精品解析：湖南省永州市宁远县第三中学2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

宁远县三中2025年7月高二期末考试 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 二项式的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 4. 对任意实数，，，在下列命题中，真命题是（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 5. 某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排方法数为（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 180 6. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的最大值为 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上有3个零点 7. 在等边中，已知点，满足，，与交于点，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 数列的前n项和为，若，，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 某大学生做社会实践调查，随机抽取名市民对生活满意度进行评分，得到一组样本数据如下：、、、、、，则下列关于该样本数据的说法中正确的是（ ） A. 均值为 B. 中位数为 C. 方差为 D. 第百分位数为 10. 四棱锥的底面为正方形，PA与底面垂直，，，动点M在线段PC上，则（ ） A. 不存在点M，使得 B. 的最小值为 C. 四棱锥的外接球表面积为5π D. 点M到直线AB的距离的最小值为 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，其中，且，若边上的中点为，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为______． 13. 已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是_______. 14. 已知反比例函数图象上三点的坐标分别，与，过B作直线的垂线，垂足为Q.若恒成立，则a的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 16. 如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，⊥平面，为上一点，且⊥，连接. （1）证明:⊥平面 ； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知数列满足，且． （1）求证：是等比数列，并求出的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和． 18. 已知函数． （1）设是的极值点．求，并求的单调区间； （2）证明：当时，． 19. 甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分；然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为. （1）求p； （2）当时，求甲得分X的分布列及数学期望； （3）若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁远县三中2025年7月高二期末考试 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出绝对值不等式和对数不等式的解集，得出集合，进而可求出. 【详解】由，得或，所以， 由，得，所以， 所以. 故选：A. 2. 若复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用除法运算化简复数，根据纯虚数的特征，即可判断. 【详解】，则，有. 故选：A 3. 二项式的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式通项公式进行求解即可. 【详解】二项式的通项公式为， 令，所以常数项为， 故选：A 4. 对任意实数，，，在下列命题中，真命题是（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件以及必要条件的定义，一一判断各选项中两条件之间的推理关系，即可判断出答案. 【详解】对于A，若，则由，“”不是“”的必要条件，A错． 对于B，，“”是“”的必要条件，B对， 对于C，若，则由，推不出，“”不是“”的充分条件 对于D，当时，，即成立，此时不一定有成立， 故“”不是“”的充分条件，D错误， 故选：B． 5. 某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排方法数为（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 180 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理结合捆绑法分析求解. 【详解】先从5人中选出4人值班， 再从4人中选出2人值第三天，剩余2人分别值第一、二天， 所以安排方法数为. 故选：B. 6. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的最大值为 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上有3个零点 【答案】D 【解析】 【分析】A.代入周期的定义，即可判断； B.分别比较两个函数分别取得最大值的值，即可判断； C.代入对称性的公式，即可求解； D.根据零点的定义，解方程，即可判断. 【详解】A.，故A错误； B.，当，时，取得最大值1，，当，时，即，时，取得最大值，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故B错误； C.，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误； D.，即，， 即或，解得：， 所以函数在区间上有3个零点，故D正确. 故选：D 7. 在等边中，已知点，满足，，与交于点，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用平面向量基本定理的推理，以向量为基底表示向量，再根据投影向量公式，即可求解. 【详解】如图，， ， 则，得，， 即, 则在上的投影向量为， ， 所以在上的投影向量为. 故选：C 8. 数列的前n项和为，若，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于数列递推式，分别令，推出数列的所有偶数项构成等比数列，令，推出奇数项均为1，再结合分组求和，即可求得答案. 【详解】令，则， 即，即数列的所有偶数项构成首项为，公比为3的等比数列， 令，则， 即，由于，则， 故 ， 故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据数列递推式，依次令和令，推出数列的奇偶项的规律，从而结合分组求和法以及等比数列前n项和公式，求解答案. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 某大学生做社会实践调查，随机抽取名市民对生活满意度进行评分，得到一组样本数据如下：、、、、、，则下列关于该样本数据的说法中正确的是（ ） A. 均值为 B. 中位数为 C. 方差为 D. 第百分位数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用方差公式可判断C选项；利用百分位数的定义可判断D选项. 【详解】由题意可知，该组数据的均值为，故A正确； 中位数为，故B正确； 方差为，故C错误； 因为，第百分位数为，故D正确. 故选：ABD. 10. 四棱锥的底面为正方形，PA与底面垂直，，，动点M在线段PC上，则（ ） A. 不存在点M，使得 B. 的最小值为 C. 四棱锥的外接球表面积为5π D. 点M到直线AB的距离的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】当点为中点时，利用垂直关系的转化，即可判断A；利用展开图，利用数形结合求的最小值，即可判断B；利用几何体与外接球的关系，即可求解球心，并求外接球的表面积，即可判断C；利用异面直线的距离的转化，即可判断D. 【详解】对于A：连接BD，且，如图所示，当M在PC中点时， 因为点O为AC的中点，所以，因为平面ABCD， 所以平面ABCD，又因为平面ABCD，所以， 因为ABCD为正方形，所以． 又因为，且BD，平面BDM，所以平面BDM， 因为平面BDM，所以，所以A错误； 对于B：将和所在的平面沿着PC展开在一个平面上，如图所示， 和是全等的直角三角形，，， 连结，， 则的最小值为BD，直角斜边PC上高为，即， 直角斜边PC上高也为，所以的最小值为，所以B正确； 对于C：易知四棱锥的外接球直径为PC， 半径，表面积，所以C错误； 对于D：点M到直线AB的距离的最小值即为异面直线PC与AB的距离， 因为，且平面PCD，平面PCD，所以平面PCD， 所以直线AB到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离，过点A作， 因为平面ABCD，面，所以， 又，且，面， 故平面PAD，平面PAD，所以， 因为，且PD，平面PCD，所以平面PCD， 所以点A到平面PCD的距离，即为AF的长，如图所示， 在中，，，可得， 所以由等面积得，即直线AB到平面PCD的距离等于，所以D正确， 故选：BD． 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，其中，且，若边上的中点为，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理进行边角互化可得；再利用余弦定理结合基本不等式可得的最值及的最值；根据向量的线性运算，可表示中线，进而可得其长度最值. 【详解】对于A：，由正弦定理得，即，，因为，所以，所以，，，故A正确； 对于B：由余弦定理知，，因为，，所以，，当且仅当时等号成立，因为，所以的最大值为，故B正确； 对于C：由B知，则，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故C错； 对于D：因为为边上的中线，所以，，得，因为，所以的最小值为，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的模和向量的数量积的定义，求向量夹角的余弦值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则向量，夹角的余弦值为 故答案为：. 13. 已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的定义域得到集合A，再根据子集的定义即可求得a的取值范围. 【详解】，则或，即或. ①当时，，满足，符合题意； ②当时，，所以若， 则有或（舍），解得； ③当时，，所以若， 则有或（舍），解得. 综上所述，. 故答案为： 14. 已知反比例函数图象上三点的坐标分别，与，过B作直线的垂线，垂足为Q.若恒成立，则a的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用向量的数量积公式得到，进而构造函数，只需即可，先用必要性探究，再用充分性进行证明. 【详解】由题意得：反比例函数为，因为点P在反比例函数图象上，所以，，所以 ， 记，由题意得：恒成立， 当，则，解得：，由于，故； 下面证明当时，恒成立，即 因为是开口向上的二次函数， 所以 ； ②， 令，则，开口向下，对称轴为，故在上单调递减，故. 所以当时，恒成立，故a的取值范围是 故答案为： 【点睛】对于求解函数比较复杂的参数的取值范围问题，利用必要性探究和充分性证明是一种很重要的方法，要善于观察，代入特殊点得到参数的取值范围，再证明充分性成立，即可得到答案. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【小问1详解】 方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 【小问2详解】 由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 16. 如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，⊥平面，为上一点，且⊥，连接. （1）证明:⊥平面 ； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为⊥平面，平面， 所以⊥.又⊥，且，平面， 所以⊥平面. 因为，所以⊥平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到⊥，又⊥，从而得到线面垂直，根据得到答案； （2）作出辅助线，求出各边长，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用法向量夹角余弦公式进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作⊥，垂足为.则，又， 所以四边形是平行四边形，又⊥， 所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形， 且，，所以. 由（1）知⊥平面，又平面，所以⊥. 又，所以，在Rt中，. 在Rt中，. 以B为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示空间直角坐标系. 则， 所以，，，， 设平面的法向量为， 由，得， 解得，令，则，故， 设平面的法向量为， 由，得， 令得，， 可得， 因此. 故平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值为. 17. 已知数列满足，且． （1）求证：是等比数列，并求出的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简已知条件，根据等比数列的知识求得正确答案. （2）先求得，然后利用错位相减求和法求得. 【小问1详解】 由得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 当时，. 当时，由， 得， 两式相减得，也符合， 所以. 所以， 所以， 两式相减得， 两边乘以得. 18. 已知函数． （1）设是的极值点．求，并求的单调区间； （2）证明：当时，． 【答案】(1)a=；增区间为，减区间为． (2)证明：［方法一］：【最优解】放缩法 当时，. 设，则. 当时，； 当时，.所以是的最小值点. 故当时，.因此，当时，. ［方法二］：【通性通法】隐零点讨论 因为，所以在区间内单调递增．设，当时，，当时，，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，所以． 设，则． 所以在区间内单调递减，故，即成立． ［方法三］：分离参数求最值 要证时，即，则证成立． 令，则． 令，则，由知在区间内单调递减，从而在内单调递增，在区间内单调递减． 所以，而，所以恒成立，原命题得证． ［方法四］：隐零点讨论＋基本不等式 ，结合与的图像，可知有唯一实数解，不妨设，则．易知在区间内是减函数，在区间内是增函数．所以． 由，得． ． 当且仅当，即时，，所以． ［方法五］：异构 要证明，即证， 即证明，再证明即可． 令，． 设，则． 若时，在上恒成立，所以； 若时，当时；当时，． 所以为的极小值点，则． 因为，所以，所以． 令． 当时，；当时，，所以为的极小值点． 则，所以，即． 所以． ［方法六］： 高阶函数借位构建有界函数 ． 令，则． 令．显然为定义域上的增函数．又，故当时，，得；当时，，得．即在区间上为减函数，在区间上为增函数，故．即恒成立，而恒成立． 【解析】 【分析】（1）先确定函数的定义域，利用，求得a=，从而确定出函数的解析式，再解不等式即可求出单调区间； （2）方法一：结合指数函数的值域，可以确定当时，，之后构造新函数，利用导数研究函数的单调性，从而求得，利用不等式的传递性，证得结果. 【详解】（1）的定义域为，，则，解得：，故．易知在区间内单调递增，且， 由解得：；由解得：， 所以的增区间为，减区间为． （2）略 【整体点评】（2）方法一：利用的范围放缩，转化为求具体函数的最值，是该题的最优解； 方法二：根据函数的单调性讨论，求最值，是该类型题的通性通法； 方法三：原不等式可以通过分参转化为求具体函数的最值，也是不错的解法； 方法四：同方法二，根据函数的单调性讨论，利用基本不等式求最值，区别在于最后求最值使用的方式不一样； 方法五：利用常见的对数切线不等式异构证明，也是很好的解决方法，不过在本题中使用过程稍显繁琐； 方法六：基本类似于方法三． 19. 甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分；然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为. （1）求p； （2）当时，求甲得分X的分布列及数学期望； （3）若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：. 【答案】（1） （2） 0 1 2 ， （3） 由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为，乙的积分为， 则，且，所以甲晋级时n必为偶数，令， 当n为奇数时，， 则 ， 又时，随着m的增大而增大， 【解析】 【分析】（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，然后利用条件概率相关知识即可求解； （2）由题意可知时，X可能的取值为0，1，2，结合题意求出每个取值对应的概率即可求解； （3）由题可得，然后利用单调性即可证明. 【小问1详解】 记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”， 则，，，，， ， 则，解得； 【小问2详解】 由题意可知当时，X可能的取值为0，1，2， 则由（1）可知，，， X的分布列为： 0 1 2 随机变量X的数学期望为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $