专题18：平面向量的数量积及平面向量的应用 （4大考点+13大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题18 平面向量的数量积及应用 知识点一、平面向量的投影和数量投影 1、定义：如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 2、计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe. 注：叫做向量在方向上的数量投影，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． 知识点二、平面向量的数量积 1、平面向量数量积的定义：已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积）， 记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0． 　　　　　　　　　　　　　　　 2、数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 3、数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 4、数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 (当且仅当时等号成立) 5、数量积的有关结论 (1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (3)a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0. 6、向量数量积的易错点 （1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且. （2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有. 当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但. （3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项. （4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当且（或，且 知识点三、向量数量积的五种常用方法 (1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)． (2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解． (3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解． (4)投影法：在方向上的投影： 使用条件：已知向量的一个模，未知的向量在已知向量上做投影 （5）极化恒等式： 在中，为中点，则有 知识点四、平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： 1、形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； 2、数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 考点一、平面向量的投影向量 题型01：平面向量的投影与数量投影 【例1】（2025复旦附中高三模拟）已知向量，，且，则在方向上的投影向量为__________。 【分析】根据向量的线性运算可得，可求得，即可利用投影向量得出答案. 【详解】∵，，且， ∵， ∴，， ∴在方向上的投影向量为， 【例2】（2024上师大附中高三阶段练习）已知向量，的夹角为，且，，则在方向上的数量投影为（   ） A．2 B．4 C．-2 D．-4 【答案】C 【分析】根据投影公式和平面向量的数量积，直接计算即可得解. 【详解】. 故选：C. 【跟踪训练】 1．（2024·上海长宁·一模）已知向量，则向量在方向上的投影的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用向量的数量积运算以及投影坐标的概念求解． 【详解】由题得，所以， 与向量的同向单位向量为， 所以向量在向量方向上的投影的坐标为． 故答案为：． 2.（2025上海浦东新区高三模拟）已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量与投影数量分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用向量投影数量的概念可求得在方向上的投影数量，设在方向上的投影向量为，根据向量数量积的几何意义可得出，求出实数的值，即可得出结论. 【详解】设在方向上的投影向量为，则， 故，故在方向上的投影向量为， 在方向上的投影数量为. 故选：D. 3．（2021·上海市嘉定区第二中学高三阶段练习）已知，与的夹角为60°，则在上的投影为_________. 【答案】 【分析】根向量的投影即可求解. 【解析】解：由题意得投影为：， 故答案为： 4．（2025嘉定区高三三模）如果平面向量，，则向量在上的投影向量为_____ . 【答案】 【分析】由已知可求得，，进而得出，然后根据即可得出答案. 【详解】由已知可得，，， 所以，， 所以，向量在上的投影向量为. 故答案为：. 5．（2025·上海青浦·模拟预测）向量在向量方向上的数量投影是 . 【答案】118 【分析】根据题意，由数量投影的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 向量在向量方向上的数量投影公式为. 故答案为： 6．（2023•嘉定区校级三模）已知与垂直，，且与的夹角是钝角，则在方向上的投影为 　　． 【分析】由题中条件求出的坐标，再由投影向量的概念即可求出． 【解答】解：设，则由题可得：，解得或， ∵与的夹角是钝角，∴cos＝，∴x＜0， ∴，∴在方向上的投影为＝＝（﹣4，0）． 故答案为：（﹣4，0）． 【点评】本题考查向量的坐标运算、夹角、模及投影向量，还考查了计算能力，属于中档题． 考点二、平面向量数量积 题型02：求平面向量的数量积 【名师点拨】定义法、基底法、坐标法、投影法、极化恒等式法 【例3】（2025闵行区三模）已知菱形的边长为2，且，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据向量的数量积公式及运算律，结合菱形图形特征，计算求解可得. 【详解】由条件可知，所以， 在中，由余弦定理，可得， ，菱形的对角线互相垂直，则向量与向量的夹角为， 则. 故选：D. 【例4】（2023上海高三专题练习）如图所示，边长为2的正三角形ABC中，，，则（    ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由，，用表示，然后利用数量积的运算律和定义求解. 【详解】解：因为，， 所以， ， ， 所以， ， ， 故选：D 【例5】（2025黄浦区高三三模）在边长为3的正方形ABCD中，点E满足，则（     ） A．3 B． C． D．4 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，写出相关点的坐标，得到，，利用数量积的坐标运算计算即可. 【详解】以B为原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴，建立如图所示直角坐标系， 由题意得， 所以，， 所以. 故选：A. 【例6】（2025松江区高三三模）在四边形ABCD中，，作于点H．若，则（    ） A． B．10 C． D．12 【答案】D 【分析】设AC与BD交于点O，由已知可得，则，且即可求结果. 【详解】设AC与BD交于点O，因为，所以． 又于点H，且， 所以， 所以． 故选：D 【例7】（2025嘉定区高三一模）已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用极化恒等式求解即可. 【详解】 取OC中点D，由极化恒等式得 又，∴的最小值为． 故选:C. 【跟踪训练】 1．（2024·上海宝山·二模）已知向量，，若，则实数 . 【答案】 【知识点】利用数量积求参数、数量积的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用数量积的坐标表示计算得解. 【详解】由，，，得， 所以. 故答案为：2 2．（2025上海高三课时练习）在△ABC中，已知，，，D是边AB的中点，点E满足，则（    ） A． B．－1 C． D． 【答案】C 【分析】运用平面向量基本定理用基底、表示、，结合向量数量积运算即可求得结果. 【详解】∵D为AB的中点， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴如图所示， ∴， ∴ . 故选：C. 3．（2025上海高三课时练习）等腰直角三角形ABC的直角顶点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，点C在第一象限，且O为坐标原点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的坐标表示计算数量积即可. 【详解】如图所示，由题意易得，故可得，所以， 故选：B 4．（2025上海高三课时练习）如图，在平面四边形中，，，，.若为线段中点，则______；若为线段（含端点）上的动点，则的最小值为______.    【答案】 /5.25 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，结合平面向量的数量积公式和二次函数的性质即可求出. 【详解】因为，，所以为等边三角形， 因为，，所以在和中，，， 则，得，， 因为在中，，则，得，又，所以， 以为原点，以 所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， ，，，，，， 则； 设，，， 则， 因为，所以时，的最小值为. 故答案为：；.    题型03：平面向量的数量积的最值问题 【例8】（2022·上海·高三专题练习）在中，，是的中点，若，在线段上运动，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】先判断是等腰直角三角形，，以所在的直线为轴，以的中点为坐标原点建立直角坐标系，写出点的坐标，设且，求出和的坐标，计算再求最值即可. 【解析】 在中，，，所以，， 是等腰直角三角形，， 如图以所在的直线为轴，以的中点为坐标原点建立直角坐标系， 则，设 则 ， 所以 ， 所以时，取得最小值为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是判断是等腰直角三角形，易于建坐标系，设出动点坐标且，求出定点坐标，即可用坐标表示数量积，再计算最值. 【例9】（2025·上海杨浦·二模）已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，根据数量积的运算律得到，设，， ，再由数量积的坐标表示及两角差的正弦公式计算可得. 【详解】因为、、是单位圆上的三个点，如图建立平面直角坐标系， 因为，即，所以， 所以，即， 不妨设，，设，所以，， 所以， 所以当，即时取得最大值，且. 故选：D    【例10】（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、满足：，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据条件推理得到在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于，，故可以作出图形，设出，将所求转化成关于的函数形式，利用基本不等式即可求得. 【详解】因，由可得， 即在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于， 又由可得，不妨设， 则，，于是， 因，则，因，当且仅当时，等号成立， 即当时，取得最小值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于运用向量数量积的定义和投影向量的数量理解的相互关系,设出夹角，将所求化成关于的函数形式. 【跟踪训练】 1．（2024·上海崇明·二模）已知A、B、C是半径为1的圆上的三个不同的点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由正弦定理可得，然后分与讨论，再由平面向量数量积的定义展开，结合三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由正弦定理可得，所以， 所以，且，则或， 则或， 当时，， 所以 ，，则， 当时，即时，取得最小值； 当时，， 所以 ，，则， 则无最值； 综上所述，的最小值是 故答案为： 2．（2023·全国·高三专题练习）在中，，．设，且（），则当取最小值时，______． 【答案】7 【分析】根据条件建立合适的直角坐标系，根据向量的坐标表示计算数量积，转化为函数最值求参数即可. 【详解】由已知得点D是AC的中点．设，则由知． 以为原点，分别以CB，CA所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系， 如图，则，，，， 所以直线BD的方程为． 易知点在直线BD上运动．设，则，，， 所以， 所以． 故当时，取得最小值． 此时，则，． 由，得． 故答案为：7 3.（2023·全国·高三专题练习）如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由向量的运算得出，再由的范围得出的取值范围. 【详解】 ，且. 即 设与的夹角为，则. 因为，所以. 故答案为： 考点三 平面向量数量积的应用 题型04：求向量的模 【例11】（2025上海高三课时练习）已知向量的夹角为，，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】根据向量的数量积的定义及运算性质求解. 【详解】因为向量的夹角为，， 所以， 所以． 故选：C 【例12】（2025上海高三课时练习）已知向量，夹角为，且，，则（    ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】将方程两边平方，然后结合数量积的定义可算出答案. 【详解】因为向量，夹角为，且，， 所以，解得， 故选：D 【例13】（2025上海高三课时练习）若向量，满足，，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由数量积运算和运算律求解即可. 【详解】，，，， ，，，． 故选：B． 【跟踪训练】 1．（2025·上海崇明·二模）已知，则 ． 【答案】 【分析】写出坐标，由坐标得到. 【详解】，∴. 故答案为： 2．（2023•徐汇区校级模拟）已知平面向量、、，对任意实数t，都有|﹣t|≥|﹣|、|﹣t|≥|﹣|成立，若||＝3，||＝2，|﹣|＝，则||＝　　． 【分析】设＝，＝，＝，即可证明即⊥，⊥，则OABC四点在以OB为直径的圆上，利用余弦定理与正弦定理可得结果． 【解答】解：设＝，＝，＝， 则t＝t，t＝t， 则A′，C′分别在OA，OC所在的直线上， 所以﹣t＝﹣＝， ﹣＝﹣＝， 因而|﹣t|≥|﹣|， 所以||≥||， 因为垂线段距离最短， 所以||即为点B到OA的垂线段长度， 即OA⊥AB，同理⊥， 所以OABC四点在以OB为直径的圆上， 而||＝||＝3，||＝||＝2，|﹣|＝||＝， 所以cos∠COA＝＝， 即∠COA＝60°，sin∠COA＝， 由正弦定理可得三角形OAC外接圆的直径2R＝＝， 即四边形OABC外接圆的直径为， 所以||＝||＝2R＝． 故答案为：． 【点评】本题考查向量的几何意义，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 3.（2023•宝山区二模）已知非零平面向量不平行，且满足，记，则当与的夹角最大时，的值为 　　． 【分析】先建系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量，进而通过运算求得的值． 【解答】解：由非零平面向量不共线，且满足，建立如图所示的平面直角坐标系： 则A（2，0），B（2，b），b＞0， 则，由，则，则直线OB，OC的斜率分别为， 由两直线的夹角公式可得： ， 当且仅当，即b＝4时取等号，此时B（2，4），则， 所以． 故答案为：4． 【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用，考查转化与化归思想，在使用基本不等式时，注意等号成立的条件． 题型05：求模的最值与范围 【例14】（2023•杨浦区二模）已知非零平面向量、、满足，，且，则的最小值是 　　． 【分析】由向量的运算，数量积与模长的关系，利用三角函数的性质求最值即可． 【解答】解：如图，则， 已知，即，所以CD⊥CB， 取BD的中点O，则有， 而，根据三角形的三边关系可知OA+OC≥AC， 则，所以，当A，O，C三点共线时取等号， 记向量的夹角为θ，则， 同理， 由，可得， 则， 当cosθ＝0，即时取等号， 所以，即的最小值是， 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量的综合运用，关键点在于利用三角形的三边关系得到不等式，进而利用数量积求模长． 【例15】（2023•长宁区二模）已知空间向量、、、满足：，，，，则的最大值为 　　． 【分析】根据题意可得出，先看的情况：可得出＝＝0，进行数量积的运算即可得出，然后配方即可求出的最大值，同样的方法可得出在时的最大值，最后即可得出的最大值． 【解答】解：根据题意，，且，，且设与的夹角为θ， ①时， ＝ ＝ ＝ ＝ ＝0， ∴，当cosθ＝±1时取等号， ∴cosθ＝﹣1时，取最大值3； ②时， ＝ ＝ ＝ ＝0， ∴，当cosθ＝±1时取等号， ∴cosθ＝1时，取最大值2， 综上得，的最大值为3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了共线向量基本定理，向量数乘和数量积的运算，配方法的应用，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于难题． 【例16】（2025上海高三课时练习）若单位向量满足，向量满足，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出，由得到C在以为直径的圆上，表达出，设，利用辅助角公式得到的最值. 【详解】令， 不妨，所以中点坐标为， 因为，所以C在以为直径的圆上，即， 所以， 令， 则 ， 因为，所以， 所以. 故选：C. 【跟踪训练】 1．（2021·上海市吴淞中学高三阶段练习）已知且，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】取OB中点D，连接AD，可得，根据题意，可得C、A、D三点共线，在中，求得AD长，结合图象，可得当时，有最小值，根据等面积法，即可得答案. 【解析】取OB中点D，连接AD，如图所示 所以，即， 因为， 所以C、A、D三点共线， 在中，，， 所以， 所以， 由图可得，当时，有最小值， 此时， 所以，即的最小值为. 故答案为： 2．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量、满足，，设，则________. 【答案】 【分析】根据条件求解出、的值，根据， 利用向量的三角不等式形式：，求解出的范围. 【解析】因为且，所以； 又因为，所以； 由，所以； 根据可知：， 左端取等号时：三点共线且在线段外且靠近点；右端取等号时，三点共线且在线段外且靠近点， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查向量的三角不等式的运用，难度较难.向量的三角不等式形式：已知向量，则，取左端等号时与反向，取右端等号时与同向. 3．（2024·上海虹口·二模）已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为 . 【答案】/ 【知识点】求平面轨迹方程、定点到圆上点的最值（范围）、向量模的坐标表示 【分析】设，先求出，以点为原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，根据求出点的轨迹，进而可得出答案. 【详解】如图，设， 因为， 所以，故， 如图，以点为原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，设， 由，得， 所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 表示两点间的距离， 所以的最大值为. 故答案为：. 4．（2023•黄浦区二模）如图．在直角梯形ABCD中．AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝1，点P是腰AB上的动点，则|2|的最小值为 　． 【分析】建立平面直角坐标系，设AB＝a，求得相关点坐标，求出2+的表达式，结合二次函数的性质即可求得答案． 【解答】解：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝1， 则∠DAB＝90°，则以A为原点，AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系， 设AB＝a，设P（x，0），则B（a，0），C（a，1），D（0，2）， 故＝（a﹣x，1），＝（﹣x，2）， 所以2+＝（2a﹣3x，4），故|2+|＝≥4， 当且仅当2a﹣3x＝0即x＝a时取得等号， 即|2|的最小值为4， 故答案为：4． 【点评】本题考查向量的坐标运算，属于基础题． 题型06：已知模求参数 【例17】（2025上海高三课时练习）非零向量满足且与夹角为，则“”是“”的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由题意，若，根据向量的数量积和模的计算公式，可得，得到，；反之也可求得，即可得到答案. 【详解】由题意，非零向量满足且与夹角为， 若，即， 解得，又因为，可得，即充分性是成立的； 若，由，可得，即必要性是成立的， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记向量的数量积的运算，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 【跟踪训练】 1．（2025上海高三课时练习）已知向量，，若，则________． 【答案】 【分析】根据向量模的展开计算，得出，从而进一步利用向量的线性计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 解得， 故答案为：. 2．（2025上海高三课时练习）已知平面向量， 和单位向量， 满足， ， ， 当变化时， 的最小值为， 则的最大值为__________. 【答案】 【分析】不妨设 ， ，则由题知，由已知条件得，，将用坐标表示，并求模，代入及，整理得，构造函数，求出最小值， 表示出的解析式，用均值不等式求其最大值即可. 【解析】不妨设 ， ，则由题知 又 ，所以 整理得① ，所以 又 ， 所以 而 将①代入整理得： 令 ， ，有最小值， 又 ，当且仅当时等号成立 所以 ，当时有最大值 . 故答案为： . 题型07：求平面向量的夹角 【例18】（2025上海高三课时练习）已知，则与夹角的余弦值为__________. 【答案】## 【分析】根据平面向量的坐标运算，先求出的坐标和模长，然后利用平面向量数量积公式即可求解. 【解析】因为，所以，则， 又因为，， 由平面向量的数量积公式可知：， 所以与夹角的余弦值为， 故答案为：. 【例19】（2025·上海徐汇·二模）已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为 . 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用数量积即可求解. 【详解】以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设， 则有，由有，所以， 所以，所以， 即，所以， 故答案为：. 【跟踪训练】 1．（2024·上海杨浦·一模）已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】设向量与的夹角为，根据向量垂直运算可得答案. 【详解】设向量与的夹角为， 若，则， 所以， 可得. 故答案为：. 2．（2023•长宁区校级三模）已知，，是同一个平面上的向量，若，且，则＝　　． 【分析】根据题意画出图形，结合图形表示出•＝2，•＝1，由此得出cos＜，＞＝2cos＜，＞，再根据+＜，＞＝求出tan＜，＞的值，即可得出结论． 【解答】解：因为平面向量，且•＝0， 所以⊥，如图所示： 又因为•＝2，•＝1， 所以||||coa＜，＞＝2，||||cos＜，＞＝1， 所以cos＜，＞＝2cos＜，＞， 又因为+＜，＞＝，所以cos＜，＞＝2sin＜，＞， 所以tan＜，＞＝， 又因为＜，＞是锐角，所以＜，＞＝arctan． 故答案为：arctan． 【点评】本题考查了平面向量的数量积应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是中档题． 3．（2022·上海·高三专题练习）已知中，，，，，，，则与的夹角为________． 【答案】 【分析】由已知可得与的夹角为，且为钝角，由面积公式，求出，即可得出结论. 【解析】中，，，， 所以与的夹角为，且为钝角， ， 为钝角，， 即与的夹角为. 故答案为：. 【点睛】本题考查向量夹角以及三角形的面积，注意夹角的范围与向量数量积的关系，考查计算求解能力，属于基础题. 题型08：已知平面向量夹角求参数 【例20】（2025上海高三阶段练习）已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【分析】由，求得，再设，求得，进而得到的取值范围. 【详解】因为向量，， 由，可得，解得， 设，可得，即，解得，此时向量与共线， 所以当与的夹角是锐角时，则满足或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）已知，且的夹角为钝角，则实数的范围_______ 【答案】 【分析】由题意得出且与不共线，利用向量的坐标运算可求出实数的取值范围. 【详解】由于与的夹角为钝角，则且与不共线， ，，，解得且， 因此，实数的取值范围是且， 故答案为：且. 【方法点睛】本题考查利用向量的夹角求参数，解题时要找到其转化条件，设两个非零向量与的夹角为，为锐角，为钝角. 题型09：两向量垂直问题 【例21】（2023·全国·高三专题练习）设平面向量均为单位向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用定义法进行判断即可. 【详解】充分性：因为向量均为单位向量，且“”， 所以，即，即 所以，所以.即充分性满足； 必要性：因为，所以. 而， 所以， 所以.即必要性满足. 故选：C 【例22】（2025上海高三阶段练习）平面内三个单位向量，，，满足，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由，可得，后结合与可得答案. 【详解】由得，所以， 即.因为，所以，又将代入，整理得，解得. 故选：D． 【跟踪训练】 1．（（2024·上海崇明·二模）已）已知向量，若，则 . 【答案】 【分析】由空间向量数量积垂直的坐标表示列出方程即可求解. 【详解】已知向量，若，则，解得. 故答案为：. 2．（2025·上海嘉定·二模）已知向量，若，则 ． 【答案】8 【分析】由向量垂直的坐标表示，列方程求参数值. 【详解】由题设. 故答案为：8 考点五 平面向量的应用 题型10：在平面几何中的应用 【例23】（2025上海高三阶段练习）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（    ） A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心 【答案】A 【分析】设中点为，进而结合向量加法法则与共线定理得三点共线，在的中线，进而得为的重心，根据题意得点为的外接圆圆心，进而可得答案. 【详解】解：设中点为，因为， 所以，即， 因为有公共点， 所以，三点共线，即在的中线， 同理可得在的三条中线上，即为的重心； 因为， 所以，点为的外接圆圆心，即为的外心 综上，点依次是的重心，外心. 故选：A 【例24】（2025上海高三阶段练习）已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（    ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 【答案】C 【分析】结合向量数量积的运算求得正确答案. 【详解】由题意知，中，， 则， 即， 所以， 即， 同理，，； 所以是的垂心. 故选：C 【跟踪训练】 1．（2025上海高三阶段练习）已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】D 【分析】计算的值，可得出结论. 【详解】因为， ， ，因此，点的轨迹经过的垂心， 故选：D. 2．（2024·上海青浦·一模）已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由等价于在上的投影，故可结合投影性质，得到当与反向共线时，在上的投影取最小，当与同向共线时，在上的投影取最大，再结合的范围，即可得到相应投影的最小、最大值，即可得解. 【详解】等价于在上的投影， 如图1，在单位圆圆上任取两点、， 则对任意的，当与反向共线时，在上的投影取最小， 作于点，设，取中点，有， 则，，则， 由，故； 如图2，在单位圆圆上任取两点、， 则对任意的，当与同向共线时，在上的投影取最大， 作于点，设，取中点，有， 则，，则， 由，故； 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于得到表示在上的投影，从而数形结合，借助投影性质解题. 题型11：在解析几何中的应用 【例25】（24-25高三上·上海松江·期末）已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用向量运算将转化为，通过求的取值范围来求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为. 因为 ． 又因为椭圆的，为椭圆的右焦点， 设，， ， ， 所以，， ∴． 故答案为： 【例26】（2020·上海·高三专题练习）已知椭圆，长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且，，则椭圆的焦距为________. 【答案】 【分析】首先根据已知条件，容易得出为等腰直角三角形，从而得到点坐标，代入椭圆标准方程，根据解出，再求和焦距即可. 【解析】如图所示： 因为，所以. 又因为，所以. 即为等腰直角三角形. 因为，所以. 又因为在椭圆上，所以. 因为，解得. 所以，焦距为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的基本计算，同时考查了平面向量减法的几何意义，属于中档题. 题型12：在三角函数中的应用 【例27】（2024·上海静安·一模）已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示和向量模的坐标运算即可； （2）根据（1）中结果代入计算得，再根据二次函数性质即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 由于 则 ， 因为，所以. （2）， 因为，则，则当，即时，该函数取得最小值. 【例28】（2024·上海虹口·一模）设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的最小正周期求出，即可得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，即可求出，由数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最小值. 【详解】（1）因为且函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 则， 由，则， 所以当，即时取得最大值. （2）当时，，则， 因为，所以，则，解得； 因为，所以， 由余弦定理， 所以，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 题型13：平面向量与数列综合 【例29】（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量满足：，且，则的最大值是（    ） A．9 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】设，且，构造图形如图所示，根据数量积的运算化简可得结果. 【解析】设，且，如图所示： 则，且等号可以取到. 故选：C. 【点睛】本题考查几何法解决向量的运算，考查数量积的运算，考查数形结合的能力，属于难题. 【例30】（2018·上海·一模）已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量，满足，若在同一直线上，则___________. 【答案】； 【分析】由平面内三个不共线的向量且在同一直线上，可知，则数列为周期数列，.求解即可. 【解析】平面内三个不共线的向量且在同一直线上 ，即① 用替换上式中所有的，得② ①②两式相加，得，即 则，用替换中所有的，整理得 用替换中所有的，得，即 则数列是周期为6的周期数列. 故答案为： 【点睛】本题考查求周期数列的前项和.属于较难的一道题. 【例31】（2021·上海市建平中学高三阶段练习）若是所在的平面内的点，且.给出四个命题：①；②的最小值一定是；③点、一定在一条直线上；④、在向量方向上的投影一定相等.其中正确的个数是___________. 【答案】2 【分析】根据向量运算得到在边的高所在的直线上，③④正确，再判断①②错误，得到答案. 【解析】，则，即， 故在边的高所在的直线上，故③④正确； 不一定为，①错误； 设高与交于点，故的最小值为最靠近的点对应的，②错误. 故答案为：2. 1. （2025上海秋季高考）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 2.（2025上海春季高考） 10．（2024上海春考）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD为平行四边形，AA1＝3，BD＝4且，求异面直线AA1与BD的夹角 　　． 【分析】由题将转化为＝5即可求解． 【解答】解：如图， 因为，又， ∴， 化简得＝5， ∴＝5， ∴． 异面直线AA1与BD的夹角为arccos． 【点评】本题考查向量法求立体几何中的线线角，属于中档题． 3．【2023年上海市高考数学第2题】已知向量（﹣2，3），（1，2），则•　　　　． 【答案】4． 【解答】解：∵向量（﹣2，3），（1，2）， ∴•2×1+3×2＝4． 故答案为：4． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 5．【2022年上海市高考数学第11题】若平面向量||＝||＝||＝λ，且满足•0，•2，•1，则λ＝　　　　． 【答案】 【解答】解：由题意，有•0，则，设θ， ⇒ 则得，tanθ， 由同角三角函数的基本关系得：cosθ， 则||||cosθ2， λ2， 则． 故答案为：． 6．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵， 又∵ ∴9， ∴ 故选：C. 7．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D 8．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系. 【详解】 如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时， ∴不是的充分条件， 当时，，∴,∴成立， ∴是的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件    故选：B. 9．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，，， ． 【答案】 【分析】由已知可得，展开化简后可得结果. 【详解】由已知可得， 因此，. 故答案为：. 10．【2021年上海市高考数学第4题】如图正方形ABCD的边长为3，求•　　　　． 【答案】9 【解答】解：由数量积的定义，可得， 因为，所以 9． 故答案为：9． 11．【2020年上海市高考数学第12题】已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且||∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是　　　　． 【答案】6 【解答】解：如图，设，， 由||＝1，且||∈{1，2}， 分别以A1，A2为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个． 故满足条件的k的最大值为6． 故答案为：6． 12．【2019年上海市高考数学第3题】已知向量（1，0，2），（2，1，0），则与的夹角为　　　　． 【答案】． 【解答】解：向量（1，0，2），（2，1，0）， 则，， 所以：cos， 故：与的夹角为． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题18 平面向量的数量积及应用 知识点一、平面向量的投影和数量投影 1、定义：如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 2、计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe. 注：叫做向量在方向上的数量投影，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． 知识点二、平面向量的数量积 1、平面向量数量积的定义：已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积）， 记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0． 　　　　　　　　　　　　　　　 2、数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 3、数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 4、数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 (当且仅当时等号成立) 5、数量积的有关结论 (1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (3)a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0. 6、向量数量积的易错点 （1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且. （2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有. 当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但. （3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项. （4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当且（或，且 知识点三、向量数量积的五种常用方法 (1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)． (2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解． (3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解． (4)投影法：在方向上的投影： 使用条件：已知向量的一个模，未知的向量在已知向量上做投影 （5）极化恒等式： 在中，为中点，则有 知识点四、平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： 1、形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； 2、数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 考点一、平面向量的投影向量 题型01：平面向量的投影与数量投影 【例1】（2025复旦附中高三模拟）已知向量，，且，则在方向上的投影向量为__________。 【例2】（2024上师大附中高三阶段练习）已知向量，的夹角为，且，，则在方向上的数量投影为（   ） A．2 B．4 C．-2 D．-4 【跟踪训练】 1．（2024·上海长宁·一模）已知向量，则向量在方向上的投影的坐标是 ． 2.（2025上海浦东新区高三模拟）已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量与投影数量分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2021·上海市嘉定区第二中学高三阶段练习）已知，与的夹角为60°，则在上的投影为_________. 4．（2025嘉定区高三三模）如果平面向量，，则向量在上的投影向量为_____ . 5．（2025·上海青浦·模拟预测）向量在向量方向上的数量投影是 . 6．（2023•嘉定区校级三模）已知与垂直，，且与的夹角是钝角，则在方向上的投影为 　　． 考点二、平面向量数量积 题型02：求平面向量的数量积 【名师点拨】定义法、基底法、坐标法、投影法、极化恒等式法 【例3】（2025闵行区三模）已知菱形的边长为2，且，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【例4】（2023上海高三专题练习）如图所示，边长为2的正三角形ABC中，，，则（    ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 【例5】（2025黄浦区高三三模）在边长为3的正方形ABCD中，点E满足，则（     ） A．3 B． C． D．4 【例6】（2025松江区高三三模）在四边形ABCD中，，作于点H．若，则（    ） A． B．10 C． D．12 【例7】（2025嘉定区高三一模）已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)的最小值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2024·上海宝山·二模）已知向量，，若，则实数 . 2．（2025上海高三课时练习）在△ABC中，已知，，，D是边AB的中点，点E满足，则（    ） A． B．－1 C． D． 3．（2025上海高三课时练习）等腰直角三角形ABC的直角顶点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，点C在第一象限，且O为坐标原点，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025上海高三课时练习）如图，在平面四边形中，，，，.若为线段中点，则______；若为线段（含端点）上的动点，则的最小值为______.    题型03：平面向量的数量积的最值问题 【例8】（2022·上海·高三专题练习）在中，，是的中点，若，在线段上运动，则的最小值为____________． 【例9】（2025·上海杨浦·二模）已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（    ）. A． B． C． D．    【例10】（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、满足：，，则的最小值为 ． 【跟踪训练】 1．（2024·上海崇明·二模）已知A、B、C是半径为1的圆上的三个不同的点，且，则的最小值是 ． 2．（2023·全国·高三专题练习）在中，，．设，且（），则当取最小值时，______． 3.（2023·全国·高三专题练习）如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是__________. 考点三 平面向量数量积的应用 题型04：求向量的模 【例11】（2025上海高三课时练习）已知向量的夹角为，，则（    ） A． B． C． D．7 【例12】（2025上海高三课时练习）已知向量，夹角为，且，，则（    ） A．3 B． C．4 D．5 【例13】（2025上海高三课时练习）若向量，满足，，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【跟踪训练】 1．（2025·上海崇明·二模）已知，则 ． 2．（2023•徐汇区校级模拟）已知平面向量、、，对任意实数t，都有|﹣t|≥|﹣|、|﹣t|≥|﹣|成立，若||＝3，||＝2，|﹣|＝，则||＝　　． 3.（2023•宝山区二模）已知非零平面向量不平行，且满足，记，则当与的夹角最大时，的值为 　　． 题型05：求模的最值与范围 【例14】（2023•杨浦区二模）已知非零平面向量、、满足，，且，则的最小值是 　　． 【例15】（2023•长宁区二模）已知空间向量、、、满足：，，，，则的最大值为 　　． 【例16】（2025上海高三课时练习）若单位向量满足，向量满足，则（    ）. A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2021·上海市吴淞中学高三阶段练习）已知且，则的最小值为_________. 2．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量、满足，，设，则________. 3．（2024·上海虹口·二模）已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为 . 4．（2023•黄浦区二模）如图．在直角梯形ABCD中．AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝1，点P是腰AB上的动点，则|2|的最小值为 　． 题型06：已知模求参数 【例17】（2025上海高三课时练习）非零向量满足且与夹角为，则“”是“”的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练】 1．（2025上海高三课时练习）已知向量，，若，则________． 2．（2025上海高三课时练习）已知平面向量， 和单位向量， 满足， ， ， 当变化时， 的最小值为， 则的最大值为__________. 题型07：求平面向量的夹角 【例18】（2025上海高三课时练习）已知，则与夹角的余弦值为__________. 【例19】（2025·上海徐汇·二模）已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为 . 【跟踪训练】 1．（2024·上海杨浦·一模）已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 . 2．（2023•长宁区校级三模）已知，，是同一个平面上的向量，若，且，则＝　　． 3．（2022·上海·高三专题练习）已知中，，，，，，，则与的夹角为________． 题型08：已知平面向量夹角求参数 【例20】（2025上海高三阶段练习）已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是______． 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）已知，且的夹角为钝角，则实数的范围_______ 题型09：两向量垂直问题 【例21】（2023·全国·高三专题练习）设平面向量均为单位向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例22】（2025上海高三阶段练习）平面内三个单位向量，，，满足，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【跟踪训练】 1．（（2024·上海崇明·二模）已）已知向量，若，则 . 2．（2025·上海嘉定·二模）已知向量，若，则 ． 考点四 平面向量的应用 题型10：在平面几何中的应用 【例23】（2025上海高三阶段练习）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（    ） A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心 【例24】（2025上海高三阶段练习）已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（    ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 【跟踪训练】 1．（2025上海高三阶段练习）已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 2．（2024·上海青浦·一模）已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是 . 题型11：在解析几何中的应用 【例25】（24-25高三上·上海松江·期末）已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 ． 【例26】（2020·上海·高三专题练习）已知椭圆，长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且，，则椭圆的焦距为________. 题型12：在三角函数中的应用 【例27】（2024·上海静安·一模）已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 【例28】（2024·上海虹口·一模）设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 题型13：平面向量与数列综合 【例29】（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量满足：，且，则的最大值是（    ） A．9 B．10 C．12 D．14 【例30】（2018·上海·一模）已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量，满足，若在同一直线上，则___________. 【例31】（2021·上海市建平中学高三阶段练习）若是所在的平面内的点，且.给出四个命题：①；②的最小值一定是；③点、一定在一条直线上；④、在向量方向上的投影一定相等.其中正确的个数是___________. 1. （2025上海秋季高考）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 2.（2025上海春季高考） 3．（2024上海春考）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD为平行四边形，AA1＝3，BD＝4且，求异面直线AA1与BD的夹角 　　． 4．【2023年上海市高考数学第2题】已知向量（﹣2，3），（1，2），则•　　　　． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．【2022年上海市高考数学第11题】若平面向量||＝||＝||＝λ，且满足•0，•2，•1，则λ＝　　　　． 7．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 8．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 10．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，，， ． 11．【2021年上海市高考数学第4题】如图正方形ABCD的边长为3，求•　　　　． 12．【2020年上海市高考数学第12题】已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且||∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是　　　　． 13．【2019年上海市高考数学第3题】已知向量（1，0，2），（2，1，0），则与的夹角为　　　　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$