湖南省娄底市部分普通高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

高一数学试题共 4页 第 一 页 2025 年上学期娄底市部分普通高中期末考试 高一数学 命题人：梁克鸿 审题人：刘兵 一：单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求，选对得 5 分，选错得 0            2|,0x|xC2|,20|A. BA,0|,02|A1   xDxxBxx xxBxx ， （）则、已知集合 2．已知 iziz 21,2 21  ，则复数 1 2 z z z  在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 2倍，母线长为 7，圆台的侧面积 为84π，则圆台较小底面的半径为（ ） A．8 B．7 C．5 D．4 4．已知函数  1,2 1),2( 2 )(   xx xxfxf 则 )2(f （ ） A． 2 B． 1 C．2 D．4 5.在 ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．已知 AbBa sincos3  ，则 B  （ ） A. π 6 B. π 3 C. 2π 3 D. 5π 6 6. 已知 3log 2a  ， 1ln 2 b  ， 1 2ec  ，则 a，b，c的大小关系为（ ） A. a b c  B. a c b  C. b a c  D. b c a  7．有一组数据按从小到大排序如下：70，71，73，75，76，则这组数据的 50% 分位数，70%分位数分别是（ ） A．71，74 B．73，74 C．73，75 D．72，75 8．在平行四边形 ABCD中， 1 5, ,5 6 BE BC DF DC M      是线段 EF的中点，则 AM   （ ） A． 1 3 2 5 AB AD   B． 1 2 2 3 AB AD   C． 11 212 3 AB AD   D． 11 312 5 AB AD   高一数学试题共 4页 第 二 页 二：多项选择题：本题共 3 小题，每小题满分 6 分，共 18 分． 在每小题给出 的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6分，部分选对的得部分分， 有选错的得 0分． 9．下列不等式恒成立的是（ ） A． 2 2 2 ,( , )a b ab a b  R B． 2 2 , ( 0, 0) 2 2 a b a b a b    C． )1(4 1 1    x x x D． , ( 0, 0)b m b a b m a m a       10．PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM2.5 日均值在 335 / mg 以下，空气质量为一级：PM2.5日均值在 335 ~ 75 / mg ，空气 质量为二级：PM2.5日均值超过 375 / mg 为超标.如图是某地 12月 1日至 10日 PM2.5的日均值（单位： 3/ mg ）变化的折线图，关于 PM2.5日均值说法正确的 是（ ） A．前 5天的日均值的极差小于后 5天的日均值的极差 B．这 10天的日均值的 80%分位数为 60 C．前 5天的日均值的方差小于后 5天的日均值的方差 D．这 10天的日均值的中位数为 41 11．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷 2次，记事件 iA “第一次向上的点数为 i ”  1,2,3,4,5,6i  ， jB  “第二次向上的点数为 j ”  1,2,3,4,5,6j  ，C  “两次向上 的点数之和为 7”，则（ ） A．   1 6i P A  B．  3 19P B C  C． 1 1AB 与 2 2A B 是互斥事件 D． 1A与C相互独立 高一数学试题共 4页 第 三 页 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知向量 )3,2(a ，  2 1b x x   ， ，若 / /a b  ，则 x的值 为 . 13．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷 2次，向上的点数分别记为 ,a b，则事件 “ 2ba ”的概率为 . 14．在四面体 ABCD中， , ,AB BC BD两两互相垂直，且 2,AB BC E  是 AC的中点， 异面直线 AD与 BE所成的角的余弦值为 10 10 ，则四面体的体积为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤． 15.（13分）涟源湄江风景区是一处集自然风光为主体，岩溶地质遗迹为特色的 国家级 AAAA级旅游景区，为更好地提升旅游品质，湄江风景区的工作人员随 机选择 100名游客对景区进行满意度评分（满分 100分），根据这 100名游客的 评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求 x的值；并估计这 100名游客对景区满意度评分的平 均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）； (2)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在 50, 60 、 60, 70 的两组 中共抽取 6人，再从这 6人中随机抽取 2人进行个别交流，求选取的 2人评分分 别在 50, 60 和 60, 70 内各 1人的概率． 16．（15分）在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c，已知 BcCba sin 3 3cos  （1）求 B； 高一数学试题共 4页 第 四 页 （2）若 ABC 为锐角三角形，且边 32c ，求 ABC 面积的取值范围. 17．（15分）如图，正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 1， （1）求证： 1 1//BC 平面 1A BC （2） 所成的角大小；与平面求： CDABA 11 （3） 的大小。求钝二面角 D-CA-B 1 18．（17 分）已知函数   2 3sin cos 3 cos 2 f x x x x   . (1)求函数  f x 的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数  f x 在 2π,12 3 π    上的最值； (3)若 π 2 4 3 f       ，求 4πcos 2 3      的值. 19．（17分）如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD是正方形， PAD△ 是正三角形， 平面 PAD 平面 ABCD，M是 PD的中点. (1)求证： //PB 平面 MAC； (2)求二面角M AC D  的余弦值； (3)在棱 PC上是否存在点Q使平面 BDQ 平面MAC成立？如果存在，求出 PQ QC 的 值；如果不存在，请说明理由. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2025 年上学期娄底市部分普通高中期末考试 高一数学（参考答案） 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A D C B C C D 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9 10 11 ABD AC ACD 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．2 13. 3 2 14． 3 8 15【答案】(1) 0.03x  ，平均数为84.0； (2) 815 . 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、抽样比、样本总量、各 层总数、总体容量的计算、补全频率分布直方图 【分析】（1）根据直方图中频率和为 1求出 x值；利用频率分布直方图求平均数的求法求解. （2）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【详解】（1）由频率分布直方图，得10(0.005 0.01 0.015 0.04) 1x     ，则 0.03x  ； 平均数为 55 0.05 65 0.10 75 0.15 85 0.3 95 0.4 84.0x            . （2）评分在[50,60),[60,70)的频率分别为0.05,0.1， 则在[50,60)中抽取 0.05 6 2 0.05 0.1    人，记为 ,a b；在[60,70)中抽取 4人，记为 , , ,C D E F， 从这 6人中随机抽取 2人，样本空间： { , , , , , , , , , , , , , , }ab aC aD aE aF bC bD bE bF CD CE CF DE DF EF  ，共有 15个结果， 设选取的 2人评分分别在[50,60)和[60,70)内各 1人为事件A， 2 / 7 则 { , , , , , , , }A aC aD aE aF bC bD bE bF ，共有 8个结果， 所以 8( ) 15 P A  . 16、解：（1） BcCba sin 3 3cos  ，即 可得 BcCbBcCb sin 3 3coscoscos  ， ∵ 3tan B 由0 B   ，可得 3 B  ； （2）方法一：因为 ABCV 是锐角三角形，又 3 B  ，所以 26 , 26   CA ， 则 1 sin 2ABC S ac B= =V C C C A c aB c ac sin ) 3 2sin( 33 sin sin3333sin 2 1 2    2 33 tan2 9 sin sin 2 1cos 2 3 33    CC CC 因为        ， 3 3tan), 2 , 6 ( CC  ，，则 )3,0( tan 1  C ， 从而 ），（ 36 2 33S ABC  。 3 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17．（15 分）如图，正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 1， （1）求证： 1 1 //BC 平面 1ABC （2） 所成的角大小；与平面求： CDABA 11 （3） 的大小。求钝二面角 D-CA-B 1 4 / 7 18．【解】（1）解：由函数    2 23 1 3sin cos 3 cos 2sin cos 2cos 1 2 2 2 f x x x x x x x       1 3 πsin 2 cos2 sin 2 2 2 3 x x x        ， 所以  f x 的最小正周期为 2π π 2 T   ， 令 π π 3π2 π 2 2 π, Z 2 3 2 k x k k      ，可得 Zkkxk  , 12 11 12 5  ， 所以  f x 的单调减区间为. )( 12 11, 12 5 Zkkk       5 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：由(1)知，函数的单调递增区间为 π 5ππ , π , Z 12 12 k k k      ， 因为 π 2π, 12 3 x      ，所以 ( )f x 在 π 5π, 12 12     上单调递增，在 5π 2π, 12 3      上单调递减， 且 π( ) 1 12 f    ， 5π( ) 1 12 f  ， 2π( ) 0 3 f  ，所以 min( ) 1f x   ， max( ) 1f x  . （3）解：由函数   πsin 2 3 f x x      ，可得 π π 2( ) sin(2 ) 4 6 3 f      ， 因为 π 4π 3π(2 ) (2 ) 6 3 2      ， 所以 4π π 3π π 2cos(2 ) cos[(2 ) ] sin(2 ) 3 6 2 6 3            . 19．（17 分）如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是正方形， PAD△ 是正三角形，平面 PAD 平 面 ABCD，M 是 PD 的中点. (1)求证： //PB 平面 MAC； (2)求二面角M AC D  的余弦值； (3)在棱 PC 上是否存在点 Q使平面BDQ 平面 MAC 成立？如果存在，求出 PQ QC 的值；如果不存 在，请说明理由. 【解】（1）设 AC， BD交于点O，连接OM ，则O为 BD中点. 在 PBD△ 中，O，M 分别为 BD， PD中点，所以 / /OM PB . 因为OM 平面MAC，PB 平面MAC， 6 / 7 所以 / /PB 平面MAC . （2）过点M 作ME AD ，垂足为 E，过点 E作EF AC ，垂足为 F，连接MF . 因为平面 PAD 平面 ABCD，平面PAD平面 ABCD AD ， 所以ME 平面 ABCD . 因为 AC 平面 ABCD，所以ME AC . 又EF AC ，ME EF E  ，ME， EF 平面MEF . 所以 AC 平面MEF . 因为MF 平面MEF ，所以 AC MF ， 则 MFE 即为平面MAC与底面 ABCD所成二面角的平面角. 设 2AB  ，则 3 2 4 EF  ， 3 2 ME  ，故 2 2 3 2 3 30 4 2 4 MF                  ， 所以 15cos 5 EFMFE MF    ， 即二面角M AC D  的余弦值为 15 5 . （3）存在点Q，当 1 2 PQ QC  时，平面BDQ 平面MAC . 证明如下： 如图，取 AD中点N，连接CN交 BD于点G，连接GQ， 因为 PAD△ 是正三角形，所以PN AD^ . 因为平面 PAD 平面 ABCD，平面PAD平面 ABCD AD ， 所以PN ^ 平面 ABCD . 因为 1 2 GN ND PQ CG BC QC    ，所以QG PN∥ ，所以QG 平面 ABCD . 因为 AC 平面 ABCD，所以QG AC . 因为底面 ABCD是正方形，所以 AC BD . 又QG BD G ，QG， BD 平面 BDQ，所以 AC 平面 BDQ， 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 又 AC 平面MAC，所以平面 BDQ 平面MAC， 所以棱 PC上点存在点Q，当 1 2 PQ QC  时，平面 BDQ 平面 AMC .