精品解析：辽宁省丹东市2024-2025学年八年级下学期数学期末试卷

丹东市2024-2025学年度（下）期末教学质量监测 八年级数学 时间：90分钟满分：100分 第一部分客观题 请用铅笔将正确答案涂在答题卡对应的位置上 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题2分；共20分） 1. 下列各图是环保标志图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意， B不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， C不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， D不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， 故选：A． 2. 若分式有意义，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．要使分式有意义，分式的分母不能为0，即，解得的取值范围． 【详解】解：根据题意得： 解得：． 故选：C． 3. 若，下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据，应用不等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：， 只有当时，才会有，故选项B不符合题意； ， ，故选项B符合题意； ， ， ，故选项C不符合题意； ， 不妨设，， 则有，故选项D不符合题意． 故选：B． 4. 要将分式化成最简分式，应将其分子分母同时约去的公因式为（　　） A. 2 B. 2 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是最简分式的概念、公因式的概念，各项都含有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式．找出分子、分母的公因式即可． 【详解】解：， 则将化成最简分式，应将分子分母同时约去的公因式为, 故选：D． 5. 如图，施工队打算测量两地之间的距离，但两地之间有一个池塘，于是施工队在处取点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得分别是的中点．若，则两地之间的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 分别是的中点，， 为三角形的中位线， ． 故选：B． 6. 如图，是“自行车停放区”的标志图，其中四边形为平行四边形．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题关键．根据平行四边形对角相等即可求出． 【详解】解：在中有：，， ， ， ， ， ， 故选：C． 7. 如图，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，此时点，点，点在一条直线上．若，则旋转角（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和旋转的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由平行四边形的性质和旋转的性质得出，可得，从而得出，得出，再求得，再求解即可． 【详解】解：如图，设与相交于点， 将绕点顺时针旋转一定角度后得到， ， ， ， ， ， ， ， ， 即旋转的角度为， 故选：A． 8. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生对平行四边形的判定方法的理解能力，常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．据此来判定即可． 【详解】解：， ， 又， 四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； ， ， 在和中 ， ， ， 又， 四边形为平行四边形，故选项B不符合题意； 在四边形中，，， 四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； ，无法得出四边形是平行四边形，故选项D符合题意． 故选：D． 9. 《四元玉鉴》全中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”（题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，根据题意，绫布和罗布总长30尺，分别卖出后各得896文，且各一尺共120文．设绫布有尺，则罗布为尺．绫布每尺价格为文，罗布每尺价格为文．根据“各一尺共120文”的条件，可列方程． 【详解】解：设绫布有尺，则罗布为尺，则绫布单价：文/尺，罗布单价：文/尺， 可得： 故选D． 10. 如图，在中，的角平分线与边的垂直平分线交于的外部点处，连接，过点作，交延长线于点，过点作，交于点．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．证明．．再证明．得出．则可求出答案． 【详解】解：平分，，， ． 在的垂直平分线上， ． 在与中， ， ． ． ． 故选：B． 第二部分主观题 请用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的位置上 二、填空题（每小题2分，共10分） 11. 七边形的内角和是________度． 【答案】900 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理．应用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：七边形的内角和， 故答案为：900． 12. 命题“如果，那么”，该命题是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】本题考查了真假命题，根据平方的性质即可判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴该命题是真命题， 故答案为：真． 13. 已知等腰三角形的周长为，若其中一边长为，则腰长为___________． 【答案】３ 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义，三角形存在性解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形存在问题，正确分类计算是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的一边长为，周长为， ∴等腰三角形的三边长为2，2，４或2，３，３， 当三边为2，2，４时，，三角形不存在， 当三边为2，３，３时，，三角形存在， 故腰长为：； 故答案为：３． 14. 若关于的分式方程有增根，则实数的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解问题，熟练掌握该知识点是解题关键． 先将分式方程化为整式方程，再根据该分式方程有增根，确定该整式方程的根为，再代入得到关于m的方程并求解即可． 【详解】解：将关于x的分式方程的两边同时乘以得． ∵该分式方程有增根， ∴． 把代入得． 解得． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．等腰直角三角形按如图位置摆放，顶点在直线上，轴．现将沿直线平移，且点始终在直线上．在平移的过程中，当点落在坐标轴上时，点的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数综合问题，含30度的直角三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出图形分情况分析是解题关键． 根据一次函数解析式及含30度角的直角三角形的性质确定一次函数解析式为，再由勾股定理得出，过点E作，确定，然后分两种情况分析：当点E落在x轴上时，当点E落在y轴上时，作出相应图形求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将点A代入得， 解得：， ∴， ∵等腰直角三角形，， ∴， ∴， 过点E作， ∴， 当点E落在x轴上时，如图所示： ∵轴，， ∴点D的纵坐标为，代入得， 解得：， ∵， ∴点F的横坐标为， ∴； 当点E落在y轴上时，如图所示： ∵轴，， ∴点D的横坐标为，代入得， ∴点F的横坐标为， ∴； 综上可得：或， 故答案为：或 ． 三、解答题（本题共8小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； （1）利用提公因式法分解即可； （2）利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解不等式组，并将解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴原不等式组的解集为：， 数轴表示为： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 在等腰三角形中，，点为边上一动点，过点作交延长线于点，交于点，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理， （1）根据等边对等角推出，利用垂直的性质推出，由此证得，得到为等腰三角形； （2）在中，由勾股定理得，代入计算可得答案． 【小问1详解】 证明：∵在等腰三角形中，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 【小问2详解】 由（1）知， ∵， ∴， 在中， ∴， 解得． 20. “读书不觉已春深，一寸光阴一寸金”，每年4月23日是世界读书日，某社区为丰富居民的文化生活购进了一批图书．已知用260元购买科普读物的数量是用150元购买文学类书籍数量的2倍，其中文学类书籍的单价比科普读物的单价多4元． （1）求文学类书籍的单价是多少元？ （2）该社区准备购进两种图书共100册，总费用不超过2840元，则该社区最多购进文学类书籍多少册？ 【答案】（1）文学类图书的单价为30元； （2）该社区最多购进文学类书籍60册． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式． （1）设文学类图书的单价为x元，则科普读物的单价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设学校购进文学类图书m册，则购进科普读物册，依题意得列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设文学类图书的单价为x元，则科普读物的单价为元 依题意得： 解得： 经检验：是原方程解 答：文学类图书的单价为30元； 【小问2详解】 解：设学校购进文学类图书m册，则购进科普读物册 依题意得： 解得： 答：该社区最多购进文学类书籍60册． 21. 如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点． （1）射线的尺规作图过程是在作___________的___________线； （2）请在图中以点为顶点，作的角平分线，交于点．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （3）在（1）（2）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）；角平分 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，角平分线的作法，理解题意，熟练掌握角平分线的作法是解题关键． （1）根据角平分线的作法即可得出结果； （2）根据作角平分线的步骤作图即可； （3）根据平行四边形的性质得出，再由角平分线及平行线的性质确定，即可判定，即可证明． 【小问1详解】 解：根据题意得射线的尺规作图过程是在作的角平分线， 故答案为：；角平分 【小问2详解】 如图所示即为所求； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 22. 【问题情境】某数学课上，老师带领学生探究“一次函数的图象上点的坐标的特征”，在“数”与“形”两个方面感受一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．学生得出结论：一元一次不等式（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 根据以上信息回答下列问题： 【问题初探】（1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是___________． 【变式探究】（2）如图2，观察图象，一次函数与正比例函数的交点坐标为___________，不等式的解集是___________． 【问题拓展】（3）如图3，一次函数与一次函数的图象相交于点，分别与轴相交于点和点，点是轴上一动点．当点横坐标取值范围为不等式组的解集时，连接，求长度的取值范围． 【答案】（1）；（2），；（3）长度的取值范围为． 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数的综合问题，求不等式组的解集等，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据函数图象求解即可； （2）先求出交点坐标，然后根据函数图象求不等式解集即可； （3）先求出交点坐标，确定，然后求不等式组的解集得出不等式组的解集为：，即点横坐标取值范围为，再由垂线段最短结合图象求取值范围即可． 【详解】解：（1）∵一次函数的图象经过点， ∴由图象得不等式的解集是， 故答案为：； （2）联立两个函数： 解得：， ∴交点坐标为， 由函数图象得：当时，图象在图象的上方， ∴ ∴不等式的解集是， 故答案为：，； （3）联立两个函数：， 解得：， ∴， 当时，，， ∴， 解不等式：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：，即点横坐标取值范围为， 过点E作轴，如图所示：此时EP取得最小值为， 当横坐标取4时，， ∴长度的取值范围为． 23. 综合与实践 在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形图形变换的探究，已知为等边三角形． （1）如图1，点是边上一动点，过点作平行于，交于点，判断的形状，并说明理由； （2）老师提出新问题：如图2，点为边上的动点，且，点为边上的动点，且，连接，以为边，在右侧作等边三角形，连接，试猜想与的数量关系，并说明理由．全班同学经过讨论后认为要想证明这两个角的数量关系，应添加辅助线．小明认为应该过点作，交于点．小刚认为应该过点作，交于点．请你从小明和小刚添加的辅助线中选择一种方法完成上面的猜想与证明： （3）某小组同学继续探究，如图3，当点在直线上运动，且，点在边的延长线上运动时，连接，以为边，在右侧作等边三角形，连接．直接写出线段与线段的数量关系． 【答案】（1）等边三角形，见解析 （2） 见解析 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据三个角都是的三角形是等边三角形证明即可； （2）利用等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，四边形内角和定理证明即可： （3）分两种情况：①当点D在边时，过点作，交的延长线于点．②当点D在边延长线上时，过点作，交直线于点，Ⅰ）当点Q在线段上时；Ⅱ）当点Q在线段延长线上时．分别求解即可． 【小问1详解】 证明：为等边三角形， ，， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形． 【小问2详解】 解：． 理由如下： 小明的方法：过点作，交于点， ∵为等边三角形， ∴是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据四边形内角和， ∴． 小刚的方法：过点作，交于点． ∵为等边三角形， ∴是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：三线段的关系为：． 理由如下： 分两种情况：①当点D在边时，过点作，交的延长线于点．如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②当点D在边延长线上时，过点作，交直线于点． Ⅰ）当点Q在线段上时，如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ Ⅱ）当点Q在线段延长线上时，如图， 同理可得， ∴， ∴， 综上，线段与线段的数量关系为或或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，四边形内角和定理的应用，线段之间关系的证明，等量代换，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丹东市2024-2025学年度（下）期末教学质量监测 八年级数学 时间：90分钟满分：100分 第一部分客观题 请用铅笔将正确答案涂在答题卡对应的位置上 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题2分；共20分） 1. 下列各图是环保标志图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 3. 若，下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 4. 要将分式化成最简分式，应将其分子分母同时约去的公因式为（　　） A. 2 B. 2 C. D. 2 5. 如图，施工队打算测量两地之间的距离，但两地之间有一个池塘，于是施工队在处取点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得分别是的中点．若，则两地之间的距离为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，是“自行车停放区”的标志图，其中四边形为平行四边形．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，此时点，点，点在一条直线上．若，则旋转角（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 9. 《四元玉鉴》全中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”（题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，的角平分线与边的垂直平分线交于的外部点处，连接，过点作，交延长线于点，过点作，交于点．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 第二部分主观题 请用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的位置上 二、填空题（每小题2分，共10分） 11. 七边形的内角和是________度． 12. 命题“如果，那么”，该命题是______命题．（填“真”或“假”） 13. 已知等腰三角形的周长为，若其中一边长为，则腰长为___________． 14. 若关于的分式方程有增根，则实数的值为___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．等腰直角三角形按如图位置摆放，顶点在直线上，轴．现将沿直线平移，且点始终在直线上．在平移的过程中，当点落在坐标轴上时，点的坐标为___________． 三、解答题（本题共8小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 解不等式组，并将解集表示在数轴上． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 在等腰三角形中，，点为边上一动点，过点作交延长线于点，交于点，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，求的长． 20. “读书不觉已春深，一寸光阴一寸金”，每年4月23日是世界读书日，某社区为丰富居民的文化生活购进了一批图书．已知用260元购买科普读物的数量是用150元购买文学类书籍数量的2倍，其中文学类书籍的单价比科普读物的单价多4元． （1）求文学类书籍的单价是多少元？ （2）该社区准备购进两种图书共100册，总费用不超过2840元，则该社区最多购进文学类书籍多少册？ 21. 如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点． （1）射线的尺规作图过程是在作___________的___________线； （2）请在图中以点为顶点，作的角平分线，交于点．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （3）在（1）（2）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 22. 【问题情境】某数学课上，老师带领学生探究“一次函数的图象上点的坐标的特征”，在“数”与“形”两个方面感受一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．学生得出结论：一元一次不等式（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 根据以上信息回答下列问题： 【问题初探】（1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是___________． 【变式探究】（2）如图2，观察图象，一次函数与正比例函数的交点坐标为___________，不等式的解集是___________． 【问题拓展】（3）如图3，一次函数与一次函数的图象相交于点，分别与轴相交于点和点，点是轴上一动点．当点横坐标取值范围为不等式组的解集时，连接，求长度的取值范围． 23. 综合与实践 在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形图形变换的探究，已知为等边三角形． （1）如图1，点是边上一动点，过点作平行于，交于点，判断的形状，并说明理由； （2）老师提出新问题：如图2，点为边上的动点，且，点为边上的动点，且，连接，以为边，在右侧作等边三角形，连接，试猜想与的数量关系，并说明理由．全班同学经过讨论后认为要想证明这两个角的数量关系，应添加辅助线．小明认为应该过点作，交于点．小刚认为应该过点作，交于点．请你从小明和小刚添加的辅助线中选择一种方法完成上面的猜想与证明： （3）某小组同学继续探究，如图3，当点在直线上运动，且，点在边的延长线上运动时，连接，以为边，在右侧作等边三角形，连接．直接写出线段与线段的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $