精品解析：贵州省遵义市汇川区2024-2025学年九年级下学期5月模拟数学试题

汇川区2025年初中学业水平第四次适应性考试 数学试题卷 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用铅笔在答题卡相应位置填涂 1. 如图，数轴上蘑菇盖住的点表示的数可能是（　　） A. B. 1.8 C. D. 2.2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴．根据数轴可知数轴上蘑菇盖住点表示的数在与之间，且靠近，所以符合题意． 【详解】解：由数轴可知，数轴上蘑菇盖住的点表示数在与之间，且靠近， 数轴上蘑菇盖住的点表示的数，可能是， 故选：A． 2. 把立体图形转化为平面图形的主要方法有切截、展开、从不同方向看．下列方法得到的平面图形是长方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开图以及认识平面图形，掌握圆柱和圆锥的特征是解答本题的关键．根据圆柱、圆锥的特征解答即可． 【详解】解：选项A的切截是一个圆，故选项A不符合题意； 选项B的切截是一个等腰三角形，故选项B不符合题意； 选项C是圆柱的侧面展开图，是一个长方形，故选项C符合题意； 选项D从左面看是一个等腰三角形，故选项D不符合题意． 故选：C． 3. 估算在下列哪两个整数之间( ) A. 1，2 B. 2，3 C. 3，4 D. 4，5 【答案】C 【解析】 【分析】确定出的范围即可求得答案. 【详解】∵9<15<16， ∴3<<4， 故选C. 【点睛】本题考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式组的解集，向左表示小于，向右则表示大于；空心的圆圈表示不包含，而实心的圆圈则表示包含． 把不等式组中的各个不等式的解集表示在数轴上，然后判断即可． 【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示为： 故选：D． 5. 如图是某物体在斜面上的受力分析，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，重力的方向竖直向下，若重力与斜面的夹角为，则的度数为（　　） A. 65° B. 115° C. 125° D. 155° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质和邻补角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先求得重力与斜面的夹角的邻补角的度数，即，再根据平行线的性质即可求解； 【详解】解：如图： 有由题意可得：， ∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴， 故选：B； 6. 某校国旗护卫队共有30名同学，他们的年龄分布如下表：则这30名同学年龄的中位数和众数分别是（　　） 年龄（岁） 13 14 15 16 人数（人） 5 12 10 3 A. 14.5岁和14岁 B. 15岁和16岁 C. 14岁和15岁 D. 14岁和14岁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数的定义． 根据中位数和众数的定义，结合数据分布求解． 【详解】解：众数：出现次数最多年龄．表中14岁有12人，人数最多，故众数为14岁； 中位数：将30个数据从小到大排列，可知第15、16名均落在14岁区间，因此中位数为岁； 故选：D． 7. 已知是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系“两根之积等于”，直接计算即可求解． 【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系，得 ． 故选：B． 8. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标是，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，菱形的性质，连接，交于点，由菱形的性质得到，由点的坐标可得，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，交于点，如图： ∵四边形是菱形， ∴， ∵点的坐标是， ∴， ∴， ∵点在第四象限， ∴点， 故选：C． 9. 下列说法正确的是（　　） A. 调查全班40名同学对食品安全知识的知晓情况，适宜采用全面调查 B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性更大 C. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币50次，必有25次正面朝上 D. 10张彩票中只有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查统计调查方式的选择、概率计算及可能性判断． 根据各选项的具体内容，结合全面调查与抽样调查的适用情形、概率公式及等可能性原则进行分析即可． 【详解】解：A：全班仅40人，人数较少且需准确掌握每位同学的情况，适合采用全面调查（普查），故A正确； B：数字1、2、3、4、5中，偶数有2个（2、4），奇数有3个（1、3、5）．抽到偶数的概率为，奇数概率为，奇数可能性更大，故B错误； C：硬币正反面概率均为，但实际试验结果可能偏离理论值，无法保证恰好25次正面，故C错误； D：10人依次摸奖（不放回），每人中奖概率均为，与顺序无关，故D错误； 故选：A． 10. 如图，摆钟是一种技术与艺术相结合的机械时钟，图是其钟摆摆动示意图，，当钟摆从摆动到时，若摆动角度，则端点A移动的路径长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键． 根据弧长计算公式，计算即可． 【详解】解：端点A移动的路径长， 故选：C． 11. 如图，平行四边形中，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接并延长交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点．则的长为（　　） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺柜作图，平行四边形的性质，等角对等边．由平行四边形的性质得，，证明得，然后根据求解即可． 【详解】∵平行四边形中，， ∴，， ∴． 由作图可知，平分， ∴， ∴， ∴． 由作图可知，， ∴． 故选B． 12. 家用热水器在使用过程中通常会经历加热、保温、断电的过程，如图是某家用热水器1小时内水的温度随时间的变化图象，设表示从第0分钟到第分钟热水器内水的平均温度，则随的变化图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数图象，根据加热、保温、断电的三个过程随的变化情况判断即可． 【详解】解：加热过程，随的增大而增大，平均温度应低于，保温过程、随的增大而逐渐降低，降低速度较慢，断电过程随的增大而逐渐降低，降低速度较快，据此，只有D符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13. 计算的结果是___________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则进行计算，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图，矩形的对角线与相交于点，若，则的度数为___________°． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查的是矩形性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理，根据矩形性质得出，进而求出，再根据三角形内角和定理及对顶角相等求出结论． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ， 故答案为：120． 15. 如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是___________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，观察图像可知二次函数有两个根，抛物线的两个根关于对称轴对称，正确利用数形结合分析是解题关键．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与轴的另一个交点，进而得出答案． 【详解】解：二次函数的抛物线与轴交于，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点为：， 故当函数值时，自变量的取值范围是：． 故答案为：． 16. 如图，是正方形内一点，，连接，作，垂足为，交于点，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，过点作，，连接，，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理求得正方形的边长为，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，，连接，，过点作于点，交于点，则四边形是矩形， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，即正方形的边长为， ∵ ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴， 又∵ ∴，即 ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得；． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）下面是小星同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母， 得．．．．．．．．．．．．．．．．第一步 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．第二步 经检验：不是分式方程的解．．．．．．第三步 该方程无解．．．．．．．．．．．．． ．第四步 ①第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________； ②请写出解该方程的正确过程． 【答案】（1）；（2）①，去分母时，等号右边漏乘最简公分母（意思相近即可）；②见解析 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角三角函数值的实数运算及分式方程的解法， （1）先算算术平方根、绝对值及特殊角的三角函数，再合并即可； （2）根据解分式方程的方法指出问题并解出方程即可； 【详解】解：（1） ． （2）①，去分母时，等号右边漏乘最简公分母（意思相近即可）； ②， 解：去分母，得： ， 解得：， 经检验：是方程解， 该方程的解为． 18. 为了解全校学生参与家务劳动的情况，某学校开展了“一周参与家务劳动时间”的问卷调查，根据收集到的数据，将劳动时间（单位：分为，，四组进行统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图．请根据信息，解答下列问题： 一周参与家务劳动时间频数分布表 组别 劳动时间 频数 频率 A 20 B 70 C D 30 一周参与家务劳动时间扇形统计图 （1）在统计图表中，___________；___________；圆心角___________； （2）若这所学校共有1000名学生，根据以上调查结果，估计这所学校学生中一周参与家务劳动时间不少于的学生大约有多少人； （3）学校从一周劳动时间最长的4名学生（两男两女）中，随机抽取2名学生参加“劳动技能”大赛，请用列表或画树状图的方法求刚好抽到一男一女的概率． 【答案】（1）；；； （2）这所学校学生中一周参与家务劳动时间不少于的学生大约有550人． （3） 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布表和扇形统计图，用样本估计总体，列表法求概率，读懂统计图，从图表中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据频率之和等于1，可求得，然后根据“组频数为70，对应的频率是”，算得总人数，从而算得，接着利用组的频率为，算得其对应的圆心角； （2）用样本估计总体进行计算即可； （3）画出表格，然后利用概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：， 组频数为70，对应的频率是， 总人数为（人）， ； 组的频率为， 圆心角； 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：（人） 答：这所学校学生中一周参与家务劳动时间不少于的学生大约有550人． 【小问3详解】 解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 ___________ 男1男2 男1女1 男1女 男2 男2男1 ___________ 男女1 男女2 女1 女1男1 女1男 ___________ 女1女2 女2 女2男1 女2男2 女2女1 ___________ 由表可知，共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种， （一男一女）． 19. 如图，四边形的对角线与交于点，，有下列条件：①，②，③平分． （1）请从以上①②③中任选2个作为条件，求证四边形是菱形； （2）在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定以及菱形的性质求面积，勾股定理，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键； （1）情形1：选①②，根据两组对边分别平行可得四边形是平行四边形，结合邻边相等可得四边形是菱形；情形2：选①③根据两组对边分别平行可得四边形是平行四边形，结合角平分线的定义进而得出，可得四边形是菱形；情形3：选②③结合角平分线的定义进而得出，证明结合已知可得四边形是平行四边形．结合邻边相等可得四边形是菱形； （2）根据菱形的性质，在中，求得进而得出，根据菱形的性质求面积，即可求解． 【小问1详解】 情形1：选①② ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 情形2：选①③ 四边形是平行四边形． ． 平分， ． 四边形是菱形． 情形3：选②③ ， ． 平分， ． ， ． 又∵， 四边形平行四边形． ， 四边形是菱形． 【小问2详解】 四边形是菱形， 与互相垂直平分． 在中，． ． ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，交直线于点．若，求的值． 【答案】（1） （2）的值为1 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，解一元二次方程，待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键； （1）将点代入，得出点坐标为．进而待定系数法求反比例函数解析式，即可求解； （2）根据题意得出，解方程结合函数图象取舍的值，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入，得 ． 点坐标为． 点在的图象上， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 ，且轴， ． 整理得， 解得，（舍去） 的值为1． 21. 近年来，遵义已成为全国红色旅游关注度最高的城市之一、红军山是“红城遵义”一张靓丽的名片．如图，小刚驻足于红军山烈士陵园处，瞻仰着高高耸立的红军烈士纪念碑．小刚想测量纪念碑的高度（不含纪念碑顶端镰刀锤子标志），现可使用的测量工具有：卷尺、测角仪．已知小刚眼睛离地面的距离是米．若小刚站在水平地面处用测角仪测得纪念碑顶端的仰角为，径直向后退6米到处，又用测角仪测得纪念碑顶端的仰角为． （1）请你帮助小刚在图2上补全他设计的测量平面图，将所测角度标记在图上（测角仪高度不计）； （2）根据小刚测量的数据，请你计算纪念碑的高度．（结果精确到1米）（参考数据：） 【答案】（1）见解析 （2）纪念碑的高度大约是30米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，补全图形即可； （2）设米，分别解和，求出的值，利用线段的和差进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意，补全图形如图所示： 【小问2详解】 据题意，米，米． 设米， 在中，， ． 在中，， 解得，，符合题意． （米） 答：纪念碑的高度大约是30米． 22. 今年春节档期电影《哪吒2》上映，推动了整个电影市场的繁荣发展．某电影城有大型观影厅1个，中型和小型观影厅共8个，其中大型观影厅可容纳450人观看．若同时开放1个中型和2个小型观影厅，可容纳500人观看；同时开放2个中型和1个小型观影厅，可容纳550人观看． （1）求1个中型和1个小型观影厅分别能容纳多少人观看； （2）若该电影城开放全部观影厅，且中型观影厅的数量不超过小型观影厅的，设该电影城有中型观影厅个，开放全部观影厅最多能同时容纳人观看，请求出与的关系式，并求当为何值时，有最大值，最大值是多少？ 【答案】（1）一个中型和一个小型观影厅分别能容纳200人和150人观看 （2），当时，有最大值，最大值为1800． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设1个中型和一个小型观影厅分别能容纳人和人观看，然后根据题意列出方程组，解出答案即可； （2）由题意可知，，根据中型观影厅的数量不超过小型观影厅的，可知，解得，根据一次函数的性质，可知随的增大而增大，当时，有最大值，然后将代入即可求得最大值． 【小问1详解】 解：设1个中型和一个小型观影厅分别能容纳人和人观看， 则， 解得，， 答：一个中型和一个小型观影厅分别能容纳200人和150人观看． 【小问2详解】 解：设该电影城有中型观影厅个，开放全部观影厅最多能同时容纳人观看，那么有 化简得，． 中型观影厅的数量不超过小型观影厅的， ， ， ， 随的增大而增大． 当时，有最大值，． 答：当时，有最大值，最大值为1800． 23. 如图，内接于，为直径，交于点，过点作的切线交的延长线于点，过点作，垂足为，交于点． （1）写出图中一个与相等的角：___________； （2）求证：； （3）若，求的半径长． 【答案】（1）或或或（写其中一个即可） （2）见解析 （3）5 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理，垂径定理，切线的性质确定与相等的角即可； （2）连接，由（1）得：，从而可得结论； （3）连接交于点．证明四边形是矩形，可得，，．设的半径为，可得，进一步求解即可. 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，连接， ∵为的切线， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， 综上：与相等角为或或或（写其中一个即可） 【小问2详解】 解：连接， 由（1）得：， ； 【小问3详解】 解：连接交于点． 是的直径， ， 是的切线， ∴， ∴， 四边形是矩形， ∴， ， ． 设的半径为， ． 在中，， 即的半径长为5． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，垂径定理的应用，切线的性质，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 24. 如图1是某市一座中承式拱桥，其截面示意图如图2所示，拱圈是抛物线的一部分，拱顶到桥面的距离为，桥面与河面平行，，，以为原点，所E直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求拱圈抛物线的函数关系式； （2）一艘高的航船能否安全通过该拱桥？请通过计算说明理由；（不考虑航船的宽度） （3）如图3，为确保拱桥的稳固性，需在桥面与拱圈之间每隔5米设置1根垂直吊杆，若从左起第根与第根吊杆的高度差为0.5米，求的值． 【答案】（1）或者： （2）高的航船不能安全通过该拱桥，理由见解析 （3）的值为3或4 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用； （1）据题意，抛物线顶点坐标为．设抛物线解析式为：，再进一步求解即可； （2）分别过点作，垂足分别为和．根据对称性可知，．可，求解，进一步可得答案； （3）由，可得从左起第4根垂直吊杆在抛物线对称轴上．①当时，可得，解方程即可，②当时，根据抛物线的对称性求解即可． 【小问1详解】 解：据题意，抛物线顶点坐标为． 设抛物线解析式为：， 将代入解析式，得 ， ． 拱圈抛物线的函数关系式为：．或者：． 【小问2详解】 解：高的航船不能安全通过该拱桥，理由如下： 分别过点作，垂足分别为和． 根据对称性可知，． ， ． 即． 这艘航船不能安全通过该拱桥． 【小问3详解】 解：， 从左起第4根垂直吊杆在抛物线对称轴上． ①当时， 解得，． 即从左起第3根与第4根吊杆高度差为米． ②当时， 根据抛物线的对称性，从左起第3根与第5根吊杆的高度相等， 第4根与第5根的高度差也为米． ， 综上所述，的值为3或4． 25. 综合与探究： 问题情境：如图，和都是等腰直角三角形，，连接，是的中点，连接． （1）【问题发现】 如图1，当点在边上时，连接，则___________，___________； （2）【进阶探究】 如图2，当点在边上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明该结论；若不成立，请说明理由； （3）【拓展延伸】 如图3，将图1中绕点逆时针旋转度（），若，．直接写出的最小值． 【答案】（1）90， （2）成立，见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，，，结合三角形的外角的性质可得，可得，即可求解； （2）如图，延长至，使，连接，证明，可得，，，证明，可得，，再进一步求解即可； （3）如图，延长至，使，连接，证明，结合在以圆心，为半径的圆上，可得当共线时，最小，最小值为，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：（1）中的结论成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴（1）中的结论成立. 【小问3详解】 解：如图，延长至，使，连接， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵在以圆心，为半径的圆上， ∴当共线时，最小，最小值为， ∵，，， ∴，， ∴的最小值为， ∴的最小值为. 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，中位线，圆外一点与圆上各点距离的最值，旋转的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 汇川区2025年初中学业水平第四次适应性考试 数学试题卷 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用铅笔在答题卡相应位置填涂 1. 如图，数轴上蘑菇盖住的点表示的数可能是（　　） A. B. 1.8 C. D. 2.2 2. 把立体图形转化为平面图形的主要方法有切截、展开、从不同方向看．下列方法得到的平面图形是长方形的是（ ） A. B. C. D. 3. 估算在下列哪两个整数之间( ) A 1，2 B. 2，3 C. 3，4 D. 4，5 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 5. 如图是某物体在斜面上的受力分析，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，重力的方向竖直向下，若重力与斜面的夹角为，则的度数为（　　） A. 65° B. 115° C. 125° D. 155° 6. 某校国旗护卫队共有30名同学，他们的年龄分布如下表：则这30名同学年龄的中位数和众数分别是（　　） 年龄（岁） 13 14 15 16 人数（人） 5 12 10 3 A. 14.5岁和14岁 B. 15岁和16岁 C. 14岁和15岁 D. 14岁和14岁 7. 已知是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. B. 1 C. D. 3 8. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标是，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 9. 下列说法正确是（　　） A. 调查全班40名同学对食品安全知识的知晓情况，适宜采用全面调查 B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性更大 C. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币50次，必有25次正面朝上 D. 10张彩票中只有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 10. 如图，摆钟是一种技术与艺术相结合的机械时钟，图是其钟摆摆动示意图，，当钟摆从摆动到时，若摆动角度，则端点A移动的路径长为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，平行四边形中，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接并延长交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点．则的长为（　　） A. B. 1 C. D. 2 12. 家用热水器在使用过程中通常会经历加热、保温、断电的过程，如图是某家用热水器1小时内水的温度随时间的变化图象，设表示从第0分钟到第分钟热水器内水的平均温度，则随的变化图象大致是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13. 计算的结果是___________； 14. 如图，矩形的对角线与相交于点，若，则的度数为___________°． 15. 如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是___________； 16. 如图，是正方形内一点，，连接，作，垂足为，交于点，则的长为___________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）下面是小星同学解方程过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母， 得．．．．．．．．．．．．．．．．第一步 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．第二步 经检验：不是分式方程的解．．．．．．第三步 该方程无解．．．．．．．．．．．．． ．第四步 ①第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________； ②请写出解该方程的正确过程． 18. 为了解全校学生参与家务劳动的情况，某学校开展了“一周参与家务劳动时间”的问卷调查，根据收集到的数据，将劳动时间（单位：分为，，四组进行统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图．请根据信息，解答下列问题： 一周参与家务劳动时间频数分布表 组别 劳动时间 频数 频率 A 20 B 70 C D 30 一周参与家务劳动时间扇形统计图 （1）在统计图表中，___________；___________；圆心角___________； （2）若这所学校共有1000名学生，根据以上调查结果，估计这所学校学生中一周参与家务劳动时间不少于的学生大约有多少人； （3）学校从一周劳动时间最长的4名学生（两男两女）中，随机抽取2名学生参加“劳动技能”大赛，请用列表或画树状图的方法求刚好抽到一男一女的概率． 19. 如图，四边形的对角线与交于点，，有下列条件：①，②，③平分． （1）请从以上①②③中任选2个作为条件，求证四边形是菱形； （2）在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，交直线于点．若，求的值． 21. 近年来，遵义已成为全国红色旅游关注度最高的城市之一、红军山是“红城遵义”一张靓丽的名片．如图，小刚驻足于红军山烈士陵园处，瞻仰着高高耸立的红军烈士纪念碑．小刚想测量纪念碑的高度（不含纪念碑顶端镰刀锤子标志），现可使用的测量工具有：卷尺、测角仪．已知小刚眼睛离地面的距离是米．若小刚站在水平地面处用测角仪测得纪念碑顶端的仰角为，径直向后退6米到处，又用测角仪测得纪念碑顶端的仰角为． （1）请你帮助小刚在图2上补全他设计测量平面图，将所测角度标记在图上（测角仪高度不计）； （2）根据小刚测量的数据，请你计算纪念碑的高度．（结果精确到1米）（参考数据：） 22. 今年春节档期电影《哪吒2》上映，推动了整个电影市场的繁荣发展．某电影城有大型观影厅1个，中型和小型观影厅共8个，其中大型观影厅可容纳450人观看．若同时开放1个中型和2个小型观影厅，可容纳500人观看；同时开放2个中型和1个小型观影厅，可容纳550人观看． （1）求1个中型和1个小型观影厅分别能容纳多少人观看； （2）若该电影城开放全部观影厅，且中型观影厅数量不超过小型观影厅的，设该电影城有中型观影厅个，开放全部观影厅最多能同时容纳人观看，请求出与的关系式，并求当为何值时，有最大值，最大值是多少？ 23. 如图，内接于，为直径，交于点，过点作的切线交的延长线于点，过点作，垂足为，交于点． （1）写出图中一个与相等的角：___________； （2）求证：； （3）若，求的半径长． 24. 如图1是某市一座中承式拱桥，其截面示意图如图2所示，拱圈是抛物线的一部分，拱顶到桥面的距离为，桥面与河面平行，，，以为原点，所E直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求拱圈抛物线的函数关系式； （2）一艘高的航船能否安全通过该拱桥？请通过计算说明理由；（不考虑航船的宽度） （3）如图3，为确保拱桥的稳固性，需在桥面与拱圈之间每隔5米设置1根垂直吊杆，若从左起第根与第根吊杆的高度差为0.5米，求的值． 25. 综合与探究： 问题情境：如图，和都是等腰直角三角形，，连接，是的中点，连接． （1）【问题发现】 如图1，当点在边上时，连接，则___________，___________； （2）【进阶探究】 如图2，当点在边上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明该结论；若不成立，请说明理由； （3）【拓展延伸】 如图3，将图1中绕点逆时针旋转度（），若，．直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$