精品解析：黑龙江省安达市三校联考2024-2025学年高二下学期期末教学质量监测数学试题

2024～2025学年度下学期期末教学质量监测 高二数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若3个班分别从6个风景点中选择一处浏览，则不同选法是（ ）种． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】每个班都有6种选法，由分步计数原理可得结果. 【详解】解：由题意可知，每个班都有6种选法，则由乘法原理可得共有种方法 故选：D 【点睛】此题考查的是排列组合中的分步计数原理，属于基础题. 2. 某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（ ） A. 80种 B. 90种 C. 100种 D. 120种 【答案】C 【解析】 【分析】结合分类加法和分步乘法计数原理，利用组合数即可求得. 【详解】若恰有1名女生参加，则有种， 若恰有2名女生参加，则有种， 所以共有种不同的选派方式． 故选：C. 3. 元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（ ） A. 1280 B. 300 C. 1880 D. 1560 【答案】D 【解析】 【分析】利用先分组再分配的思想结合排列组合的知识求解. 【详解】将6名导游分成四组，各组人数分别为1，1，1，3或1，1，2，2． 当各组人数为1，1，1，3时，共有种安排方法； 当各组人数为1，1，2，2时，共有种安排方法． 故不同安排方法有种． 故选：D. 4. 随机变量X的分布列为，其中a是常数，以下错误的是（ ）． A. B. C. D. 以上均不正确 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 则，解得，故AB正确； 又，C正确； 故D错误. 故选：D 5. 随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的性质求得，利用公式求得，，结合期望和方差的性质，即可求解. 【详解】由随机变量服从两点分布，若， 根据分布列的性质，可得，所以A错误； 又由，，所以B错误； 由，所以C正确； 由，所以D错误. 故选：C. 6. 设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 对任意正数， D. 对任意正数， 【答案】C 【解析】 【分析】由正态密度曲线的性质结合图像可得，可判断AB，由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可判断CD. 【详解】A选项：、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图像可得，所以，故A错误； B选项：又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以，故B错误； CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知： 对任意正数，．,故C正确，D错误． 故选：C． 7. 已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】随机变量服从超几何分布, 随机变量服从二项分布，根据超几何分布和二项分布的均值、方差公式计算即可. 【详解】由题意可知，的可能取值为，的可能取值为， 随机变量服从超几何分布，随机变量服从二项分布， 根据超几何分布的均值方差公式得： ，即， . 根据超二项分布的均值方差公式得： ，即 ， 所以，. 故选：A. 8. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（ ）． A. 在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B. 第9行所有数字之和为256 C. 记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D. 在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 【答案】D 【解析】 【分析】由杨辉三角及二项式定理、组合数性质求对应行列数字及相关行的数字之和. 【详解】在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，A错误； 由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数字之和为，则第9行数字之和必大于256，B错误； 第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为，所以，C错误； 在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为，D正确． 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于的展开式的说法中正确的是（ ） A. 各项的系数之和为 B. 二项式系数的和为64 C. 展开式中无常数项 D. 第4项的系数最大 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项式展开式公式、二项式系数和以及各项系数的性质逐项验证即可. 【详解】由，令得：， 即各项的系数之和为，故A正确； 由二项式系数的和为：，故B错误； 因为， 所以当时，不符合题意，所以无常数项，故C正确； 在中，当时系数最大，即第5项的系数最大，故D错误． 故选：AC． 10. 下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，4，5，用X表示小球落入格子的号码，则下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析可知，利用独立重复试验的概率公式可判断AB选项；利用二项分布的期望和方差的性质可判断CD选项． 【详解】设 “向右下落”， “向左下落”，则， 因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数， 而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以， 对于A，故A正确； 对于B,，故B错误； 对于C，故C正确； 对于D，故D正确． 故选：ACD． 11. 甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球；分别以和表示从甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B表示从乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 事件B与事件相互独立 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据全概率公式计算判断A，根据独立事件的乘法公式判断C，根据条件概率公式计算判断BD. 【详解】因为，，， 若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以， 若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以， 若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以， 所以 ，故A正确； 因为，所以，故B正确； 所以，所以事件与事件不是相互独立，故C错误； ，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．由此可估计这批袋装食盐的合格率为___________．【参考数据：；；】 【答案】95.45%##0.9545 【解析】 【分析】由正态分布的概率公式估计即得. 【详解】由题意可知，可设误差为，则服从正态分布， ， 故合格率约为95.45%． 故答案为：95.45% 13. 在的展开式中，x的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】分四种情况讨论计算即可. 【详解】解：的展开式中，含x的项是4个因式中任取1个因式选择x， 另外3个因式中选择常数项相乘积的和，则的展开式中， 含x的项为：， 所以x的系数为． 故答案为：． 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在甲手中的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设次传球后球在甲手中的概率为，则第次传球到乙、丙手中的概率为，可得与的关系，然后构造等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】设第次传球后球在甲手中的概率为，则第次传球给乙、丙的概率为：， 故，则， 即数列为等比数列，其首项为，公比为， 则，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，求： （1）李明在一年内参加考试次数X的分布列，期望； （2）李明在一年内领到资格证书的概率． 【答案】（1）分布列： X 1 2 3 P 0.6 0.28 0.12 （2）0.976 【解析】 【分析】（1）求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列，求出数学期望； （2）求出李明三次考试均没有通过的概率，利用对立事件求概率公式得到答案. 【小问1详解】 X的取值分别为1，2，3． ，， ， 所以李明参加考试次数X的分布列为： X 1 2 3 P 0.6 0.28 0.12 ． 【小问2详解】 李明三次考试均没有通过的概率为， 故李明在一年内领到资格证书的概率为：. 16. 为了解不同年龄的人员对“2025年哈尔滨冬奥会”满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽取年龄超过35周岁和年龄不超过35周岁各200人作为样本，每位参与调查的都对“2025年哈尔滨冬奥会”给出满意或不满意的评价．设事件“对‘2025年哈尔滨冬奥会’满意”，事件“人员年龄不超过35周岁”，据统计，，． （1）根据已知条件，填写下列2×2列联表并说明理由：（2×2列联表见答题卡） （2）由（1）中2×2列联表数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为人员对“2025年哈尔滨冬奥会”的满意度与年龄有关联？ 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）2×2列联表： 年龄 满意度 合计 满意 不满意 不超过35岁 160 40 200 超过35岁 140 60 200 合计 300 100 400 （2）认为年龄与满意度没有关联【解析】 【分析】（1）根据题意，可求出不超过35岁的人中，对“亚冬会”满意和不满意的人数；以及超过35岁的人中，对“亚冬会”满意和不满意的人数，即可完成2×2列联表. （2）根据题意，计算卡方，与临界值比较即可求解. 【小问1详解】 因为抽取的年龄不超过35周岁有200人，， 所以抽取的不超过35岁的人中，对“亚冬会”满意有人，对“亚冬会”不满意有人. 又因为抽取的不超过35岁的人中，对“亚冬会”满意有人， ， 所以抽取的人中，对“亚冬会”满意的人一共有人， 则超过35岁的人中，对“亚冬会”满意有人， 又因为抽取的年龄超过35周岁有200人， 所以超过35岁的人中，对“亚冬会”不满意有人. 由此列联表如下， 年龄 满意度 合计 满意 不满意 不超过35岁 160 40 200 超过35岁 140 60 200 合计 300 100 400 【小问2详解】零假设为：年龄与满意度无关， 根据数据，计算得到． 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立， 即认为年龄与满意度没有关联． 17. 某骑行爱好者近段时间在专业人士指导下对骑行情况进行了统计，各次骑行期间的身体综合指标评分与对应用时（单位：小时）如下表： 身体综合指标评分（） 1 2 3 4 5 用时（/小时） 10 8.5 8 7 6.5 （1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数如以说明； （2）建立关于的回归方程. 参考数据和参考公式：相关系数，，，. 【答案】（1）由题意得，， ， ，， 因此相关系数. 即相关系数近似为，与负相关，且相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合与的关系； （2） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据可分别计算出与的平均值，再代入计算可得相关系数近似为，即可知与相关程度较高； （2）根据（1）中的计算结果可得，代入计算可得，即可求得关于的回归方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）中数据，得，， 所以关于的回归方程为. 18. 某校举办知识挑战赛．该挑战赛共分关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响． （1）已知甲先上场，，，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求； （2）如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，说明理由． 【答案】（1）①；② （2）甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同， 理由如下： 设甲先出场成功概率为，乙先出场成功概率为， 则， ∵， ， ∴， 因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同． 【解析】 【分析】（1）①利用进行求解；②求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列，计算数学期望； （2）分解计算出甲先出场成功概率，乙先出场成功概率，比较后得到结论. 【小问1详解】 ①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为P， 则． ②依题可知，X的可能取值为0，1，2， 则由①知， ， ， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴； 【小问2详解】 略 19. 为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有6位成员，两个部门分别独立发出邀请的专家名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议. （1）设参加会议的专家代表共X名，求X的分布列与数学期望． （2）为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，两个部门都各自邀请了20名代表，假设收到食品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，请利用极大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数. （附：极大似然估计（MLE）即最大概率估计，是统计学用于估算模型参数的方法，通过观察数据使样本出现的概率最大化，即当时，概率取得最大值，则X的估计值为） 【答案】（1）的分布列为 2 3 4 （2）36 【解析】 【分析】（1）列出的可能取值，结合古典概率公式利用组合数求出相应的概率，列出分布列，再由期望公式求解即可； （2）设食品监督管理部门邀请的代表记为集合，卫生监督管理部门邀请的代表为集合，设参加会议的群众代表的人数为Y，先由离散型随机变量公式求出其概率，再讨论 求出即可. 【小问1详解】 的可能取值为， 则，，， 则的分布列为 2 3 4 . 【小问2详解】 设食品监督管理部门邀请的代表记为集合，卫生监督管理部门邀请的代表为集合，则收到两个部门邀请的代表的集合为. 设参加会议的群众代表的人数为Y，则． 设，则， ，， ， 同理：， 令，得， 即，解得， 又，所以，故由极大似然估计知参加会议的群众代表的人数为36. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度下学期期末教学质量监测 高二数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若3个班分别从6个风景点中选择一处浏览，则不同选法是（ ）种． A. B. C. D. 2. 某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（ ） A. 80种 B. 90种 C. 100种 D. 120种 3. 元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（ ） A. 1280 B. 300 C. 1880 D. 1560 4. 随机变量X的分布列为，其中a是常数，以下错误的是（ ）． A. B. C. D. 以上均不正确 5. 随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 对任意正数， D. 对任意正数， 7. 已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（ ） A. B. C. D. 8. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（ ）． A. 在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B. 第9行所有数字之和为256 C. 记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D. 在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于的展开式的说法中正确的是（ ） A. 各项的系数之和为 B. 二项式系数的和为64 C. 展开式中无常数项 D. 第4项的系数最大 10. 下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，4，5，用X表示小球落入格子的号码，则下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球；分别以和表示从甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B表示从乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 事件B与事件相互独立 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．由此可估计这批袋装食盐的合格率为___________．【参考数据：；；】 13. 在的展开式中，x的系数为______． 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在甲手中的概率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，求： （1）李明在一年内参加考试次数X的分布列，期望； （2）李明在一年内领到资格证书的概率． 16. 为了解不同年龄的人员对“2025年哈尔滨冬奥会”满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽取年龄超过35周岁和年龄不超过35周岁各200人作为样本，每位参与调查的都对“2025年哈尔滨冬奥会”给出满意或不满意的评价．设事件“对‘2025年哈尔滨冬奥会’满意”，事件“人员年龄不超过35周岁”，据统计，，． （1）根据已知条件，填写下列2×2列联表并说明理由：（2×2列联表见答题卡） （2）由（1）中2×2列联表数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为人员对“2025年哈尔滨冬奥会”的满意度与年龄有关联？ 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 某骑行爱好者近段时间在专业人士指导下对骑行情况进行了统计，各次骑行期间的身体综合指标评分与对应用时（单位：小时）如下表： 身体综合指标评分（） 1 2 3 4 5 用时（/小时） 10 8.5 8 7 6.5 （1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数如以说明； （2）建立关于的回归方程. 参考数据和参考公式：相关系数，，，. 18. 某校举办知识挑战赛．该挑战赛共分关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响． （1）已知甲先上场，，，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求； （2）如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，说明理由． 19. 为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有6位成员，两个部门分别独立发出邀请的专家名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议. （1）设参加会议的专家代表共X名，求X的分布列与数学期望． （2）为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，两个部门都各自邀请了20名代表，假设收到食品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，请利用极大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数. （附：极大似然估计（MLE）即最大概率估计，是统计学用于估算模型参数的方法，通过观察数据使样本出现的概率最大化，即当时，概率取得最大值，则X的估计值为） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $