精品解析：福建省三明市普通高中2024-2025学年高一下学期7月期末质量检测数学试题

三明市2024一2025学年第二学期普通高中期末质量检测 高一数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 本试卷共5页 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法及乘法计算求解即可. 【详解】若，则， 则. 故选：A 2. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ） A. 矩形的直观图是矩形 B. 三角形的直观图是三角形 C. 相等的角在直观图中仍然相等 D. 长度相等的线段在直观图中仍然相等 【答案】B 【解析】 【分析】由斜二测画法逐一判断即可. 【详解】解：对于A，由斜二测画法可知，矩形的直观图为平行四边形，故A错误； 对于B，由斜二测画法可知，三角形的直观图是三角形，故B正确； 对于C，由A可知，矩形的四个角都为直角，但其直观图是平行四边形，只有对角才相等，故C错误； 对于D，正方形的四条边相等，但其直观图是平行四边形，只有对边才相等，故D错误. 故选：B. 3. 某县有高中生2000人，初中生3000人，小学生4000人，幼儿园学生1500人，为了解该县学生的健康情况，采用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取样本，若抽出的初中生为30人，则抽出的幼儿园学生人数为（ ） A. 15 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】计算分层抽样的抽取比例乘以样本容量可得答案． 【详解】分层抽样的抽取比例为， 所以幼儿园应抽取的学生人数为：人， 故选：A. 4. 如图，在中，点是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理得到答案. 【详解】点是的中点，， ． 故选：D． 5. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间里面直线与平面、平面与平面位置关系的相关定理逐项判断即可. 【详解】A， 若，则或，故该选项错误； B，若，则，故该选项正确； C，若，不能得出，故不能得出，故该选项错误； D，若，还需要加上相交才能得出，如果不一定平行，故该选项错误. 故选：B. 6. 已知正四棱台的上、下底边长分别为和，高为，则该棱台外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】只需求出该棱台外接球的半径，再结合球的体积公式求解即可. 【详解】因为已知正四棱台的上、下底边长分别为和， 所以上下底面正方形外接圆半径依次为， 根据对称性可知，该棱台外接球的球心在棱台上下底面外接圆的圆心的连线上， 设该棱台外接球的球心到上底面的距离为，该棱台外接球的半径为， 所以，解得， 故所求为. 故选：D. 7. 甲、乙两人组成的“龙队”参加数学解题比赛，比赛中每个队均有一张通行卡且仅限使用一次.每轮比赛由甲、乙各自独立解答同一道题，若两人都答对则直接进入下一轮；若两人都答错则直接被淘汰；若两人中恰有一人答对则可使用通行卡进入下一轮.已知在每轮比赛中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，则“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，还原情境，由互斥加法、独立乘法以及对立事件概率公式求解即可. 【详解】由题意“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰， ①前两轮没有用通行卡，且第三轮都答错了， 概率为； ②前两轮有一轮使用通行卡，第三轮两人均答错或只有一人答对， 概率为； 故所求概率为. 故选：C. 8. 已知点是边长为3的正三角形所在平面内的一点，满足，过点的动直线分别交线段，于点，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点为，设，，，则根据向量的线性运算可得，再根据三角形的面积公式及向量的数乘运算可得的面积为，再结合对勾函数的性质即可求解． 【详解】取的中点为， 由， 则， 所以，① 设，，，，， 则，② 所以结合①和②可得，整理得， 又，，则，得，且，解得， 又因为是边长为3的正三角形，则，， 则的面积为， 令，，则，， ，， 根据对勾函数的性质，当时，取得最大值，且最大值为， 所以面积的最大值为． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 掷一枚骰子，记事件为掷出的点数小于4，事件为掷出奇数点，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 事件与事件对立 D. 事件与事件不相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】由古典概型概率计算公式验算AB，由对立的定义判断C，由独立事件的定义判断D. 【详解】由题意， 对于A，，故A错误； 对于B，，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：AC. 10. 在中，，为中点，.以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 的面积的最大值是 C. D. 的周长可能是6 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A利用余弦定理即可求解，进而判断，对于B由即可判断，对于C利用，同时平方相加即可判断，对于D利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A：由题意有，在中，由余弦定理有， 在中，由余弦定理有，即，故A错误； 对于B：由，当时，等号成立，故B正确； 对于C：由， 所以，故C正确； 对于D：由C选项有，所以，所以， 当且仅当时，等号成立，又，所以，故D错误. 故选：BC. 11. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与是异面直线 B. 直线与所成的角为 C. 若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为 D. 过点且与直线垂直的平面截正方体所得截面多边形的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，说明即可判断；对于B，说明直线与所成的角为，结合余弦定理验算即可；对于C，只需求出三棱锥的外接球的半径，再结合球的表面积公式验算即可；对于D，说明截面为边长为的正六边形，然后根据面积公式验算即可. 【详解】对于A，如图所示， 因为分别为的中点，所以， 因，所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以， 所以四点共面，故A错误； 对于B，如图所示， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 所以直线与所成的角为， 而， 所以，所以，故B正确； 对于C，如图所示， ， 所以三角形的外接圆半径为， 显然平面，且， 所以三棱锥的外接球的半径为， 所以球的表面积为，故C正确； 对于D，如图所示，取中点，顺次连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 同理可证，， 而，，平面， 所以平面， 根据前面的假设有，，所以四点共面， 又因为，所以四边形是平行四边形， 所以，所以六点共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 同理可证平面， 又因为平面，，平面， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面， 所以六边形即为过点且与直线垂直的平面截正方体所得截面多边形， 显然这是一个边长为的正六边形，其面积为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 某校10位同学参加数学竞赛的成绩（单位：分）为：72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则这10个数据的第25百分位数为______. 【答案】80 【解析】 【分析】由百分位数的定义求解即可. 【详解】将这10个数据从小到大排列为：72，78，80，81，83，86，88，90，91，92， 而，故所求为从小到大排列后的第三个数，即80. 故答案为：80. 13. 设复数满足，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据题意列方程组即可计算. 【详解】设，所以，由， 所以， 因为， 所以， 故答案为：. 14. 在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件得，进一步结合三角形是锐角三角形求得，然后将目标式子转换为，由对勾函数性质即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，由余弦定理有， 所以，所以， 所以 ， 因为三角形是锐角三角形， 所以， 而，所以， 所以，即， 因为三角形是锐角三角形， 所以，解得， 设， 则 ， 因为的取值范围是，所以的取值范围是， 由对勾函数性质可知在上单调递减， 所以的取值范围是， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量. （1）求向量在向量方向的投影向量的坐标； （2）若，求实数k的值； （3）若与所成的角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据投影向量的定义即可求解； （2）利用向量垂直的坐标运算即可求解； （3）根据题意由向量的数量积和共线向量的坐标运算即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以，， 所以在方向的投影向量为. 【小问2详解】 由题意知：，， 因为，所以 即，解得. 【小问3详解】 ， 因为与所成的角为锐角， 所以，且与不共线， 由，解得， 当与共线时，由，解得， 因为与不共线，所以， 综上所述：实数的取值范围为. 16. 从三明市某高中学校1200名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第七组的人数为3. （1）求第六组的频率； （2）估计该校男生身高的中位数； （3）从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为，记为事件，求事件的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率和为1求解； （2）利用频率分布直方图中中位数两侧矩形的面积和（频率）各点50%求解； （3）用列举法写出基本事件，由古典概型概率公式计算. 【小问1详解】 因为第七组的人数为3，所以第七组的频率为：， 则第六组的频率为 【小问2详解】 由图知：身高在的频率为， 身高在的频率为， 身高在的频率为， 因为， 所以设这所学校男生的身高中位数为，则， 由，得， 所以这所学校男生身高的中位数为174.5. 【小问3详解】 样本身高在第六组的人数为，设为， 样本身高在第六组的人数为，设为， 则从中随机抽取两名男生有：共15种情况，即， 当且仅当随机抽取的两名男生不在同一组时，事件发生， 所以事件包含的基本事件为共8种情况，即， 根据古典概型概率公式得. 17. 如图，在四棱锥中，平面. （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：平面平面，， ，又，平面， 平面，又平面， 平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证平面，最后利用面面垂直的判断定理即可得证； （2）过点作交于点，连接，则与平面所成角即为与平面所成角，由平面，即为直线与平面所成角，在中计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作交于点，连接， 则与平面所成角即为与平面所成角， 平面，为在平面上的射影， 为直线与平面所成角， ，四边形为平行四边形， ， ， 在中，， 在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 在中，内角所对的边分别为，且满足. （1）求； （2）所在平面内一点满足，若，求的周长的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由利用正弦定理得，利用两角和的正弦公式即可求解； （2）由得，即，同理得，即点O是的垂心，得，在中利用余弦定理得，最后利用均值不等式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以， 同理可得，所以点O是的垂心， 又因为，所以， 在中，因为，即， 由余弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 当且仅当时等号成立. 所以， 所以的周长的最大值为. 19. 在平面直角坐标系中，将横、纵坐标都是整数的点称为整点.对于任意相邻三点都不共线的有序整点列：与：，其中，若同时满足：①两个点列的起点和终点分别相同；②，其中.则称与互为正交点列. （1）判断：与：是否互为正交点列，并说明理由； （2）已知：与：互为正交点列. （ⅰ）求； （ⅱ）若的横、纵坐标都取自集合，写出所有符合条件的有序整点列. 【答案】（1） 依题意可得， 所以， 所以. 又与的起点和终点分别相同，所以与互为正交点列. （2）（i）； （ii）； ； . 【解析】 【分析】（1）表达出相关向量，计算出向量数量积为0，所以，又与的起点和终点分别相同，得到结论； （2）（ⅰ）解法一：设，利用，，得到方程组，求出，求出； 解法二：可得，可设，，表达出，由得方程组，求出，得到； （ⅱ）解法一：因为，由（ⅰ）可知，所以或或或或，分上面五种情况讨论，得到答案； 解法二：因为，所以，的横纵坐标都取自集合，那么分，，，，五种情况讨论，得到答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）解法一：因为与互为正交点列，所以， 设， 所以， 又因为， ， 所以，即， 所以，所以； 解法二：（ⅰ）依题意可得， 因为与互为正交点列， 所以可设， . 由得，解得. 所以. （ⅱ）解法一：因为，由（ⅰ）可知， 所以或或或或， ①当时，三点共线，不合题意，舍去. ②当时，由得，所以. 此时. ③当时，由得，所以， 此时. ④当时，由得，所以 此时三点共线，不合题意，舍去. ⑤当时，由得，所以， 此时. 综上所述，符合条件的点列有； ； . 解法二：因为，所以， 已知的横纵坐标都取自集合，那么 ①当时，由得，此时， 即， 所以， ②当时，由得，此时， 即， 所以：. ③当时，由得，此时， ， 所以. ④当时，由得，此时， ，此时三点共线，不合题意，舍去. ⑤当时，，此时三点共线，不合题意，舍去； 综上所述，符合条件的点列有； ；. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明市2024一2025学年第二学期普通高中期末质量检测 高一数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 本试卷共5页 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ） A. 矩形的直观图是矩形 B. 三角形的直观图是三角形 C. 相等的角在直观图中仍然相等 D. 长度相等的线段在直观图中仍然相等 3. 某县有高中生2000人，初中生3000人，小学生4000人，幼儿园学生1500人，为了解该县学生的健康情况，采用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取样本，若抽出的初中生为30人，则抽出的幼儿园学生人数为（ ） A. 15 B. 20 C. 30 D. 40 4. 如图，在中，点是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知正四棱台的上、下底边长分别为和，高为，则该棱台外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两人组成的“龙队”参加数学解题比赛，比赛中每个队均有一张通行卡且仅限使用一次.每轮比赛由甲、乙各自独立解答同一道题，若两人都答对则直接进入下一轮；若两人都答错则直接被淘汰；若两人中恰有一人答对则可使用通行卡进入下一轮.已知在每轮比赛中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，则“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点是边长为3的正三角形所在平面内的一点，满足，过点的动直线分别交线段，于点，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 掷一枚骰子，记事件为掷出的点数小于4，事件为掷出奇数点，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 事件与事件对立 D. 事件与事件不相互独立 10. 在中，，为中点，.以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 的面积的最大值是 C. D. 的周长可能是6 11. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与是异面直线 B. 直线与所成的角为 C. 若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为 D. 过点且与直线垂直的平面截正方体所得截面多边形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 某校10位同学参加数学竞赛的成绩（单位：分）为：72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则这10个数据的第25百分位数为______. 13. 设复数满足，且，则______. 14. 在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量. （1）求向量在向量方向的投影向量的坐标； （2）若，求实数k的值； （3）若与所成的角为锐角，求实数的取值范围. 16. 从三明市某高中学校1200名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第七组的人数为3. （1）求第六组的频率； （2）估计该校男生身高的中位数； （3）从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为，记为事件，求事件的概率. 17. 如图，在四棱锥中，平面. （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 在中，内角所对的边分别为，且满足. （1）求； （2）所在平面内一点满足，若，求的周长的最大值. 19. 在平面直角坐标系中，将横、纵坐标都是整数的点称为整点.对于任意相邻三点都不共线的有序整点列：与：，其中，若同时满足：①两个点列的起点和终点分别相同；②，其中.则称与互为正交点列. （1）判断：与：是否互为正交点列，并说明理由； （2）已知：与：互为正交点列. （ⅰ）求； （ⅱ）若的横、纵坐标都取自集合，写出所有符合条件的有序整点列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $