精品解析：北京市第二中学2024-2025学年高一下学期第六学段（期末）学段考试数学试卷

北京二中2024—2025学年度第六学段高一年级学段考试试卷 数学必修第二册 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题纸上） 1. 样本中共有五个个体，其值分别为，若该样本的平均值为1，则样本的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算得到，再结合方差公式得到答案即可. 【详解】由题意得，样本的平均值，所以， 所以样本的方差为. 故选：D 2. 在复平面内，复数的对应点是，的对应点是，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】复数的乘法运算. 【详解】根据题意可知复数的对应点是，的对应点是， 则 故选：B. 3. 设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，给出下列命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则； ④若，，则与所成的角和与所成的角相等． 其中正确命题的序号是　　） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 ①根据或判断；②利用面面垂直的判定定理判断；③根据，或，或与相交判断；④利用线面角的定义判断． 【详解】①若，，则或，因此不正确； ②若，则内必存在一条直线，因为，所以，又因为，所以，正确； ③若，，，则，或，或与相交，因此不正确； ④若，，则与所成的角和与所成的角相等，正确． 其中正确命题的序号是②④． 故选：D． 【点睛】空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 4. 如图，已知正四棱锥的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，则当面积取得最小值时，OH与平面ABCD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合正四棱锥的结构特征确定取得最小值时的位置，再利用几何法求出线面角的余弦值. 【详解】在正四棱锥中，平面，平面，则， 而，平面，于是平面， 又平面，则，而，要的面积取得最小值， 当且仅当，此时， 由平面平面，得在平面内射影为， 即是OH与平面ABCD所成的角，， 所以OH与平面ABCD所成角的余弦值为. 故选：C 5. 设A为平面上一点，过点A的直线AO在平面上的射影为AB，AC为平面内的一条直线，令，，，则这三个角存在一个余弦关系：(其中和只能是锐角)，称为最小张角定理.直线l与平面所成的角是，若直线l在内的射影与内的直线m所成角为，则直线l与直线m所成的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题中最小张角定理，由题中条件，可直接求出，从而可得两直线所成的角. 【详解】因为直线l与平面所成的角是，直线l在内的射影与内的直线m所成角为， 所以由最小张角定理可得，，， 求直线l与直线m所成的角，即是求角，且 由题意，，所以， 因此，即直线l与直线m所成的角是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于理解题中所给最小张角定理，确定三角之间余弦值所满足的关系，结合线线角，线面角的定义，即可求解. 6. 在某校运会的跳高比赛中，小明准备挑战1米90的校运会记录.已知试跳共有三次机会，根据小明日常训练的数据，他每次试跳成功的概率为0.2，每次试跳的结果相互独立，则在本次比赛中，小明挑战成功的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.6 C. 0.384 D. 0.488 【答案】D 【解析】 【分析】利用独立事件的概率求得每次试跳的成功概率，然后利用互斥事件的概率求解. 【详解】解：第一次试跳就成功的概率为0.2； 第二次试跳才成功的概率为； 第三次试跳才成功的概率为. 故所求概率为. 故选：D 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形或直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由半角公式和正弦定理得到，结合角的范围得到，，，得到答案. 【详解】， 故， 由正弦定理得， 其中， 即， 故， 因为，所以，故， 因为，所以， 的形状为直角三角形. 故选：B 8. 设，是两个非零向量，则“”是“向量与向量的夹角为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】若，根据向量数量积公式得到，举出反例，得到充分性不成立，若向量与向量的夹角为锐角，则，推出，必要性成立，得到答案. 【详解】设向量与向量的夹角为，， 若，则， ，是两个非零向量，故，显然时，上式成立， 但此时量与向量的夹角不为锐角，故充分性不成立， 若向量与向量的夹角为锐角，则， 故，，必要性成立， 综上，“”是“向量与向量的夹角为锐角”的必要不充分条件. 故选：B 9. 下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ） ①某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为； ②三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为； ③甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为； ④设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是； A. ①③ B. ①④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】利用相互独立事件同时发生的概率公式，逐一判断4个命题的正误，即可求解. 【详解】对于命题①，记事件表示第路口遇到红灯， 则该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为， 所以命题①正确， 对于命题②，由题知此密码被破译的概率为，所以命题②错误， 对于命题③，因为从甲袋中任取一个球，取到红球的概率为，取到白球的概率为， 从乙袋中任取一个球，取到红球的概率为， 所以从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为，故命题③正确， 对于命题④，设事件和发生的概率分别为，又事件和相互独立， 由题有，即，解得，所以命题④错误， 故选：A. 10. 某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如下检查项目： 项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等； 项目②：打开过程中（如图2），检查； 项目③：打开过程中（如图2），检查； 项目④：打开后（如图3），检查； 项目⑤：打开后（如图3），检查. 下列检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是（ ） A. ①②③ B. ③④⑤ C. ②③⑤ D. ②④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面平行的判定，考查是否可以得到线线平行，转化为线面平行，得到面面平行． 【详解】项目①，折叠状态下（如图1），四条桌腿长相等时，桌面与地面不一定平行； 项目②，打开过程中（如图2），若，可以得到线线平行，从而得到面面平行； 项目③，打开过程中（如图2），检查，可以得到线线平行，从而得到面面平行； 项目④，打开后（如图3），检查，桌面与地面不一定平行； 项目⑤，打开后（如图3），检查，可以得到线线平行，从而得到面面平行， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题纸上） 11. 下列数据的70%分位数为________． 20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22. 【答案】28 【解析】 【分析】根据求百分位数的步骤求解可得结果. 【详解】将这12个数据按从左向右，由小到大的顺序排列： ， 因为不是整数，所以第个数是分位数. 故答案为：. 12. 从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】列举所有可能的情况求解即可. 【详解】由题意，任取两个数所有可能的情况有，，，，，，，，，共10种情况， 其中两个数都是奇数的情况有，，共3种情况，故两个数都是奇数的概率是. 故答案为： 13. 若，则________. 【答案】##0.4 【解析】 【分析】利用复数除法法则得到，利用共轭复数定义和复数乘法法则得到答案. 【详解】， 故，. 故答案为： 14. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设球的半径为，根据已知条件得出正方体上底面截球所得的截面圆的半径，球心到截面圆圆心的距离，利用勾股定理即可求出球的半径，再带入球体积公式即可. 【详解】由题意得正方体上底面到水面的高为，设球体的半径为，由题意如图所示： 三角形为直角三角形，为球与正方体的交点， 则，，，所以：，解得， 所以球的体积. 故答案为： 15. 如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是________. 【答案】## 【解析】 【分析】连接，过作直线于，交圆于，过作于，利用数量积的几何意义，得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】如图，连接，过作直线于，交圆于，过作于， 因为，所以，且，则在上的投影向量为， 由数量积的几何意义知，若取到最大值，则在同侧， 且，当且仅当与重合时取等号， 又圆的半径为，则，所以， 故答案为：. 16. 如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论： ①存在点，使； ②存在点，使； ③到直线和的距离相等的点有无数个； ④若，则四面体体积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量研究位置关系，结合距离公式、三棱锥体积公式逐项判断即可得. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、、、， 设，，其中，， 对①：，则， 当，，时，有， 故存在点，使，故①正确； 对②：，， 若，则有， 由，，故当时，，， 此时有，即，即， 此时与重合，与重合，故不存在点，使，故②错误； 对③：点到直线的距离为，点到直线的距离为， 即有，即，由， 故其轨迹为双曲线的一部分，即点有无数个，故③正确； 对④：，， 由，故有，则， 又， 故，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：第④个结论的关键点在于借助四面体的体积公式，分别求出高与底面三角形的最大值. 三、解答题（本大题共70分，请将答案填在答题纸上） 17. 某地区在政府和有关部门的号召下，通过多样的科普宣传，充分调动了当地居民的运动热情．为了解当地居民每天的运动情况，从甲社区随机抽取了300人，从乙社区随机抽取了200人，对他们每天的运动时长（单位：）进行统计，将所得数据按照进行分组，得到样本数据的频率分布直方图如下． （1）若乙社区共有居民2万人，估计乙社区居民每天运动时长不少于60min的人数； （2）估计甲社区居民每天运动时长的中位数； （3）假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计甲社区抽取的300人每天运动时长的平均值为，乙社区抽取的200人每天运动时长的平均值为，以及甲、乙两个社区抽取的500人每天运动时长的平均值为，试比较和的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图求得相应频率，即可求解；（2）根据中位数计算公式即可求解；（3）由平均数计算公式求得，，再结合分层抽样比求得，即可比较大小. 【小问1详解】 在乙社区抽取的样本中，每天运动时长不少于60min的频率为， 故估计乙社区居民每天运动时长不少于60min的人数为． 【小问2详解】 根据甲社区的样本频率分布直方图，前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 故估计中位数为． 【小问3详解】 ， ， 所以，， 所以． 18. 在中，角的对边分别为，若： （1）求的大小； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将题干条件变形为，结合余弦定理可求出角的余弦值，进而求出角的值； （2）由（1）可知，所以，用代替角，化简，结合角的范围即可求出最大值. 【小问1详解】 因为，所以， 即， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，所以， 则 又，则， 所以当时，即时，有最大值为1. 19. 已知函数．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定． （1）求的解析式； （2）设，求函数在上的单调递增区间． 条件①：； 条件②：为偶函数； 条件③：的最大值为1； 条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先由降幂公式得，故为奇函数，排除条件②，若选①③，不唯一，不合题意；若选①④由及周期解出即可；若选③④由最大值及周期解出即可； （2）先由倍角公式及辅助角公式求出，再令解出单调区间，最后写出在上的单调递增区间即可. 【小问1详解】 ，易知为奇函数，故条件②不成立，舍去. 若选①③，则且，故，，解得，故不唯一，不合题意； 若选①④，且，故，解得，，存在且唯一，故； 若选③④，则且，故，解得，，故，存在且唯一，故； 【小问2详解】 ，令， 解得，当时，，当时，， 故函数在上的单调递增区间为. 20. 在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，. （1）若点是线段上任意一点，且平面交棱于点，求证：； （2）①证明：； ②设侧面为等边三角形，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为底面为矩形，所以， 又平面,平面,所以. 平面，平面平面， 又因为，所以. （2）①证明：取的中点，连接, 因为，所以， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为底面为矩形，且，，的中点， 所以，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以； ② 【解析】 【分析】（1）因为，得到，结合线面平行的性质定理得到，通过平行的传递性证得；（2）①作，垂足为连接利用三垂线定理，即可证得；②利用二面角的定义，得到即为所求二面角的平面角，在中，利用余弦定理，即可求解二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②在面内过点作的垂线，垂足为，连接， 因为底面为矩形，所以,由题意知平面， 由①知， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以即为所求二面角的平面角． 因为平面，平面，所以， 因为侧面为等边三角形，，所以， 因为，，所以，所以， 同理得， 所以, 在等腰中， ， 在中，由余弦定理． 二面角的余弦值为. 21. 已知集合，x、，其中．定义，若，则称x与y正交． （1）若，写出中与x正交的所有元素； （2）令，若，证明：为偶数； （3）若，且A中任意两个元素均正交，分别求出，14时，A中最多可以有多少个元素． 【答案】（1） （2） 证明：对于，存在，，使得． 令，， 当时，，当时，． 那么． 所以为偶数． （3）8个，2个 【解析】 【分析】（1）由定义可写出中与x正交的所有元素. （2）令，，当时，，当时，，那么，可得证. （3）先考虑时，共有四种互相正交的情况，设这4种情况的排列为，则按，的方式进行搭配也相互正交，故当时可形成8种情况．当时，不妨设（有14个1），（有7个，7个1），则正交，再令，，，且它们之间互相正交，讨论相应位置数字都相同的个数，可得出，利用它们相互正交得矛盾，从而得出A中最多可以有的元素个数. 【小问1详解】 中所有与x正交的元素为 ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 时，不妨设． 再考虑时，共有四种互相正交的情况， 即，设这4种情况的排列为， 则按的方式进行搭配， 即， ，可形成8种情况． 所以时，A中最多可以有8个元素． 时，不妨设 则与正交． 假设且它们互相正交． 设a，b，c相应位置数字都相同的共有k个，除去这k列外． a，b相应位置数字都相同的共有m个， b，c相应位置数字都相同的共有n个， 则． 所以，同理． 可得． 由于， 可得矛盾． 所以除外任意三个元素都不互相正交． 综上，时，A中最多可以有2个元素． 【点睛】关键点点睛:本题考查集合中的新定义问题，解题关键是理解好正交的定义，为对应位置两数乘积之和，由于每个位置均为1或－1，对应位置相同时乘积为1，不相同时乘积为－1，故可以用按对应位置相同的个数表示出，解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二中2024—2025学年度第六学段高一年级学段考试试卷 数学必修第二册 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题纸上） 1. 样本中共有五个个体，其值分别为，若该样本的平均值为1，则样本的方差为（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数的对应点是，的对应点是，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，给出下列命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则； ④若，，则与所成的角和与所成的角相等． 其中正确命题的序号是　　） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 4. 如图，已知正四棱锥的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，则当面积取得最小值时，OH与平面ABCD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 设A为平面上一点，过点A的直线AO在平面上的射影为AB，AC为平面内的一条直线，令，，，则这三个角存在一个余弦关系：(其中和只能是锐角)，称为最小张角定理.直线l与平面所成的角是，若直线l在内的射影与内的直线m所成角为，则直线l与直线m所成的角是（ ） A. B. C. D. 6. 在某校运会的跳高比赛中，小明准备挑战1米90的校运会记录.已知试跳共有三次机会，根据小明日常训练的数据，他每次试跳成功的概率为0.2，每次试跳的结果相互独立，则在本次比赛中，小明挑战成功的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.6 C. 0.384 D. 0.488 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形或直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 8. 设，是两个非零向量，则“”是“向量与向量的夹角为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ） ①某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为； ②三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为； ③甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为； ④设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是； A. ①③ B. ①④ C. ①②③ D. ①③④ 10. 某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如下检查项目： 项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等； 项目②：打开过程中（如图2），检查； 项目③：打开过程中（如图2），检查； 项目④：打开后（如图3），检查； 项目⑤：打开后（如图3），检查. 下列检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是（ ） A. ①②③ B. ③④⑤ C. ②③⑤ D. ②④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题纸上） 11. 下列数据的70%分位数为________． 20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22. 12. 从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是__________. 13. 若，则________. 14. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为______． 15. 如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是________. 16. 如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论： ①存在点，使； ②存在点，使； ③到直线和的距离相等的点有无数个； ④若，则四面体体积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题（本大题共70分，请将答案填在答题纸上） 17. 某地区在政府和有关部门的号召下，通过多样的科普宣传，充分调动了当地居民的运动热情．为了解当地居民每天的运动情况，从甲社区随机抽取了300人，从乙社区随机抽取了200人，对他们每天的运动时长（单位：）进行统计，将所得数据按照进行分组，得到样本数据的频率分布直方图如下． （1）若乙社区共有居民2万人，估计乙社区居民每天运动时长不少于60min的人数； （2）估计甲社区居民每天运动时长的中位数； （3）假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计甲社区抽取的300人每天运动时长的平均值为，乙社区抽取的200人每天运动时长的平均值为，以及甲、乙两个社区抽取的500人每天运动时长的平均值为，试比较和的大小． 18. 在中，角的对边分别为，若： （1）求的大小； （2）求的最大值. 19. 已知函数．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定． （1）求的解析式； （2）设，求函数在上的单调递增区间． 条件①：； 条件②：为偶函数； 条件③：的最大值为1； 条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为． 20. 在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，. （1）若点是线段上任意一点，且平面交棱于点，求证：； （2）①证明：； ②设侧面为等边三角形，求二面角的余弦值. 21. 已知集合，x、，其中．定义，若，则称x与y正交． （1）若，写出中与x正交的所有元素； （2）令，若，证明：为偶数； （3）若，且A中任意两个元素均正交，分别求出，14时，A中最多可以有多少个元素． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $