值范围是，故选项A，B正确，不符合题意； 由图象可知，函数的图象关于y轴对称，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小；故选项C正确，选项D错误； 故选D． 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）下列函数中，y随x增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查一次函数以及二次函数的性质，熟知相关函数的性质是解答的关键． 根据一次函数以及二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； B、∵，对称轴为y轴， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； C、，y随x的增大而减小，故该选项符合题意； D、∵， ∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； 故选：C． 【例3】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； （2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，图象开口向上，对称轴左侧，随的增大而减小，对称轴右侧，随的增大而增大；图象开口向下，对称轴左侧，随的增大而增大，对称轴右侧，随的增大而减小． （1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象即可； （2）根据二次函数图象，可得二次函数的性质． 【详解】解：（1）二次函数和的图象如图所示： （2）二次函数和的图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是轴，顶点坐标都是； 二次函数和的图象的不同点是：图象开口向上，图象开口向下（答案不唯一，合理即可）； 【变式1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知是二次函数，且函数图象有最高点，求的值（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次函数的定义及图象的性质，根据二次函数的定义和开口方向的条件，即可确定k的值． 【详解】解：∵是二次函数，且函数图象有最高点， ∴二次函数图象开口向下， ∴，且， 解得：，且 或 ， ∴， 则的值为． 故选：D． 【变式2】（2025·广东潮州·一模）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．利用抛物线的对称性及增减性即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象关于轴对称， 关于轴的对称点为， ，且时，函数值随自变量的增大而减小， ； 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·陕西延安·阶段练习）已知是关于x的二次函数． (1)若函数图象有最低点，求k的值； (2)判断点是否在（1）中的函数图象上． 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的定义，二次函数的性质： （1）根据二次函数的定义可得，则，再由函数有最低点，即二次项系数大于0，据此求解即可； （2）根据（1）所求求出当时的函数值即可得到结论． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， ∵函数图象有最低点， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得函数解析式为， 当时，， ∴断点不在（1）中的函数图象上． 【变式4】（2024九年级下·江苏·专题练习）函数 与直线交于点 (1)求a，b的值. (2)x取何值时，y随x的增大而增大? 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握函数图象交点的坐标满足每个函数解析式是解题的关键． （1）把已知点代入直线解析式可求得，再代入抛物线解析式可求得的值； （2）由二次函数的解析式，可求得其对称轴及开口方向，则可求得答案． 【详解】（1）解：把代入可得：， 点的坐标为， 把代入可得，即 则 ∴ （2）解：由（1）可得， ∴物线开口向下，且对称轴为轴， 当时，随的增大而增大． 题型5. 的图像和性质 【例1】（2025·安徽淮南·一模）下列函数中，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一次函数，二次函数增减性，掌握一次函数，二次函数图象的性质是关键． 根据一次函数，二次函数解析式，判定函数的增减性即可． 【详解】解：A、，当时，的值随值的增大而增大；当时，的值随值的增大而减小；故原选项不符合题意； B、，当时，的值随值的增大而减小；当时，的值随值的增大而增大；故原选项不符合题意； C、，的值随值的增大而增大，原选项不符合题意； D、，的值随值的增大而减小，符合题意； 故选：D ． 【例2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数顶点式的性质，形如的抛物线的顶点坐标为，直接代入题目中的常数项即可确定顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 【例3】（24-25九年级上·福建莆田·期中）抛物线的顶点坐标为 ． 【分析】本题主要考查了二次函数顶点坐标，掌握顶点坐标的确定方法是解题的关键． 根据二次函数的性质求顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 【变式1】（2025·河南驻马店·二模）点 是抛物线 上的点，且 ，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【分析】本题考查的图象和性质，先判断出抛物线开口方向及对称轴，再根据点到对称轴的距离判断函数值的大小． 【详解】解：中 抛物线开口向下，对称轴为y轴，抛物线上离对称轴越远的点，函数值越小， ， ， 故选：C． 【变式2】（2025·河南洛阳·一模）点是抛物线上的点，且，则与大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，解题关键是正确应用对称性．由，得到轴的距离大于到轴的距离，由抛物线的对称轴为轴，开口向上，即可得． 【详解】解：由， 得到轴的距离大于到轴的距离， 由抛物线的对称轴为轴，开口向下， 得． 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·福建福州·期中）若抛物线的开口向上，则的取值范围是 ． 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的开口向上，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式4】（2025·河南平顶山·模拟预测）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“当时，函数值y随自变量x的增大而增大”；乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数表达式： ． 【分析】依题意，利用二次函数的性质，可得出，，即可作答．本题考查了二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵当时，函数值y随自变量x的增大而增大，函数图象经过点 ∴，且， 令，则 故答案为：（答案不唯一）． 题型6. 的图像和性质 【例1】（2025·辽宁阜新·二模）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【分析】本题主要考查了的图象和性质．根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标及是否经过原点，即可． 【详解】解：当时，，则图象经过，故A选项错误，不符合题意； 因为，则抛物线开口向下，故B选项错误，不符合题意； C、对称轴是直线，故C选项错误，不符合题意； D、顶点坐标为，即最高点是，故D选项正确，符合题意； 故选：D 【例2】（24-25九年级上·广东江门·期中）点；点，点都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数解析式分别计算各点的纵坐标，再比较大小关系即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点；点，点都在二次函数的图象上， ∴，，， ∴，， 故选：A． 【例3】（24-25九年级上·全国·课后作业）在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． x … 0 1 2 3 4 … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 【分析】此题主要考查二次函数的图像与性质．根据二次函数的作图方法，再根据图像即可求解各性质． 【详解】（1）解：列表如下： x … 0 1 2 3 4 … … 0 … … 0 … … 0 … 画图如下： ，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为．当时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （2）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （3）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 【变式1】（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴； 故选B． 【变式2】（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）下列抛物线中，对称轴为直线的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、抛物线的对称轴为直线，故符合题意； B、抛物线的对称轴为轴，故不符合题意； C、抛物线的对称轴为轴，故不符合题意； D、抛物线的对称轴为直线，故不符合题意； 故选：A． 【变式3】（23-24九年级下·全国·单元测试）已知函数 是关于x的二次函数． 求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的定义： （1）直接根据二次函数的定义进行求解即可； （2）二次函数有最低点，则二次项系数大于0，在对称轴右侧y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵函数 是关于x的二次函数， 解得 ； （2）解：∵抛物线有最低点， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为y轴，且开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大． 题型7. 的图像和性质 【例1】（24-25八年级下·重庆渝中·期末）二次函数的图像大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【分析】本题考查了二次函数的图像，掌握二次函数图像的特征是解题的关键．根据二次函数的顶点式即可判断大致图像． 【详解】解：二次函数的顶点式为， ，顶点坐标为， 二次函数图像是开口向上，以顶点坐标为的抛物线， 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知抛物线，下列结论中错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y取最大值3 D．当时，y随x的增大而增大 【分析】本题主要考查二次函数的性质，在中，对称轴为，顶点坐标为．根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A：抛物线中，系数，故开口向下，正确； B：顶点式为，对称轴为，此处，故对称轴为直线，正确； C：开口向下时，顶点处取得最大值，最大值为顶点纵坐标，当时，正确； D：开口向下时，对称轴右侧（），随增大而减小，而非增大，故错误． 故选：D． 【例3】（24-25九年级上·河南漯河·期中）已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴； (2)完成下表： x … 1 3 5 … y … ______ ______ ______ ______ ______ … (3)在平面直角坐标系中描点画出抛物线的图象． 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的特点，计算函数值，描点连线作图，掌握二次函数顶点式的特点，代入求值，根据表格信息作图的方法是解题的关键． （1）根据二次函数的顶点坐标为，对称轴直线为，即可求解； （2）把自变量的值代入计算即可求解函数值； （3）根据表格信息，描点、连线即可求解． 【详解】（1）解：抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：把自变量的值代入求解， x … 1 3 5 … y … 0 … 故答案为：，，0，，； （3）解：根据表格信息，描点，连线，作图如下， 【变式1】（24-25九年级上·广东湛江·期中）抛物线过三点，则大小关系是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了比较抛物线上各点纵坐标的大小． 利用开口方向及点到对称轴的距离判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点为，开口向上， ∴点离对称轴越远，纵坐标越大． 计算各点横坐标到对称轴的距离： 时，距离为， 时，距离为， 时，距离为， 距离由大到小为， ∴对应纵坐标． 故选A． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为； ∴； 故选C． 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数． (1)求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； (2)当取什么范围时，随的增大而增大？ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次项系数可判断开口方向，再根据顶点式确定顶点坐标及对称轴即可； （2）利用开口方向和对称轴即可解答． 【详解】（1）解：二次函数中，， 二次函数开口向下， 对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：二次函数开口向下， 在对称轴的左侧随的增大而增大， 二次函数的对称轴为， 当时，随的增大而增大． 题型8. 二次函数图像的平移 【例1】（2025·山西吕梁·三模）将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减的法则是解题的关键． 根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”逐步求解． 【详解】将抛物线向左平移3个单位所得抛物线解析式为：，即； 再向下平移2个单位为：，即， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）将函数的图像向右平移3个单位，所得的二次函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握“上加下减，左加右减”的平移规律是关键． 依据题意，由函数的图象向右平移3个单位，从而根据“左加右减”的平移规律即可判断得解 【详解】解∶由题意，函数的图象向右平移3个单位， ∴根据“左加右减”的平移规律可得，平移后二次函数解析式是． 故选∶ A． 【例3】（2025·四川广元·三模）已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）． 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线的解析式为，再利用二次函数图象的性质可得出答案． 【详解】解：， ∵二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵关于轴对称的点为 ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）抛物线的函数表达式为，若将抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，则平移后该抛物线的函数表达式为（　） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：； 故选D． 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）把二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题，熟练掌握移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解决此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴， 故选：B． 【变式3】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）把抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线为 ． 【分析】该题考查了抛物线的图象与平移变化，牢记平移规则“左加右减、上加下减”是解答本题的关键． 根据平移的性质，向左平移1个单位，即用代替原自变量，再向上平移3个单位，即函数关系式等号右边加3，化简即可． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得： ， 故答案为：． 【变式4】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）二次函数的图象向上平移3个单位得到新的二次函数图象的顶点坐标是 ． 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移规则是解答的关键．根据函数图象的平移规则“上加下减”求得平移后的函数解析式，进而可得顶点坐标． 【详解】解：将二次函数的图象向上平移 3 个单位后得到新的二次函数的解析式为，即， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 题型9. 把化成顶点式 【例1】（2025·河南信阳·三模）已知抛物线 与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，则抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了求二次函数的对称轴，解题关键是将函数表达式转化为顶点式． 先将函数表达式转化为顶点式，再根据顶点的纵坐标为求解． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵顶点的纵坐标为， ∴，即， ∴抛物线的对称轴为直线， 故选：A． 【例2】（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）二次函数可变形为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了将二次函数化成顶点式，熟练掌握配方法是解题关键．利用配方法将二次函数化成顶点式即可得． 【详解】解： ， 则二次函数可变形为， 故选：B． 【例3】（2025·甘肃武威·二模）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为 ． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及二次函数的一般式化为顶点式，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．先将化为顶点式，再利用左加右减，上加下减即可得出平移后的表达式． 【详解】解：， ∵先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴平移后的抛物线的表达式为， 故答案为：． 【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）二次函数图象的顶点坐标为(    ) A． B． C． D． 【分析】本题考查将二次函数解析式化为顶点式及其性质，将一般式化为顶点式即可得解． 【详解】解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）已知，设y的最大值为M，则M的最小值为（   ） A． B．7 C． D．9 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据题意可求出原函数的对称轴为直线，当，即时，则原函数在时取到最大值，当，即时，则原函数在时取到最大值，据此分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，原函数对称轴为直线， ①若，即，则原函数在时取到最大值， 从而． ②若，即，则原函数在时取到最大值， 从而． 综上，可知当时，． 故选：C． 【变式3】（2025·宁夏银川·二模）二次函数的顶点坐标是 ． 【分析】本题考查二次函数的性质，先将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴该函数图象的顶点坐标为， 故答案为：． 【变式4】（24-25八年级下·重庆北碚·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【分析】本题考查二次函数的增减性，掌握增减性的影响因素是解题关键． 把二次函数解析式化为顶点式可得对称轴为直线，从而得到关于对称轴的对称点为，再根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴二次函数图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 题型10. 的图像和性质 【例1】（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图是二次函数的图象，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据对称轴是直线，可得，即，即可判断A；根据抛物线开口判断，然后根据对称轴判断，抛物线交y轴于正半轴，，可判断B；由图象知：当时，，可判断C；由图可知时，可判断D． 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，理解题意，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故选项A正确； ∵， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴得：； ∴，故选项B错误； 由图象知：当时，， ∴， ∴，故选项C错误； 由图可知，时， ∴，故选项D错误． 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）下列抛物线中，对称轴是直线的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据对称轴公式以及顶点坐标公式进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：选项A：，属于一般式．对称轴公式为，代入，，得，对称轴为，不符合条件． 选项B：，属于顶点式．顶点坐标为，对称轴为，不符合条件． 选项C：，属于一般式．代入，，得，对称轴为，符合条件． 选项D：，代入，，得，对称轴为，不符合条件． 综上，正确答案为C． 故选C． 【例3】（2025·新疆·二模）（1）解方程：． （2）已知一个二次函数的图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示 … 0 1 … … 0 0 … ①求这个二次函数的解析式； ②在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； ③若对于方程总有两个不相等的实数根，结合图象直接写出的取值范围． 【分析】本题考查了解一元二次方程，求二次函数的解析式，画二次函数的图象，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）①把点，，分别代入进行解方程，即可作答． ②先找出，，再标点，然后连接，即可作答． ③运用②的图，得函数开口向上，有最小值，且为，运用数形结合思想，对于方程总有两个不相等的实数根时，的取值范围是． 【详解】解：（1）， ， ， ∴，， 解得，． （2）①∵二次函数的图象过点，，， ∴， 解得，， ∴这个二次函数的解析式为； ②函数图象如图所示； ③由图象可得，函数的开口向上，且有最小值，为， 对于方程总有两个不相等的实数根时，的取值范围是． 【变式1】（24-25九年级上·广西钦州·期中）若在函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次函数的性质，通过代入各点横坐标计算对应的函数值，比较大小即可． 【详解】解：将各点的横坐标代入二次函数中： 当时，； 当时，； 当时，． 比较得：， 故选：D． 【变式2】（2025·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，函数（为常数）图象的顶点坐标是． (1)判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． (2)求证：． 【分析】本题考查二次函数图象的图象与性质，配方法的应用，熟练掌握二次函数顶点坐标的公式和配方法的应用是解题的关键． （1）求当时，的值，即可判断； （2）利用二次函数顶点坐标的公式求出，关于的式子，再得出关于的式子，再利用配方法求最值即可． 【详解】（1）解：点在该函数的图象上，理由如下： 当时，， 则点在该函数的图象上； （2）解：∵函数（为常数）图象的顶点坐标是， ∴，， ∴， ∵为常数， ∴， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线过点，设抛物线的对称轴为， (1)求的值； (2)如果点，，是抛物线上的点，且总有，求的取值范围． 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把代入求出得到抛物线的对称轴为直线，即可得到答案； （2）根据二次函数的性质得到抛物线开口向上，得出，分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线过点， ， ， 抛物线的对称轴为直线， （2）解：点，，是抛物线上的点， ， 抛物线开口向上，且总有， ， ， 当时，，不成立； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，不成立； 的取值范围是． 题型11. 二次函数的图像与各项系数符号 【例1】（2025·湖北咸宁·模拟预测）二次函数的图象经过点，，与轴的交点在轴的下方．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．二次函数的最小值为 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 根据二次函数的图象经过点，，可得对称轴为，由函数图象与轴的交点在轴的下方，得到，，从而可得，即，判断A选项；根据函数的增减性得到当时，，判断B选项；根据函数图象经过点，，得到，求解有，判断C选项；将二次函数化为顶点式，即可判断D选项． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴该函数图象的对称轴为， ∵二次函数的图象与轴的交点在轴的下方， ∴，， ∵该函数图象的对称轴为，即， ∴，故A选项错误； ∵，对称轴为， ∴该函数图象开口向上，当时，y随x的增大而减小， ∴当时，，即，故B选项错误； ∵二次函数的图象经过点，， ∴， ∴，故C选项错误； ∴二次函数可化为，即， ∴二次函数的最小值为，故D选项正确． 故选：D 【例2】（2025·四川绵阳·三模）如图是二次函数，，是常数，图象的一部分， 经过点，且与y轴的交点在点与之间，函数图象的对称轴为直线．下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的知识点是二次函数图像与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图像与系数的关系． 根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号；根据对称轴求出；把代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关，根据二次函数与y的交点得到，进而求解即可． 【详解】对称轴为直线，经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， ， ，故A选项错误； ， ， ，故B选项错误； 抛物线的开口向上， ， 当时，， ， ， ，故C选项错误； 抛物线与轴的交点在点与之间， ， 当时，， ， ， ， ， ，故D选项正确， 故选：D． 【例3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，那么点在第 象限． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，与坐标轴交点的计算是关键． 根据二次函数图象判定各项系数的符号，由此即可求解． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ∴， 对称轴直线为， ∴， 图象与轴交于正半轴，与轴有两个交点， ∴，， ∴，故A选项错误，不符合题意； 根据图示，当是，，故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴，故C选项正确，符合题意； ∵， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：C ． 【变式2】（2025·河南南阳·模拟预测）若抛物线的图象不经过第一象限，则以下正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数之间的关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据题意，得出该函数图象的开口向下，与轴交于负半轴（或原点），对称轴在x的负半轴上，继而判断的符号，结合选项即可求解． 【详解】解：∵抛物线的图象不经过第一象限， ∴该函数图象的开口向下，与轴交于负半轴（或原点），对称轴在x的负半轴上， ∴， ∴， ∴； 即． 故选D． 【变式3】（24-25九年级上·广东湛江·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有 ．（填写序号） 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左，当与异号时，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于，是解答本题的关键． 【详解】解：由图可知，二次函数图像开口向上，图像与轴的交点在负半轴， ，，故①正确； 二次函数图像的对称轴，， ， ，故②正确； 由图可知，当时，，故③正确； 由对称轴，可得， ∴ 故④正确， 综上所述，正确的有：①②③④； 故答案为：①②③④． 题型12. 一次函数与二次函数图像综合判断 【例1】（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，由二次函数图象得出a，b，c的大小是解题的关键． 先求出，，再判断一次函数图象即可． 【详解】∵二次函数图象开口向上， ∴； ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴； ∵与轴交点在负半轴， ∴．   对于一次函数，，，，故， ∴一次函数图象过二、三、四象限． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图是二次函数图象，则下列图象可能是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据二次函数图象可以判断，从而可以判断一次函数的图象过第一、二、四象限，从而可以解答本题． 【详解】解：由二次函数图象可得， ， ∴一次函数的图象过第一、二、四象限， 故选：C． 【例3】（2025·江苏南京·二模）函数的图像如图所示．类似的，函数的图像是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出，根据二次函数得出与y轴的交点在y轴负半轴，然后当时，，求出与x轴的交点即可判断，熟练掌握二次函数图象的性质是解题关键． 【详解】解：， 当时，， ∴与y轴的交点在y轴负半轴， 当时，， 令，则， 解得：或， ∴当时，与x轴正半轴有两个交点， 只有选项D符合题意， 故选：D 【变式1】（2025·广东云浮·一模）二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，分和两种情况根据二次函数与一次函数图象分析判断即可得解．熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关键，注意分情况讨论． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，对称轴在轴左侧， A和B选项不正确； 时，抛物线开口向下，一次函数经过第二、三、四象限，与轴正半轴的交于点， C选项不正确； 时，抛物线开口向上，一次函数经过第一、二、三象限，与轴正半轴的交于点， D选项正确． 故选：D． 【变式2】（2025·安徽淮南·三模）已知二次函数与正比例函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，正确读懂的函数图象是解题的关键． 由已知函数图象，判断出，，，即可得函数的图象方向和对称轴，再求出与函数图象与轴的交点的横坐标，即可解得． 【详解】解：由已知函数图象得，，，， ∴函数的图象开口向上，， 即其图象的对称轴直线在轴的左侧． ∵二次函数与正比例函数的图象交点的横坐标为，， ∴二次函数与正比例函数的图象交点的横坐标为，， ∴方程的两根为，， ∴函数的图象与轴的交点的横坐标为，． 故选B． 【变式3】（2025·安徽合肥·二模）已知一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【分析】考查了二次函数的图象与一次函数的图象的知识，解题的关键是了解各个函数的图象与系数的关系，难度不大． 利用一次函数的图象的性质确定的符号，再根二次函数图象与系数的关系以及对称轴的位置判断正确选项． 【详解】解：由一次函数的图象可知，∴， ∴二次函数，开口向下，对称轴在轴的左侧，且经过原点， 当时，， ∴满足条件的函数图象只有C， 故选：C． 题型13. 已知抛物线上对称的两点求对称轴 【例1】（2025·四川乐山·模拟预测）已知二次函数的图象上有两点，若，当函数值取得最大值时，对应的值为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴，顶点坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 根据两个对称点确定抛物线的对称轴，判定顶点为最高点即可确定的值． 【详解】解：由抛物线上可知，纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， 所以抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线的顶点为最高点， 所以，当函数值取得最大值时，对应的值为1． 故选：B 【例2】（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知二次函数的图象过点，若点也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解题关键．由，和点，得出二次函数图象开口向上，对称轴为直线，即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象过点， 二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 距离对称轴越远的点，函数值越大， 点在该二次函数图象上，且点离对称轴最远，点离对称轴最近， ， 故选：B． 【例3】（2025·上海松江·二模）已知、是抛物线上不同的两点，如果，那么 ． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；先求出对称轴，再根据纵坐标相等的两点关于对称轴对称即可得解； 【详解】解：抛物线的对称轴为：直线，， ， ． 故答案为：. 【变式1】（2025·山东滨州·二模）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： 0 1 2 3 3 0 m 3 ①抛物线开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③m的值为；④图象经过一、二、四象限；⑤抛物线在y轴左侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（    ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线与系数的关系，顶点坐标，对称轴，对称性，增减性，是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标是，有最小值，判断①；根据抛物线的对称轴是直线，判断②；根据与对称，判断③；根据图象过原点，对称轴在原点右则，判断④；抛物线在直线右侧的部分是上升的．判断⑤． 【详解】解：由表格可知，抛物线的顶点坐标是，有最小值， ∴抛物线的开口向上， 故①符合题意； 抛物线的对称轴是直线， 故②符合题意； 当或时， ， 故m的值为0， 故③不符合题意； ∵图象过原点，对称轴为直线，抛物线的开口向上 ∴图象不过第三象限，图象经过一、二、四象限； 故④符合题意； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线在直线右侧的部分是上升的． 故⑤不符合题意． ∴符合题意的有①②④ 故选：A． 【变式2】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）抛物线经过点和，则它的对称轴为 ． 【分析】此题考查抛物线的对称性，根据抛物线经过的两点纵坐标相等，得对称轴为该两点横坐标和的一半，由此得到答案． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴它的对称轴为直线， 故答案为：直线． 【变式3】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点M、N皆在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，，，，则的长度是 ． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由，，的长度以及根据二次函数的对称性可以知道，和，和，和横坐标的差，从而推出和的横坐标之差，得到的长度． 【详解】解：由、、、四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同， ，，， ， ，， 又， ． 故答案为：9． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）将抛物线先沿着轴方向向左平移2个单位长度，再沿轴方向向下平移3个单位长度，所得的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据函数图象“左加右减，上加下减”可得答案． 【详解】解：原抛物线为向左平移2个单位得到，再向下平移3个单位得到， 故选：B． 2．（24-25九年级上·重庆合川·期中）已知二次函数的图象上有，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次函数的增减性：当二次项系数时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小，根据得到抛物线的开口向下，根据图象上的点离对称轴越远，函数值越小，进行判断即可． 【详解】解：∵，对称轴为， ∴函数的图象开口向下， ∵关于对称轴的对称点为，且， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·全国·期中）如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线开口向上，可得，再由抛物线对称轴为直线，可得，，②正确．再由，可得，①正确．再根据抛物线的对称性可得抛物线经过，从而得到时，，③错误．再根据二次函数的对称性可得，④错误，即可求解． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ，则，所以②正确； 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； 时，， ， ③错误； 点与点关于对称轴对称， ，所以④错误． 故选：A． 4．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象的顶点坐标在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求二次函数的顶点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式，进而可得二次函数解析式，再把二次函数解析式化为顶点式求出顶点坐标即可得到答案． 【详解】由图象可得，直线经过点，， 把点，代入得，，解得， 二次函数解析式为， 二次函数图象的顶点坐标为，即二次函数顶点在第一象限， 故选：A． 5．（2025·四川成都·模拟预测）关于x的二次函数，下列说法错误的是（   ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，函数图象的对称轴是直线；若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小；由题意可知函数图象一定经过点，当时，根据，可知函数图象与x轴一定有两个交点，即可得出答案． 【详解】解：函数图象的对称轴是直线， 故A选项正确，不符合题意； 若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小， 故B选项不正确，符合题意； 将代入，得， ∴函数图象一定经过点， 故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴当时，， ∴此时函数图象与x轴一定有两个交点， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 6．（2025·河南驻马店·三模）下面是某数学小组利用软件绘制的函数的部分图象，根据学习函数的经验判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查从函数图象获取信息，由图象可得，当时，即可判断． 【详解】解： 由图象可得，当时，， 又当时，， ∴， ∴． 故选：C 7．（2025·山东聊城·三模）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有（   ） ①；②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是；③若点和在该抛物线上，则；④对任意实数n，不等式总成立． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 将代入，可得，由图象即可判断①；根据抛物线的对称性即可求解抛物线与轴的另一个交点，即可判断②；根据点和距离抛物线对称轴的远近即可判断③；根据时，函数有最大值，故，再整理即可判断④． 【详解】解：对称轴是直线， 故该抛物线与轴的另一个交点坐标是，故②错误； 将代入，可得，由图象可知，此时图像在轴上方，故，故①正确； 时，函数有最大值，距离对称轴更近，故，故③正确； 时，函数有最大值，故，即不等式总成立，故④正确； 故选：C． 8．（2025·辽宁沈阳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 故选：B． 9．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知点，在二次函数的图象上，点是函数图象的顶点，那么以下判断正确的是（   ） A．当时，的取值范围时 B．当时，的取值范围是 C．当时，的取值范围是 D．当时，的取值范围是 【分析】本题考查了抛物线的性质和分类讨论的数学思想，关键在于对对称轴与已知两点的位置进行分类讨论，较好的考查了数学分析能力．根据二次函数的对称性和开口方向，结合点的位置关系分析顶点横坐标的取值范围． 【详解】解：分析选项A、B：当时，顶点为最小值，说明开口向上（）．此时，点离对称轴更远，点离对称轴更近，对称轴需满足，解得．但选项A（）和B（）均仅覆盖部分范围，题目未明确限定的具体区间，故无法确定A或B的正确性． 分析选项C、D：当时，顶点为最大值，说明二次函数开口向下（）．此时，点离对称轴更近，点离对称轴更远，故．对称轴需满足，解得．因此，的取值范围是，选项D正确，选项C的仅为部分情况，不全面． 故选D． 10．（24-25八年级下·广西南宁·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象问题，根据二次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可，掌握二次函数的图象与一次函数得性质是解题的关键． 【详解】解：、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 故选：． 11．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③方程的两根和为1；④若，则，⑤点，在抛物线上，且当时，；其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②由根与系数的关系可得出，由代入即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④． ⑤当点和关于对称轴对称时，解得m，若点A和点B向左移动时结合对称轴左侧的递减性，以及即可得到m的取值范围． 【详解】解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， 时，， ， ， ， ， ∵， ，故②正确； ③设方程的两根为和， ∴， ， ∴，故③错误． ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； ⑤点，在抛物线上， 当时，，解得， ∵， ∴，则⑤正确； 故选：C． 12．（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③． 【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴，故①正确； ②当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②错误； ③当点M在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：（舍去）， ∴当时，的面积为； 当点M在上时， ∵，， ∴，即， 此时， 解得：， ∴当时，的面积为； ∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 故选：C 二、填空题 13．（2025九年级上·全国·专题练习）抛物线经过的象限是 ． 【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③． 【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴，故①正确； ②当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②错误； ③当点M在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：（舍去）， ∴当时，的面积为； 当点M在上时， ∵，， ∴，即， 此时， 解得：， ∴当时，的面积为； ∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 故选：C 14．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线． （1）a的值为 ． （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，则平移后图 象所对应的二次函数的解析式为 ． 【分析】本题主要考查了抛物线的对称轴的计算公式，抛物线的平移的知识， 掌握抛物线对称轴的计算公式是解答本题的关键． (1)将二次函数解析式化为一般式，再根据对称轴公式计算即可； (2)代入，得到抛物线解析式，结合解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式. 【详解】（1）． 函数图象的对称轴为直线， ， ． （2）由（1）知，， 二次函数的解析式为， 抛物线向下平移3个单位长度后经过原点， 平移后图象所对应的二次函数的解析式为． 15．（24-25九年级下·浙江衢州·自主招生）如图，是抛物线上两点，点为的中点，过作轴的垂线，交抛物线于点，．设两点的横坐标分别为．则的值为 ． 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的特性，确定点的坐标是解题的关键． 将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，即可求解． 【详解】解：由题意得，点的坐标分别为：，则点，点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， ， 则的值为， 故答案为：． 16．（2025·河南周口·三模）若实数，满足，则的最大值为 ． 【分析】题主要考查了完全平方公式，整式的乘法，二次函数的最值，设，则，进而得出，即可得出原式，利用二次函数的性质即可求出答案 【详解】解：设，则， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴的最大值为， 故答案为：． 17．（2025·江苏宿迁·三模）定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为6，则a的值为 ． 【分析】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义并应用到二次函数中解决问题是解决本题的关键；难点是得到用表示的点的坐标． 把所给抛物线解析式整理成顶点式，可得和的值，易得，则可得用表示的的值及的值，进而可得用表示的的式子，把用表示的代入抛物线解析式，可得的值． 【详解】解：， ，， 抛物线的“相对深度”为6， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 18．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论①；②；③；④；其中所有正确的结论是 ． 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据二次函数图像及其性质对序号依次判断即可． 【详解】由图像可知，，， ∴，故①正确． 当x=时，y=0， 即 ∴ ∴ ∴，故②正确． 由对称轴为，与x轴一个交点为可知与x轴另一个交点为 即 化简得，故③正确． ∵对称轴为 ∴ ∴， 将代入有 即 ∴，故④错误． 综上所述①②③正确． 故答案为①②③． 19．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则当的值最小时，点的坐标为 ． 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，求出直线的解析式，进而可求出点P的坐标． 【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点， ∵抛物线与轴交于，两点， ∴点A和点B关于对称轴直线对称， ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵当时，，则 当时，， 解得：， ∴， 设的解析式为：， 则， 解得： 则的解析式为：， 令，则， 则， 故答案为： 20．（24-25八年级下·重庆渝中·期末）若点、、在二次函数的图像上，则、、的大小关系为 ．（用“”符号连接） 【分析】本题考查判断二次函数的函数值大小，求出对称轴，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵点、、在二次函数的图像上，且， ∴； 故答案为： 21．（2025·江苏南京·模拟预测）在平面直角系中．将抛物线向右平移2个单位得到抛物线，点在抛物线上．点在抛物线上．当，时，总有，，则a的取值范围是 ． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；先求得点的坐标，进而求得的解析式，根据题意，分别求得和在上的函数值，即的值，根据题意列出不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵抛物线 的解析式为 ．将 向右平移 2 个单位得到 ． ∴平移后， 的解析式为：， ∵，点 在 上，点 在 上，且 ． ∴点 的横坐标为 ．代入的解析式， 得 则代入到的解析式，得 ∵点在抛物线上． ∴． 条件时， 的最大值小于 ∵， ∴抛物线开口向上，最大值在端点处取得 当时， ， 当时， ， ∴， 且． 解不等式：， ， ， ， ∵， ∴ ． 解得 ． 解不等式：， 即， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，的取值范围为 ． 故答案为： 22．（24-25九年级下·上海·阶段练习）将抛物线的图像向左平移2个单位后，发现新的抛物线的图像经过原点，则新抛物线的对称轴为直线 . 【分析】此题主要考查了二次函数图象与平移变换，直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的坐标特征即可求得． 【详解】解：抛物线的图像向左平移2个单位后的解析式为， ∵新的抛物线的图像经过原点， 令，解得或， ∴对称轴为直线， 故答案为：. 23．（2025·湖北武汉·模拟预测）为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： 0 0.5 1 1.5 下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②该函数图象关于轴对称； ③该函数图象有两个最低点； ④若该函数图象与直线恰好有两个公共点，则； ⑤当时，则该函数图象上横、纵坐标均为整数的点共有5个． 其中正确的结论是 （填写序号）． 【分析】本题考查了函数的图象．根据函数的图象及性质即可求解，能从表格和图象获取信息是解题的关键． 【详解】解：描点、连线，函数的图象如下，    ①当时，， 则该函数图象经过点，故结论①正确； ②观察图象，该函数图象关于轴对称，故结论②正确； ③观察图象，该函数图象有两个最低点，故结论③正确； ④若该函数图象与直线恰好有两个公共点，则或，故结论④错误； ⑤当时，，该函数图象经过点； 当时，，不符合题意； 当时，，该函数图象经过点或； 当时，，该函数图象经过点或； 当时，，不符合题意； ∴当时，则该函数图象上横、纵坐标均为整数的点共有5个，故结论⑤正确． 故答案为：①②③⑤． 三、解答题 24．（22-23八年级下·天津·期中）五点法画出函数的图象． (1)根据给出的自变量求其对应函数值，填入表格中； x 0 1 2 3 y (2)在直角坐标系中，画出上表中各对数值所对应的点，然后用平滑曲线连接这些点，画出函数图像． 【分析】本题考查了求函数值，画二次函数的图象，解题的关键是数形结合． （1）把自变量的值代入函数式中，可以求得对应的函数值； （2）描点、连线得到二次函数的图象 【详解】（1）解：填表如下： x 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9 （2）解：画出抛物线如下： 25．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知二次函数，解决以下问题： (1)将其化成的形式：______； (2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图； 0 1 2 3 6 (3)增减性：当______时，随增大而增大；当______时，随增大而减小． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）用配方法将二次函数解析式化为顶点式即可； （2）将x对应的值代入函数解析式求出y的值，然后描点，画出函数图象即可； （3）根据函数的增减性，得出答案即可． 【详解】（1）解：； （2）解：填表如下： 0 1 2 3 6 3 2 3 6 描点，连线，画出函数图象，如图所示： （3）解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大；当时，随增大而减小． 26．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且）． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)已知，和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围． 【分析】（1）将，，代入化成顶点式即可直接得解； （2）由进而得到抛物线的对称轴为，分类讨论，和，再根据增减性和对称性求解即可； 本题主要考查了二次函数的顶点坐标、二次函数的增减性、二次函数的对称性以及二次函数与直线的交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：将，，代入，得， 顶点的横坐标为，代入纵坐标为 ∴顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为， ①当时，，则在对称轴右侧，其关于对称轴对称点为 ， ∵开口向上，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当有， 可得， 解得； ②当时，，则在对称轴左侧，其关于对称轴对称点为 ， ∵开口向下，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当有， 可得或， ， 解得； 综上，或； 27．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知 是二次函数． (1)当时，随的增大而减小，求的值． (2)若有最大值，求该函数的表达式． 【分析】本题主要考查了二次函数的定义和性质，根据二次函数的定义和性质求出的值是解题的关键． （1）根据二次函数的定义得到，，解得或，进而得到； （2）根据二次函数的性质得到，即可得到答案． 【详解】（1）解： 是二次函数， ，， 或， 当时，随的增大而减小， 函数图象开口向上， ， ； （2）解：有最大值， 函数图象开口向下， ， ， 该函数的表达式为． 28．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知是关于x的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点：求出这个最低点（写坐标），这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【分析】本题主要考查了根据二次函数的定义求参数，二次函数图象的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 对于（1），根据二次函数的定义可知，且，求出解即可； 对于（2），根据抛物线由最低点可知，即可得出关系式，从而解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，且， 解得：． 所以满足条件的m的值为2或； （2）解：当，即时，抛物线有最低点， 当时，此时抛物线的关系式为， 该抛物线的最低点即顶点坐标为， 当时，函数值y随着x的增大而增大． 29．（2025·河南周口·三模）（1）写出下列二次函数的顶点坐标： ①的顶点坐标为________； ②的顶点坐标为________； ③的顶点坐标为________． （2）新定义：在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”．像上面①②③的函数均为“数轴函数”，请分别判断与是不是“数轴函数”，并说明理由． （3）与轴平行的直线交“数轴函数”于两点（点在点的左侧），，是直线上方抛物线上一点，且点到对称轴的距离大于2，请直接写出点横坐标的取值范围． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，顶点坐标，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据二次函数的顶点式进行作答即可； ②根据二次函数的顶点式进行作答即可； ③根据二次函数的顶点式进行作答即可； （2）先化为顶点式，再根据“数轴函数”的定义进行分析，即可作答． （3）先化为顶点式，根据“数轴函数”的定义进行分析得出，再结合得出，，又因为是直线上方抛物线上一点，且点到对称轴的距离大于2，且结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】解：（1）①的顶点坐标为； ②的顶点坐标为； ③的顶点坐标为 故答案为：，，； （2）依题意， 则该函数的顶点坐标为，顶点坐标在轴上，符合“数轴函数”的要求， 故是“数轴函数， ， 则该函数的顶点坐标为，顶点坐标不在坐标轴上，不符合“数轴函数”的要求， 故不是“数轴函数”； （3）依题意， 此函数的顶点坐标为， ∵是“数轴函数” ∴， 解得； ∴，即函数的开口向下，对称轴为直线， 越靠近对称轴的所对应的函数值越大 ∵与轴平行的直线交“数轴函数”于两点（点在点的左侧），， ∴， ∵是直线上方抛物线上一点，且点到对称轴的距离大于2， ∴或者 即或． 30．（2025·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为，其中． (1)若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式； (2)若为此二次函数图象上不同的两个点，当时，，求m的值； (3)若点在此二次函数图象上，当时，y随x的增大而增大，求t的取值范围． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，解二元一次方程组，解不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意得，因为，故建立方程组，再解得，即可作答． （2）先整理得对称轴为直线，结合，说明关于对称轴对称，得，解得：； （3）把点代入得，则对称轴，整理得，因为当时，y随x的增大而增大，得且，解得：，即可作答． 【详解】（1）解：把点代入到二次函数的表达式中， 得 化简得：， 依题意联立方程组：， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵二次函数的表达式为； ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∴． ∵， 说明关于对称轴对称， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵点在此二次函数图象上， ∴，对称轴， ∵， ∴ ∴， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴且， ∴ ∴ 解得：， ∴ ∵ ∴． 31．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段 相交于点，求四边形面积的最大值. 【分析】（1）先求得，，得到，，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立； （2）由题意得，，根据折叠的性质得，，利用等腰直角三角形的判定和性质求得，，再利用梯形的面积公式求得四边形面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）证明：对于直线， 令，则；令，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵点的坐标为， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积 ∵， ∴当，四边形面积有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质．第2问求得四边形面积关于的二次函数的解析式是解题的关键． 32．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象的对称轴为． 因为点在该函数的图象上， 所以， 所以， 所以． （2）①由（1）可得，， 所以该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为． 因为函数的最大值为， 所以，且， 解得，或（舍去）． 所以该二次函数的表达式为． ②因为点在函数的图象上， 所以． 由①知，点关于直线对称，不妨设， 则，即． 所以 ， 所以． 33．（2025·浙江·模拟预测）二次函数的图象经过点． (1)求的值． (2)当时，该函数的最大值减去最小值的差为，当时，该函数的最大值减去最小值的差为． ①若，求的取值范围； ②是否存在？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握和灵活运用相关知识，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）利用待定系数法，将代入函数解析式即可求出； （2）根据二次函数的增减性，求出最大值和最小值，作差即可； ②分类讨论，求出不同m的取值范围对应的、即可比较即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得； （2）① 抛物线的开口方向向上，对称轴为，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ， 当时，最小，； 当时，最大，． ∴当时，时，恰好函数的最大值4和最小值的差为． 当时，． ∴当时，y随x的增大而增大，且， 此时，的值保持不变，始终等于， ∴m的取值范围是 ②设时的函数值为，时的函数值为， I．当时，即，则必有， 对应的最大值都是．对应的最小值分别为，， 此时；， ∴ II．当时，，则必有，， 对应的最大值都是． 当时的最小值为，当时的最小值为， 此时；， ∴； III．当时，必有， 对应的最大值都是．对应的最小值都是． 此时； IV．当时，必有， 它们对应的最小值都是．当时的最大值为，当时的最大值为， 此时；， ∴ V.当时，必有，对应的最小值都是．对应的最大值分别为，， 此时；， ∴ 综上所述，不存在． 34．（2025·浙江杭州·三模）已知二次函数的顶点横坐标比二次函数（a为常数）的顶点横坐标大1． (1)求a的值； (2)二次函数（a为常数）的图象是否可以由平移得到？如果可以，请说出平移方案；如果不可以，请说明理由． (3)设点在抛物线上，点在抛物线上．若，且，，求n的值； 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将二次函数化为顶点式，求得顶点坐标，根据两个顶点的横坐标的关系列出方程，求解即可； （2）根据两个二次函数的解析式即可得到平移方式； （3）把点代入上，得到，把，，代入，得到，进而得到，因式分解得到，进而求出的值，即可出得出结果． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴顶点坐标为， ∵二次函数， ∴顶点坐标为， ∵二次函数的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，二次函数分别为，， ∴二次函数的图象可以由向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到． （3）解：∵点在抛物线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， 整理，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$