北京市第二中学2024-2025学年高一下学期第六学段（期末）学段考试数学试卷

北京二中2024—2025学年度第六学段高一年级学段考试试卷 数学必修第二册 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题纸上） 1. 样本中共有五个个体，其值分别为，若该样本的平均值为1，则样本的方差为（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数的对应点是，的对应点是，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，给出下列命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则； ④若，，则与所成的角和与所成的角相等． 其中正确命题的序号是　　） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 4. 如图，已知正四棱锥的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，则当面积取得最小值时，OH与平面ABCD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 设A为平面上一点，过点A的直线AO在平面上的射影为AB，AC为平面内的一条直线，令，，，则这三个角存在一个余弦关系：(其中和只能是锐角)，称为最小张角定理.直线l与平面所成的角是，若直线l在内的射影与内的直线m所成角为，则直线l与直线m所成的角是（ ） A. B. C. D. 6. 在某校运会的跳高比赛中，小明准备挑战1米90的校运会记录.已知试跳共有三次机会，根据小明日常训练的数据，他每次试跳成功的概率为0.2，每次试跳的结果相互独立，则在本次比赛中，小明挑战成功的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.6 C. 0.384 D. 0.488 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形或直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 8. 设，是两个非零向量，则“”是“向量与向量的夹角为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ） ①某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为； ②三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为； ③甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为； ④设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是； A. ①③ B. ①④ C. ①②③ D. ①③④ 10. 某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如下检查项目： 项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等； 项目②：打开过程中（如图2），检查； 项目③：打开过程中（如图2），检查； 项目④：打开后（如图3），检查； 项目⑤：打开后（如图3），检查. 下列检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是（ ） A. ①②③ B. ③④⑤ C. ②③⑤ D. ②④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题纸上） 11. 下列数据的70%分位数为________． 20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22. 12. 从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是__________. 13. 若，则________. 14. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为______． 15. 如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是________. 16. 如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论： ①存在点，使； ②存在点，使； ③到直线和的距离相等的点有无数个； ④若，则四面体体积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题（本大题共70分，请将答案填在答题纸上） 17. 某地区在政府和有关部门的号召下，通过多样的科普宣传，充分调动了当地居民的运动热情．为了解当地居民每天的运动情况，从甲社区随机抽取了300人，从乙社区随机抽取了200人，对他们每天的运动时长（单位：）进行统计，将所得数据按照进行分组，得到样本数据的频率分布直方图如下． （1）若乙社区共有居民2万人，估计乙社区居民每天运动时长不少于60min的人数； （2）估计甲社区居民每天运动时长的中位数； （3）假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计甲社区抽取的300人每天运动时长的平均值为，乙社区抽取的200人每天运动时长的平均值为，以及甲、乙两个社区抽取的500人每天运动时长的平均值为，试比较和的大小． 18. 在中，角的对边分别为，若： （1）求的大小； （2）求的最大值. 19. 已知函数．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定． （1）求的解析式； （2）设，求函数在上的单调递增区间． 条件①：； 条件②：为偶函数； 条件③：的最大值为1； 条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为． 20. 在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，. （1）若点是线段上任意一点，且平面交棱于点，求证：； （2）①证明：； ②设侧面为等边三角形，求二面角的余弦值. 21. 已知集合，x、，其中．定义，若，则称x与y正交． （1）若，写出中与x正交的所有元素； （2）令，若，证明：为偶数； （3）若，且A中任意两个元素均正交，分别求出，14时，A中最多可以有多少个元素． 北京二中2024—2025学年度第六学段高一年级学段考试试卷 数学必修第二册 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题纸上） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题纸上） 【11题答案】 【答案】28 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】##0.4 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】## 【16题答案】 【答案】①③④ 三、解答题（本大题共70分，请将答案填在答题纸上） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）； （2） 【20题答案】 【答案】（1）证明：因为底面为矩形，所以， 又平面,平面,所以. 平面，平面平面， 又因为，所以. （2）①证明：取的中点，连接, 因为，所以， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为底面为矩形，且，，的中点， 所以，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以； ② 【21题答案】 【答案】（1） （2） 证明：对于，存在，，使得． 令，， 当时，，当时，． 那么． 所以为偶数． （3）8个，2个 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $