精品解析：甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 命题人：张勇 审题人：江景 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合， ， ，则 A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4} 2. 已知函数则等于（ ） A. 4 B. C. D. 2 3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列命题中，真命题是（ ） A. 若且，则x，y至少有一个大于1 B. C. 的充要条件是 D. 5. 不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知定义在上的函数满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（ ） A. 250元 B. 260元 C. 270元 D. 280元 二、多选题：本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若非空集合满足：，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知正数a，b满足，则（ ） A. B. a与b可能相等 C. D. 的最小值为 11. 已知关于x的方程，下列结论正确的是（ ） A. 方程有实数根的充要条件是或 B. 方程有两正实数根的充要条件是 C. 方程无实数根的必要条件是 D. 当时，方程的两实数根之和为0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为______. 13. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围是______． 14. 如果a>b，给出下列不等式： ①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b. 其中一定成立的不等式的序号是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 解下列不等式： （1）； （2）． 16. 已知集合，且． （1）若是的充分条件，求实数的取值范围； （2）若命题“”为真命题，求实数的取值范围． 17. 甲、乙两地相距，动车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过，已知动车每小时的运输成本（单位：元）是可变成本与固定成本之和，其中可变成本是速度的平方的倍，固定成本为元． （1）用速度v表示动车每小时的运输成本，并指出v的取值范围； （2）用速度v表示全程运输成本y； （3）求全程运输成本的最小值及此时动车的行驶速度． 18. 已知关于的不等式. （1）若，且不等式的解集为，求实数的值； （2）若，求不等式的解集. 19. 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为. 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为 (1)求和关于、的表达式；当时，求证：=； (2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 命题人：张勇 审题人：江景 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合， ， ，则 A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4} 【答案】D 【解析】 【分析】先求，再求． 【详解】因为， 所以. 故选D． 【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算． 2. 已知函数则等于（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域，先求得，再求即可. 【详解】因为函数 所以， 所以， 故选：D 3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】判断两函数是否同一函数，只需判断是否有相同的定义域和对应关系即可. 【详解】选项A：的定义域为,定义域为，两函数定义域不同，故不是同一函数； 选项B：定义域为且,定义域为,两函数定义域对应关系相同，故是同一函数； 选项C：与的解析式不同，故不是同一函数； 选项D： 的定义域为，定义域为，两函数定义域不同，故不是同一函数； 故选：B 4. 下列命题中，真命题是（ ） A. 若且，则x，y至少有一个大于1 B. C. 的充要条件是 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，和特称量词命题和全称量词命题的证明方法，逐一说明各选项命题真假，得出结果. 【详解】当且时，，所以当时，x，y至少有一个大于1，所以A正确； 当时，，所以B错误； 当时，可知无法推导，所以不具备充分性，C错误； ，所以，所以D错误； 故选：A. 5. 不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【详解】根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且. 则有，变形可得， 故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和. 对照四个选项，只有C符合. 故选：C． 6. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】举出反例即可判断A；根据不等式的性质即可判断BD；利用作差法即可判断C. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，由，得，故B正确； 对于C，， 由，得，所以，故C正确； 对于D，由，得，又，所以，故D正确． 故选：A． 7. 已知定义在上的函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别令，，得到两个方程，解方程组可求得结果 【详解】∵， ∴当时，，①， 当时，，②， ，得，解得． 故选：B． 8. 河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（ ） A. 250元 B. 260元 C. 270元 D. 280元 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出不等式求解. 【详解】依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为 ． 因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元， 所以，即，解得． 因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若非空集合满足：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意可得：，然后根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由可得：，由，可得，则推不出，故选项错误； 由可得，故选项正确； 因为且，所以，则，故选项正确； 由可得：不一定为空集，故选项错误； 故选：. 10. 已知正数a，b满足，则（ ） A. B. a与b可能相等 C. D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合基本不等式及“1”的妙用逐一判断即得. 【详解】由正数a，b满足，得，A错误； 若，则，而a为正数，则，B正确； 显然，则，当且仅当时取等号，C错误； ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BD 11. 已知关于x的方程，下列结论正确的是（ ） A. 方程有实数根的充要条件是或 B. 方程有两正实数根的充要条件是 C. 方程无实数根的必要条件是 D. 当时，方程的两实数根之和为0 【答案】BC 【解析】 【分析】对A：由即可判断；对B：由即可判断；对C：由即可判断；对D：当时，即可判断. 【详解】解：对A：若有实数根，则，解得或，故A错误； 对B：由题意，，解得，故B正确； 对C：若方程无实数根，则，解得， 该条件的一个必要条件是，故C正确； 对D：当时，方程无实数根，故D错误； 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】观察函数解析式的组成，列出使函数有意义的条件不等式，求解即得函数定义域. 【详解】由函数有意义，可得，解得且. 故函数的定义域为：， 故答案为：. 13. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得“，”是真命题，分、两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】命题“，”是假命题， 则它的否定命题“，”是真命题， 当时，不等式为，显然成立； 当时，应满足，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 14. 如果a>b，给出下列不等式： ①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b. 其中一定成立的不等式的序号是________． 【答案】②⑥ 【解析】 【分析】对分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立. 【详解】令，，排除①，，排除③选项，，排除⑤.当时，排除④.由于幂函数为上的递增函数，故，②是一定成立的.由于，故.故⑥正确.所以一定成立的是②⑥. 【点睛】本小题主要考查实数比较大小，使用的方法较多，一个是特殊值比较法，也就是对问题中的举出一些具体的数值，然后对不等式的正确与否进行判断.第二个是用函数的单调性的方法来比较，即是如果要比较的两个数和某个函数有点接近，如本题中②，用幂函数的单调性来判断.第三个是用差比较法来判断，如本题中的⑥. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 解下列不等式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原不等式可化为，再根据一元二次不等式解集公式得出结果； （2）先移项再通分转化为，由分子恒为正数，得出分母大于零求得结果. 【小问1详解】 原不等式可化为，即， 解得或， 所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 原不等式可化为，， 因为， 所以，即. 所以原不等式的解集为. 16. 已知集合，且． （1）若是的充分条件，求实数的取值范围； （2）若命题“”为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知可知，解分式不等式求得集合，由包含关系构造不等式组求得结果； （2）由交集结果可直接构造不等式组求得结果. 【详解】（1）是的充分条件，， ，，解得：， 实数的取值范围为. （2）由（1）知：， ，或，解得：或，又， 实数的取值范围为. 17. 甲、乙两地相距，动车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过，已知动车每小时的运输成本（单位：元）是可变成本与固定成本之和，其中可变成本是速度的平方的倍，固定成本为元． （1）用速度v表示动车每小时的运输成本，并指出v的取值范围； （2）用速度v表示全程运输成本y； （3）求全程运输成本的最小值及此时动车的行驶速度． 【答案】（1）； （2）； （3）全程运输成本的最小值为元，此时动车的行驶速度为． 【解析】 【分析】（1）利用每小时的运输成本是可变成本与固定成本之和可得结果； （2）全程运输成本等于每小时的运输成本与运输时间的乘积，列出表达式，化简得结果； （3）根据（2）得到的结果，利用基本不等式求最小值，分析等号成立的条件. 【小问1详解】 由题意得，可变成本为，固定成本为元， ∴每小时的运输成本为. 【小问2详解】 由题意得，运输时间为， ∴. 【小问3详解】 由（2）得，， 当，即时，有最小值，最小值为. 18. 已知关于的不等式. （1）若，且不等式的解集为，求实数的值； （2）若，求不等式的解集. 【答案】（1）-1 （2）当时，解集为R， 当时，解集为， 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）转化为两个实根，从而得到，得到答案； （2）分，，三种情况，求出不等式的解集. 【小问1详解】 由对应的一元二次方程可知必有两个实根 又由其不等式的解集为 由此可得，； 【小问2详解】 当时，，不等式解集为R， 当时，的解集为， 当时，的解集为， 综上，当时，解集为R， 当时，解集为， 当时，解集为. 19. 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为. 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为 (1)求和关于、的表达式；当时，求证：=； (2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由． 【答案】 (1) 当时，, , = （2）即时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为. (3) 不存在满足条件的、的值 【解析】 【详解】本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力．满分16分． (1)略 （2）当时， 由， 故当即时， 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为． （3）（方法一）由（2）知：= 由得：， 令则，即：． 同理，由得： 另一方面， 当且仅当，即=时，取等号． 所以不能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $