精品解析：云南省昆明市五华区2024—2025学年上学期学生综合素养阶段性评价九年级 数学12月月考模拟试题卷

云南省五华区2024—2025学年上学期学生综合素养阶段性评价九年级 数学12月月考模拟试题卷 注意事项： 1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前分钟收取答题卡 一、选择题 1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，根据轴对称的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形逐一排除即可，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解不等式，根据一元二次方程的判别式和定义得出，，解不等式求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：， 又∵方程是一元二次方程， ∴， 即， 故的取值范围为：且， ∴的最小整数值为． 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据整式的加减乘除运算法则逐个判断即可． 【详解】解：选项A：，故选项A错误； 选项B：，故选项B错误； 选项C：，故选项C正确； 选项D：，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减乘除运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则即可求解． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查 B. 一组数据5，5，3，4，1的中位数是3 C. 甲、乙两人9次跳高成绩的方差分别为甲2，乙2，说明乙的成绩比甲稳定 D. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据全面调查和抽样调查的特点，中位数的定义，方差的意义，随机事件的定义分别进行判断即可． 【详解】A、了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，故A说法错误； B、一组数据5，5，3，4，1，先排序：5，5，4，3，1，中位数是4，故B说法错误； C、甲2乙2，说明甲的成绩比乙稳定,，故C说法错误； D、“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，故D说法正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了全面调查和抽样调查的特点，中位数的定义，方差的意义，随机事件的定义，解题关键是正确理解和应用相关的概念． 5. 如图，中，点C在上，，分别为、所对的圆周角．若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理求出，再根据弧、圆周角的关系求解即可． 【详解】解：解：连接，如图： ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 6. 某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，到第三天统计得出三天共揽件662件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出第二天、第三天的揽件数，根据“三天共揽件662件”即可列出方程． 【详解】解：第二天的揽件数为： 第三天的揽件数为： ∵三天共揽件662件 ∴ 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程与增长率问题．注意“三天共揽件662件”，而不是“第三天揽件662件”． 7. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位， 根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为， 故答案选：A． 8. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得， ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得， ∴且， 故选：． 9. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表： x … －5 －4 －3 －2 －1 0 … y … 4 0 －2 －2 0 4 … 下列说法正确的是(　　) A. 抛物线的开口向下 B. 当x＞－3时，y随x的增大而增大 C. 二次函数的最小值是－2 D. 抛物线的对称轴是直线x＝－ 【答案】D 【解析】 【分析】先根据表格求出抛物线的解析式，之后再根据二次函数的性质一一判定即可． 【详解】解：将点(−4，0)、(−1，0)、(0，4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中， 得：，解得：， ∴二次函数的解析式为y=x ²+5x+4． A． a=1>0，抛物线开口向上，A不正确； B． −=−，当x⩾−时，y随x的增大而增大，B不正确； C． y=x²+5x+4=(x+) ²−，二次函数的最小值是−，C不正确； D． −=−，抛物线的对称轴是x=−，D正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得抛物线解析式是解题的关键． 10. 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为，画二次函数的图像时，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 0 1 0 … 关于此函数下列说法不正确的是（ ） A. 函数图像开口向下 B. 当时，该函数有最大值 C. 当时， D. 若在函数图像上有两点，则 【答案】D 【解析】 【分析】先利用待定系数法求二次函数的解析式，再根据二次函数图像与性质对逐项判断即可． 【详解】解：由题意可知，抛物线的图像经过点， 即：，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴抛物线开口向下，故A正确； ∵， ∴当时，该函数有最大值，故B正确； 当时，，故C正确； ∵当，即，解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为：、， ∴，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小， ∴当函数值时，，或，故D错误． 故选：D． 【点睛】本题主要考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像与性质等知识点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 11. 已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（　 　） A. 3cm B. 6cm C. 1.5cm D. cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆中最长的弦是直径，且直径的长是半径长的2倍可得答案． 【详解】解：∵⊙O的半径是3cm， ∴⊙O中最长的弦，即直径的长为6cm， 故选：B 【点睛】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径是圆内最长的弦． 12. 2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首．2025年清明档（4月4日—4月6日）以总票房亿元收官，4月4日的单日票房达到亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、根据等量关系列出方程是解题的关键． 设平均每天的票房增长率为x，然后根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设平均每天的票房增长率为x， 根据题意，得． 故选B． 13. 按规律排列的式子如下：x，则第n个式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由，，，，可推导一般性规律为，第n个式子是，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， ， ， ， ∴可推导一般性规律为，第n个式子是， 故选：C． 14. 如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据切线长定理得出，，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：设， ∵的内切圆分别与、相切于点、点， ∴,，， 在中，， ∴ 解得， 即的长度为． 故选D． 15. 已知抛物线的图象及对称轴如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与系数关系即可得，掌握二次函数的性质，数学结合思想是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 故A结论正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 故B结论正确； ∵， ∴， 故C结论错误，符合题意； 当时，，当时，， ∴ ∴ ∴， ∴ 故D结论正确； 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 中心角是45°的正多边形的边数是___________. 【答案】8 【解析】 【详解】本题考查正多边形中心角的计算,根据正多边形的边数=周角÷中心角,计算即可求解,因此,中心角是45°的正多边形的边数=360°÷45°=8. 17. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法因式分解．利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 18. 将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为___ 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情形：如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y=x+b与抛物线只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为（1，4）， 当y=0时，，解得， 则抛物线与x轴的交点为A（-1，0），B（3，0）， 把抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标M（1，-4）， 如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点， ∴3+b=0，解得b=-3； 当直线y=x+b与抛物线只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点， 即有相等的实数解，整理得，，解得b=， 所以b的值为-3或， 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像和性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点． 19. 若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面展开图的弧长是__________．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查求圆锥的侧面展开图的弧长，根据圆锥的展开图的弧长等于底面圆的周长，先由勾股定理求出底面半径即求解． 【详解】解：圆锥底面半径； 这个圆锥的侧面展开图的弧长是 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共62分） 20. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程特点灵活运用解方程的方法是解题的关键； （1）利用直接开平方法得：，再求解即可； （2）先把常数项右移，再配方，即两边加上4，最后开方求解即可； （3）右边两项移到左边得，分解因式法求解即可． 【小问1详解】 解：直接开平方法得：， 即或， ∴； 【小问2详解】 解：移项得：， 配方得：， 即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：移项得：， 即， ∴或， ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1，和的顶点都在格点上，回答下列问题： （1）可以看作是经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由得到的过程： ； （2）画出绕点B逆时针旋转90°的图形； （3）在（2）中，点C所形成的路径的长度为 ． 【答案】（1） 解：由先沿y轴翻折，再向右平移1个单位，向下平移3个单位；或先向左平移1个单位，向下平移3个单位，再沿y轴翻折，即可得到．（答案不唯一）． （2） 如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，旋转，轴对称，弧长公式，解题时需要注意:平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小． （1）由先沿y轴翻折，再向右平移1个单位，向下平移3个单位；先向左平移1个单位，向下平移3个单位，再沿y轴翻折，即可得到（答案不唯一）； （2）按照旋转中心、旋转角度以及旋转方向，即可得到绕点B逆时针旋转的图形； （3）依据点C所形成的路径为扇形的弧，利用弧长计算公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 点C所形成的路径的长为， 故答案为：． 22. “二十四节气”是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是劳动人民长期经验的积累成果和智慧的结晶．小王同学收藏了“二十四节气”主题卡片，他将A（秋分），B（寒露），C（小雪），D（大雪）四张卡片（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． （1）小王从中随机抽取一张卡片，求出抽中是A（秋分）的概率． （2）小王先从中随机抽取一张卡片，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张卡片．请用树状图或列表的办法求小王两次抽取的卡片中至少有一张是D（大雪）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率： （1）直接利用概率公式进行求解即可； （2）列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：小王从中随机抽取一张卡片，共有4种等可能的结果，抽中A（秋分）的情况只有1种， ∴； 【小问2详解】 由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共16种等可能的结果，其中两次抽取的卡片中至少有一张是D（大雪）的结果共有7张， ∴． 23. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C、A的对应点分别为E、F，点E落在上，连接． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题关键． （1）由三角形内角和定理，得到，再根据旋转的对应角相等求解即可； （2）由勾股定理得，由旋转的性质得，，，进而得到，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴在中，． 24. 已知关于x的方程 （1）若此方程的一根是1，求另一个根及m的值． （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）另一个根为3，m的值为2 （2） 证明：， ， ， 方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程根的判别式等知识点： （1）把代入方程，即可求出m的值，然后解方程即可； （2）根据一元二次方程的判别式，判断根的情况即可． 【小问1详解】 解：将代入， 得：， 解得， 原方程为， 即， 解得，， 另一个根为3，m的值为2． 【小问2详解】 略 25. 2025年电影春节档被称为“最强春节档”，春节票房的火爆反映出中国消费市场的旺盛活力，也彰显了中国经济强大的内生动力和广阔的发展前景．已知遵义某影城每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（张）随售价x（元/张）之间满足一次函数关系（，且x为整数） 售价x元/张 30 35 40 45 电影票数量y张 1640 1440 1240 1040 （1）请求出y与x之间的函数表达式； （2）该影院将电影票的售价定为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）（，且x为整数） （2）当售价为x定为35或36时，有最大利润，最大利润是48400元 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、二次函数的应用等知识点，灵活运用二次函数解决实际问题成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先列出每天的利润，然后根据二次函数的性质以及实际意义求解即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数表达式为 把代入得： ，解得：． （，且x为整数）． 【小问2详解】 解：每天的利润 ∴该函数的抛物线对称轴为：， 为整数， 当售价为x定为35或36时，有最大利润， 元． 26. 同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明． 已知在中，，求证：． 法一：如图1，在上取一点，使得，接． 法二：如图2，延长到，使得，连接． 图1 图2 你选择方法_______ 证明： 【答案】 解：法一：在上取一点D，使得，连接， ∵， ， 是等边三角形， ，， ， ， ; 法二：延长到D，使得，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵在中，，， ， 是等边三角形， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质； 法一：在上取一点D，使得，连接，推出是等边三角形，再利用等角对等边证明，据此即可证明； 法二：延长到D，使得，连接，推出垂直平分，证明是等边三角形，据此即可证明． 【详解】略 27. 已知，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点为A，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图（1），点是直线上方抛物线上一点，连接，若的面积为4，求点的坐标； （3）如图（2），设直线（k≠0）与抛物线交于两点，点关于直线的对称点为，直线与直线交于点，求证：的长为定值． 【答案】（1） （2） （3）点为定点，为定值2 【解析】 【分析】（1）根据题意利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）中结果确定点，，设上方轴上点满足，即，然后求解得出与原点重合．再确定直线解析式为：，得出点在直线上时，，再联立求解即可； （3）根据题意联立两个函数得出，再由题意确定直线的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线，过原点，可得， ；解得； 即解析式为：． 【小问2详解】 由（1）得：，得． 令，解得：．得：． 设上方轴上点满足，即， 解得：，即与原点重合． 设直线解析式为：，则有： ：解得：； 直线解析式为：． 与直线平行，且过的直线为：． 点在直线上时，，满足题意． ；解得：或； 故：． 【小问3详解】 为与抛物线的交点， ； 解得：或； ， 与关于直线对称，得：， 设直线的解析式为：， ； 解得：； 图（2） 即直线的解析式为：， 当时，． 点为定点，为定值2． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题及线段定值问题，理解诶题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省五华区2024—2025学年上学期学生综合素养阶段性评价九年级 数学12月月考模拟试题卷 注意事项： 1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前分钟收取答题卡 一、选择题 1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查 B. 一组数据5，5，3，4，1的中位数是3 C. 甲、乙两人9次跳高成绩的方差分别为甲2，乙2，说明乙的成绩比甲稳定 D. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件 5. 如图，中，点C在上，，分别为、所对的圆周角．若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，到第三天统计得出三天共揽件662件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 9. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表： x … －5 －4 －3 －2 －1 0 … y … 4 0 －2 －2 0 4 … 下列说法正确的是(　　) A. 抛物线的开口向下 B. 当x＞－3时，y随x的增大而增大 C. 二次函数的最小值是－2 D. 抛物线的对称轴是直线x＝－ 10. 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为，画二次函数的图像时，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 0 1 0 … 关于此函数下列说法不正确的是（ ） A. 函数图像开口向下 B. 当时，该函数有最大值 C. 当时， D. 若在函数图像上有两点，则 11. 已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（　 　） A. 3cm B. 6cm C. 1.5cm D. cm 12. 2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首．2025年清明档（4月4日—4月6日）以总票房亿元收官，4月4日的单日票房达到亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 按规律排列的式子如下：x，则第n个式子是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，，则（ ） A. B. C. D. 15. 已知抛物线的图象及对称轴如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 中心角是45°的正多边形的边数是___________. 17. 分解因式：______． 18. 将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为___ 19. 若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面展开图的弧长是__________．（结果保留π） 三、解答题（共8小题，共62分） 20. 解方程： （1）； （2）； （3）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1，和的顶点都在格点上，回答下列问题： （1）可以看作是经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由得到的过程： ； （2）画出绕点B逆时针旋转90°的图形； （3）在（2）中，点C所形成的路径的长度为 ． 22. “二十四节气”是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是劳动人民长期经验的积累成果和智慧的结晶．小王同学收藏了“二十四节气”主题卡片，他将A（秋分），B（寒露），C（小雪），D（大雪）四张卡片（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． （1）小王从中随机抽取一张卡片，求出抽中是A（秋分）的概率． （2）小王先从中随机抽取一张卡片，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张卡片．请用树状图或列表的办法求小王两次抽取的卡片中至少有一张是D（大雪）的概率． 23. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C、A的对应点分别为E、F，点E落在上，连接． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，求的长． 24. 已知关于x的方程 （1）若此方程的一根是1，求另一个根及m的值． （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 25. 2025年电影春节档被称为“最强春节档”，春节票房的火爆反映出中国消费市场的旺盛活力，也彰显了中国经济强大的内生动力和广阔的发展前景．已知遵义某影城每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（张）随售价x（元/张）之间满足一次函数关系（，且x为整数） 售价x元/张 30 35 40 45 电影票数量y张 1640 1440 1240 1040 （1）请求出y与x之间的函数表达式； （2）该影院将电影票的售价定为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 26. 同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明． 已知在中，，求证：． 法一：如图1，在上取一点，使得，接． 法二：如图2，延长到，使得，连接． 图1 图2 你选择方法_______ 证明： 27. 已知，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点为A，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图（1），点是直线上方抛物线上一点，连接，若的面积为4，求点的坐标； （3）如图（2），设直线（k≠0）与抛物线交于两点，点关于直线的对称点为，直线与直线交于点，求证：的长为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $