精品解析：福建省厦门双十中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题

福建省厦门双十中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1、答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3、考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若代数式的值为2，则代数式的值为（ ） A. 30 B. -26 C. -30 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】将代数式用含代数式的式子表示，再计算即可. 【详解】因为. 故选：D 2. 如图，已知的两条直角边，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点所表示的数介于（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出，从而得，再根据无理数的大小判断即可． 【详解】的两条直角边， 由勾股定理得，则， ∵，∴， 则点所表示的数介于3和4之间． 故选：C． 3. 若关于的一元一次不等式组有2个负整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得，根据关于的一元一次不等式组有2个负整数解得出这两个解为：，；进而得出的取值范围. 【详解】已知，解不等式得：； 又因为，关于的一元一次不等式组有2个负整数解，则这两个解为：，， 所以，. 故选：B. 4. 已知实数满足.若，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】将表示为，根据，解出，将表示成，将及代入化简可得，再根据函数中随的增大的变化情况即可求出的最大值. 【详解】由可得，因为，所以， 即，即，解得. 由可得， 所以， 因为，对于函数，随的增大而增大， 所以当时，取到最大值，即， 所以的最大值为3. 故选：A 5. 如图，在矩形中，，点为的中点，连接，点为中点，连接、，若为直角，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】过E作于G，延长交于H，可知四边形是矩形，设，则，则，可证得，则，可得，由求得，进而可得． 【详解】过E作于G，延长交于H，连接， ∵四边形是矩形，∴， ∴，又，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是矩形，， ∵E是中点，，∴， 设，则， ∵M是中点，∴， 在中，E是中点，∴，∴， ∴，即， 在和中，，，， ∴，∴， ∵，∴为的中点，， ∴，∴，∴， ∴． 故选：B. 6. 有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受.我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照.如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（ ） A. 200个 B. 400个 C. 1000个 D. 2000个 【答案】A 【解析】 【分析】设“数字对称”牌照为（均为0到9的整数），依次分析有多少种选择方法，再根据分步乘法计数原理相乘即可得解. 【详解】已知“数字对称”牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的， 设这个五位数为（均为0到9的整数）， 首先确定第一位数字，因为牌照只以8或9开头， 所以有两种选择方法，即或； 其次确定第二位数字，可以从0到9这10个数字中任选一个， 所以有10种选择方法； 最后确定第三位数字，同样可以从0到9这10个数字中任选一个， 所以有10种选择方法； 所以根据分步乘法计数原理可知最多可制作的拍照数量为个. 故选：A 7. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. 2021 C. 2022 D. 2023 【答案】B 【解析】 【分析】将代入求值即可. 【详解】 . 故选：B. 8. 如图，点分别在轴正半轴、轴正半轴上，以AB为边构造正方形ABCD，点C，D恰好都落在反比例函数的图象上，点在BC延长线上，，，交轴于点，边EF交反比例函数的图象于点，记的面积为S，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，由三角形全等和反比例函数得到，并根据的面积得到方程，求出，从而求出各个点的坐标，得到，，并求出直线的解析式为，联立反比例函数解析式，求出，求出直角三角形的面积，得到答案. 【详解】如图，作⊥轴于点，⊥轴于点， 设，根据题意可得≌≌， 所以，又在反比例函数图象上， 所以，解得， 所以，，则， 又，则，所以，解得，负值舍去， 故，，由勾股定理得， 又，故，且， 所以为等腰直角三角形， 过点作⊥轴于点，则，，故， 由于，由对称性可知，故，， 设直线的解析式为，将和代入得 ，解得， 则直线的解析式为，反比例函数解析式为， 联立与得，解得， 解得或（舍去）， 当时，，， 过点作⊥于点，则， 又，故， 所以的面积. 故选：B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知关于的方程组，下列结论正确的是（ ）. A. 当时，该方程组的解也是方程的解 B. 存在实数，使得 C. 当时， D. 不论取什么实数，的值始终不变 【答案】BD 【解析】 【分析】先解方程组得，将时得到的方程组的解代入方程检验可判断A；将代入和代入求解可判断B、C；将代入求值可判断D. 【详解】解方程组，得， 选项A：当时，不是方程的解，故A不正确； 选项B：若，则，得，故B正确； 选项C：当时，，，得，故C不正确； 选项D：由得，故D正确. 故选：BD. 10. 一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度返回甲地，货车到达乙地后停止，货车、轿车离甲地的距离（千米）与轿车所用时间（小时）的关系如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 甲乙两地相距90千米 B. 两车在出发小时后相遇 C. 轿车返回的速度为每小时90千米 D. 货车到达乙地时，轿车离乙地18千米 【答案】BD 【解析】 【分析】结合图象，根据相遇要求和物理中速度公式计算即可. 【详解】对于A，结合图象可知，甲乙两地相距90千米，故A正确； 对于B，货车的速度为：千米/小时，轿车返回时的速度为：千米/小时， 设当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，货车行驶的时间为小时， 则，解得小时，故B错误； 对于C，轿车返回的速度为千米/小时，故C正确； 对于D，货车2小时到达乙地，此时轿车处于返回过程，且返回0.5小时，结合C选项， 所以距离乙地的距离为千米，故D错误； 故选：BD. 11. 如图，将一副三角板按如图方式叠放在一起，保持三角板不动，将三角板的边与边重合，然后绕点按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度.当这两块三角板各有一条边互相平行时，的度数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合平行线的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可． 【详解】当时，如图，延长交于， 则， ∴． ②当时，如图， 则， ∵，∴， ∵，∴. ③当时，如图， 则. ④当时，如图， 则， ∴． ⑤当时，如图，延长交于点， 则， ∴， ∴． ⑥当时，如图， 则， ∴． ⑦当时，如图， 则． ⑧当时，如图， 则． 综上可知，ACD符合题意，B不符合． 故选：ACD． 12. 抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若方程有两个根，且；则 D. 若方程有四个根，则这四个根的和为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题可知，，，然后根据二次函数图象与性质逐项判断即可. 【详解】由的顶点坐标为，则，则， 由抛物线图象开口向下，所以，所以，所以A错误； ，所以B正确； 令，则的两根为，且开口向下， 因为方程有两个根，且， 所以与的两交点为，所以，所以C正确； ，其对称轴为， 因为方程有四个根，分别为， 根据对称性知，所以这四个根的和为4，所以D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 如图，已知函数和的图象交于点的解集是_________. 【答案】 【解析】 【分析】将点代入两个函数中求出的值，然后代入不等式中解出即可. 【详解】因为函数和的图象交于点， 所以， ， 所以不等式为， 解得：， 故答案为：. 14. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________. 【答案】且 【解析】 【分析】利用判别式求解即可. 【详解】关于的一元二次方程有实数根， 则且，解得且. 则的取值范围是：且. 故答案为：且. 15. 如图，在中，，点、分别在、上，点关于的对称点落在上，设. ①若，则_________； ②设，请写出关于的函数表达式：_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①利用轴对称性质和等腰三角形性质找出边之间的关系，再通过相似三角形求解； ②根据轴对称可知，然后在中，利用勾股定理建立与的函数关系. 【详解】①连接，如图： 点关于的对称点落在上，， ，， 四边形是菱形， ， ，， ，， ， ， 在中，， ， 解得：或(舍去). ②若，则，过作于，如图： ， ， ，即， 在中，， . 16. 在直角坐标系中，直线交轴、轴于点，，点的坐标是，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为，.点是线段上的动点，以为对称轴，作与成轴对称的.当直线经过点时（如图），求点由到的运动过程中，线段扫过的图形与重叠部分的面积_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对称得到的轨迹，从而得到线段扫过的图形，从而得到重叠部分，根据扇形面积公式得到面积. 【详解】因为，所以， 因为直线经过点，所以，解得，所以直线， 因为，所以， 因为对称，，所以在点从到运动的过程中， 落在以为圆心，以为半径的圆在正方形内部的圆弧上，即劣弧， 从而线段扫过的图形是扇形， 设劣弧与直线的交点为，所以线段扫过的图形与重叠部分是弓形， 因为，所以是等边三角形，， 所以弓形面积， 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 雄伟壮观的泗阳大桥成功连接了京杭大运河南北两岸交通，是千里京杭大运河上第一座红色、A型、斜塔斜拉桥.某校初三数学兴趣小组想测量泗阳大桥的外拱塔的最高点A距离水面的高度AD.如图所示，他们在桥面上选取了一个测量点，测得点A的仰角（）为到拉索AE端点的距离（BE的长度）为110m（点在水平线BC上）.据了解，拉索与水面MN之间的距离为9m.求大桥的外拱塔的最高点A距离水面的高度AD.（参考数据：） 【答案】84米 【解析】 【分析】利用直角三角形以及题目所给的已知角的特点，结合两个有相同边的和，由勾股定理列出方程式，得到关于边的长度，从而得出长. 【详解】 如图，设与相交于点，由题意得米，, 在中，，因此； 由米，故米； 在中，米，故, ，解得米或者米; 当米时，，舍去； 当米时，,因此有米， 所以大桥的外拱塔的最高点A距离水面的高度约为84米. 18. 在矩形中，点F，H是边上的点，点是边上的点，且.连接，，，连接交于点. （1）如图1，求证：①；② （2）如图2，连接交于点，连接.探究，的数量关系并证明. 【答案】（1）证明见解析 （2）;证明见解析. 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质得出，，又，根据勾股定理可得，；②根据矩形性质得到，，得出四边形是矩形，又，得出是正方形，根据全等三角形得性质得到，，根据等腰直角三角形性质得到，得出是等腰直角三角形，从而得出. （2）连接，，由等腰直角三角形得出，由全等三角形性质得出，根据等腰直角三角形性质得到，进而得出. 【小问1详解】 证明：①四边形是矩形，，， ， 根据勾股定理， ②四边形是矩形， ，， 四边形是矩形 四边形是正方形 【小问2详解】 ； 证明：连接，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， 四边形是矩形， 19. 如图，菱形ABCD的边AB在轴上，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，直线经过点，与轴交于点，连接AC、AE. （1）求k、b的值. （2）求的面积. （3）已知点在反比例函数的图象上，点的横坐标为.若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）6 （3）或 【解析】 【分析】（1）过作轴，垂足为，先由勾股定理求出边长，进而求出点的坐标，将点坐标代入直线方程即可得的值，将点代入反比例函数，即可得的值； （2）由（1）可知直线方程为，分别求出直线与轴的交点坐标，即可求出的面积； （3）设，点在点的左侧，右侧两种情况，通过分割法分别计算出的面积，由，列出关于不等式求解即可. 小问1详解】 如图所示，过作轴，垂足为， 点的坐标为，点，所以， 所以， 所以在中，由勾股定理可得. 因为四边形ABCD是菱形，所以， 所以，所以， 又因为菱形的对边平行且相等， 所以点的横坐标为，纵坐标与点相同为4，即. 因为直线经过点，所以将代入直线， 即，即，解得. 又因为点在反比例函数的图象上，所以，解得； 【小问2详解】 由（1）可知直线方程为，令，解得，所以； 设直线与轴的交点为， 令，则，解得，所以，所以 所以面积. 【小问3详解】 因为已知点在反比例函数的图象上， 点的横坐标为，所以设. ①若点在点的右侧， 如图所示，过作轴，垂足为，所以，， 因为，所以梯形的面积为， ，，， 所以 . 由（2）可知，若， 即，即，两边同时乘以， 可得，即， 因为，所以，所以，解得； ②若点在点的左侧，此时. 过过作轴，垂足为，所以， 所以 ， 若，，整理可得， 因为，所以解得. 综上，可知的取值范围为或. 20. 对于任意一个四位数，我们可以记为，即.若规定：对四位正整数进行运算，得到整数.例如，；. （1）计算：； （2）当时，证明：的结果一定是4的倍数； （3）求出满足的所有四位数. 【答案】（1）33 （2）证明过程见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用题干定义计算即可； （2）计算出，得到结论； （3）计算出，结合为自然数，得到相应的解，求出答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， 故的结果一定是4的倍数； 【小问3详解】 ，故， 因为为自然数，所以或或或， 所以所有四位数为. 21. 在平面直角坐标系中，点为原点，点A的坐标为．如图1，正方形的顶点在轴的负半轴上，点在第二象限.现将正方形绕点顺时针旋转角得到正方形. （1）如图2，若，求直线的函数表达式. （2）若为锐角，当取得最小值时，求正方形的面积. （3）当正方形的顶点落在轴上时，直线与直线相交于点，的其中两边之比能否为？若能，求点的坐标；若不能，试说明理由. 【答案】（1） （2）32 （3）能，点的坐标是： 【解析】 【分析】（1）过点E作于点H，与y轴的交点为M，先求出E、M的坐标，再根据待定系数法求出解析式即可； （2）无论正方形边长为多少，绕点O旋转角后得到正方形的顶点E在射线上，因此当时，线段的长最小，在中，设，则，从而得到，求出的长，再由勾股定理求出，最后由正方形的面积公式进行计算即可； （3）设点，延长交x轴于点H，过点P作轴于点R，通过证明，从而得出，分别表示，分情况讨论的其中两边的平方之比为，进行求解即可得到答案． 小问1详解】 如图，过点E作于点H，与y轴的交点为M， 由题意得：，又∵， ∴，∴， ∵，∴， 在中，，即， ∴，， 设直线的函数表达式为， ∵该直线过点，∴，解得， ∴直线的函数表达式为． 【小问2详解】 如图，射线与的夹角为（为锐角，）， 无论正方形边长为多少，绕点O旋转角后得到正方形的顶点E在射线上， ∴当时，线段的长最小， 在中，设，则，∴，解得， ∴， ∴． 【小问3详解】 设点，∴， ∵，∴延长交x轴于点H，过点P作轴于点R，如图， ∵，，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，：， ∴，又∵， ∴ ∴，， ∵的其中两边之比为， ∴的其中两边的平方之比为． ①若， ∴，解得（舍）或， 把代入点P的坐标中，得，如图， ②若， 则，解得（舍）或， 把代入点P的坐标中，得，如图， ③若 ∴，∴（舍）． ④若， ∴，∴（舍）． ⑤若， ∴，∴或或（舍） 将代入点P坐标中，得，如图， 将代入点P坐标中，得，如图， ⑥若， ∴， ∴（和⑤重复)或或（舍）， 把代入点P的坐标中，得，如图， 所以的其中两边之比能为，点的坐标是： ． 22. 如图1，抛物线与轴正半轴交于点，对称轴为. （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图1，直线经过点，交抛物线于另一点，点在线段上，过点作直线轴交抛物线于点，连接，若，求点的坐标； （3）如图2，将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，点在点的右边，如果的两条边所在直线与抛物线都有唯一共同点，且都与轴不平行，的面积为2，设两点的横坐标分别为，求与的数量关系. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出即可； （2）根据题意求出的坐标，设点坐标，通过已知条件转化的出的坐标，再根据两点间的距离公式，得出的长度，由建立方程，解出点坐标即可. （3）根据已知条件先求出抛物线的解析式，然后根据题意求出直线的解析式，联立方程求出点的坐标，然后求出直线的解析式，过点作轴，交于点，结合得出，从而求出，以及点到直线的距离为，最后利用，建立方程化简即可得出与的数量关系. 【小问1详解】 因抛物线图象对称轴为， 所以， 且与轴正半轴交于点， 所以 所以抛物线的解析式为：. 【小问2详解】 因为直线经过点， 所以， 所以直线方程为：， 设，因为直线轴交抛物线于点， 所以点的横坐标为，代入抛物线中得：， 所以， 又， 由得：， 即， 即， 又，所以上式有：， 化简得：， 解得：（舍去）或， 代入中得：， 所以的坐标为：. 【小问3详解】 由抛物线：向左平移1个单位长度， 再向上平移4个单位长度后有：， 设直线的方程为：， 因为直线与抛物线有唯一公共点， 则即， 由， 所以直线的方程为：， 由点在直线上， 所以，化简得：， 即， 所以直线方程为：， 同理直线的方程为：， 联立： 解得：， 所以点， 又，所以， 因为不同，所以，所以， 所以直线的方程为：， 即， 过点作轴，交于点，如图所示： 所以代入 得出：，所以 所以， 点到直线的距离为：， 点到直线的距离为：， 所以 又由题意知，所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省厦门双十中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1、答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3、考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若代数式值为2，则代数式的值为（ ） A 30 B. -26 C. -30 D. 26 2. 如图，已知的两条直角边，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点所表示的数介于（ ） A 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 3. 若关于的一元一次不等式组有2个负整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数满足.若，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，在矩形中，，点为的中点，连接，点为中点，连接、，若为直角，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 10 6. 有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受.我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照.如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（ ） A. 200个 B. 400个 C. 1000个 D. 2000个 7. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. 2021 C. 2022 D. 2023 8. 如图，点分别在轴正半轴、轴正半轴上，以AB为边构造正方形ABCD，点C，D恰好都落在反比例函数的图象上，点在BC延长线上，，，交轴于点，边EF交反比例函数的图象于点，记的面积为S，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知关于的方程组，下列结论正确的是（ ）. A. 当时，该方程组的解也是方程的解 B. 存在实数，使得 C. 当时， D. 不论取什么实数，的值始终不变 10. 一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度返回甲地，货车到达乙地后停止，货车、轿车离甲地的距离（千米）与轿车所用时间（小时）的关系如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 甲乙两地相距90千米 B. 两车在出发小时后相遇 C. 轿车返回的速度为每小时90千米 D. 货车到达乙地时，轿车离乙地18千米 11. 如图，将一副三角板按如图方式叠放在一起，保持三角板不动，将三角板的边与边重合，然后绕点按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度.当这两块三角板各有一条边互相平行时，的度数可能是（ ） A. B. C. D. 12. 抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若方程有两个根，且；则 D. 若方程有四个根，则这四个根的和为4 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 如图，已知函数和的图象交于点的解集是_________. 14. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________. 15. 如图，在中，，点、分别在、上，点关于的对称点落在上，设. ①若，则_________； ②设，请写出关于的函数表达式：_________. 16. 在直角坐标系中，直线交轴、轴于点，，点的坐标是，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为，.点是线段上的动点，以为对称轴，作与成轴对称的.当直线经过点时（如图），求点由到的运动过程中，线段扫过的图形与重叠部分的面积_________. 四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 雄伟壮观的泗阳大桥成功连接了京杭大运河南北两岸交通，是千里京杭大运河上第一座红色、A型、斜塔斜拉桥.某校初三数学兴趣小组想测量泗阳大桥的外拱塔的最高点A距离水面的高度AD.如图所示，他们在桥面上选取了一个测量点，测得点A的仰角（）为到拉索AE端点的距离（BE的长度）为110m（点在水平线BC上）.据了解，拉索与水面MN之间的距离为9m.求大桥的外拱塔的最高点A距离水面的高度AD.（参考数据：） 18. 在矩形中，点F，H是边上的点，点是边上的点，且.连接，，，连接交于点. （1）如图1，求证：①；② （2）如图2，连接交于点，连接.探究，的数量关系并证明. 19. 如图，菱形ABCD的边AB在轴上，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，直线经过点，与轴交于点，连接AC、AE. （1）求k、b值. （2）求的面积. （3）已知点在反比例函数的图象上，点的横坐标为.若，求的取值范围. 20. 对于任意一个四位数，我们可以记为，即.若规定：对四位正整数进行运算，得到整数.例如，；. （1）计算：； （2）当时，证明：的结果一定是4的倍数； （3）求出满足所有四位数. 21. 在平面直角坐标系中，点为原点，点A的坐标为．如图1，正方形的顶点在轴的负半轴上，点在第二象限.现将正方形绕点顺时针旋转角得到正方形. （1）如图2，若，求直线的函数表达式. （2）若为锐角，当取得最小值时，求正方形的面积. （3）当正方形的顶点落在轴上时，直线与直线相交于点，的其中两边之比能否为？若能，求点的坐标；若不能，试说明理由. 22. 如图1，抛物线与轴正半轴交于点，对称轴为. （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图1，直线经过点，交抛物线于另一点，点在线段上，过点作直线轴交抛物线于点，连接，若，求点的坐标； （3）如图2，将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，点在点的右边，如果的两条边所在直线与抛物线都有唯一共同点，且都与轴不平行，的面积为2，设两点的横坐标分别为，求与的数量关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$