第1章二次函数 单元训练2025-2026学年浙教版数学九年级上册

第1章二次函数同步训练2025-2026学年 浙教版九年级上册 一、选择题 1．下列函数：①; ②; ③; ④,是二次函数的有: A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法错误的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．图象的对称轴是直线 D．图象与轴无交点 3．已知二次函数的图像上有三点A（1，），B（2，），C（-2，），则，，的大小关系为（         ） A． B． C． D． 4.对于二次函数，下列结论：其图象开口向下；其图象的对称轴为直线；其图象的顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 5.在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（      ） A． B． C． D． 6.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（ ） A．B．C．D． 7．用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 8.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 9.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的有（　　）个 ①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③函数的最大值为a+b+c；④当﹣3≤x≤1时，y≥0；⑤x＜﹣1时，y随x增大而减少． A．3 B．4 C．2 D．1 10.竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（       ） A． B． C． D． 二、填空题 11．当m＝____________时，函数是二次函数． 12.二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 　 　． 13.二次函数的图象上有两点，，则此抛物线的对称轴是直线______． 14.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k＝ 　． 15.已知函数的大致图象如图所示，对于方程（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ． 16.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m. 三、解答题 17.已知二次函数的图象经过，两点．求这个二次函数的解析式； 18.已知抛物线y＝x2+2mx﹣（m＞0） （1）求证：该抛物线与x轴必有两个交点； （2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），且AB＝6，求m的值． 19.如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求:（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？ 20.如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为． (1)若要围成面积为的花圃，则的长是多少？ (2)求为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积． 21.某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如下表所示： x（万元） 10 12 14 16 y（件） 40 30 20 10 （1）求y与x的函数关系式； （2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？ 22.如图，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C，OA＝OC，点A的坐标为（﹣3，0）． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值． 【答案】 一、选择题 1．下列函数：①; ②; ③; ④,是二次函数的有: A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 2.已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法错误的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．图象的对称轴是直线 D．图象与轴无交点 【答案】C 3．已知二次函数的图像上有三点A（1，），B（2，），C（-2，），则，，的大小关系为（         ） A． B． C． D． 【答案】B 4.对于二次函数，下列结论：其图象开口向下；其图象的对称轴为直线；其图象的顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 5.在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 6.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（ ） A．B．C．D． 【答案】C 7．用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 8.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 9.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的有（　　）个 ①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③函数的最大值为a+b+c；④当﹣3≤x≤1时，y≥0；⑤x＜﹣1时，y随x增大而减少． A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】A． 10.竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 二、填空题 11．当m＝____________时，函数是二次函数． 【答案】－1 12.二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 　 　． 【答案】﹣2． 13.二次函数的图象上有两点，，则此抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 14.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k＝ 　． 【答案】1． 15.已知函数的大致图象如图所示，对于方程（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ． 【答案】4 16.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m. 【答案】 三、解答题 17.已知二次函数的图象经过，两点．求这个二次函数的解析式； 解：把A、的坐标代入函数解析式可得： ， 解得：， 所以二次函数的解析式为：． 18.已知抛物线y＝x2+2mx﹣（m＞0） （1）求证：该抛物线与x轴必有两个交点； （2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），且AB＝6，求m的值． 【答案】（1）证明：∵， 又∵m＞0， ∴9m2＞0，即Δ＞0， ∴知抛物线与x轴必有两个交点； （2）解：令y＝0，则， ∴， ∴或， ∴，， ∵点A在点B的左侧，m＞0， ∴，， ∴， 又∵AB＝6， ∴3m＝6， ∴m＝2． 19.如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求:（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？ （1）设所求函数的解析式为． 由题意，得函数图象经过点B（3，-5）， ∴-5=9a． ∴． ∴所求的二次函数的解析式为． x的取值范围是． （2）当车宽2.8米时，此时CN为1.4米，对应， EN长为，车高米，∵， ∴农用货车能够通过此隧道． 20.如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为． (1)若要围成面积为的花圃，则的长是多少？ (2)求为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积． 【答案】 （1）解：根据题意得，， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， ∴当的长为时，花圃的面积为； （2）解：花圃的面积， 而由题意：， 即， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时面积最大，最大面积为． 21.某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如下表所示： x（万元） 10 12 14 16 y（件） 40 30 20 10 （1）求y与x的函数关系式； （2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？ 【答案】解：（1）设y与x的函数关系式为：， 则， 解得：， 故y与x的函数关系式为： ； （2）设总销售利润为W， 则有：， 当，销售利润万， 即单价为13万时，最大获利125万元． 22.如图，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C，OA＝OC，点A的坐标为（﹣3，0）． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值． 【答案】（1） 令x＝0，则y＝c， ∴OC＝﹣c， ∵OA＝OC， ∴3＝﹣c，即c＝﹣3． ∵对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0）， 根据题意得：， 解之：． ∴抛物线解析式． （2） 当x＝0时，y＝﹣3， ∴点C（0，﹣3），即OC＝3， ∵A，B关于对称轴对称， ∴B（1，0），即OB＝1， ∴， 设， ∴＝×3×|x|， ∵＝， ∴， ∴x＝±4， ∴P（4，21），（﹣4，5）． （3） ∵点A（﹣3，0），点C（0，﹣3）， ∴直线AC解析式y＝﹣x﹣3， ∴设点Q（m，﹣m﹣3）（﹣3≤m≤0）， 则点， ∴， ∴当m＝﹣时，QD的最大值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$