湖南省娄底市部分普通高中2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

答案第 1页，共 10页 《娄底市部分普通高中 2025 年上学期期末考试数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C C A C A ABC ABD 题号 11 答案 CD 1．B 【分析】由阴影部分可知对应的集合为  UB A ð ，即可得到结论. 【详解】阴影部分对应的集合为  UB A ð ， ∵全集U R ，集合  0,1,2,3A  ，  2, 1,0,1 ,B    ∴    2, 1UB A   ð . 故选：B. 2．B 解析：命题“∃m∈R，方程 x2＋mx＋1＝0有实根”的否定是“∀m∈R，方程 x2＋mx＋1＝0无实根”． 答案：B 3．D 【分析】利用诱导公式求得 sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得 cosα，再利用 二倍角公式，求得 sin2α的值． 【详解】解：   1sin π α sinα 3    ，且 π α π 2   ， 2 2 2cosα 1 sin α 3       ，则 4 2sin2α 2sinαcosα 9    ， 故选 D． 【点睛】本题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，二倍角公式进行化简三角 函数式，属于基础题． 4．C 解析：由题知，AC⊂平面 ABCD，BF 与平面 ABCD 交于点 B，B∉ AC，所以直线 AC 与 BF 是异 面直线，故 A 错误； AC⊂平面 ACC1A1，EC1 与平面 ACC1A1 交于点 C1，C1∉ AC，所以直线 C1E 与 AC 是异面直线， 故 B 错误； 答案第 2页，共 10页 正方体各个表面均为正方形，所以直线 DB 与 AC 互相垂直，故 C 正确 根据正方体性质 EF∥AD1∥BC1，所以 E，F，B，C1 四点共面，所以直线 C1E 与 BF 不是异面 直线，故 D错误. 5．C 【详解】由图易知：函数图象关于 y轴对称，函数为偶函数，排除 A，B；   2f x x 的图象为开口向上的抛物线，显然不适合， 故选 C 点睛：识图常用的方法 (1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这 一特征分析解决问题； (2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题； (3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决 问题． 6．A 解析：设 a＝OP → ＋OQ → ，以 OP，OQ为邻边作平行四边形，则 OP与 OQ之间的 对角线对应的向量即向量 a，则 a 和FO → 长度相等，方向相同，得 a＝FO → ，即OP → ＋ OQ→＝FO → . 答案：A 7.C 解析：p＝x＋x＋y x ＋y＋x＋y y ＝3＋y x ＋ x y ≥3＋2 y x ·x y ＝5，当且仅当 x＝y＝1 2 时等 号成立． 答案：C 8．A 【分析】设 1lg 10ba t c    ，分别表示出 , ,a b c，构造函数，利用函数图象比较大小. 【详解】设 1lg 10ba t c    ， 0t  ，则 10ta  ， lgb t ， 1c t  ， 在同一坐标系中分别画出函数 10xy  ， lgy x ， 1y x  的图象，如图， 答案第 3页，共 10页 当 3t x 时， a b c  ；当 2t x 时， a c b  ；当 1t x 时， c a b  . 故选:A. 【点睛】本题考查利用函数的图象比较大小，构造函数，画出图象是关键. 9．ABC 【分析】A选项，直接判断出 z位于第四象限 B选项，直接求出 | |z ； C选项，直接求出 2z ； D选项，直接求出 z . 【详解】A选项， z在复平面内对应的点为  3 1， ，位于第四象限.故 A错误； B选项， 2 2| | ( 3) ( 1) 2z     .故 B错误； C选项，  22 3 i 2 2 3iz     .故 C错误； D选项， 3 iz   .故 D正确 故选：ABC. 10．ABD 【分析】多项选择题需要要对选项一一验证: 对于 A:利用向量垂直的条件判断； 对于 B:利用模的计算公式； 对于 C:利用投影的计算公式； 对于 D:直接求单位向量即可． 【详解】 (2,1), ( 3,1)a b      答案第 4页，共 10页 对于 A: ( 1, 2), ( ) ( 1) 2 2 1 0,a b a b a                  ( )a b a     ，故 A正确； 对于 B: 2 22 (2,1) 2( 3,1) ( 4,3), | 2 | ( 4) 3 5a b a b                 ，故 B正确； 对于 C: 向量 a在向量b  方向上的投影是 2 2 2 ( 3) 1 1 10 2| | ( 3) 1 a b b              ，故 C错误； 对于 D: 向量 a的单位向量是 2 5 5, 5 5        ，故 D正确． 故选：ABD． 【点睛】多项选择题是 2020年高考新题型，需要要对选项一一验证． 11．CD 【分析】本题根据线面垂直的判定判断得出线线垂直，通过作辅助线找到二面角再通过余弦 定理计算其余弦值，根据线面角的定义找到线面夹角再进行计算，根据点到平面的计算公式 结合前面所得夹角正弦值即可算出距离. 【详解】对 A， 1,AC BD AC DD  ，且 1 1 1, ,BD DD D BD DD  平面 1BDD ，所以 AC 平 面 1BDD ，又 1BD 平面 1BDD ， 1AC BD  ，故 A错误； 对 B，过 1D 作 AC垂线，垂足为 H，连接 1B H ，易知 H为 AC中点，在等边三角形 1AB C中， 1B H AC ，所以 1 1D HB 为二面角 1 1D AC B  的平面角， 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1cos 2 3 D H B H B DD HB D H B H       ．故 B错误； 对 C，易知 1DB 平面 1ACD ，设直线 1AB与平面 1ACD 所成角为，直线 1AB与直线 1DB 所 成角为 ，则 1tan 2 tan     ，故 C正确； 对 D，由 C知，sin 6 3   ，所以 1B 到 1ACD 的距离为 2 2 22 33   ．故 D正确． 故选：CD. 答案第 5页，共 10页 【点睛】本题考查知识点十分综合，涉及到线面垂直的判定，异面直线夹角，点到平面的距 离，二面角等等，需要我们对知识点能够融会贯通. 12． 12 【分析】根据二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】二项展开式的通项公式为  6 6 21 6 6 2C C 2 r rr r r r rT x xx                ， 令6 2 4r  ，得 1r  ，  116C 2 12    所以 4x 项的系数是 12 . 故答案为： 12 13．  0,1 【分析】利用对数的真数及被开方数，以及分母不为 0的条件来求解即可得定义域. 【详解】由 1 0 0 x x     ，解得0 1x  ， 所以函数    ln 1 xf x x   的定义域为  0,1 ， 故答案为：  0,1 14．  3, 【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即 可. 【详解】已知函数   2 2 4, 1, x x a f x x x a       ， 当 x a 时，   2 4f x x  单调递增，所以最大值为 2 4a  ； 当 x a 且 0a  时，   2 1f x x  在  ,a  上单调递增 2 1a  ； 所以要使函数   2 2 4, 1, x x a f x x x a       在R 上单调递增， 则 2 1 2 4a a   ，解得 3a  或 1a   (舍去). 故答案为： 3, . 答案第 6页，共 10页 四、解答题（按照评分标准酌情给分即可） 15．(1) 0.03t  ，85 (2) 3 5 【分析】（1）利用频率分布直方图中各组频率之和为 1求出 t的值，根据百分位数的定义列 出方程，求解即得； （2）利用分层抽样方法确定从两组中应抽取的数目，设出样本点，列出试验所含的样本空 间和事件包含的样本点，根据古典概型概率公式计算即可. 【详解】（1）由题意得：  10 0.01 0.015 0.02 0.025 1t      ，解得 0.03t  ，………2分 因为0.01 10 0.015 10 0.02 10 0.45      ， 0.01 10 0.015 10 0.02 10 0.03 10 0.75        ， 设第 60百分位数为 x，则  0.01 10 0.015 10 0.02 10 0.03 80 0.6x         ，…………4分 解得 85x  ， 即第 60百分位数为 85.…………………………………………………………………………6分 （2）由题意知，抽出的 5位同学中，得分在 70,80 的有 0.25 2 0.3 0.2    人，设为 ,A B， 在 80,90 的有 0.35 3 0.3 0.2    人，设为 , ,a b c .………………………………………………8分 则“从中挑出两人进行试课”这个试验的样本空间为：                     Ω , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c ，  Ω 10n  ， 设事件M  “两人得分分别来自  70,80 和 80,90 ”， 则               , , , , , , , , , , , , 6M A a A b A c B a B b B c n M  ，………………………………10分 因此       6 3 , Ω 10 5 n M P M n    ………………………………………………………………12分 所以两人得分分别来自  70,80 和 80,90 的概率为 3 5 .……………………………………13分 16．(1) 3  (2) 3 2 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算和正弦定理即可得到 3cos sinB B ，再求解即可； 答案第 7页，共 10页 （2）首先利用余弦定理和基本不等式得到3 6a c   ，将 ac a c 转化为 3 3 ac a c a c a c      ， 再利用换元法求解即可. 【详解】（1）因为m n   ，则 0m n    ，………………………………………………………1分 又  3 ,sinm a A ，  cos ,n B b  ，所以 3 cos sin 0m n a B b A     ，……………………2分 由正弦定理得 3sin cos sin sin 0A B B A  ，即 3sin cos sin sinA B B A ，……………………4分 又 A是△ABC内角，则 sin 0A  ， 所以 3cos sinB B ，即 tan 3B  ，…………………………………………………………6分 又  0,B  ，所以 3 B  ；…………………………………………………………………7分 （2）由余弦定理得 2 2 2 2 cosb a c ac B   ，即  22 2 3 9a c ac a c ac      ，…………8分 所以    2 239 3 4 a c ac a c     （当且仅当 3a c  时取等号）， 所以 6a c  ，………………………………………………………………………………10分 又 3a c b   ，所以3 6a c   ， 所以  2 9 33 3 a c ac a c a c a c a c          ， 令  3,6t a c   ，   3 3 tf t t   ，  3,6t ，则  f t 在  3,6 上单调递增，……………………………………………………13分 所以      3 6f f t f  ，即   30 2 f t  ，即 30 2 ac a c    ， 所以 ac a c 的最大值为 3 2 ……………………………………………….……………………15分 17．(1)证明见解析 (2) 21 14 ． 【分析】（1）取 PA的中点 F ，证明 //CE BF，再利用线面平行的判定定理即可； （2）取 AD的中点为O，以O为原点建系，求出平面 PCD的法向量，再根据向量夹角与线 面角的关系即可求出. 【详解】（1）取 PA的中点 F ，连接 EF， BF， ∵ E为 PD的中点，∴ //EF AD且 1 2 EF AD ，……………………………………………2分 答案第 8页，共 10页 又 1 2 BC AD ， //BC AD，则 //EF BC且 EF BC ， ∴四边形 BCEF是平行四边形，∴ //CE BF，………………………………………………4分 ∵CE 平面 PAB， BF 平面 PAB， ∴ //CE 平面 PAB .………………………………………………………………………………6分 （2）取 AD的中点为O，连接OC，因 PA PD ，则 PO AD ， 因平面 PAD 平面 ABCD，平面PAD平面 ABCD AD ， PO 平面 PAD， 则 PO 平面 ABCD，又CO面 ABCD，则 PO CO ， 又 AO BC ， //AO BC， AB AD ，则OC AD ，故OP，OD，OC两两垂直，………9分 以O为坐标原点，分别以OC，OD，OP所在直线为 x， y， z轴，建立如图所示的空间直 角坐标系， 由 PAD△ 是边长为 4的等边三角形，得 2 3PO  ， ∴ (2, 2,0)B  ， (0,0, 2 3)P ， (0,2,0)D ， (2,0,0)C ， (0,1, 3)E ， ∴ ( 2,3, 3)BE    ， ( 2,0, 2 3)CP    ， ( 2,2,0)CD    ，…………………………………11分 设平面 PCD的法向量为 ( , , )n x y z  ，则 2 2 3 0 2 2 0 CP n x z CD n x y                 ， 令 3x  ，得 3y  ， 1z  ，即平面 PCD的一个法向量为 ( 3, 3,1)  n ；……………13分 ∴ 2 3 3 3 3 2 3 21cos , 14| || | 4 9 3 3 3 1 4 7 BE nBE n BE n                    ， ∴直线 BE与平面 PCD所成角的正弦值为 21 14 ．…………………………………………15分 18．(1) 2 2 1 3 yx   (2) 8 0x y   答案第 9页，共 10页 【分析】（1）根据渐近线得 3 b a  ，再结合点在双曲线上得基本量，故可得双曲线方程； （2）设直线 l的方程为 y x m  ，，联立直线方程和双曲线方程消元后得中点坐标，结合垂 直关系可求m，故可得直线方程. 【详解】（1）双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     的一个渐近线方程为 3y x ， 得 3 b a  ，即 3b a ，……………………………………………………………………1分 因为点  2, 3 在双曲线C上，所以 2 22 3 1a b  ，即 2 2 2 3 1 3a a   ，……………………2分 解得 2 1a  ， 2 3b  ，…………………………………………………………………………4分 所以双曲线C的方程为 2 2 1 3 yx   .…………………………………………………………5分 （2）由（1），得  2,0F .……………………………………………………………………6分 设直线 l的方程为 y x m  ，  1 1,P x y ，  2 2,Q x y ， 联立 2 2 1, 3 , yx y x m        消去 y，得 2 22 2 3 0x mx m    ，  2 2 2Δ 4 8 3 12 24 0m m m       ，……………………………………………………10分 所以 1 2x x m  ， 1 2 1 2 2 3    y y x x m m ，即 3, 2 2 m mB     .……………………………13分 因为 AF BF ，所以 0AF BF    ，又  2, 1AF    ， 32 , 2 2 m mBF         ， 所以   32, 1 2 , 0 2 2 m m         ，即   32 2 1 0 2 2 m m               ，解得 8m   ，…………16分 所以直线 l的方程为 8y x  ，即 8 0x y   .……………………………………………17分 19．(1) 1 0y   (2)  1, 【分析】（1）若 0, 1a b  ，求出解析式，求导，求出切线方程；（2）根据定义域为  0,  ， 求导     2 1x x a f x x     ，分类讨论 1a  ， 1a  ，0 1a  ， 0a  满足 1x  是  f x 的极大 值点，求出 a的取值范围；（3）由（2）可知 1, 1b a a   ，且  1,x  时，  min( )f x f a ， 由   2 0 e af x   恒成立，构造     21 ln 1 e ag a a a a     ，进行求解. 答案第 10页，共 10页 【详解】（1）若 0, 1a b  ，则     1ln , 1 ( 0)f x x x f x x x     ，……………………2分 所以    1 1, 1 0f f   ，……………………………………………………………………4分 所以曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线方程为 =1y .……………………………………5分 （2）由题意，得  f x 的定义域为  0,  ，    21 , 1 1 0 a bf x f a b x x        ，所以     2 1x x a f x x     .…………………………………………………………………………9分 当 1a  时，在区间  1,a 上，    0,f x f x  单调递减， 在区间  0,1 和  ,a  上，    0,f x f x  单调递增， 所以 1x  是  f x 的极大值点，满足条件.…………………………………………………11分 当 1a  时，     2 2 ( 1) 0,xf x f x x    在区间  0,  上单调递增，  f x 没有极值，不满足条 件.…………………………………………………………………………………………12分 当0 1a  时，在区间  ,1a 上，    0,f x f x  单调递减， 在区间  0,a 和  1, 上，    0,f x f x  单调递增， 1x  是  f x 的极小值点，不满足条件.………………………………………………14分 当 0a  时，在区间  0,1 上，    0,f x f x  单调递减，在区间  1, 上，    0,f x f x  单 调递增，所以 1x  是  f x 的极小值点，不满足条件.……………………………………16分 综上， a的取值范围是  1, .………………………………………………………………17分 高二数学 第 1 页（共 4 页） 命题人：吴佳 娄底市部分普通高中2025 年上学期期末考试高二数学试卷 晴 审题人：吴课朋 一、单选题：本题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知全集U = R，集合 A = {0, 1, 2,3}，B = {-2, -1,0, 1}，则图中阴影部分表示的集合为( ) A． {-2, -1, 0,1, 2,3} B． {-2, -1} C． {2, 3} D． {0,1} 2．命题 p： 彐m∈R，方程x2＋mx＋1＝0 有实根，则┐p 是( ) A． 彐m∈R，方程 x2＋mx＋1＝0无实根 B．∀m∈R，方程 x2＋mx＋1＝0无实根 C．∀m∈R，方程 x2＋mx＋1＝0有实根 D．至多有一个实数 m，使方程 x2＋mx＋1＝0 有实根 且 ，则sin2α 的值为( ) A． B． C． D． 4．如图，E，F 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 A1D1 与 AA1 的中点，则下列判断正确 的是( ) A．直线 AC 与 BF 是相交直线 B．直线 C1E 与 AC 互相平行 C．直线 DB 与 AC 互相垂直 D．直线 C1E 与 BF 是异面直线 5．函数f (x)的大致图像如图所示，则它的解析式是( ) A． D． f (x ) = x2 高二数学 第 2 页（共 4 页） → → 6．如图所示的方格纸中有定点 O，P，Q，E，F，G，H，则OP＋OQ＝( ) → → → → A.FO B.OG C.OH D.EO 7．已知 x＞0，y＞0 且 x＋y＝1，则 p＝x＋ ＋y＋ 的最小值为( ) A．3 B．4 C．5 D．9 8．已知实数a ，b ， c满足 则下列关系式中不可能成立的是 ( ) A． c > b > a B． a > c > b C． c > a > b D． a> b> c 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．若复数 z= ·、 一 i ，则下列说法错误的是（ ）. A．Z 在复平面内对应的点位于第二象限 B．|Z| = 4 C． z2 = 4一 2·、 i D．Z 的共轭复数z = ·、/3+ i 10．已知向量a – = (2,1), = (一3,1)，则 ( ) A． (a – + )丄 a – B． |a – +2 |=5 C．向量a - 在向量b - 方向上的投影是 、 2 D．向量a - 的单位向量是| ( 5 , 5 , 11．如图，在棱长为 1 的正方体ABCD一 A1B1C1D1中 ( ) A．AC与BD1 的夹角为60。 B．二面角D1 一 AC一B1 的正弦值为 C． AB1与平面ACD1 所成角的正切值为S2 D．点B1 到平面ACD1 的距离为 i2 ( 2·、 ·、 ) 高二数学 第 3 页（共 4 页） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．二项式 的展开式中， x4 项的系数是 ．（用数字填写答案） 13．函数 的定义域为 ． 14．已知函数 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题 13 分）某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正 手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分 100 分.参加考核的学 生有 40 人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中t 的值，并估计考核得分的第 60 百分位数； (2) 为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样 本量按比例分配），从得分在[70, 90 ）内的学生中抽取 5 人，再从中挑出两人进行试课，求 两人得分分别来自[70, 80) 和[80, 90) 的概率； 16．（本题 15 分）在ΔABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若平面向量 丄 ， 其中 = ( ·、 a,sinA) ， = (cosB,-b)． (1)求角 B 的大小； 若b = 3，求 的最大值． 高二数学 第 4 页（共 4 页） 17．（本题 15 分）如图，在四棱锥P— ABCD 中，△PAD是边长为 4 的等边三角形，底面 ABCD 为直角梯形， BC∥AD ， AB 丄 AD ， BC = AB = 2， E为PD的中点. (1)求证： CE Ⅱ平面PAB； (2)当平面PAD 丄 平面 ABCD 时，求直线BE 与平面PCD所成角的正弦值. 18．（本题 17 分）已知双曲线 的一条渐近线方程为 且 点 在双曲线C 上. (1)求双曲线C 的方程； (2)已知双曲线C 的右焦点为F ，点A(0, 1)，斜率为 1 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点P， Q ，且B 为线段PQ的中点，若 AF 丄 BF ，求直线l 的方程. 19．（本题 17 分）已知函数 (1)若a = 0 ，b = 1，求曲线y = f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线方程； (2)若x =1是f (x) 的极大值点，求 a 的取值范围